擺玉龍，潘星宇，段濟開，楊 陽

(西北師范大學物理與電子工程學院,甘肅 蘭州 730070)

1 引言

1971年，美籍華人蔡少棠教授根據(jù)電路理論的完備性，提出了電路中應該存在一種無源器件，它能反映磁通量與電荷之間的關系，并稱這種元件為憶阻器(Memristor)[1]，但是，憶阻器在當時并沒有引起人們的重視。直到2008年，HP公司采用納米技術成功研制了世界上首個憶阻器[2]。它的研制成功引起了社會的廣泛關注，引發(fā)了憶阻器的研究熱潮。憶阻器本質上是一個具有記憶功能的非線性電阻，文獻[3]利用電壓控制浮地阻抗電路和電流積分器設計了一種憶阻器模擬器，通過PSpice仿真發(fā)現(xiàn)它可以很好地反映憶阻器的非線性特性；文獻[4]詳細地研究了HP公司的憶阻器模型，并對P型和N型憶阻器的串并聯(lián)網(wǎng)絡進行了詳細的分析，發(fā)現(xiàn)當2個參數(shù)對偶的憶阻器串聯(lián)時呈現(xiàn)線性特性，但仍保持記憶特性。正是由于憶阻器具有非線性和記憶2個特性，使得憶阻器在阻變存儲器[5,6]、現(xiàn)場可編程邏輯門陣列[7]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡[8 - 10]、混沌系統(tǒng)[11 - 14]、圖像處理[15,16]和語音處理[17]等領域中發(fā)揮著越來越重要的作用。

近些年來，混沌系統(tǒng)的分析與設計正在穩(wěn)步快速發(fā)展，除了經(jīng)典的Lorenz系統(tǒng)[18]、Chen系統(tǒng)[19,20]和Chua系統(tǒng)[21]等外，一些新的混沌系統(tǒng)[22,23]也相繼被提出。這些系統(tǒng)一般都是通過增加或者改變系統(tǒng)的乘積項來實現(xiàn)的，但是在通信加密領域，動力學行為越復雜的混沌系統(tǒng)加密性能越好，抗破譯能力越高。為了滿足這方面的需求，研究者們采用經(jīng)典的反饋控制法來設計更復雜的混沌系統(tǒng)。常用的反饋方式有線性反饋和非線性反饋，其中非線性反饋的復雜程度強于線性反饋。然而，傳統(tǒng)的非線性反饋都采用的是四象限乘法器和運算放大器等元件與電阻、電容和電感配合實現(xiàn)，該方法設計的電路比較復雜，實現(xiàn)較困難。而憶阻器本身就是一種無源的非線性元件，這使得混沌系統(tǒng)的設計難度大大降低，再加上它對流過的電流具有記憶功能，這也是常規(guī)元件所不具備的性能。

由于憶阻器的實際物理模型還難以實現(xiàn)，對它的研究主要是在理論模型上，一般來說，其模型主要有2類：一種是三次光滑模型，另一種是分段線性模型。文獻[15]提出了一種基于雙曲正弦函數(shù)的憶阻器模型，分析了電壓與流經(jīng)其2端電流的關系特性，發(fā)現(xiàn)該模型具有憶阻特性。本文利用該模型，采用正反饋設計了一個四維的具有4個翅膀的憶阻混沌系統(tǒng)，通過數(shù)值仿真實驗繪制了系統(tǒng)各個平面的相圖、Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖等，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動力學特性做了詳細的分析，最后利用FPGA與數(shù)模轉換器(DAC)設計了電路，利用數(shù)字示波器觀察其結果與數(shù)值結果基本一致。

2 雙曲正弦憶阻模型

本文采用的憶阻器模型為文獻[15]提出的雙曲正弦函數(shù)磁控憶阻器，如式(1)所示:

(1)

其中，φ為磁通量，q(φ)為電荷，W(φ)為憶導。對該模型施加了一個正弦電壓作為激勵，利用四階龍格庫塔算法求解該模型得到其伏安特性曲線，如圖1所示，發(fā)現(xiàn)該模型所得到的電壓與電流關系為一條斜“8”字形類緊磁滯回線，其結果與文獻[2，15]中描述的電壓電流關系基本一致。

Figure 1 V-A relationship of memristor圖1 憶阻器V-A關系

3 四翼憶阻混沌模型

本文提出的憶阻混沌系統(tǒng)是在一個三維混沌系統(tǒng)的基礎上通過添加一個憶阻器作為正反饋項來實現(xiàn)，具體模型如式(2)所示:

(2)

其中x,y,z和u為系統(tǒng)的狀態(tài)變量;W(φ)=cosh(ηu);α,β,γ,σ和η為系統(tǒng)參數(shù)。選取系統(tǒng)的初始條件為x0= 0.1,y0= 0,z0= 0.1,u0= 0，仿真步長為0.001，采用四階龍格庫塔算法對該系統(tǒng)進行數(shù)值實驗發(fā)現(xiàn)，當α=10，β=28，γ=20，η=0.2時，系統(tǒng)存在一個吸引子，該吸引子在x-y,x-z,y-z和z-u平面的投影如圖2所示。

Figure 2 Chaotic attractor圖2 混沌吸引子

當初始值發(fā)生微小的改變時，仿真之后發(fā)現(xiàn)混沌現(xiàn)象消失，不存在混沌吸引子。當系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時，系統(tǒng)的穩(wěn)定性和運動狀態(tài)等特征也隨之變化，這就是混沌系統(tǒng)對于初始值和初始條件的高度敏感性。為了研究系統(tǒng)的特征，本文將對該系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動力學特性進行分析。

3.1 系統(tǒng)特性分析

(1)耗散性。

系統(tǒng)的散度如式(3)所示:

(3)

當α=11，γ=20時，▽V= -30<0，因此該系統(tǒng)為耗散系統(tǒng)，即系統(tǒng)整體是穩(wěn)定的且相體積會以一定的速率收縮，最終達到平衡態(tài)。

(2)平衡點與穩(wěn)定性。

(4)

則平衡點集A的特征方程如式(5)所示:

λ[λ3+(α+γ-σ)λ2+

(αγ-σ(α+γ))λ-αγσ]=0

(5)

由式(5)得到系統(tǒng)有一個特征值λ1=0，還有3個非0特征值分別為：λ2=1，λ3=-11，λ4=-20，相應的特征向量為e1=[0,0,0,1],e2=[0,1,0,0],e3=[1,0,0,0],e4=[0,0,1,0]。根據(jù)特征值與特征向量，系統(tǒng)在x方向上不穩(wěn)定，在y方向和z方向上穩(wěn)定，在z-u方向上系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，平衡點E為鞍點。也就是說系統(tǒng)相軌跡在x方向發(fā)散，y和z方向收斂的共同作用下，出現(xiàn)了如圖2所示的混沌吸引子。

3.2 動力學特性分析

為了進一步研究系統(tǒng)復雜的行為，對其進行動力學分析。

(1)Lyapunov指數(shù)。

混沌對初值具有高度敏感性，為了反映其對初值的敏感程度，采用Lyapunov指數(shù)來描述它。Lyapunov指數(shù)反映了動力學系統(tǒng)相空間中軌跡的整體行為，也就是說只要系統(tǒng)存在一個正的Lyapunov指數(shù)，系統(tǒng)中任何相鄰的2條軌道必然會以指數(shù)速率分離而進入混沌狀態(tài)，因此，通過計算該指數(shù)可以判斷系統(tǒng)是否為混沌系統(tǒng)，其定義如式(6)所示:

(6)

其中,δxi(0)為t=0時相鄰2條軌道的差，LEi表示第i個坐標方向的Lyapunov指數(shù)。保持系統(tǒng)參數(shù)不變，利用Wolf方法[16]計算系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)為LE1=0.4384,LE2=0.0364,LE3=0.0299,LE4=-30.4449。發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在正的Lyapunov指數(shù)，表明系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，且LEall=-30<0,說明該系統(tǒng)的相體積整體上是收斂的，這與前面提到的系統(tǒng)散度的結論一致，即系統(tǒng)整體穩(wěn)定。固定其他參數(shù)不變，選取σ∈(0,13),步長為0.013，時間步長為0.5 s,時間為100 s,初始值設為(0.1,0,0.1,0)時，Lyapunov指數(shù)譜和z平面的分岔圖分別如圖3和圖4所示。

Figure 3 Lyapunov vs. parameter σ圖3 參數(shù)σ變化時的Lyapunov指數(shù)

Figure 4 Bifurcation diagram of parameter σ vs. variable z圖4 z變量隨參數(shù)σ變化的分岔圖

對比發(fā)現(xiàn)，Lyapunov指數(shù)圖與分岔圖基本保持一致。當σ=0時，最大Lyapunov指數(shù)為負，此時系統(tǒng)做周期運動；當σ∈(0,7.748)時，系統(tǒng)由周期運動進入混沌狀態(tài)，在此區(qū)間內系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)均為正；當σ∈(7.748,13)時，2個Lyapunov指數(shù)等于0，2個Lyapunov指數(shù)小于0，系統(tǒng)進入擬周期運動狀態(tài)，即出現(xiàn)極限環(huán)。分別取σ為0,7,9,12時，系統(tǒng)在y-z平面的投影如圖5所示。

Figure 5 y-z plan phase spectrum of parameter σ圖5 參數(shù)σ變化時y-z平面相圖

可以看到，當σ取0時，系統(tǒng)為周期運動；當σ取7時，系統(tǒng)進入混沌狀態(tài)；當σ取9和12時，系統(tǒng)由混沌退化到極限環(huán)，其結果與Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖的結果一致。

4 FPGA實現(xiàn)

本文設計的混沌系統(tǒng)基本原理如圖6所示，利用FPGA定制一個32位的軟核CPU NIOS II,通過Avalon總線與片上外設的IP核進行數(shù)據(jù)交換；DAC的IP核驅動DAC輸出混沌信號；ROM IP驅動Flash芯片保存程序代碼；RAM IP驅動外部的SDRAM保存運算過程中的臨時數(shù)據(jù)；PLL IP將外部晶振提供的50 MHz時鐘倍頻為2路相位相差-75度的100 MHz時鐘，一路作為CPU時鐘送至NIOS II,另一路作為存儲器時鐘送至外部SDRAM；JTAG IP用來下載和調試程序。選用的FPGA為Altera公司的Cyclone IV EP4CE6F- 17C8N芯片，DAC選用德州儀器的程控12位雙通道TLC5618A,開發(fā)環(huán)境為英特爾的Quartus Prime 18.0，軟核與片上IP采用Platform Designer開發(fā)，其中NIOS II CPU類型設置為Float型，其內部集成了硬件乘法器，有利于提高運算速度。

Figure 6 Schematic of FPGA chaotic system圖6 FPGA混沌系統(tǒng)原理圖

考慮到龍格庫塔算法會占用FPGA大量的邏輯資源，因此選用歐拉算法來減小運算量，對系統(tǒng)式(2)進行離散化得到式(7)：

(7)

其中,h=0.001為步長。將式(7)轉化為C代碼，經(jīng)過編譯、綜合、分配引腳后，下載至FPGA，最后通過數(shù)字示波器得到系統(tǒng)的時域波形圖和x-z平面的相圖分別如圖7和圖8所示?？梢钥吹皆摻Y果與數(shù)值結果基本一致。

Figure 7 Time domain wave form on the oscilloscope圖7 示波器時域波形圖

Figure 8 x-z plane phase diagram on the oscilloscope圖8 示波器x-z平面相圖

5 結束語

本文基于雙曲正弦函數(shù)的憶阻器模型作為正反饋設計了一種新的憶阻混沌系統(tǒng)。通過數(shù)值仿真發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)出現(xiàn)4個翅膀的混沌吸引子，接著對系統(tǒng)的耗散性、平衡點和穩(wěn)定性進行分析，發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)為耗散系統(tǒng)且只有一個平衡點，且該點為鞍點，由于系統(tǒng)在平衡點處不穩(wěn)定而出現(xiàn)了混沌吸引子，為此對系統(tǒng)進行了動力學特性分析，研究了系統(tǒng)隨著參數(shù)變化時其運動形態(tài)的變化情況。最后，利用FPGA設計了混沌電路系統(tǒng)，驗證發(fā)現(xiàn)其結果與數(shù)值結果基本一致。