張立峰, 張 明

(華北電力大學 自動化系, 河北 保定 071003)

1 引 言

電容層析成像(electrical capacitance tomography,ECT)是一種基于電容傳感機制的過程層析成像技術[1～3]。ECT技術利用不同物質間相對介電常數(shù)不同的特點,通過電容傳感器和采集系統(tǒng)收集電極陣列間的電壓信號,聯(lián)合圖像重建算法計算場域內(nèi)介電常數(shù)分布,進而獲取被測截面內(nèi)多相流介質的分布情況,適合于測量各種絕緣物體組成的混合流體,如油-氣兩相流等。圖像重建即為逆問題的求解過程,是ECT技術的核心也是關鍵技術所在[4～6]。逆問題求解具有非線性和病態(tài)性,同時ECT敏感場具有“軟場“特性。因此,高質量的ECT圖像重建仍然是一個具有挑戰(zhàn)性的任務。圖像重建算法主要分為非迭代算法和迭代算法,常用的非迭代算法有線性反投影算法(LBP)和Tikhonov正則化算法,代表性的迭代類算法有Landweber迭代算法。其中LBP算法是最簡單的ECT圖像重建算法,其忽略了介質分布狀態(tài)對敏感場的影響,雖然成像速度較快,但重建圖像的精度較低；Landweber算法[7]是一種典型的迭代算法,以迭代的方式逼近求解過程,成像精度更高；Tikhonov正則化算法可有效地克服逆問題求解的不穩(wěn)定性,但經(jīng)常性地對圖像邊緣過平滑化,降低了重建圖像的分辨率。

圖像重建算法的準確性決定了ECT系統(tǒng)能否成功應用,本文構建了一種新的ECT圖像重建算法,該算法結合范數(shù)用于更好的逼近正則化最小化問題,可有效增強對測量異常值的魯棒性,且具有較快的收斂速度。仿真實驗表明,該算法可獲得更好的圖像重建效果。

2 算法原理

2.1 ECT基本原理

典型的ECT系統(tǒng)[8]包括多電極電容傳感器,數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)和成像計算機。多電極電容傳感器將材料分布的變化轉換成電極之間的電容值的變化。數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)測量電容值并將它們傳輸?shù)匠上裼嬎銠C。成像計算機通過使用適當?shù)闹亟ㄋ惴ㄖ亟ń殡姵?shù)分布(即材料分布)的圖像,并在其上顯示重建圖像。

盡管ECT圖像重建問題[9]具有非線性性質,但在實踐中,可通過離散化和線性化簡化為：

C=Sg

(1)

式中：C為N×1維的歸一化電容值矢量;S為M×N維的歸一化靈敏度矩陣;g為N×1維的歸一化介電常數(shù)矢量(即待重建圖像的灰度值矢量)。

由于可用的歸一化電容值的數(shù)量遠小于期望的像素數(shù)量,以及靈敏度矩陣S的條件數(shù)非常大,所以等式(1)的求解是一個NP問題(nondeterministic polynomial problem)。正則化是處理不適定逆問題的有效方法,其應用非常普遍。為了穩(wěn)定問題并找到有用且穩(wěn)定的解決方案,正則化方法使用有關所需解決方案的更多信息。Tikhonov正則化是最常見和眾所周知的正則化形式,它將式(1)的逆問題轉化為式(2)中描述的最小化問題[10]：

(2)

式中:λ被稱為正則化參數(shù),用于控制數(shù)據(jù)擬合項和正則化項在目標函數(shù)中的權重,當λ>0時,稱L為正則化矩陣;g0為從先驗信息中獲得的解的估計。如果將L作為單位矩陣并將g0作為零向量,則標準Tikhonov正則化的目標函數(shù)可描述為：

(3)

相應地,式(3)的標準Tikhonov正則化解如下：

g=(STS+λI)-1STC

(4)

傳統(tǒng)Tikhonov正則化方法將場域內(nèi)不同部分設置為相同的權重,但不同介質具有相異的介電常數(shù),因此可能導致圖像重建過程中丟失有用的信息。雖然其可保證重建過程的穩(wěn)定性,但由于該算法是通過平滑圖像使求解穩(wěn)定,對圖像邊緣總是過度平滑,導致重建圖像的空間分辨率較低。

2.2 優(yōu)化算法

本文基于一種新的優(yōu)化算法,構建了ECT圖像重建算法。該算法可有效減少重建過程目標有效信息的丟失,提高重建圖像的分辨率。

對于最小化問題求解,可通過重新加權的方法來解決[11～13],其一般形式可表示為：

(5)

式中:f(x)和gi(x)為任意函數(shù);x∈c為任意約束條件;hi(x)為gi(x)在域中的任意凹函數(shù)。解決式(5)所示算法的過程如下。

步驟1 初始化：D0=I;

步驟2 利用最優(yōu)解矯正x的值：

步驟4 迭代步驟2～步驟3,直至其收斂。

實際中,該算法可用來最小化lp范數(shù),l2,p范數(shù)以及很多魯棒性損失函數(shù),可用于解決ECT重建中目標函數(shù)有效值的損失。

(6)

步驟1 初始化：D為單位矩陣D=I,最大迭代次數(shù)為K;

步驟2 利用最優(yōu)解矯正w的值：

w=(STS+rD)-1STC;

步驟4 迭代步驟2～步驟3,直至其收斂。

3 仿真實驗及結果分析

3.1 仿真實驗

ECT仿真建模中采用12電極傳感器陣列,如圖1所示。實驗平臺基于Windows10操作系統(tǒng),Intel Core i5-8300H 處理器。實驗以油-氣兩相流為仿真對象,利用COMSOL 3.5a有限元仿真軟件建立6種仿真流型,其設置的原則主要考察對中心物體及多物體分布的重建效果。其中氣相及油相的相對介電常數(shù)分別設置為1和2.8,應用有限元法進行ECT正問題求解,采用單電極激勵單電極測量模式,其仿真的獨立電容測量值數(shù)目為66,再聯(lián)合Matlab編程進行圖像重建,重建圖像的像素點個數(shù)為812。

圖1 12電極ECT傳感器Fig.1 12 Electrode ECT sensor

根據(jù)實驗條件,使用LBP算法,Landweber迭代算法,Tikhonov正則化算法和本文構建的優(yōu)化算法進行ECT圖像重建,對不同重建結果進行對比,重建圖像如圖2所示。

圖2 重建圖像Fig.2 Reconstructed image

圖2中Landweber迭代算法重建圖像為迭代300次所得圖像,Tikhonov正則化算法的正則化參數(shù)選取為0.005。

3.2 結果分析

流型1為中心流流型,主要考察各算法對場域中心物體的分辨能力。

由圖2可見,本文采用的優(yōu)化算法與其他算法相比,重建圖像中物體的位置、形狀及大小均為最優(yōu),表明了其對中心物體較好的成像效果；流型2至流型5為多物體分布,其中包含一個中心物體,在此種情況下,由于屏蔽作用,其他算法均很難獲得中心物體較好的重建圖像,甚至無法成像,而優(yōu)化算法可有效區(qū)分中心及邊緣物體,且其重建圖像的形狀保真度較高；流型6為多物體隨機分布流型,由于ECT系統(tǒng)的軟場效應,常用算法對此種分布重建效果不理想,不能有效區(qū)分多個物體,而采用優(yōu)化算法所得重建圖像可清晰的區(qū)分多個物體,且形狀保真度高。

針對管道中心物體及多物體分布的情況,與常用算法相比,該優(yōu)化算法具有明顯優(yōu)勢。同時,本文使用圖像相對誤差(Er)及相關系數(shù)(Cc)定量評價重建圖像質量[14]。其計算公式如式(7)和式(8)所示。

(7)

(8)

由式(7)及式(8)可見,圖像相對誤差越小,相關系數(shù)越大,表明重建圖像的精度越高,反之則越低。

計算圖2各重建圖像的圖像相關誤差及相關系數(shù),其結果分別如表1及表2所示。

表1 重建圖像的相對誤差Tab.1 Relative error of reconstructed images

表2 重建圖像的相關系數(shù)Tab.2 Correlation coefficients of reconstructed images

分析重建圖像的評價指標可知,對于流型1～6,相比于其它3種算法,優(yōu)化算法重建圖像具有更小的相對誤差和更大的相關系數(shù),算法性能提升效果明顯。

同時,本文還比較了各算法重建圖像所用時間,其結果如表3所示。

表3 重建圖像時間Tab.3 Consuming time of image reconstruction s

由表3可見,Landweber迭代算法獲得重建圖像的時間最長,比有的算法甚至高出一個數(shù)量級；LBP算法和Tikhonov正則化算法獲得重建圖像的時間較小,其原因為這兩種算法是非迭代算法,運算比較簡單。而本文采用的優(yōu)化算法,其獲得重建圖像所用時間明顯低于Landweber迭代方法,與LBP算法和Tikhonov正則化算法相比,優(yōu)化算法獲得重建圖像所用時間略高,但差別不太大,表明該算法可保證成像的實時性要求。

4 靜態(tài)實驗

使用華北電力大學電學層析成像技術研究室的數(shù)字化ECT系統(tǒng)進行了靜態(tài)實驗,研究了本文提出的優(yōu)化算法對實際物體的圖像重建效果,ECT數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)如圖3所示。被測管道是內(nèi)徑為100 mm的圓形有機玻璃管,使用有機玻璃棒和空氣模擬油-氣兩相流。

圖3 數(shù)字化ECT系統(tǒng)Fig.3 Digital ECT system

在靜態(tài)實驗中,模擬了5種流型,選取了LBP算法、Landweber迭代算法、Tikhonov正則化算法與本文提出的優(yōu)化算法分別進行圖像重建并進行分析對比,各算法重建結果如圖4所示。

圖4 靜態(tài)實驗重建圖像Fig.4 Reconstructed images of static experiment

由圖4可見,流型1為中心單物體分布,流型2至流型5為多物體分布流型,由重建結果可知,相對于其他幾種算法,采用優(yōu)化算法所得重建圖像可有效分辨物體分布,且偽影更少。尤其對于流型2及流型5這種存在中心物體的多物體分布,使用其他3種算法進行圖像重建時,中心物體重建效果差,甚至無法成像,而采用優(yōu)化算法均可得到較好的重建結果。

5 結 論

本文針對傳統(tǒng)正則化算法過平滑化導致圖像分辨率較低的問題,提出一種優(yōu)化迭代算法。該算法對場域內(nèi)中心區(qū)域、多物體及小物體介質成像的分辨能力明顯提高,同時具有較快的成像速度,既滿足了系統(tǒng)對于精度的要求,也具有良好的實時性。仿真及靜態(tài)實驗結果表明,本文使用的算法相較于其他算法得到的重建圖像精度更高,尤其是在小物體目標檢測中效果明顯,為ECT圖像重建問題提供一種可行的方法。