王會軍

（廣東省深圳市寶安區(qū)興圍小學）

在數(shù)學學習過程中，學生有時候會因為誤看、誤抄、誤算、遺漏、混淆、思路偏差等原因而出現(xiàn)差錯。這些差錯可歸納為動口表達錯誤、動手操作錯誤、動筆練習錯誤及其它錯誤。學生在學習中出現(xiàn)錯誤是正常的，引導學生分析解決數(shù)學錯誤是非常有意義的。正如聯(lián)合國教科文組織第十九次國民教育國際會議資料中指出：“教師應當利用學生所犯的錯誤來促進他們加深對數(shù)學要素和規(guī)律的理解”“在學生檢查和改正自己錯誤的實踐中進行練習”。而當前使用的北師版小學數(shù)學教材中編有許多預設典型錯例，值得教師認真研究。在利用這些預設典型錯例進行教學時，教師首先需要指導學生正確對待數(shù)學錯誤；其次，要引導他們產(chǎn)生分析數(shù)學錯誤、解決數(shù)學錯誤的需要；再次，要引導他們形成合理的知識方法構(gòu)架和思維方式；最后，要幫助他們養(yǎng)成評析改錯的習慣。

一、教材預設典型錯例的含義與分布

（一）教材預設典型錯例的含義

教材預設典型錯例是特指北師版小學數(shù)學教材在新授環(huán)節(jié)的問題串或“試一試”中專門預設的與教學內(nèi)容同步的錯題。這些錯題的設計意圖旨在幫助學生突破學習中的重點和難點。這些錯例的設計形式一般是圍繞專門的知識點、思維方法去辨析和改錯。同時，教材還在練習中預設了專門的改錯題供學生辨析和訓練，目的是使他們內(nèi)化知識和方法。這種在教材中預設典型錯例的方式，改變了以往數(shù)學教材中僅提供正例的情形，讓學生學會從正例、反例兩個方面去對比理解、糾錯明理、強化學習，促使學生習得正確的知識經(jīng)驗、思想方法，發(fā)展了思維能力。

（二）教材預設典型錯例的分布

當前使用的北師版小學數(shù)學教材預設的典型錯例主要分布在數(shù)與代數(shù)領域、圖形與幾何領域，從例子到習題配有相關的數(shù)學錯題，供師生研究學習，辨析理解，強化運用。除一年級上冊沒有預設數(shù)學錯題外，從一年級下冊至六年級下冊在新授環(huán)節(jié)的問題串或“試一試”中安排了15處數(shù)學典型錯例，并特地在二年級下冊第五單元“加與減”中“算得對嗎”的“試一試”環(huán)節(jié)，安排了錯題評析課“錯在哪里？算一算，說一說。說一說，減少計算錯誤有什么好方法？”指導學生分析數(shù)學錯題，查找數(shù)學錯誤原因，采取合適方法解決計算錯誤；從一年級下冊至六年級下冊在整理與復習、總復習單元共安排了12處“把你經(jīng)常出錯的題目寫下來，說一說計算中應該注意什么”“整理自己經(jīng)常做錯的題，說一說整數(shù)乘除計算中應該注意什么”引導學生學會整理錯題，分析解決數(shù)學錯誤；從一年級下冊到六年級下冊的練習中共安排了36處“森林醫(yī)生”改錯題和3處如“讀一讀淘氣的日記，把不合理的地方改正過來”。其它類型的改錯題，教材中一共安排有66處典型錯例，其中一年級10處，二年級10處，三年級21處，四年級9處，五年級10處，六年級6處。這是從教材的角度啟示師生應重視數(shù)學錯題，分析解決數(shù)學錯誤，提高評析改錯能力和正確解決問題的能力。

二、教材預設典型錯例的教學價值

皮亞杰關于學習的原理指出：“錯誤是有意義學習所必需的?！蹦暇煼洞髮W鄭毓信教授也說：“現(xiàn)代教學思想的一個重要內(nèi)容，認為學生的錯誤不可能單獨依靠正面的示范和反復的練習得以糾正，必須是一個自我否定的過程?！蔽覀円缅e題幫助學生在自我否定中找到錯誤產(chǎn)生的原因，使他們學會不斷進行自我糾正，主動建構(gòu)知識方法，不斷提升思維能力。

（一）貼近學生實際，產(chǎn)生學習共鳴

當前教材中預設的錯例主要來源于學生實際學習時所產(chǎn)生的數(shù)學錯誤作品，是站在兒童的視角，在尊重學情的基礎上選編的。在利用教材預設典型錯例教學時，學生往往會在心理產(chǎn)生共鳴“開始我也是這樣想的，后來發(fā)現(xiàn)是錯誤的”“這樣的錯誤提醒我要細心計算”“以后我不要再犯這樣的錯誤”等。通過錯例，要引導學生明白在學習上犯錯是正常的，要從心理上接受錯誤，促使自己明確要有分析錯誤、改正錯誤的責任。

如一年級下冊第五單元“加與減”第57頁“收玉米”兩位數(shù)加兩位數(shù)不進位加法第3問（如圖1）：

圖1

二年級下冊第五單元“加與減”第53頁“小蝌蚪的成長”三位數(shù)減三位數(shù)退位減法第3問（如圖2）：

圖2

他們做得對嗎？和同伴說一說。

學生在觀察思考、交流分析中有這樣的總結(jié)：“我是把寫字時從左往右寫的習慣用來列加減法豎式，左邊先對齊”“我列豎式是對的，但是計算時卻粗心地把減號看成加號，加號看成減號了”“我在退位減時快了，沒有把借走的1拿走再減”等。這些與學生實際相貼近的錯誤，引發(fā)他們感覺到這些錯誤似曾相識，進一步明確了加減法計算時應該是“先對齊數(shù)位，從個位加（減）起”，計算時細心很重要，要減少錯誤等。

（二）觸發(fā)思維碰撞，促進知識生長

學生的學習錯誤主要產(chǎn)生在新舊知識連接點、生長點處。一般會在遇到認知沖突，在思維方法上遇到障礙時產(chǎn)生。教材預設選取了相關的錯例，目的是讓學生在碰撞中分析思考，領悟新的知識。如三年級上冊第一單元“混合運算”第8頁“過河”小括號第2問（如圖3）。

圖3

通過對話，笑笑指出淘氣的想法應該是先算加法，再算除法，但淘氣列的橫式卻是先算除法，再算加法，兩者相矛盾。

而原有的運算符號、順序符號和運算順序都不能解決這一問題。此時，淘氣、笑笑充分體會到小括號產(chǎn)生的必要性，自然在“智慧老人”的講解和數(shù)學史話介紹中，形成第二種正確的解法利用小括號來幫忙解決，符合解題思路——先算出一共有多少人去坐大船，再算總?cè)藬?shù)里有多少個9人，也就是要用多少條大船。觸發(fā)了學生在新知識方法的形成過程中理解小括號、理解有小括號的運算順序。

（三）呈現(xiàn)多元思考，掌握學習方法

由于學生的認知水平、知識基礎有差異，對于同一個問題往往會有多種想法、做法，有合理的、也有錯誤的?，F(xiàn)行教材據(jù)此預設呈現(xiàn)學生多元思考的作品，從中暴露他們的差錯，引領他們在辨析中分析錯因，解決錯誤，掌握正確的學習方法。如二年級上冊第六單元“測量”第51頁“課桌有多長”厘米的認識第3問（如圖4）。

圖4

教材采用連環(huán)畫的方式呈現(xiàn)小熊用尺子測量鉛筆的四種方法，暴露學生在這一測量活動中遇到的實際問題。學生通過對比分析每種測量方法的合理性與錯誤之處，結(jié)合智慧老人的講解，明確有兩種測量長度的方法。最終發(fā)現(xiàn)這兩種方法都要關注測量的起點與終點，從而理解了所測量物體的長度正是起點與終點之間的距離差。

（四）結(jié)合講解提示，培養(yǎng)習慣品質(zhì)

在預設的典型錯例中，教材適當采用了題組方式把正例與反例放在一起，便于學生對比分析，發(fā)揮正例的正面講解與示范引領作用，理解知識方法，掌握解題思路。同時，采用智慧老人講解的方式或者以感悟語的方式，提醒學生重視培養(yǎng)認真、細心的學習品質(zhì)，養(yǎng)成檢查與驗算的良好習慣。

如六年級上冊第一單元“比例”第21頁“比例尺”第1問（如圖5）。

圖5

學生在辨析中發(fā)現(xiàn)淘氣的畫法是把三個不同的距離都用一樣長的線段來表示不合理，是反例；笑笑的畫法用1厘米長的線段表示100米，分別畫出100米、200米、300米的合理長度，是正例。正反對比，就能使學生體會到比例尺的意義。

（五）梳理算理算法，提高反思能力

為了使學生自主收集錯題，分析改正錯題，進一步理解算理算法，提高計算能力，除一年級上冊、二年級上冊兩冊教材外，其它每冊教材均在總復習的回顧與交流中拋出了一個有關收集錯題的問題。在“我的成長足跡”中分享與交流出錯的原因和減少出錯的方法等，能幫助學生培養(yǎng)整理錯題的習慣，提高評析改錯能力和反思能力，發(fā)展批判性思維能力，完善知識方法系統(tǒng)建構(gòu)。

如一年級下冊總復習第84頁第5題：把你經(jīng)常出錯的題目寫下來，說一說計算中應該注意什么。五年級上冊總復習第106頁第4題：整理自己經(jīng)常出錯的題目，說一說小數(shù)除法計算中應該注意的地方。六年級下冊總復習第72頁第5題：整理自己經(jīng)常出錯的題目，說一說計算中應該注意的地方。一年級下冊總復習第84頁：在相互啟發(fā)中找到錯因。（如圖6）

圖6

三、教材預設典型錯例教學的策略

（一）上好錯題評析課，指導學生評析改錯

教材預設的66處典型錯例中，在新授環(huán)節(jié)只呈現(xiàn)了15處?？梢姡處熢谛率趦?nèi)容時指導學生對每一處差錯進行評析改錯尤為重要，要引領學生自覺地知錯、析錯、改錯、防錯。

特別是一年級下冊第五單元“加與減（二）”第57頁“收玉米”中，兩位數(shù)加兩位數(shù)不進位加法第3問“說一說，錯在哪里？”（如圖7）

圖7

作為第一個教材預設的典型錯例，教師應認真上好這一錯例評析，指導學生在觀察、討論、評析中明確第一個豎式是方法性錯誤；第二個、第三個豎式是感統(tǒng)性錯誤。要理解相同數(shù)位上的數(shù)才能直接相加，計算時應對齊數(shù)位，理解算理與算法；要在相互交流中明確計算時應逐步養(yǎng)成認真仔細不粗心的品質(zhì)，養(yǎng)成看清運算符號與數(shù)字、注意是否進位退位的審題習慣。

同時，應認真研究并上好二年級下冊第五單元“加與減”第57頁“算得對嗎”試一試中第1問與第2問的內(nèi)容。（如圖8）這是一節(jié)專門從學生角度提供的錯題評析改錯課，教師應珍惜這一內(nèi)容的教學契機，先引領學生認真觀察加法錯題與減法錯題兩大素材，解決第1問“錯在哪里？算一算，說一說?！敝卦趲椭鷮W生找到錯誤之處，找到錯誤原因，以防止今后這些錯誤再次發(fā)生，并且明白這是一種好的學習方法。然后，小組合作交流解決第2問“說一說，減少計算錯誤有什么好方法？”讓學生進一步明確在學習過程中自我反思和對學習方法的梳理都是非常好的習慣。特別是與重復性的機械訓練相比，好方法的形成對學生長遠發(fā)展及成績的提高都更為重要。其中，智慧老人的提示既是一種學習方法的指引，又在啟示師生樹立錯誤資源意識，重視錯題研究具有重要意義。通過笑笑、淘氣與機靈狗的對話，進一步梳理運用計算法則準確進位、退位等計算方法，養(yǎng)成檢查、驗算等學習習慣和認真、細心的學習品質(zhì)，可以減少計算錯誤，提高計算能力。

圖8

由此，引發(fā)教師嘗試上好每周數(shù)學錯題評析改錯課、每單元數(shù)學錯題評析改錯課和試卷評析改錯課；觸發(fā)學生重視平時的數(shù)學錯題評析改錯，減少錯誤，提高學習質(zhì)量。

（二）比較正例與反例，確定反例錯誤之處

教材在有些新舊知識生長處、思維轉(zhuǎn)折處、理解困惑處、方法混亂處預設了由正例和反例組成的題組。這樣做，目的是讓學生對正例、反例進行比較，在辨析中確定正例，進一步清晰正例的解題思路、解題依據(jù)、掌握數(shù)學新知、理解思想方法，從而找出反例，比較反例與正例的不同，找出反例的錯誤之處、不合理之處。如三年級上冊第一單元“混合運算”第5頁“買文具”第3問（如圖9）。

圖9

在對比中發(fā)現(xiàn)，第一組算式右邊是正例、左邊是反例，第二組算式左邊是正例、右邊是反例，明確這兩個反例屬于知識性錯誤與理解性錯誤，應掌握運算順序和書寫格式，像正例一樣正確計算。

（三）找出錯誤原因，尋求解決錯誤的依據(jù)

學生找出錯例的出錯之處后，教師應進一步引導學生明確錯例的類型。要合理分析出錯的原因，主動找到正確解決錯例所要運用的數(shù)學知識方法、數(shù)學思想及思維方式等，及時改正錯誤，做到知其然更要知其所以然。如四年級下冊第三單元“小數(shù)乘法”第42頁“蠶絲”第1問（如圖10）。

圖10

這屬于理解性錯誤、方法性錯誤與思維性錯誤，在辨析中確定1.2×1.25列豎式計算是正確的，而橫式的遞等式計算主要源于學生的慣性思維：把兩個乘數(shù)1.2和1.25分別拆開用整數(shù)部分與整數(shù)部分相乘、小數(shù)部分與小數(shù)部分相乘來計算。但是，用橫式計算的結(jié)果卻與豎式計算的結(jié)果不同，可見拆數(shù)相乘有問題。這時，可以利用數(shù)形結(jié)合思想，師生動手畫出長方形面積圖進行分析，發(fā)現(xiàn)少算了1×0.2與1×0.25兩個小長方形的面積，出錯的原因是思維定勢、方法缺失、表象模糊。若利用乘法分配律擴充，把遞等式修改為1.2×1.25=1×1＋1×0.25＋0.2×1＋0.2×0.25，就能走出習慣性思維，改正錯誤，培養(yǎng)思維的準確性、嚴謹性、合理性、靈活性。

（四）培養(yǎng)良好習慣，養(yǎng)成優(yōu)秀的學習品質(zhì)

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》在第二部分課程目標里闡述：“學生要在情感態(tài)度目標中養(yǎng)成認真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質(zhì)疑等學習習慣，形成堅持真理、修正錯誤、嚴謹求實的科學態(tài)度?！爆F(xiàn)行教材在預設的6處典型錯例中安排指引學生養(yǎng)成檢查、驗算習慣；在預設的5處典型錯例中安排培養(yǎng)學生認真、細心的學習品質(zhì)。為了減少和避免數(shù)學錯誤，教師應抓住這些預設的典型錯例的教學時機，著力培養(yǎng)學生良好的數(shù)學學習習慣和優(yōu)秀的學習品質(zhì)，保障學習質(zhì)量。如四年級下冊第五單元“方程”第61頁“字母表示數(shù)”第2問（如圖11）。

圖11

“用一句話來表示數(shù)青蛙這首兒歌?！睂W生會從不同的角度用不同的方式表示，需要學生在評析中質(zhì)疑問難，理解用字母比文字表示更簡潔，相同的字母表示相同的數(shù)，不同的字母表示不同的數(shù)。要用一句話表示的話，應找到青蛙的腿數(shù)與青蛙只數(shù)之間的數(shù)量關系（倍數(shù)關系），確定第一種、第二種都不對，第三種才是合理的。學生在辨析思考、交流分享中培養(yǎng)善于思考、敢于質(zhì)疑問難的學習品質(zhì)和勇于改正錯誤的精神，養(yǎng)成了主動尋找等量關系的思維習慣，發(fā)展了代數(shù)思維。

（五）及時改正錯誤，防止類似錯誤再犯

對于教材中新授環(huán)節(jié)預設的15處典型錯例，學生找到錯誤、厘清錯因后，還應及時改正錯誤，形成正確的解答過程。同時，對于練習環(huán)節(jié)預設的36處森林醫(yī)生和3處其它類型的改錯題，學生也要在獨立思考基礎上，找準錯誤癥結(jié)，找到解決策略與依據(jù)，認真改正。從中還要檢驗學生內(nèi)化知識方法的能力，突破教學重點難點，并提醒今后不再犯類似的錯誤，提高解決問題的能力。如二年級下冊第四單元“測量”第35頁“鉛筆有多長”練一練第4題。

讀一讀淘氣的日記，把不合理的地方改正過來。

今天早晨，我從2分米長的床上爬起來，拿起1毫米長的牙刷劇完牙后，洗了洗臉，用70來長的毛巾把臉擦干，吃過早飯去上學。學校離我家不遠，大約有900毫米遠。來到學校，我坐在5米高的凳子上，拿出7厘米厚的語文書，準備開始上語文課。

這屬于理解性錯誤，淘氣對毫米、厘米、分米、米這4個長度單位的數(shù)學意義與實際意義的理解，整體上是表象模糊，沒有建立合適的標準長度單位參照物，不能靈活溝通它們之間的聯(lián)系，導致淘氣錯誤多。

我們應引領學生結(jié)合具體情境中實際物體的長度大小，選擇合適的測量單位，匹配相應的數(shù)據(jù)進行改正。如測量學校與家的路程用“米”這把尺子來度量，把900毫米改為900米，比900毫米=9分米更合適等。

（六）自主收集錯題，深入梳理算理算法

通過每冊數(shù)學總復習單元中回顧與交流預設的題目“把你經(jīng)常出錯的題目寫下來，說一說計算中應該注意什么”“整理自己經(jīng)常做錯的題目，說一說計算中應該注意的地方”“整理自己經(jīng)常做錯的題，說一說整數(shù)乘除計算中應該注意什么”“整理自己經(jīng)常出錯的題目，說一說小數(shù)計算中應該注意的地方”“整理自己經(jīng)常出錯的題目，說一說分數(shù)四則混合運算中應該注意的地方?！苯M織學生在每冊的單元整理與復習、總復習中重視自主收集數(shù)學錯題，學會歸類分析，梳理計算的道理與方法，明確注意計算的易錯處，把握計算的關鍵點，提高計算正確率。啟示學生平時應重視收集錯題，及時分析錯因，糾正錯題，可以減少錯誤，甚至避免錯誤，提高學習質(zhì)量。同時，啟示教師在平常的教學活動中及時收集學生的典型錯誤，用好差錯資源，做好錯題評析改錯，進一步明理通法，提高教學質(zhì)量。

（七）適當編制錯題，拓展其它領域錯題教學

葉圣陶先生說：“教材是一個例子?！蓖瑯?，北師版小學數(shù)學教材預設提供的這些典型錯例，也是師生進行差錯教學的好例子、好資源。我們在以教材預設的典型錯例為基礎，用好這些錯例的同時，還應從學情出發(fā)，根據(jù)學生的實際情況適當編制錯題予以補充，方便他們?nèi)嬖u析改錯，解決系列學習困惑。如四年級下冊“字母表示數(shù)”一課“用一句話表示數(shù)青蛙這首兒歌”，從學生實際出發(fā)還可以補充“幾只青蛙幾條腿”“多少只青蛙多少條腿”“幾只青蛙幾×4條腿”“1只青蛙x條腿”等，讓學生充分體會用字母表示數(shù)的簡潔性、方便性，感受抽象性與符號化。

同時，由于教材預設的66處典型錯例中有63處屬于數(shù)與代數(shù)領域，3處屬于圖形與幾何領域，而統(tǒng)計與概率領域、綜合與實踐領域均沒有提供錯例，所以實際教學中教師還有必要圍繞后兩大領域教學時，設計學生可能會出現(xiàn)錯誤的錯題，讓他們在辨析中解決錯誤，理解新知方法。而且數(shù)與代數(shù)領域中預設的63處錯例，有60處錯例是針對計算差錯來講的，只有3處錯例是側(cè)重講數(shù)學思維過程?？梢姡處熯€應該設計更多有關學生思考方法缺失、思維偏差等方面的錯題，解決學生數(shù)學學習中的核心問題、關鍵能力。如學習組合圖形時，許多學生不會自覺合理分割、填補圖形，不會找出隱含條件與對應數(shù)據(jù)進行標注，更不會用小標題方式寫出解題思路而錯誤多，因此教學中教師應出示這些差錯給予學生辨析、明理通法。

通過利用教材預設典型錯例教學，教師可以引領學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)錯誤、分析錯誤、改正錯誤、反思學習的過程。在這個過程中，要鼓勵學生樹立差錯資源意識，正視學習錯誤，養(yǎng)成及時收集、分析、處理錯題的習慣，培養(yǎng)認真、仔細、質(zhì)疑、修正的學習品質(zhì)；要讓學生從教材走向作業(yè)，從書面走向口頭，從操作走向思維，從課堂走向課外，不斷自我反思，不斷改善思維方式，學會辯證地看待問題；要提高評析改錯能力和正確分析問題、解決問題的能力，發(fā)展批判性思維能力，促進創(chuàng)新思維發(fā)展。