郭平措，何小瀧，袁 浩

(1.青海省水利廳引黃濟(jì)寧工程建設(shè)管理局，西寧 810001； 2.四川大學(xué) 水力學(xué)及山區(qū)河流開發(fā)保護(hù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 成都 610065； 3.重慶交通大學(xué) 重慶西南水運(yùn)工程科學(xué)研究所，重慶 400074)

1 研究進(jìn)展

液滴撞擊液膜現(xiàn)象通常伴隨著液滴撞擊干燥壁面，壁面液滴聚集形成液膜等現(xiàn)象，這一系列現(xiàn)象廣泛存在于工業(yè)過程和自然現(xiàn)象中，如泄洪霧化中二次激濺、農(nóng)藥噴灑等，因此液滴撞擊液膜過程中動力學(xué)機(jī)理的研究十分重要。

前人研究表明[1-3]，液滴撞擊液膜時(shí)液冠的演化過程被諸多參數(shù)所影響，包括氣液密度比、氣液運(yùn)動黏滯系數(shù)比、液膜厚度、撞擊速度、液相理化性質(zhì)等。當(dāng)前大部分研究主要通過實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬研究液滴垂直撞擊液膜時(shí)液冠的演化規(guī)律。Zhang[4]通過系統(tǒng)研究總結(jié)出液滴撞擊液膜時(shí)根據(jù)液冠的不同演化方式可以將碰撞過程歸納為融合、反彈、局部反彈、液冠、飛濺5種形態(tài)。Yarin等[5]通過實(shí)驗(yàn)和邊界積分法研究了單個(gè)液滴撞擊液膜時(shí)液冠演化的規(guī)律。他指出液膜中的速度不連續(xù)性是液冠形成的主要原因，且液冠無量綱半徑與無量綱時(shí)間平方根之間存在線性關(guān)系。Gao等[6]通過大量實(shí)驗(yàn)研究并結(jié)合理論分析給出了液滴撞擊靜止和移動液膜時(shí)液冠半徑演化的半經(jīng)驗(yàn)公式。實(shí)驗(yàn)研究可以通過高速攝像機(jī)準(zhǔn)確捕捉液冠的演化過程，但無法給出液冠演化過程中諸如流速場等內(nèi)部機(jī)理的演化過程。

與實(shí)驗(yàn)研究相比，數(shù)值模擬可以有效獲得液滴撞擊液膜過程中速度場、渦量場等。通過數(shù)值模擬研究，Roisman等[7]和 Nikolopoulos等[8]指出液冠破碎的原因是液冠末端的Plateau-Rayleigh不穩(wěn)定現(xiàn)象。近30年來格子玻爾茲曼方法(LBM)多相流模型快速發(fā)展，現(xiàn)有多相流模型可以分為顏色模型、偽勢模型、自由能模型和相場模型4類[9]。Lee等[10]首先利用自由能模型模擬了大密度比條件下單個(gè)液滴撞擊液膜的過程。但該模型將滑移步分解為碰撞前滑移步和碰撞后滑移步，且需要求解各宏觀參數(shù)的方向偏導(dǎo)數(shù)，計(jì)算量較大。Mukherjee等[11]在Lee等[10]模型基礎(chǔ)上引入多松弛(MRT)碰撞算子，研究了密度比、黏滯系數(shù)比對液冠演化的影響。Cheng等[12]則進(jìn)一步將Mukherjee[11]二維模型轉(zhuǎn)化為三維模型，模擬了液滴撞擊移動液面的過程。

LBM偽勢模型由于計(jì)算簡潔性和高效性已經(jīng)被廣泛用于諸如沸騰[9]、空化[13]等復(fù)雜多相流現(xiàn)象的模擬中。相比于基于Navier-Stokes方程和界面捕捉方法的傳統(tǒng)數(shù)值模擬方法，該方法優(yōu)勢在于氣液交界面由粒子之間偽勢自動形成，不需要利用界面捕捉模型獲得；壓力與流體狀態(tài)方程相關(guān)，不需通過泊松方程求解壓力；僅需要求解一系列線性方程組，避免了對非線性對流項(xiàng)的處理[13]。Kharmiani等[14]和Yuan等[15]均利用LBM偽勢模型研究了單液滴垂直撞擊液膜時(shí)不同參數(shù)對液冠演化的影響。

當(dāng)前液滴撞擊液膜過程的研究主要集中于液滴垂直撞擊靜止或運(yùn)動液膜。因此本文通過大密度比LBM偽勢模型模擬了不同碰撞角條件下液冠演化過程，進(jìn)一步分析了雷諾數(shù)、韋伯?dāng)?shù)、液膜厚度、碰撞角度等對液冠演化的影響，為揭示復(fù)雜條件下液滴撞擊液膜過程打下基礎(chǔ)。

2 模型概述

液滴傾斜撞擊液膜計(jì)算示意圖及液冠形狀示意圖如圖1(a)所示，計(jì)算區(qū)域?yàn)? 001 lu×301 lu矩形區(qū)域。計(jì)算域左右邊界和頂部邊界均為非平衡外推邊界，底部為無滑移邊界條件[16]。圖中r0為液滴半徑；H為液膜厚度；U0為液滴撞擊液膜速度；θ為液滴撞擊速度與水平面之間夾角。結(jié)合液相密度ρl、液相運(yùn)動黏滯系數(shù)υl、表面張力σ和碰撞時(shí)間t，可獲得液滴撞擊液面時(shí)控制液冠形態(tài)變化的相應(yīng)參數(shù)，包括[15]

(1)

式中:Re為雷諾數(shù);We為韋伯?dāng)?shù);h*為液膜無量綱厚度;t*為無量綱時(shí)間。液冠形狀演化過程中相應(yīng)參數(shù)如圖1(b)所示，圖中S為液冠延伸長度，Hu為上游液冠高度;Hd為下游液冠高度。為便于進(jìn)行統(tǒng)一分析，本研究也對以上3個(gè)參數(shù)進(jìn)行無量綱化，即

(2)

圖1 液滴傾斜撞擊液膜過程計(jì)算及形狀演化示意圖Fig.1 Schematic diagram of the computation domain and the crown geometry

液滴周邊密度場通過式(3)進(jìn)行初始化：

(3)

式中：(x0,y0)為液滴中心；ρg為初始?xì)庀嗝芏?；w為初始?xì)庖航唤缑鎸挾取Ｒ耗じ浇鲌龀跏蓟缡?4)所示。

式中y1為氣液交界面位置。根據(jù)Li等[16]的研究，考慮到計(jì)算穩(wěn)定性和物理真實(shí)性，界面寬度w設(shè)置為lu。

3 LBM偽勢模型

為保證大密度比多相流現(xiàn)象模擬過程的數(shù)值穩(wěn)定性和物理真實(shí)性，本研究主要采用與MRT碰撞算子結(jié)合的偽勢模型。采用MRT碰撞算子粒子演化方程可以表示為[17]

(5)

其中ωi為相應(yīng)權(quán)重，本研究采用D2Q9格子模型，當(dāng)i=0時(shí)權(quán)重ωi=4/9，當(dāng)i=1～4時(shí)權(quán)重ωi=1/9，當(dāng)i=5～8時(shí)權(quán)重ωi=1/36。松弛矩陣Λ由不同松弛參數(shù)構(gòu)成[17]，即

(7)

(8)

宏觀密度ρ和流場實(shí)際速度u可通過對介觀粒子分布函數(shù)統(tǒng)計(jì)獲得[17],即

(9)

式中F為作用在粒子上的合力。為滿足模擬過程中的熱力學(xué)一致性，本研究采用Li等[18]提出的外力格式,即

(10)

式中：ε為調(diào)節(jié)熱力學(xué)一致性的參數(shù);ψ為粒子間的偽勢；Fm為粒子間的相互作用力，可以通過以下方程求解[18]

(11)

式中：G為粒子間的相互作用強(qiáng)度，wi為不同方向的權(quán)重，對于D2Q9模型其中i=0時(shí)權(quán)重系數(shù)wi=0，當(dāng)i=1～4時(shí)權(quán)重系數(shù)wi=1/3，當(dāng)i=5～8時(shí)權(quán)重系數(shù)[19]。Yuan等[20]將非理想流體狀態(tài)方程引入，獲得求解偽勢ψ的公式為

(12)

式中P為壓力。本研究采用Carnahan-Starling (C-S)狀態(tài)方程[21]

(13)

同時(shí)為使偽勢模型中的表面張力獨(dú)立于氣液密度比可進(jìn)行單獨(dú)調(diào)節(jié)，引入源項(xiàng)C[18]，即

(14)

式中Q可以通過式(15)求解[18]，即

(15)

式中κ為表面張力調(diào)節(jié)參數(shù)。

4 模型驗(yàn)證

本研究首先通過液滴垂直撞擊靜止液膜過程來驗(yàn)證模型的可靠性。本模擬中液滴半徑設(shè)置為r0=50 lu，液膜厚度設(shè)置為H=25 lu。模型采用等溫模型，初始溫度為T=0.5Tc，對應(yīng)液氣密度比為ρl/ρg=720。液滴初始碰撞速度設(shè)置為U0=0.125 lu·tu-1。松弛系數(shù)設(shè)置為τυ=0.537 5，表面張力調(diào)節(jié)參數(shù)設(shè)置為κ=0.2，對應(yīng)表面張力為σ=0.008 3。因此相應(yīng)的雷諾數(shù)和韋伯?dāng)?shù)分別為Re=500和We=87.8。

Yarin等[5]實(shí)驗(yàn)研究表明，液滴撞擊靜止液膜過程中，無量綱液冠半徑與無量綱時(shí)間平方根成正比。前人研究中均為定性化驗(yàn)證模型的可靠性[14-15,21-22]，本文則將LBM計(jì)算結(jié)果與理論分析結(jié)果進(jìn)行定量對比。Gao等[6]通過理論分析與大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果得到了準(zhǔn)確的液冠半徑r*與無量綱時(shí)間t*平方根之間的關(guān)系為

式中:r*為液冠中心到液冠射流底部無量綱半徑;β為與能量損失系數(shù)λs相關(guān)的參數(shù)[6]

(17)

其中能量損失系數(shù)λs與Re數(shù)、We數(shù)和無量綱液膜厚度h*之間相關(guān)[6]。

(18)

不同時(shí)刻液滴演化形態(tài)如圖2所示。液滴撞擊液面后液冠半徑與Gao等[6]提出的半經(jīng)驗(yàn)公式對比如圖3所示。對比發(fā)現(xiàn)LBM計(jì)算結(jié)果與Gao等[6]數(shù)值模擬結(jié)果在液滴破碎前演變規(guī)律一致，而破碎后液冠半徑演化過程存在差異的原因是，Gao等[6]的模型未考慮到液冠破碎引起的動量變化。

圖2 不同時(shí)刻液冠演化形狀Fig.2 Crown geometry at different dimensionless instances

圖3 液冠半徑演化過程LBM數(shù)值模擬結(jié)果與理論 分析結(jié)果對比Fig.3 Comparison of the evolution process of crown radius between LBM numerical result and theoretical analysis

5 液滴傾斜撞擊液膜過程

為研究不同參數(shù)對液滴傾斜撞擊液膜時(shí)液冠演化過程的影響，本研究保持液滴初始碰撞速度U0=0.125 lu/tu不變，通過調(diào)節(jié)松弛系數(shù)τυ和表面張力調(diào)節(jié)系數(shù)κ獲得不同Re數(shù)與We數(shù)。不同參數(shù)如表1所示。

表1 液滴撞擊移動液膜相關(guān)參數(shù)Table 1 Parameters of a droplet obliquely impacts on liquid film

5.1 Re數(shù)影響

由于液滴傾斜碰撞液膜，導(dǎo)致上下游液冠演化出現(xiàn)不對稱性。圖4為無量綱時(shí)間t*=2.0時(shí)，不同Re數(shù)條件下液冠形態(tài)。Gao等[6]研究表明碰撞中液相損失能量隨著Re數(shù)增加而減小。當(dāng)Re=200時(shí)，上下游液冠均未發(fā)生破壞。但隨著Re數(shù)增大到500，碰撞中損失的能量減小，導(dǎo)致液膜中的流速不連續(xù)性增加，下游液冠發(fā)生破碎，伴隨著小液滴的形成，而上游液冠仍保持穩(wěn)定。

圖4 無量綱時(shí)間t*=2.0不同Re數(shù)條件下液冠演化 形態(tài)對比Fig.4 Crown geometry under varied Re number at dimensionless time t*=2.0

不同Re數(shù)條件下上下游液冠高度和液冠延伸長度演化如圖5所示。上游液冠高度隨著Re數(shù)的增加而增加，而下游液冠高度在液冠未發(fā)生破碎前也隨著Re數(shù)的增加而增加。隨著Re數(shù)增加，下游液冠更容易發(fā)生破碎。在下游液冠發(fā)生破碎后，Re=200和Re=500兩種雷諾數(shù)條件下下游液冠高度變化一致，而Re=1 000條件下同一時(shí)刻下游液冠高度更高。液冠延伸長度隨著時(shí)間變化如圖5(c)所示，由于大Re數(shù)條件下液滴撞擊液膜過程中消耗的能量更小，液冠未發(fā)生破碎前，液冠延伸長度隨著Re數(shù)的增加而增加。在下游液冠發(fā)生破碎后，3種Re數(shù)條件下液冠演化過程幾乎一致。

圖5 不同Re數(shù)條件下液冠演化過程Fig.5 Crown evolution process with varied Re number

5.2 We數(shù)影響

Kharmiani等[14]研究表明液冠演化過程中，隨著We數(shù)的增大，表面張力消耗的動能減小，導(dǎo)致液冠更不穩(wěn)定。圖6展示了不同We數(shù)條件下液冠在t*=2.0時(shí)刻的演化形態(tài)。隨著We數(shù)增加，液冠末端變得更薄和不穩(wěn)定。當(dāng)We=87.8時(shí)，上游液冠保持穩(wěn)定，而下游液冠發(fā)生一次破碎。隨著We數(shù)增加到139.4，上下游液冠均不能保持穩(wěn)定，發(fā)生破碎。而下游液冠破碎后生成的液滴尺寸小于上游液冠，破碎次數(shù)也隨著We數(shù)的增加而增加。

圖6 無量綱時(shí)間t*=2.0不同We數(shù)條件下液冠 演化形態(tài)對比Fig.6 Crown geometry under varied We number at dimensionless time t*=2.0

不同We數(shù)條件下上游液冠高度、下游液冠高度和液冠延伸長度演化如圖7所示。隨著We數(shù)增大，表面張力減小，液冠末端維持穩(wěn)定性能力降低，上游液冠高度在破碎前隨著We數(shù)的增加而增加。由于傾斜沖擊加強(qiáng)了下游液冠不穩(wěn)定性，因此下游液冠較上游液冠更早發(fā)生破碎，液冠破碎后高度仍隨著We數(shù)的增加而增加。圖7(c)對比了不同We數(shù)條件下液冠延伸長度隨時(shí)間的演化過程。Raman等[21]研究表明，We數(shù)對液冠延伸長度的影響可以忽略。本研究模擬結(jié)果表明，盡管隨著We數(shù)增大上下游液冠更容易發(fā)生破碎，但并不影響液冠延伸長度的演化，不同We數(shù)條件下液冠延伸長度一致。

圖7 不同We數(shù)條件下液冠演化過程Fig.7 Crown evolution process with varied We number

5.3 無量綱液膜厚度h*影響

Yuan等[15]研究表明，液膜厚度增加會導(dǎo)致液膜飛濺角增大和碰撞消耗能量增加。Gao等[6]更進(jìn)一步指出液膜厚度對碰撞中消耗的能量的影響遠(yuǎn)大于Re數(shù)和We數(shù)。圖8為在t*=2.0時(shí)刻液滴撞擊不同無量綱液膜厚度h*液冠形態(tài)。當(dāng)h*=0.1時(shí)，液膜厚度較小，碰撞中消耗能量較低，導(dǎo)致液冠末端更不穩(wěn)定，上下游液冠均發(fā)生破碎，伴隨著小液滴生成。同時(shí)由于液膜厚度較小，無法限制液冠射流的方向，液冠飛濺角較小。隨著液膜厚度增加到h*=0.25，此時(shí)上游液冠均保持穩(wěn)定，而下游液冠發(fā)生破碎。隨著液膜厚度增加到h*=0.5，上下游液冠均保持穩(wěn)定，而液冠飛濺角隨著液膜厚度的增加而增加。

圖8 無量綱時(shí)間t*=2.0不同無量綱液膜厚度h* 條件下液冠形態(tài)Fig.8 Crown geometry at t*=2.0 with varied dimensionless liquid film thickness h*

圖9 不同無量綱液膜厚度h*條件下液冠演化過程Fig.9 Crown evolution process with varied dimensionless liquid film thickness h*

圖9展示了不同無量綱液膜厚度h*條件下，上游液冠高度、下游液冠高度和液冠延伸長度隨時(shí)間變化過程。在液冠破碎前，無量綱液膜厚度由h*=0.1增加到h*=0.25，受到液冠飛濺角的影響，上游液冠高度隨液膜厚度增加而增加。但無量綱液膜厚度由h*=0.25增加到h*=0.5，隨著液膜厚度增加，碰撞中損失能量增加，上游液冠高度反而降低。下游液冠演化過程與上游液冠相似。Gao等[6]研究表明，液滴撞擊液膜過程中消耗能量越多，液冠半徑演化速率越慢。不同無量綱液膜厚度h*條件下液冠延伸長度隨時(shí)間變化規(guī)律如圖9(c)所示，盡管h*=0.1時(shí)，上下游液冠發(fā)生多次破碎，但其液冠半徑演化速率大于其余兩種液膜厚度。

5.4 碰撞角θ影響

為進(jìn)一步研究碰撞角對液冠演化的影響，本文保持液滴速度不變，改變液滴初始速度與水平方向的夾角。t*=2.0時(shí)刻不同碰撞角θ條件下液冠形態(tài)如圖10所示。在θ=45°時(shí)，下游液冠并未發(fā)生破碎，但隨著碰撞角增加到θ=60°，液冠發(fā)生破碎。上游液冠根部厚度則隨著碰撞角θ增大而減小，上下游液冠高度均增大。

圖10 無量綱時(shí)間t*=2.0不同撞擊角θ條件下液冠 演化形態(tài)對比Fig.10 Crown geometry under varied collision angle θ at dimensionless time t*=2.0

圖11展示了不同碰撞角θ條件下，上游液冠高度、下游液冠高度和液冠延伸長度隨時(shí)間變化過程。碰撞時(shí)液滴垂向速度隨著θ的增大而增大，導(dǎo)致碰撞過程中能量損失減小。上游液冠高度、下游液冠高度及液冠延伸長度均隨著碰撞角θ的增大而增大，且下游液冠高度隨著碰撞角θ的增大更早發(fā)生破碎。

圖11 不同撞擊角θ條件下液冠演化過程Fig.11 Crown evolution process with varied impact angle θ

6 結(jié)論與展望

本研究利用可調(diào)節(jié)表面張力的大密度比LBM偽勢模型，研究了液滴傾斜撞擊液膜的過程，并分析了不同Re數(shù)、We數(shù)、無量綱液膜厚度h*和碰撞角θ對液冠演化過程的影響，得到以下結(jié)論：

(1)碰撞時(shí)能量損失隨著Re數(shù)增大而減小，進(jìn)而導(dǎo)致上下游液冠高度和液冠延伸長度隨著Re數(shù)的增大而增大。

(2)隨著We數(shù)增大，上下游液冠更易發(fā)生變形和破壞，但不同We數(shù)條件下液冠延伸長度接近。

(3)液膜厚度增加會導(dǎo)致碰撞時(shí)消耗的能量更多，并增大液冠飛濺角。無量綱液膜厚度存在一個(gè)閾值h*=0.25，使未破碎的上下游液冠高度達(dá)到最大值，液冠延伸長度隨著液膜厚度的增加而減小。

(4)液滴傾斜撞擊液面會導(dǎo)致液冠的不對稱發(fā)育，上下游液冠高度和液冠延伸長度均隨著碰撞角θ的增大而增大。

本研究初步探討了二維液滴傾斜撞擊液膜的特性，考慮到液滴傾斜液膜會造成液冠的不對稱性和復(fù)雜性，二維模型難以模擬出液冠中流速的演化過程，無法深入分析獲得液冠上下游發(fā)生不對稱演化和破碎的機(jī)理。因此在后續(xù)研究中，本文所使用LBM偽勢模型將被拓展到D3Q19格子模型上，并對復(fù)雜壁面條件下液滴撞擊液膜后液冠的演化過程進(jìn)行深入研究。