趙默

一元二次方程中字母系數(shù)的求法，涉及的知識點很多，它與一元二次方程的定義、根的定義、根的判別式等都有著緊密的聯(lián)系，是一元二次方程問題中的一個難點.為了幫助同學們提高解題效率，現(xiàn)對一元二次方程中字母系數(shù)的求解思路進行歸納說明，以供同學們參考.

一、利用一元二次方程的定義求解

只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)項的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，一般形式為 （a ≠ 0）. 根據(jù)一元二次方程的定義求方程中字母系數(shù)的值時，要注意以下幾點：①弄清楚誰是未知數(shù);②含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)必須是2;③最高次項的未知數(shù)的系數(shù)不為0.

點評：此題主要考查了一元二次方程的定義，正確把握未知數(shù)的次數(shù)與系數(shù)是解題關鍵.

二、利用一元二次方程的根的定義求解

若 m 是關于 x 的一元二次方程 ax

2 + bx +

c = 0 的一個根，則可得? 的一個根，則可得 ;反之，若 ，則 m 是關于 x 的一元二次方程 的一個根.這就是一元二次方程的根的定義.當已知一元二次方程的一個根或兩個根時，將其帶入原方程，構(gòu)造新的方程或方程組，解方程或方程組即可求得字母系數(shù)的值.

點評：解答本題的關鍵是正確理解一元二次方程的根的概念：能使一元二次方程左右兩

邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的根.

三、利用一元二次方程的求根公式求解

將一元二次方程 進行配方， 式稱為一元二次方程的求根公式.若題目已知一元二次方程有兩個根，可將兩個根用含有字母系數(shù)的求根公式表示出來，然后根據(jù)根的情況確定字母系數(shù)的值或取值范圍.

例3 已知關于 x的方程

（1）討論此方程根的情況;

（2）若方程有兩個整數(shù)根，求正整數(shù) k的值.

分析：（1）由于 k 的值不能確定，故應分k + 1=0 和 k + 1 ≠ 0 兩種情況進行分類討論;（2）先根據(jù)求根公式用 k 表示出 x 的值，再根據(jù)方程有兩個整數(shù)根，求出正整數(shù) k的值即可.

解：（1）當 k= - 1 時，方程 -4x - 4=0 為一元一次方程，此方程有一個實數(shù)根;

點評：一元二次方程的根是由系數(shù) a ，b ，c 決定的，求根公式體現(xiàn)了一元二次方程根與系數(shù)最直接的關系，若已知根的情況就可以求出字母系數(shù)的值.

四、利用一元二次方程的根的判別式求解

一元二次方程 的根的判別式為 .當 時，則一元二次方程有兩個相等實根;當 時，則一元二次方程有兩個不相等實根;當 時，則一元二次方程無實根.利用根的情況求字母系數(shù)的值或范圍，一般是利用根的判別式和已知條件列出關于字母系數(shù)的方程或不等式，然后求解.要注意判別式的應用條件，即二次項系數(shù)不為0.

例 4 已知關于 x 的一元二次方程（ 有兩個不相等的實數(shù)根.

（1）求 k 的取值范圍;

（2）如果此方程有兩個相等實數(shù)根，請求出這個實數(shù)根.

分析：（1）先根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根知Δ>0，據(jù)此求出 k 的范圍，再結(jié)合一元二次方程的定義和二次根式有意義的條件可得答案;（2）由方程有兩個相等實數(shù)根知Δ=0，據(jù)此求出 k 的值，代入方程，再利用因式分解法求解可得.

點評：若已知一元二次方程有實數(shù)根或無實數(shù)根，可利用判別式求得字母系數(shù)的取值范圍.若已知一元二次方程有相等實數(shù)根，可利用判別式求得字母系數(shù)的值.

五、利用一元二次方程根與系數(shù)的關系

一元二次方程根與系數(shù)的關系.已知方程兩根的關系求字母系數(shù)的值時，先根據(jù)根與系數(shù)的關系用待定的字母表示兩根之和與兩根之積，然后將已知兩根的關系式進行變形，再將兩根的和與兩根的積整體代入，列出以字母系數(shù)為未知數(shù)的方程，進而求出字母系數(shù)的值.

例5 關于 x的方程 是否存在負數(shù) k 使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于4？若存在，求出滿足條件的 k 的值;若不存在，說明理由.

所以存在負數(shù) k = -1，滿足條件.

點評：運用根與系數(shù)的關系解題的前提條件是方程有實數(shù)根，即Δ≥0.在利用根與系數(shù)的關系求方程中的字母系數(shù)的值時，必須代入根的判別式中進行檢驗.

六、構(gòu)造二次函數(shù)，利用函數(shù)圖象求解

一元二次方程與二次函數(shù)是有緊密聯(lián)系的.解二次方程的實質(zhì)是求二次函數(shù)的零點，反映在圖象上，就是拋物線與 x 軸交點的橫坐標值.因此，對于一元二次方程含字母系數(shù)的問題，可通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)圖象的直觀性求解.

點評：可以把一元二次方程看作是二次函數(shù)中的一種特殊情況.根據(jù)一元二次方程根的情況，再利用二次函數(shù)的圖像的性質(zhì)，可以快速便捷地求出方程中字母系數(shù)的取值范圍.