苗正偉，丁志宏，路 梅，楊學(xué)智

(1.河北水利電力學(xué)院 水利工程學(xué)院，河北 滄州 061001； 2.中水北方勘測(cè)設(shè)計(jì)研究有限責(zé)任公司，天津 300222)

1 研究背景

洪水頻率是水文統(tǒng)計(jì)的重點(diǎn)內(nèi)容，傳統(tǒng)的單變量頻率分析或者研究洪峰頻率，或者研究洪量頻率，或者假定二者同頻率，這既違背了洪水是多變量隨機(jī)事件的科學(xué)事實(shí)，也忽略了洪水特征變量之間普遍存在的較強(qiáng)相關(guān)性。有不少學(xué)者基于多變量頻率分析方法來描述洪水、干旱等水文事件，但傳統(tǒng)多變量聯(lián)合分布對(duì)邊緣分布的苛刻要求與實(shí)際水文現(xiàn)象的高度復(fù)雜性格格不入，極大地限制了傳統(tǒng)多變量聯(lián)合分布的應(yīng)用[1]。近年來，基于Copula函數(shù)的聯(lián)合分布在水文領(lǐng)域越來越受關(guān)注，Sklar[2]在1959年將Copula概念引入統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域，繼而由Genest等[3]、Harry等[4]進(jìn)一步發(fā)展、完善了Copula相關(guān)理論，隨后，Nelsen[5]在其專著中對(duì)Copula函數(shù)理論與成果進(jìn)行了總結(jié)，Marius Hofert等[6]進(jìn)一步總結(jié)了Copula函數(shù)的性質(zhì)、應(yīng)用及其R語言的實(shí)現(xiàn)。眾多研究結(jié)果表明，Copula函數(shù)很適于描述水文特征變量間的相關(guān)性，包括非線性相關(guān)關(guān)系，且對(duì)邊緣分布沒有限制，已被廣泛應(yīng)用于暴雨、洪水、干旱等水文事件的多變量聯(lián)合分布研究[7-11]。

重現(xiàn)期是水文設(shè)計(jì)的核心概念之一。在統(tǒng)計(jì)意義上，重現(xiàn)期是發(fā)生指定事件的時(shí)間間隔的平均值。對(duì)單變量事件而言，重現(xiàn)期和設(shè)計(jì)值是一一對(duì)應(yīng)的。但對(duì)于多變量事件，因變量間存在無窮多種組合，其重現(xiàn)期的定義以及設(shè)計(jì)值的計(jì)算都要復(fù)雜得多，這已成為近年來水文領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題[12-14]。定義雙變量洪水重現(xiàn)期的核心問題是危險(xiǎn)域的界定，所謂危險(xiǎn)域[15]就是所有危險(xiǎn)事件的集合，危險(xiǎn)域之外的二維實(shí)數(shù)域即為安全域，但一般將安全域與危險(xiǎn)域的分界線稱為臨界域。給定洪水峰量(峰量即洪峰流量和洪量)組合，若其落在危險(xiǎn)域內(nèi)，則將其判定為超標(biāo)洪水，屬于危險(xiǎn)事件，反之則是安全的或處于臨界狀態(tài)。根據(jù)雙變量框架下危險(xiǎn)域界定方式的不同，目前對(duì)雙變量洪水事件重現(xiàn)期的定義也有很多種，其中，“或”(“OR”)和 “且”(“AND”)重現(xiàn)期應(yīng)用最廣泛， OR重現(xiàn)期將洪水峰量中至少有一個(gè)超過指定閾值的事件集合定義為危險(xiǎn)域；而AND重現(xiàn)期將危險(xiǎn)域定義為兩變量同時(shí)超過指定閾值的事件集合。根據(jù)不同的危險(xiǎn)域進(jìn)而計(jì)算相應(yīng)的重現(xiàn)期。但是，這2種重現(xiàn)期對(duì)于危險(xiǎn)事件的判斷均不盡合理[16-18]。為此，Salvadori 等[17]根據(jù)Kendall函數(shù)得到Copula等值線，并將峰量聯(lián)合分布概率超過給定閾值的事件集合定義為危險(xiǎn)域，進(jìn)而提出了Kendall 重現(xiàn)期的概念，這使得危險(xiǎn)事件的判斷不再有邏輯上的矛盾[19-21]。但該方法給出的安全域卻是無限的，這與事實(shí)明顯不符。因此，Salvadori 等[17]于2013年又提出了生存 Kendall重現(xiàn)期的概念，將危險(xiǎn)域定義為洪水峰量的聯(lián)合生存概率小于給定閾值的事件集合。生存Kendall重現(xiàn)期不僅對(duì)危險(xiǎn)域的判定科學(xué)合理，而且它給出的安全域也是有界的，與現(xiàn)實(shí)相符，是當(dāng)前雙變量水文事件相對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹噩F(xiàn)期定義方式。

與單變量情況不同，給定的雙變量重現(xiàn)期會(huì)對(duì)應(yīng)無窮多種變量組合，由此構(gòu)成重現(xiàn)期等值線，這意味著，雙變量框架下聯(lián)合洪水設(shè)計(jì)值并非唯一，而不同的洪水峰量組合將得到不同的洪水過程線，從而對(duì)調(diào)洪演算的結(jié)果產(chǎn)生直接影響，并進(jìn)一步影響水庫特征水位及水庫規(guī)模，因此，多變量框架下如何科學(xué)合理地計(jì)算聯(lián)合洪水設(shè)計(jì)值是至關(guān)重要的[22]。目前，計(jì)算聯(lián)合洪水設(shè)計(jì)值的常用方法主要包括同頻率法[23]、極大似然法[18,24]、條件最可能組合法[25-27]等。

當(dāng)前關(guān)于洪水的雙變量設(shè)計(jì)主要基于OR、AND以及Kendall重現(xiàn)期，較少涉及生存Kendall重現(xiàn)期，而且缺乏洪水設(shè)計(jì)值計(jì)算方法的對(duì)比分析。為此，本文以崗南水庫為例，基于Copula函數(shù)，采用OR、AND、Kendall及生存Kendall 4種重現(xiàn)期標(biāo)準(zhǔn)以及同頻率、極大似然、條件最可能組合3種洪水設(shè)計(jì)值計(jì)算方法，對(duì)洪水的峰量聯(lián)合分布展開研究，以期為水文聯(lián)合設(shè)計(jì)提供科學(xué)參考，為崗南水庫的防洪安全提供理論依據(jù)。

2 數(shù)據(jù)與方法

2.1 研究區(qū)與數(shù)據(jù)

位于海河流域子牙河系滹沱河中游的崗南水庫控制流域面積15 900 km2(如圖1所示)，總庫容15.71億m3，其中9.71億m3為防洪庫容，主要擔(dān)負(fù)著下游京九鐵路、華北油田及石家莊等的防洪保護(hù)任務(wù)，同時(shí)承擔(dān)向灌區(qū)及石家莊等地區(qū)供水的任務(wù)，該水庫對(duì)支撐河北省水資源可持續(xù)利用及社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展至關(guān)重要。本研究所用數(shù)據(jù)主要是1949—2012年崗南水庫流域年最大洪峰流量和六日洪量，此外還包括一場(chǎng)重現(xiàn)期為3 000 a的古洪水及11場(chǎng)歷史特大洪水，數(shù)據(jù)來自水文年鑒及海河水利委員會(huì)。

圖1 崗南水庫流域Fig.1 Drainage map of Gangnan reservoir

2.2 研究方法

3 結(jié)果與分析

3.1 洪峰和六日洪量的邊緣分布

對(duì)崗南水庫流域洪峰流量及六日洪量系列，由非連續(xù)樣本的線性矩法初估參數(shù)進(jìn)而進(jìn)行適線，經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)據(jù)、擬合的統(tǒng)計(jì)參數(shù)及P-III分布曲線如圖2所示。由此可見，適線效果良好。

圖2 P-III分布擬合結(jié)果Fig.2 Fitting results of P-III distribution

3.2 洪峰和六日洪量的聯(lián)合分布

表1 Copula函數(shù)參數(shù)估計(jì)和統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)結(jié)果Table 1 Estimated parameters of Copula functions and statistical test results

圖3 聯(lián)合觀測(cè)值的經(jīng)驗(yàn)分布與理論分布比較Fig.3 Comparison between empirical and theoretical distributions of joint observations

3.3 洪水峰量聯(lián)合分布重現(xiàn)期比較分析

給定重現(xiàn)期水平20、50、100、200 a，在同一坐標(biāo)系中繪制4種重現(xiàn)期標(biāo)準(zhǔn)的等值線，如圖4所示。由此可知，對(duì)于不同標(biāo)準(zhǔn)的重現(xiàn)期，OR與Kendall重現(xiàn)期等值線走勢(shì)一致；AND與生存Kendall重現(xiàn)期走勢(shì)一致。盡管重現(xiàn)期等值線趨勢(shì)相似，但它們確定的危險(xiǎn)域截然不同，OR、AND重現(xiàn)期等值線上每一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)不同的危險(xiǎn)域，正因如此，這二者對(duì)危險(xiǎn)域的判斷存在邏輯上的矛盾，而Kendall、生存Kendall重現(xiàn)期等值線上各點(diǎn)都有一樣的危險(xiǎn)域，這使得兩者對(duì)危險(xiǎn)域的判定更為合理。圖4還顯示： Kendall重現(xiàn)期給出的安全域是無界的，這顯然與實(shí)際相悖，與之相反，生存Kendall重現(xiàn)期給出了有界的安全域，更契合工程安全的內(nèi)在要求，綜上所述，4種重現(xiàn)期標(biāo)準(zhǔn)中，生存Kendall重現(xiàn)期最為科學(xué)合理。由圖4還可知，4種給定重現(xiàn)期水平下，不同重現(xiàn)期標(biāo)準(zhǔn)等值線間的關(guān)系是一致的，均表現(xiàn)為：OR重現(xiàn)期等值線在最上、AND重現(xiàn)期等值線在最下，Kendall與生存Kendall重現(xiàn)期等值線居中；AND、OR、Kendall 3種重現(xiàn)期等值線無交點(diǎn)；生存Kendall重現(xiàn)期等值線與Kendall重現(xiàn)期等值線有2個(gè)對(duì)稱的交點(diǎn)，與OR、AND重現(xiàn)期等值線無交點(diǎn)。

圖4 重現(xiàn)期等值線Fig.4 Isolines of return periods

3.4 設(shè)計(jì)值比較分析

3.4.1 不同計(jì)算方法的洪水設(shè)計(jì)值比較

采用同頻率、極大似然、條件最可能組合3種方法計(jì)算各重現(xiàn)期標(biāo)準(zhǔn)的設(shè)計(jì)值，結(jié)果如表2、表3所示。由此可知,對(duì)所有給定的重現(xiàn)期水平和重現(xiàn)期標(biāo)準(zhǔn)，無論是洪峰流量還是六日洪量，都有如下規(guī)律成立：同頻率法與極大似然法所計(jì)算的設(shè)計(jì)值差別非常小，條件最可能組合法計(jì)算的洪峰流量略大于極大似然法和同頻率法的洪峰流量，而六日洪量略小于極大似然法和同頻率法的六日洪量。不失一般性，以100 a生存Kendall重現(xiàn)期為例，同頻率法與極大似然法求得的洪峰流量設(shè)計(jì)值僅相差0.334 m3/s，條件最可能組合法比同頻率法的結(jié)果大差值為65.62 m3/s，相對(duì)差異僅為0.69%。六日洪量設(shè)計(jì)值的差異與洪峰設(shè)計(jì)值的差異類似。由此可見，對(duì)于洪水設(shè)計(jì)而言，極大似然法、條件最可能組合法、同頻率法3種不同計(jì)算方法對(duì)洪水設(shè)計(jì)值并無明顯影響，其中尤以同頻率法計(jì)算最為簡(jiǎn)單，因此建議使用同頻率法進(jìn)行雙變量洪水設(shè)計(jì)值計(jì)算。

3.4.2 不同重現(xiàn)期標(biāo)準(zhǔn)的洪水設(shè)計(jì)值比較

由表2、表3可知，給定重現(xiàn)期水平，無論何種洪水設(shè)計(jì)值計(jì)算方法，計(jì)算所得的洪峰、洪量設(shè)計(jì)值都遵循以下規(guī)律：OR重現(xiàn)期標(biāo)準(zhǔn)的洪水設(shè)計(jì)值>生存Kendall重現(xiàn)期洪水設(shè)計(jì)值>單變量洪水設(shè)計(jì)值>Kendall重現(xiàn)期洪水設(shè)計(jì)值>AND重現(xiàn)期洪水設(shè)計(jì)值；各重現(xiàn)期標(biāo)準(zhǔn)的洪水設(shè)計(jì)值與單變量洪水設(shè)計(jì)值的相對(duì)差異基本呈現(xiàn)隨重現(xiàn)期水平增大而減小的趨勢(shì)，而且AND重現(xiàn)期、OR重現(xiàn)期洪水設(shè)計(jì)值的相對(duì)差異明顯大于Kendall和生存Kendall重現(xiàn)期洪水設(shè)計(jì)值的相對(duì)差異。因此，以O(shè)R重現(xiàn)期標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)工程將偏于保守，工程規(guī)模偏大，投資高；而以AND重現(xiàn)期標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行設(shè)計(jì)，則工程規(guī)模偏小，投資少，但安全性降低。由此可見，AND和OR是工程設(shè)計(jì)的兩種極端情形，它們?cè)诠こ桃?guī)模與投資、安全性方面是失衡的，相較而言，根據(jù)生存Kendall或Kendall重現(xiàn)期進(jìn)行工程設(shè)計(jì)更為科學(xué)合理。又因?yàn)樯鍷endall重現(xiàn)期的定義更加嚴(yán)謹(jǐn)，因此，生存Kendall重現(xiàn)期是兼顧設(shè)計(jì)洪水計(jì)算的合理性以及工程的經(jīng)濟(jì)性、安全性的一個(gè)較好選擇，更利于洪水的風(fēng)險(xiǎn)管理。

4 討 論

由表2、表3可知：本文計(jì)算的不同重現(xiàn)期標(biāo)準(zhǔn)的洪水設(shè)計(jì)值與單變量洪水設(shè)計(jì)值相對(duì)差異的絕對(duì)值絕大部分在9%以內(nèi)，差別較小，尤其是當(dāng)重現(xiàn)期水平超過1 000 a時(shí)，各重現(xiàn)期標(biāo)準(zhǔn)、各計(jì)算方法所得的聯(lián)合洪水設(shè)計(jì)值與單變量洪水設(shè)計(jì)值的相對(duì)差異都在3%以內(nèi)。當(dāng)將Copula參數(shù)減小為3.000 0，聯(lián)合洪水設(shè)計(jì)值與單變量洪水設(shè)計(jì)值相對(duì)差異見表4和表5(聯(lián)合洪水設(shè)計(jì)值計(jì)算方法為同頻率法)。由此可見，當(dāng)Copula參數(shù)減小時(shí)，相對(duì)單變量洪水設(shè)計(jì)值而言，Kendall、AND、OR 3種重現(xiàn)期標(biāo)準(zhǔn)聯(lián)合洪水設(shè)計(jì)值的差異都明顯增大，增幅在100%左右，而生存Kendall重現(xiàn)期的聯(lián)合洪水設(shè)計(jì)值差異也有小幅增加。根據(jù)二維對(duì)稱Gumbel Copula參數(shù)與Kendall相關(guān)系數(shù)的關(guān)系進(jìn)一步分析可知，當(dāng)Copula參數(shù)減小時(shí)，Kendall相關(guān)系數(shù)也是減小的，即洪水的峰量相關(guān)性減弱，而本研究采用的Copula參數(shù)為5.286 2，相應(yīng)的Kendall相關(guān)系數(shù)高達(dá)0.810 8，當(dāng)Copula參數(shù)為3.000 0時(shí)，Kendall相關(guān)系數(shù)減小為0.666 7，這說明：洪水峰、量相關(guān)性越弱，基于Copula的雙變量聯(lián)合洪水設(shè)計(jì)值與單變量洪水設(shè)計(jì)值的差異越明顯。

表2 洪峰流量設(shè)計(jì)值比較Table 2 Comparison of design peak discharge

表3 六日洪量設(shè)計(jì)值比較Table 3 Comparison of design 6d flood volume

表4 Copula參數(shù)對(duì)洪峰流量設(shè)計(jì)值的影響Table 4 Influence of parameter of Copula on design peak discharge

表5 Copula參數(shù)對(duì)六日洪量設(shè)計(jì)值的影響Table 5 Influence of parameter of Copula on design 6 d flood volume

圖4顯示，生存Kendall重現(xiàn)期等值線與Kendall重現(xiàn)期等值線圍成的閉合區(qū)域在Kendall重現(xiàn)期概念下，被判定為危險(xiǎn)域，而在生存Kendall概念下被判定為安全域，相較于洪量很大而洪峰很小、或者洪峰很大而洪量很小的情形，該交集區(qū)域內(nèi)的峰量關(guān)系更契合現(xiàn)實(shí)洪水峰量的相關(guān)性，即這類洪水事件更可能在現(xiàn)實(shí)中發(fā)生。因此，該區(qū)域究竟被判定為危險(xiǎn)域還是安全域，對(duì)防洪工程的規(guī)模具有直接影響。因?yàn)樯鍷endall重現(xiàn)期將該閉合區(qū)域判定為安全域，所以生存Kendall重現(xiàn)期確定的洪水設(shè)計(jì)值比Kendall重現(xiàn)期的洪水設(shè)計(jì)值更大(圖4中的同頻率設(shè)計(jì)值及表2、表3的結(jié)果都證明了該種情況)。因此，基于生存Kendall重現(xiàn)期確定的工程規(guī)模也比Kendall重現(xiàn)期的更大，即以生存Kendall重現(xiàn)期進(jìn)行工程設(shè)計(jì)比Kendall重現(xiàn)期進(jìn)行工程設(shè)計(jì)更安全。

5 結(jié) 論

本文以崗南水庫為例，采用4種重現(xiàn)期標(biāo)準(zhǔn)、3種聯(lián)合洪水設(shè)計(jì)值計(jì)算方法對(duì)雙變量洪水設(shè)計(jì)值進(jìn)行了研究，主要結(jié)論如下。

(1)AND和OR重現(xiàn)期在危險(xiǎn)域和安全域的識(shí)別上存在局限性，相對(duì)而言，Kendall重現(xiàn)期更合理，但其安全域是無界的，這與實(shí)際不符。生存Kendall重現(xiàn)期則界定了有界的安全域，使得重現(xiàn)期的概念在邏輯上更科學(xué)合理。

(2)同頻率法、極大似然法、條件最可能組合法3種洪水設(shè)計(jì)值計(jì)算方法所得結(jié)果相差不大，尤其是同頻率法與極大似然法，二者結(jié)果幾乎相等，從簡(jiǎn)單實(shí)用的角度出發(fā)，推薦采用同頻率法計(jì)算聯(lián)合洪水設(shè)計(jì)值。

(3)基于Copula計(jì)算給定重現(xiàn)期水平的洪水設(shè)計(jì)值，既受重現(xiàn)期標(biāo)準(zhǔn)的影響，也受設(shè)計(jì)值計(jì)算方法的影響。但不同設(shè)計(jì)值計(jì)算方法對(duì)結(jié)果的影響較小，因此，設(shè)計(jì)結(jié)果主要取決于重現(xiàn)期標(biāo)準(zhǔn)，且遵循以下規(guī)律：OR重現(xiàn)期標(biāo)準(zhǔn)的洪水設(shè)計(jì)值>生存Kendall重現(xiàn)期洪水設(shè)計(jì)值>單變量洪水設(shè)計(jì)值>Kendall重現(xiàn)期洪水設(shè)計(jì)值>AND重現(xiàn)期洪水設(shè)計(jì)值。從計(jì)算過程科學(xué)合理、結(jié)果安全可靠且兼顧經(jīng)濟(jì)性的角度來說，推薦采用生存Kendall重現(xiàn)期進(jìn)行雙變量洪水設(shè)計(jì)。

(4)聯(lián)合洪水設(shè)計(jì)值與單變量洪水設(shè)計(jì)值的差異受變量間相關(guān)性的影響較大，且變量相關(guān)性越弱，差異越大。