張?zhí)┠?，雒志學(xué)

(1. 蘭州交通大學(xué) 環(huán)境與市政工程學(xué)院，蘭州 730070;2. 蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,蘭州 730070)

隨著現(xiàn)代工業(yè)和農(nóng)業(yè)的迅速發(fā)展,生態(tài)問(wèn)題日益突出,毒素的侵襲極易發(fā)生,澳大利亞叢林大火,東非蝗災(zāi),非典(SARS),埃博拉病毒,禽流感病毒,甲型H1N1流感,新冠肺炎等,這每一個(gè)現(xiàn)象正威脅著生態(tài)平衡,對(duì)人類和其它生物的生存造成了嚴(yán)重危害.因此,研究毒素對(duì)生物種群的影響越來(lái)越重要.Hallam等[1-3]提出了用動(dòng)力學(xué)方法研究生態(tài)毒理動(dòng)力學(xué)的想法.他們提出具有毒素作用的種群模型,并研究了有毒物質(zhì)入侵物種的持久性和絕滅性.從20世紀(jì)80年代起,人們對(duì)生態(tài)毒理學(xué)的問(wèn)題才開(kāi)始進(jìn)行了深入研究,并且現(xiàn)在有大量關(guān)于生態(tài)毒理學(xué)問(wèn)題的研究[4-6],人們密切關(guān)注有毒物質(zhì)對(duì)環(huán)境中種群的影響.在數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)研究中,新種群或入侵種群的擴(kuò)張是一個(gè)熱門話題,然而在這些模型中研究者均未考慮毒素對(duì)種群的影響.本文運(yùn)用數(shù)學(xué)模型去描述和分析具有毒素作用的生物系統(tǒng)內(nèi)部的機(jī)理,根據(jù)實(shí)際情況建立了數(shù)學(xué)模型,這在有效控制種群規(guī)模,預(yù)測(cè)種群變化趨勢(shì),維持生態(tài)平衡,優(yōu)化生態(tài)環(huán)境,防控流行病,抑制生物入侵以及生物資源合理開(kāi)發(fā)利用等方面有著重大的生態(tài)學(xué)意義.

近年來(lái),生物入侵的模擬已經(jīng)吸引了專家們的廣泛注意,并且通過(guò)研究擴(kuò)張前沿的傳播,人們對(duì)生物種群擴(kuò)張的理解得到了明顯的改觀.入侵種群的擴(kuò)張或者消失取決于初始時(shí)刻種群密度和區(qū)域的大小,也就是種群可能在有限區(qū)域上消失.基于以上原因,本文引入自由邊界問(wèn)題來(lái)描述種群的擴(kuò)張過(guò)程,自由邊界的引入成功地避開(kāi)了上述缺陷,能夠使我們更好的利用數(shù)學(xué)模型描述種群的發(fā)展動(dòng)態(tài).自由邊界問(wèn)題在科學(xué)、工程及工業(yè)生產(chǎn)中有著廣泛的應(yīng)用,例如:美式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題、凝結(jié)血管附近肌肉中氧氣的減少、傷口愈合、種群遷徙問(wèn)題等.2007年,Lin[7]研究了一類具有自由邊界的兩種群捕食模型,證明了古典解的存在唯一性,結(jié)果表明,所研究的問(wèn)題是適定的,捕食者在有限時(shí)間內(nèi)擴(kuò)散到整個(gè)研究區(qū)域.2010年,Du等[8]研究了在一維空間中具有自由邊界擴(kuò)散的Logistic模型,證明了該模型傳播-消失的二擇一性質(zhì),即該種群要么進(jìn)入到新環(huán)境并穩(wěn)定在平衡狀態(tài),要么無(wú)法生存最終死亡,此外,當(dāng)傳播發(fā)生時(shí),擴(kuò)張前沿會(huì)以恒定的速度移動(dòng),這種擴(kuò)張速度是由原始模型推導(dǎo)出的橢圓問(wèn)題唯一決定的.2011年,Du等[9]在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上研究了在高維空間中具有自由邊界擴(kuò)散的Logistic模型,證明了傳播-消失二擇一性質(zhì).此外,當(dāng)傳播發(fā)生時(shí),得到傳播速度的上確界和下確界,當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí),這兩個(gè)界限接近于某個(gè)常數(shù).更多的模型可參見(jiàn)文獻(xiàn)[10-16].受以上研究工作的啟發(fā),本文討論了如下具有毒素影響的單種群模型的高維球?qū)ΨQ情形的自由邊界問(wèn)題:

(1)

(2)

生物體內(nèi)與環(huán)境中毒素的濃度c0,ce從系統(tǒng)(1)中解得

[(s-t)(g1+m)]dτ,

并且滿足

0≤c0(t)≤1,0≤ce(t)≤1,0≤t<+∞.

1 局部解的存在唯一性

在這一部分,本文運(yùn)用壓縮映像原理來(lái)證明問(wèn)題(1)的局部球?qū)ΨQ解的存在唯一性.

定理1.1對(duì)滿足式(2)的任意u0以及α∈(0,1),存在T>0使得問(wèn)題(1)存在唯一解

(u,h)∈C(1+α)/2,1+α(DT)×C1+α/2([0,T]),

并且

‖u‖C(1+α)/2,1+α(DT)+‖h‖C1+α/2([0,T])≤C,

(3)

其中:DT={(t,r)∈R2∶t∈[0,T],r∈[0,h(t)]},C和T僅僅依賴于h0,α及‖u0‖C2([0,h0]).

證明類似于文獻(xiàn)[17],首先作變換將自由邊界拉直,令ζ(s)∈C3[0,+∞)滿足

作變換

(4)

由式(4)得到

(t,s)→(t,r),r=s+ζ(s)(h(t)-h0),0≤s<+∞,

而且

只要

上述變換x→y是從RN到RN的微分同胚,而s→r是從[0,+∞)到[0,+∞)的微分同胚.顯然,上述變換將自由邊界|x|=h(t)分別變成固定球面|y|=h0.直接計(jì)算得

如果令

u(t,r)=u(t,s+ζ(s)(h(t)-h0))=w(t,s),

則

ut=wt-h′(t)C(h(t),s)ws,

urr=A(h(t),s)wss+B(h(t),s)ws,

所以自由邊界問(wèn)題(1)轉(zhuǎn)化為

(5)

其中：A=A(h(t),s),B=(h(t),s),C=C(h(t),s),D=D(h(t),s).

VT={w∈C([0,T]×[0,h0])∶w(0,s)=u0(s),‖w-u0‖C([0,T]×[0,h0])≤1},

HT={h∈C1([0,T])∶h(0)=h0,h′(0)=h*,‖h′-h*‖C([0,T])≤1}.

注意到對(duì)h1,h2∈HT,由于h1(0)=h2(0)=h0,有

(6)

因此∑T∶=VT×HT在距離

d((w1,h1),(w2,h2))=‖w1-w2‖C([0,T]×[0,h0])+

是完備的度量空間.

接下來(lái)將運(yùn)用壓縮映像原理[18]證明解的局部存在唯一性.首先,對(duì)任意給定的(w,h)∈VT×HT,根據(jù)T的選擇,有

因此變換(t,r)→(t,s)的定義是合理的.根據(jù)拋物方程標(biāo)準(zhǔn)的Lp理論以及Sobolev嵌入定理可知,對(duì)于任意的(w,h)∈∑T,下列初邊值問(wèn)題

(7)

C1,

(8)

定義

(9)

有

(10)

定義映射F∶∑T→C([0,T]×[0,h0])×C1([0,T])如下

顯然,(w,h)∈∑T是F的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)(w,h)是問(wèn)題(5)的解.

由估計(jì)式(8)和(10),有

根據(jù)拋物方程的Lp估計(jì)以及Sobolev嵌入定理,得到

C3(‖w1-w2‖C([0,T]×[0,h0])+‖h1-h2‖C1([0,T])),

(11)

(12)

聯(lián)立不等式(6),(11),(12),并假設(shè)T≤1,得到

其中C4依賴于C3和μ.于是對(duì)

有:

因此,對(duì)于這樣的T,F就是一個(gè)壓縮映射.故由壓縮映像原理知F有唯一的不動(dòng)點(diǎn)(w,h)∈∑T滿足F(w,h)=(w,h).這說(shuō)明(w,h)是問(wèn)題(5)的唯一解,也就是說(shuō),(u,h)是問(wèn)題(1)的唯一解,并且由Schauder估計(jì),可以提高此解的正則性

u∈C1+α/2,2+α((0,T]×[0,h0]),h(t)∈C1+α/2((0,T]),

換言之,(u(t,r),h(t))是問(wèn)題(1)唯一的局部古典解.故定理得證.

2 爆破解

根據(jù)定理1.1,存在T使得問(wèn)題(1)的解在[0,T]存在且唯一,且解的區(qū)間可延拓到[0,Tmax),其中Tmax=Tmax(u0)∈(0,+∞]為解的最大存在時(shí)間,為了得到解的爆破結(jié)果,首先建立下面引理.

引理2.1設(shè)(u,h)為問(wèn)題(1)在t∈(0,T0)的解,且在(0,T0)×[0,h(t))上成立u(t,r)≤M1,其中T0∈(0,+∞],則存在于T0無(wú)關(guān)的常數(shù)M2使得

0

證明應(yīng)用Hopf引理,得到

再結(jié)合Stefan條件,可推出問(wèn)題(1)的自由邊界的單調(diào)性

接下來(lái)證明h′(t)≤M2.對(duì)任意t∈(0,T0)成立,其中M2與T0無(wú)關(guān).為此定義

ΩM∶={(t,x)∶h(t)-M-1

并構(gòu)造如下輔助函數(shù)

w(t,r)∶=M1[2M(h(t)-r)-M2(h(t)-r)2],

選取M使得w(t,r)≥u(t,r)在ΩM中成立.

當(dāng)(t,r)∈ΩM時(shí),直接計(jì)算得

wt=2M1Mh′(t)[1-M(h(t)-r)]≥0,

wr=-2M1M[1-M(h(t)-r)]≤0,

wrr=-2M1M2,

u(a-bc0-cu)≤aM1.

wt-dΔw≥2dM1M2≥aM1≥u(a-bc0-cu).

此外

w(t,h(t)-M-1)=M1≥u(t,h(t)-M-1),w(t,h(t))=0=u(t,h(t)).

由于

所以w(0,r)≥u0(r),對(duì)w-u在Ω上應(yīng)用極值原理可得u(t,r)≤w(t,r),(t,r)∈Ω,進(jìn)而

故引理得證.

定理2.1問(wèn)題(1)的解存在且唯一,并且可以延拓到[0,Tmax),其中Tmax≤∞.如果Tmax<∞,則有下列關(guān)系成立

此時(shí),稱u(t,r)在有限時(shí)刻爆破.

證明運(yùn)用Zorn引理并根據(jù)唯一性可知,存在Tmax使得[0,Tmax)為解的最大存在區(qū)間.由定理1.1可知Tmax>0.因此,只需證明當(dāng)Tmax<∞時(shí),有

用反證法證明.假設(shè)Tmax<∞,由引理2.1可知存在不依賴Tmax的M1和M2使得對(duì)于(t,r)∈[0,Tmax)×[0,h(t)],有

0≤u(t,r)≤M1,h0≤h(t)≤h0+M2t,0≤h′(t)≤M2.

‖u(t,·)‖C2([0,h(t)])≤M3,t∈[δ0,Tmax).

3 小結(jié)

本文主要研究了一類具有毒素作用的高維情形下的種群模型的自由邊界問(wèn)題,所研究的區(qū)域是徑向?qū)ΨQ的.隨后給出了此類問(wèn)題解的性質(zhì),即初值充分大時(shí),解在有限時(shí)刻爆破一定發(fā)生.通過(guò)加入毒素對(duì)種群的影響,推廣了一般的具有毒素作用和自由邊界的生物種群模型.