鄒意蘊(yùn)，林佳麗，盧悅媛，閻曉娜

(上海大學(xué) 理學(xué)院物理系，上海 200444)

光柵是一種重要的分光元件，它通過(guò)對(duì)入射光的振幅或相位進(jìn)行調(diào)制實(shí)現(xiàn)分光功能，在光纖通信和分光光譜儀中具有廣泛的應(yīng)用. 我們?cè)诖髮W(xué)的光學(xué)課程中主要學(xué)習(xí)了平面振幅型光柵的衍射，了解到光柵的分光功能是發(fā)生在高衍射級(jí)[1]. 但在平面振幅型光柵衍射中，不具備分光功能的0級(jí)衍射是最強(qiáng)的，它占了入射光能的很大一部分，其余光能量則分散在各高級(jí)光譜中，而實(shí)際使用光柵時(shí)往往只利用它的某一級(jí)光譜. 由于光能量分散，各級(jí)光譜強(qiáng)度就比較弱，這對(duì)光柵應(yīng)用很不利，因此如何把衍射光能集中于某一具有分光功能的高衍射級(jí)次是實(shí)現(xiàn)光柵應(yīng)用的關(guān)鍵. 目前常用的方法是利用閃耀光柵[2]和體全息光柵[3]. 本文提出利用相位型光柵來(lái)實(shí)現(xiàn)該功能. 相位型光柵是對(duì)入射光場(chǎng)的相位進(jìn)行調(diào)制的器件，相比于振幅型光柵來(lái)說(shuō), 由于它沒(méi)有不透光縫對(duì)光的散射, 因此具有更高的衍射效率. 前期, 高華等人已討論過(guò)相位光柵的透射光譜[4]，謝莉莎等人討論了具有正弦分布的超聲相位光柵的衍射[5]，但他們是基于傅里葉變換的思想來(lái)推導(dǎo)衍射光場(chǎng)，對(duì)于沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)傅里葉光學(xué)或信息光學(xué)的同學(xué)來(lái)說(shuō)可能不清楚該方法隱含的物理意義，難以掌握. 通過(guò)光學(xué)課程的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道衍射即是干涉，已有多人利用干涉的相干疊加思想推導(dǎo)了光柵的衍射，如曹馳宇等人利用矢量疊加法推導(dǎo)了縫寬周期性變化的光柵的衍射光強(qiáng)分布[6]；陳學(xué)文等人利用旋轉(zhuǎn)矢量法推導(dǎo)了光柵衍射公式[7]；黃時(shí)中等人利用實(shí)函數(shù)積分導(dǎo)出了光柵衍射[8]；張永梅利用光柵衍射是單縫衍射和多縫干涉綜合作用結(jié)果的思想推導(dǎo)了多圓孔的夫瑯禾費(fèi)衍射[9]. 本文基于相干疊加，即復(fù)振幅疊加的思想對(duì)相位光柵的衍射公式進(jìn)行推導(dǎo)，并研究實(shí)現(xiàn)光能從0級(jí)到±1級(jí)轉(zhuǎn)移的光柵參數(shù)條件.

1 相位型光柵結(jié)構(gòu)及衍射場(chǎng)推導(dǎo)

圖1(a)是本文討論的透射相位型光柵及其分解圖，其中灰色部分代表相位縫, 白色部分代表透光縫. 相位縫由相位材料組成, 對(duì)入射光場(chǎng)引入相位. 由于相位光柵中的相位縫和透光縫對(duì)入射光都有衍射，為了簡(jiǎn)化分析，把相位型光柵分解為純相位光柵和純振幅光柵的疊加. 其中純相位光柵只包括相位縫, 原相位光柵中的透光縫用黑色的不透光縫代替；而純振幅光柵只包括透光縫，原相位光柵中相位縫用不透光縫代替. 相位型光柵的衍射可以看作是分解后的兩個(gè)光柵衍射光場(chǎng)的相干疊加, 因此下面分別對(duì)兩個(gè)光柵的衍射進(jìn)行推導(dǎo).

圖1 相位型光柵的結(jié)構(gòu)及分解后光柵的衍射

(1)

整理后得到純相位光柵在P點(diǎn)的復(fù)振幅為

(2)

(3)

整理后得到純振幅光柵衍射的復(fù)振幅為

(4)

純相位光柵和純振幅光柵中衍射角相同的衍射光通過(guò)透鏡后會(huì)聚到焦面上同一點(diǎn)P, 因此相位型光柵總的衍射場(chǎng)是上述兩個(gè)衍射的復(fù)振幅疊加

Ap=Ap1+Ap2

(5)

對(duì)復(fù)振幅求模值平方得到相應(yīng)的衍射光強(qiáng)

Ip=|Ap|2

(6)

下面基于衍射光強(qiáng)公式研究相位型光柵的衍射.

2 相位型光柵的衍射及隨光柵參數(shù)的變化

設(shè)相位型光柵的入射光是He-Ne激光，波長(zhǎng)為632.8 nm. 光柵常量d=a+b=2b，縫數(shù)N=5，相位層為折射率n=1.5的玻璃材料.圖2給出了相位層引入的相位φ為nπ/6，這里n=1,2,3,4,5,6(相應(yīng)的厚度h分別取0.035 μm，0.070 μm，0.105 μm，0.141 μm，0.176 μm，0.211 μm)時(shí)，相位型光柵的歸一化衍射光強(qiáng)隨衍射角正弦的變化.

圖2 歸一化衍射光強(qiáng)隨衍射角正弦的變化

由圖2可見(jiàn)，當(dāng)相位縫和透光縫寬度相等時(shí)，隨著相位層引入的相位φ的增加，0級(jí)衍射光強(qiáng)逐漸減小，而±1級(jí)衍射光強(qiáng)將逐漸增大；當(dāng)φ增加到π時(shí)，0級(jí)衍射光強(qiáng)接近0，而±1級(jí)衍射光強(qiáng)達(dá)到最大值.很顯然，相位材料引入的相位φ對(duì)衍射光強(qiáng)有調(diào)制作用，這可由相干疊加條件來(lái)解釋.由第一節(jié)討論可知相位光柵的衍射是式(2)和式(4)所描述的兩個(gè)衍射場(chǎng)的相干疊加.根據(jù)雙光束相干疊加條件可知，當(dāng)兩個(gè)場(chǎng)同相時(shí)，疊加強(qiáng)度為極大值；當(dāng)兩個(gè)場(chǎng)反相時(shí)，疊加強(qiáng)度為極小值；若兩個(gè)場(chǎng)的相位差介于0和π時(shí)，疊加強(qiáng)度將介于極大和極小值之間[1].由式(2)和式(4)可見(jiàn)兩個(gè)場(chǎng)的相位差與φ有關(guān)，所以φ的變化對(duì)衍射強(qiáng)度有影響.由圖2進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，±2級(jí)缺級(jí),φ=π時(shí)±3級(jí)及高衍射級(jí)(這里未全部顯示)的衍射光強(qiáng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于±1級(jí)衍射,即入射光能量大部分集中在±1級(jí).由此可見(jiàn)，通過(guò)改變相位層材料引入的相位可以改變兩個(gè)疊加光場(chǎng)的相位差，從而實(shí)現(xiàn)能量從0級(jí)到1級(jí)的轉(zhuǎn)移.另外,圖2是在d=2b情況下得到了±2級(jí)缺級(jí)，可見(jiàn)相位型光柵的缺級(jí)條件與振幅型光柵的相同.相位型光柵±1級(jí)衍射光強(qiáng)大于0級(jí)，從這點(diǎn)來(lái)說(shuō)相位型光柵性能優(yōu)于振幅型光柵.

由以上討論可知,改變相位層引入的相位可以改變±1級(jí)衍射光強(qiáng),下面進(jìn)一步討論相位層引入的相位及光柵占空比對(duì)± 1級(jí)衍射光強(qiáng)影響.

定義相位型光柵± 1級(jí)的衍射效率為

(7)

其中I+1和I-1分別代表正、負(fù)一級(jí)衍射光強(qiáng)，二者是相等的.Ip代表相位型光柵的總衍射光強(qiáng).

圖3是+1(或-1)級(jí)的衍射效率相對(duì)于相位型光柵的占空比a/b和相位層引入的相位φ之間的三維關(guān)系曲線. 由圖可見(jiàn)，占空比和引入的相位都對(duì)衍射效率η有影響. 當(dāng)占空比過(guò)大或過(guò)小時(shí)，±1級(jí)衍射效率隨相位φ變化不明顯；對(duì)于確定的占空比，±1級(jí)衍射效率都隨相位φ的增加而增大. 當(dāng)相位φ增加到 π 時(shí)，能得到最大衍射效率的占空比為1. 即當(dāng)占空比為1(即相位縫和透光縫寬度相等)、相位層材料引入的相位φ為π時(shí)，±1級(jí)的衍射效率是最大的，都約為42%，為式(4)所表示的純振幅光柵±1級(jí)衍射效率的4倍. 由此可見(jiàn)，本文提出的相位型光柵的衍射效率是很高的.

圖3 +1(或-1)級(jí)的衍射效率隨占空比a/b和相位層引入的相位φ 的變化關(guān)系

3 相位型光柵的分光功能

根據(jù)上面的討論可知，當(dāng)相位型光柵的相位縫和透光縫寬度相等、且相位層引入的相位φ= π(此時(shí)相位層厚度h=0.211 μm)時(shí)，±1級(jí)的衍射效率是最大的，下面討論在此情況下相位型光柵的分光功能.

取波長(zhǎng)分別為632.8 nm、514.5 nm、440 nm的紅、綠、藍(lán)3種顏色的復(fù)色光入射到此厚度的相位型光柵，設(shè)光柵透光縫N=51. 圖4是復(fù)色光入射相位型光柵的衍射示意圖. 討論中假設(shè)入射時(shí)各波長(zhǎng)的入射光強(qiáng)相等. 由圖可見(jiàn)，不同波長(zhǎng)光的衍射位置在0級(jí)是重合的，而在±1級(jí)是不重合的，即在±1級(jí)實(shí)現(xiàn)了分光功能.

圖4 不同波長(zhǎng)單色光的衍射光強(qiáng)分布(h=0.211 μm)

對(duì)圖4進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，3種波長(zhǎng)的1級(jí)衍射光強(qiáng)相差較大，且藍(lán)光的0級(jí)衍射比±1級(jí)衍射還大些，原因是h=0.211 μm的選擇是針對(duì)紅光而言的，對(duì)其他波長(zhǎng)的光束來(lái)說(shuō)該厚度不能滿足±1級(jí)獲得極大值條件. 為使不具有分光功能的0級(jí)衍射強(qiáng)度盡可能小，而使±1級(jí)衍射強(qiáng)度盡可能大且近似相等，下面討論如何尋找合適的相位層厚度h.

為使±1級(jí)衍射光強(qiáng)盡可能大，那么0級(jí)衍射光強(qiáng)應(yīng)盡可能小. 為保證3種波長(zhǎng)入射時(shí)的0級(jí)衍射都盡可能小，考慮使3種波長(zhǎng)入射時(shí)0級(jí)衍射的總光強(qiáng)要小. 圖5是紅、綠、藍(lán)三種波長(zhǎng)光的0級(jí)衍射光強(qiáng)的總和隨相位層厚度h的變化曲線.

圖5 三種波長(zhǎng)0級(jí)衍射總光強(qiáng)隨相位層厚度h的變化

由圖5可見(jiàn)，當(dāng)h=0.169 μm時(shí)0級(jí)衍射總光強(qiáng)得到極小值. 選擇該厚度作為相位型光柵的厚度，圖6是復(fù)色光入射該光柵時(shí)的歸一化衍射光強(qiáng)隨入射角正弦的變化曲線，可見(jiàn)3種波長(zhǎng)光的±1級(jí)衍射光強(qiáng)相差不大，且遠(yuǎn)大于0級(jí)衍射光強(qiáng)，此時(shí)相位光柵的分光效果是最理想的.

圖6 3種波長(zhǎng)單色光的衍射光強(qiáng)分布(h=0.169 μm)

圖7 相位光柵的衍射

圖8可進(jìn)一步說(shuō)明兩類(lèi)光柵的色散率是相同的. 圖中虛線代表相位光柵的衍射，實(shí)線代表圖1(c)所示的振幅光柵的衍射. 由圖可見(jiàn)，同一波長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)的±1級(jí)極大值所在的位置是相同的.

圖8 相位光柵和純振幅光柵對(duì)3種波長(zhǎng)單色光的衍射(虛線和實(shí)線分別代表相位光柵和振幅光柵的衍射)

4 結(jié)論

本文利用相干疊加, 即復(fù)振幅疊加的思想推導(dǎo)了相位型光柵的衍射光場(chǎng)和光強(qiáng)表達(dá)式. 數(shù)值模擬結(jié)果表明當(dāng)光柵的占空比為1、相位層引入的相位變化為π時(shí)，具有分光功能的±1級(jí)將具有最大的衍射效率；不同波長(zhǎng)入射時(shí)，為保證±1級(jí)衍射光強(qiáng)最大且近似相等，選取0級(jí)衍射總光強(qiáng)最小的光柵厚度. 實(shí)現(xiàn)的相位型光柵可以作為分光器使用.