王洪濤，李占賢

(1.華北理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 唐山 063210；2.河北省工業(yè)機(jī)器人產(chǎn)業(yè)研究院，河北 唐山 063010)

引言

平面并聯(lián)五桿機(jī)構(gòu)[1]是一種結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，并可適用于復(fù)雜惡劣應(yīng)用環(huán)境的并聯(lián)機(jī)構(gòu)。它具有剛度大，可實(shí)現(xiàn)復(fù)雜運(yùn)動(dòng)軌跡、承載能力強(qiáng)等特點(diǎn)，在并聯(lián)和混聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)中得到廣泛應(yīng)用。

在平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)中，尤其是平面五桿機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)，目前以基于工作空間的圖解法為主,解析法的應(yīng)用相對(duì)較少。在工程應(yīng)用越來越多的高速運(yùn)動(dòng)環(huán)境中，對(duì)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)特性及機(jī)構(gòu)慣量等要求越來越高，使得圖解法求解精度較低，不能同時(shí)滿足多目標(biāo)參數(shù)設(shè)計(jì)的缺點(diǎn)越發(fā)明顯。解析法求解精度高，但需要大量的數(shù)學(xué)運(yùn)算支持，這就使得可以快速得到機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)的解析算法需求越發(fā)突出。

平面連桿機(jī)構(gòu)的諧波特征參數(shù)方法是借助傅里葉級(jí)數(shù)理論，將連桿機(jī)構(gòu)輸出運(yùn)動(dòng)采用傅里葉級(jí)數(shù)方法進(jìn)行描述[2]。在此基礎(chǔ)上，借助快速傅里葉變換等數(shù)學(xué)工具，對(duì)連桿機(jī)構(gòu)需要輸出的諧波特征參數(shù)進(jìn)行分析，找到機(jī)構(gòu)諧波特征參數(shù)與平面機(jī)構(gòu)尺寸之間的關(guān)系，從而得到基于連桿機(jī)構(gòu)輸出特征參數(shù)進(jìn)行尺寸綜合的一般方法。

遺傳優(yōu)化算法是一種基于生物自然選擇與遺傳機(jī)理的隨機(jī)與優(yōu)化方法，在1950年代被提出后，鑒于其在求解復(fù)雜優(yōu)化問題中的良好適應(yīng)性，在工業(yè)設(shè)計(jì)領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用。 Deb等人提出NSGA-II(Non-dominated Sorting Genetic Algorithm 2)后，因其簡(jiǎn)單、高效、解集收斂性好等優(yōu)點(diǎn)，在多目標(biāo)優(yōu)化領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用。 孔民秀等[3]針對(duì)高速高加速度的平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，基于NSGA-II算法來求解多目標(biāo)優(yōu)化問題，進(jìn)行尺度綜合，提升了機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性能。Baviskar等[4]提出了2種基于漸進(jìn)式步長(zhǎng)機(jī)制的算法，并與非支配排序遺傳算法的搜索方式相結(jié)合，通過控制步長(zhǎng)和分割數(shù)目等參數(shù)，在子代中生成更好的染色體，實(shí)現(xiàn)了快速收斂。李新超等[5]針對(duì)NSGA-II算法中非支配排序耗時(shí)多的問題，提出了偏好順序淘汰的算法，減少了參與非支配排序解的數(shù)量,進(jìn)而減少了求解時(shí)間，降低了偏好評(píng)價(jià)結(jié)果較差的個(gè)體解被選中后再進(jìn)行交叉、變異的概率，提高了算法效率。

多目標(biāo)遺傳優(yōu)化算法滿足了多參數(shù)設(shè)計(jì)的要求，適用于求解較復(fù)雜的優(yōu)化問題，但仍存在收斂速度慢、局部搜索能力不強(qiáng)、易陷入局部最優(yōu)解等問題，不易得到穩(wěn)定的全域最優(yōu)解，且對(duì)算法初值敏感，對(duì)算法初值的依賴性較強(qiáng)。針對(duì)平面并聯(lián)五桿機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)問題，采用多目標(biāo)遺傳算法計(jì)算最優(yōu)解，算法初值問題是決定算法效率的重點(diǎn)。但在實(shí)際應(yīng)用中，算法初值是不易確定的，造成了算法效率不高、收斂速度慢等問題。該項(xiàng)研究采用遺傳優(yōu)化算法與諧波特征參數(shù)法相結(jié)合的方法，主要解決遺傳算法的初值問題、在初代搜索盲目、算法收斂速度慢的問題。

1平面五桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)通用方程

平面五桿機(jī)構(gòu)的諧波參數(shù)設(shè)計(jì)方法[6，7]，是在已知機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)軌跡的情況下，無需建立特征庫及其他參數(shù)，用解析的方法來計(jì)算出符合目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡特征的機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)。諧波參數(shù)法分析中，可將平面五桿機(jī)構(gòu)分解為2個(gè)二自由度的開鏈機(jī)構(gòu)，即CBA和CDE在鉸點(diǎn)C處結(jié)合而成，可分解成2個(gè)鉸鏈二桿組進(jìn)行分析，如圖1所示。

圖1 平面五桿機(jī)構(gòu)二桿組示意圖

如機(jī)構(gòu)在平面內(nèi)向兩側(cè)方向運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)稱，則兩側(cè)桿組參數(shù)一致，只需計(jì)算其中一側(cè)桿組的參數(shù)即可。由諧波參數(shù)法的機(jī)構(gòu)軌跡綜合設(shè)計(jì)方程[2]有：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

式中，j=0，1，…，n，j≠k,m2=0，±1，…，±k, …，±(n-j)

2五桿機(jī)構(gòu)參數(shù)計(jì)算

確定五桿機(jī)構(gòu)中C點(diǎn)的目標(biāo)軌跡，并將目標(biāo)軌跡根據(jù)實(shí)際需要離散為若干個(gè)點(diǎn)，將C點(diǎn)位于坐標(biāo)系中的位置采用傅里葉形式表示。然后利用諧波參數(shù)法將C點(diǎn)目標(biāo)軌跡中離散后的點(diǎn)計(jì)算得到目標(biāo)軌跡點(diǎn)的諧波參數(shù)。將計(jì)算所得到的設(shè)計(jì)參數(shù)帶入平面五桿機(jī)構(gòu)綜合設(shè)計(jì)方程中，得到符合機(jī)構(gòu)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡的桿組設(shè)計(jì)參數(shù)。

3 NSGA-II多目標(biāo)遺傳算法

NSGA-Ⅱ算法是在第一代非支配排序遺傳算法(NSGA算法)的基礎(chǔ)上改進(jìn)而來，是在低維目標(biāo)(2-，3-目標(biāo))優(yōu)化問題中被應(yīng)用最多的多目標(biāo)遺傳算法，它主要降低了非劣排序遺傳算法的復(fù)雜性，相比NSGA算法具有運(yùn)行速度快，解集收斂性好的特點(diǎn)。針對(duì)該項(xiàng)研究的三目標(biāo)優(yōu)化問題，NSGA-II算法相對(duì)適用。

NSGA-II算法中，初值的選擇尤為關(guān)鍵，它決定了整個(gè)算法效率和計(jì)算成本。本研究根據(jù)平面五桿機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)特點(diǎn)和諧波參數(shù)法得到的設(shè)計(jì)初值，為達(dá)到提高優(yōu)化算法效率的目的，對(duì)NSGA-II算法進(jìn)行了針對(duì)性調(diào)整，具體算法過程如下：

(1)根據(jù)諧波參數(shù)法得到的平面五桿機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)參數(shù)分別生成初代個(gè)體，將初代種群擴(kuò)充至指定種群數(shù)；

(2)將個(gè)體的3個(gè)目標(biāo)參數(shù)分別計(jì)算出對(duì)應(yīng)數(shù)值解。將得到的解進(jìn)行可行性篩選，留下可行解；

(3)尋找非支配解，并進(jìn)行分層操作，將解分成若干層，進(jìn)行快速非支配排序；

(4)將父代種群和子代種群合并，生成新的父代種群；

(5)進(jìn)行實(shí)數(shù)編碼的二進(jìn)制交叉操作；

(6)進(jìn)行多項(xiàng)式變異，進(jìn)行帶有偏好性的二進(jìn)制錦標(biāo)賽選擇；

(7)計(jì)算個(gè)體擁擠度；

(8)選擇合適個(gè)體組成新的父代；

(9)循環(huán)5～8步驟，直到進(jìn)化至最大代數(shù)。

4算例

綜合平面五桿機(jī)構(gòu)[7]，使平面五桿機(jī)構(gòu)中C點(diǎn)在傳動(dòng)比為1的條件下，實(shí)現(xiàn)如圖2所示目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡。

圖2 平面五桿機(jī)構(gòu)C點(diǎn)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡

將圖2所示的點(diǎn)用諧波參數(shù)法進(jìn)行表示，然后得到目標(biāo)軌跡的諧波參數(shù)，因涉及的五桿機(jī)構(gòu)的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)稱，故傳動(dòng)比為1，根據(jù)目標(biāo)軌跡的特征，計(jì)算得到C點(diǎn)目標(biāo)軌跡的-4到4次諧波參數(shù)，如表1所示。

表1 目標(biāo)軌跡的諧波參數(shù)

將計(jì)算所得到的諧波參數(shù)帶入平面五桿機(jī)構(gòu)的綜合設(shè)計(jì)方程，可以得到符合目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡的機(jī)構(gòu)桿組設(shè)計(jì)參數(shù)，如表2所示。

表2 計(jì)算所得二桿組設(shè)計(jì)參數(shù)

將上述計(jì)算所得到機(jī)構(gòu)桿組設(shè)計(jì)參數(shù)應(yīng)用于NSGA-II算法中，生成算法的初代個(gè)體，為達(dá)到提高優(yōu)化算法效率的目的，對(duì)NSGA-II算法進(jìn)行了針對(duì)性調(diào)整，具體算法過程如下：

(1)依據(jù)表2中計(jì)算所得的4組設(shè)計(jì)參數(shù)分別生成初代個(gè)體，并將初代種群擴(kuò)充至指定種群數(shù)；

(2)將主動(dòng)臂扭矩T、主動(dòng)臂轉(zhuǎn)角A、機(jī)構(gòu)慣量IM，3個(gè)參數(shù)分別計(jì)算出對(duì)應(yīng)數(shù)值解。將得到的解集進(jìn)行可行性篩選，留下可行解；

(3)尋找非支配解，然后進(jìn)行分層操作，將解分成若干層，進(jìn)行快速非支配排序；

(4)將父代種群和子代種群合并，生成新的父代種群；

(5)進(jìn)行實(shí)數(shù)編碼的二進(jìn)制交叉操作；

(6)進(jìn)行多項(xiàng)式變異，然后進(jìn)行帶有偏好性的二進(jìn)制錦標(biāo)賽選擇；

(7)計(jì)算個(gè)體擁擠度；

(8)選擇合適的個(gè)體組成新的父代；

(9)循環(huán)5～8步驟，直到進(jìn)化至最大代數(shù)。

其中，第(6)項(xiàng)中的偏好性選擇，是根據(jù)計(jì)算所得的初值中主動(dòng)臂與從動(dòng)臂的長(zhǎng)度，在主動(dòng)臂及從動(dòng)臂之和的總長(zhǎng)度變化不超過5%的條件下，分別向增長(zhǎng)與縮短2個(gè)方向變異，如主動(dòng)臂長(zhǎng)度增加，則從動(dòng)臂長(zhǎng)度減小。

4.1 平面五桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化模型

設(shè)計(jì)變量：x、y、u、v、w，目標(biāo)函數(shù)：

(10)

約束條件：

(11)

本算例的目標(biāo)函數(shù)采用主動(dòng)臂扭矩T、主動(dòng)臂轉(zhuǎn)角A、機(jī)構(gòu)慣量IM，3個(gè)參數(shù)原因的如下：

(1) 主動(dòng)臂扭矩T：在機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)中，主動(dòng)臂扭矩值關(guān)系到驅(qū)動(dòng)電機(jī)的選取范圍問題，電機(jī)扭矩范圍又與電機(jī)的體積相關(guān)，電機(jī)體積又與兩個(gè)主動(dòng)臂間距相關(guān)，主動(dòng)臂間距與機(jī)構(gòu)的尺寸相關(guān)。所以，在五桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)中，要盡可能的降低主動(dòng)臂扭矩，以利于減小機(jī)構(gòu)的體積，并降低電機(jī)選用要求；

(2) 主動(dòng)臂轉(zhuǎn)角A：在平面五桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)重，尤其是有副桿的平面五桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)中，需要避免機(jī)構(gòu)桿組之間的干涉，這就使得主動(dòng)臂轉(zhuǎn)角范圍相較理論值相應(yīng)減小，所以在機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)是需要盡量降低主動(dòng)臂轉(zhuǎn)角范圍，在設(shè)計(jì)完成后進(jìn)行仿真確認(rèn)。同時(shí)，在高速機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)中，降低了主動(dòng)臂轉(zhuǎn)角范圍，會(huì)對(duì)機(jī)構(gòu)的響應(yīng)特性有正面影響；

(3) 機(jī)構(gòu)慣量IM：在高速運(yùn)動(dòng)環(huán)境中，機(jī)構(gòu)慣量需要滿足一定設(shè)計(jì)要求，若機(jī)構(gòu)的慣量過大，容易造成高速運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)失效。機(jī)構(gòu)慣量對(duì)機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性也有影響，在高速運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)應(yīng)用中要求機(jī)構(gòu)慣量要盡量小，以提高機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。

4.2 運(yùn)行結(jié)果

由NSGA-II算法得到的Pareto最優(yōu)解如圖3所示。

圖3 Pareto最優(yōu)解

表3 多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果

5結(jié)論

(1)將平面五桿機(jī)構(gòu)的諧波參數(shù)法與NSGA-II遺傳優(yōu)化算法相結(jié)合，對(duì)遺傳算子加入偏好性選擇，可以得到一個(gè)基于機(jī)構(gòu)工作空間，不需要設(shè)計(jì)初值的多目標(biāo)遺傳優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，既滿足了機(jī)構(gòu)高速運(yùn)動(dòng)要求，同時(shí)又滿足了機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的低扭矩要求，且滿足了平面機(jī)構(gòu)的高響應(yīng)特性要求。

(2)本設(shè)計(jì)方法所涉及的算法，根據(jù)機(jī)構(gòu)的工作空間，可以單獨(dú)計(jì)算出單個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)的范圍，以供設(shè)計(jì)者參考。使設(shè)計(jì)者在選用驅(qū)動(dòng)單元、確定機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)節(jié)拍、設(shè)計(jì)機(jī)構(gòu)強(qiáng)度等參數(shù)時(shí)提供可靠的取值范圍，還可以根據(jù)具體設(shè)計(jì)要求，指定其中某個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)的優(yōu)先級(jí)，使設(shè)計(jì)者在機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)計(jì)算中，可以根據(jù)不同設(shè)計(jì)要求采用更加靈活實(shí)用的計(jì)算模型。

(3)應(yīng)用諧波-多目標(biāo)遺傳優(yōu)化算法后，程序的運(yùn)算時(shí)間由無固定初值時(shí)，在300～400代左右收斂，運(yùn)行時(shí)間為30～40 h，對(duì)比由諧波參數(shù)法計(jì)算遺傳算法初值并生成初代個(gè)體值，對(duì)遺傳算子進(jìn)行偏好性改進(jìn)后，算法在100～150代左右收斂，運(yùn)行時(shí)間為12～18 h，算法效率可以提高50%以上。諧波-多目標(biāo)遺傳優(yōu)化算法在解決了遺傳算法的初值問題后，算法效率得到了大幅度提升，在平面五桿機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)中，提供了更為快速有效的解決方案。