汪宏宇，龔循強,2，魯鐵定，陳志平

(1. 東華理工大學(xué) 測繪工程學(xué)院，江西 南昌 330013；2. 東華理工大學(xué) 放射性地質(zhì)與勘探技術(shù)國防重點學(xué)科實驗室，江西 南昌 330013)

尾礦壩是礦山生產(chǎn)中的重要組成部分，也是礦山中潛在的重大事故源之一(魏勇等，2009；馮大福，2011；關(guān)聯(lián)合，2014；許延春等，2018)。尾礦壩承擔(dān)著囤積尾料，保證礦山正常作業(yè)并保護周邊環(huán)境的重要角色。受溫度、降雨等諸多因素的影響，尾礦壩在運作過程中會出現(xiàn)不同程度的壩體變形。當(dāng)尾礦壩變形達到一定程度時，容易引起潰壩事故，從而造成尾礦流失，嚴重破壞下游地區(qū)的生態(tài)環(huán)境，并對人民群眾的生命財產(chǎn)安全帶來極大危害(魏勇等，2009；周振民等，2012)。因此，針對尾礦壩這一安全屏障進行實時監(jiān)測，并做出有效的預(yù)報，能夠較好地保障尾礦壩的正常運作與維護。

目前，針對尾礦壩的沉降預(yù)測方法主要有曲線擬合法、馬爾科夫模型、灰色預(yù)測法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法等，其中曲線擬合法主要有指數(shù)曲線法、Logistic曲線法、三點法和雙曲線法等(龔循強等，2014；黃定川等，2016；Gong et al.，2018；Uy et al.，2018)?；疑A(yù)測法是通過對數(shù)據(jù)進行累加處理，削弱數(shù)據(jù)自身波動性的影響，以此反映數(shù)據(jù)的變化趨勢，但因其無法考慮系統(tǒng)的隨機性，在中長期預(yù)測中表現(xiàn)較差(周清等，2015；吳定邦，2017；Zhou et al.，2020)。而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有良好的自學(xué)習(xí)能力，能較為準(zhǔn)確地反映輸入與輸出變量之間的關(guān)系，擬合效果好，但其結(jié)果受原始數(shù)據(jù)精度制約，也更為復(fù)雜(He et al.，2018；薛光輝等，2019；張帆等，2019)。

雖然指數(shù)曲線法和Logistic曲線法等曲線擬合法建模過程簡單，易于操作，但是預(yù)測結(jié)果往往過分依賴于實際數(shù)據(jù)，容易陷入局部最優(yōu)(劉傳立等，2013)。尾礦壩沉降是一個復(fù)雜的過程，因此采用組合預(yù)測模型能夠改善單一預(yù)測模型的擬合效果。馬爾科夫鏈(MC)具有無后效性及不過分依賴歷史數(shù)據(jù)等特點，在多因素引起的預(yù)測中有著較好的表現(xiàn)(楊峰峰等，2019；El-Khawaga et al.，2020)。因此，筆者結(jié)合曲線擬合法與馬爾科夫鏈的特點，提出一種基于馬爾科夫鏈的曲線擬合法，以使預(yù)測方法簡單易用和提高預(yù)測精度。通過實際工程案例，與傳統(tǒng)的曲線擬合法、后向傳播(BP)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(郭昊坤等，2012；Zhang et al.，2019)和基于遺傳算法(GA)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，馮紹權(quán)等，2019)的比較分析，驗證了提出方法的準(zhǔn)確性與可靠性。

1 基于馬爾科夫鏈的曲線擬合法

1.1 曲線擬合法

本研究選取曲線擬合法中較有代表性的指數(shù)曲線法與Logistic曲線法進行擬合(張吉春等，2016)。

1.1.1 指數(shù)曲線法

指數(shù)曲線法是假定所給的時間樣本序列滿足指數(shù)函數(shù)的形式對其進行曲線擬合，其表達為：

St=(1-Ae-Bt)Sm

(1)

式中，A、B為待解算參數(shù)，Sm為最終沉降量，St為t時刻沉降量。

1.1.2Logistic曲線法

Logistic曲線模型，又稱其為Logistic生長模型，常用于表達系統(tǒng)的生長演化過程，函數(shù)曲線總體呈“S”形。Logistic曲線的“S”形能很好地表達研究對象從“出生”，到“生長”，最終“成熟”直至趨于平穩(wěn)的過程，Logistic曲線的積分公式為：

(2)

式中，a、b、c為待解算參數(shù)。

1.2 馬爾科夫修正模型

馬爾科夫鏈?zhǔn)且环N無后效性的隨機過程，具有這種未來狀態(tài)只依賴于當(dāng)前狀態(tài)的過程稱為具有馬爾科夫性質(zhì)。多數(shù)時間樣本序列都具有馬爾科夫性質(zhì)，利用這種性質(zhì)通過目標(biāo)不同的起始狀態(tài)與狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率預(yù)測未來狀態(tài)，可以提高預(yù)測模型的精度(Zhang et al.，2019)。

1.2.1 狀態(tài)空間劃分

指數(shù)曲線法、Logistic曲線法得到預(yù)測結(jié)果后，根據(jù)預(yù)測結(jié)果相對誤差的大小，將相對誤差區(qū)間劃分為n個狀態(tài)(即S1，S2,…，Sn)，其計算公式為：

(3)

(4)

式中，EVEN(·)函數(shù)是沿絕對值增大方向取最接近的偶數(shù)，ε是殘差序列，d是最大殘差與最小殘差之差。

1.2.2 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

相對誤差從Si經(jīng)k時步狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Sj的概率為(馮紹權(quán)等，2019)：

(5)

式中，Mij(k)是Si經(jīng)k時步狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Sj的次數(shù)，Mi是相對誤差在狀態(tài)Si出現(xiàn)的次數(shù)。

由轉(zhuǎn)移概率組成的矩陣稱為轉(zhuǎn)移概率矩陣，轉(zhuǎn)移概率矩陣能反映狀態(tài)一步轉(zhuǎn)移或多步轉(zhuǎn)移中的潛在規(guī)律，根據(jù)已知狀態(tài)預(yù)測未知狀態(tài)。轉(zhuǎn)移概率矩陣滿足元素非負性、并且各行元素之和為1。其矩陣形式為：

(6)

假設(shè)當(dāng)前狀態(tài)為Si，在轉(zhuǎn)移概率矩陣的第i行中，Pij為該行中的最大值，那么下一時刻狀態(tài)Sj出現(xiàn)的可能性最大，將其作為相應(yīng)的預(yù)測結(jié)果。

1.2.3 修正預(yù)測值

通過所得預(yù)測狀態(tài)區(qū)間對曲線擬合模型的預(yù)測值進行修正，選取區(qū)間中點進行計算，其公式為：

(7)

式中，f(x)為原始模型預(yù)測值，Δmax、Δmin分別為相對誤差狀態(tài)區(qū)間的上下限值。

1.3 精度評定

為了直觀反映指數(shù)曲線法、Logistic曲線法的馬爾科夫修正結(jié)果的擬合精度，采用誤差絕對值均值(mAE) 、平均絕對百分誤差(mAPE) 和均方根誤差(rMSE)作為精度評定的指標(biāo)。

mAE的計算公式為：

(8)

mAPE的計算公式為：

(9)

rMSE的計算公式為：

(10)

式中，M為樣本總數(shù)，zi為實測值，yI為預(yù)測值。

2 算例分析

本文以文獻(黃定川等，2016)中某尾礦壩的沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)為例，此尾礦壩共布設(shè)了8個水準(zhǔn)點，尾礦壩垂直沉降監(jiān)測采用水準(zhǔn)儀按一定的周期完成。本研究選取觀測數(shù)據(jù)中具有代表性的2個監(jiān)測點，即沉降量最大的A7點，沉降量最小的A1點。將這2個點前16期的沉降數(shù)據(jù)作為研究對象。將1至12期數(shù)據(jù)作為模擬數(shù)據(jù)，預(yù)測13至16期數(shù)據(jù)，4種單一預(yù)測方法的模擬值如表1所示，其誤差如表2所示。

表1 四種單一預(yù)測方法的模擬沉降值Table 1 Simulated settlement values by using four single prediction methods

表2 四種單一預(yù)測方法在模擬區(qū)間上的誤差Table 2 Errors of simulated values by using four single prediction methods

以指數(shù)曲線法預(yù)測A1點的沉降數(shù)據(jù)為例，具體介紹基于馬爾科夫鏈的曲線擬合模型的建模過程。根據(jù)指數(shù)曲線法計算出1至12期模擬值，并由式(3)將相對誤差區(qū)間劃分為4個狀態(tài)空間，即S1(-10.53%，-5.53%)、S2(-5.53%，-0.53%)、S3(-0.53%，4.47%)和S4(4.47%，9.47%)。劃分狀態(tài)后，根據(jù)式(5)和式(6)得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P。再根據(jù)第12期模擬值所處狀態(tài)為S2與一步轉(zhuǎn)移概率矩陣可判斷第13期數(shù)據(jù)最有可能處于狀態(tài)S3，即由式(7)可得第13期馬爾科夫指數(shù)曲線預(yù)測值。同理，可得第14、15和16期預(yù)測值。將建立的2種基于馬爾科夫鏈的曲線擬合法和其他4種單一預(yù)測方法的結(jié)果與實際監(jiān)測值進行比較，6種預(yù)測方法的預(yù)測結(jié)果見表3。

表3 各種預(yù)測方法的預(yù)測值Table 3 Predictive values by using various prediction methods

從表3可以看出，采用了馬爾科夫鏈的組合預(yù)測模型的預(yù)測值更接近實際監(jiān)測值，2種基于馬爾科夫鏈的曲線擬合法預(yù)測效果都要優(yōu)于單一的曲線擬合法。此外，GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測結(jié)果優(yōu)于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。為更客觀地比較曲線擬合法(即指數(shù)曲線法和Logistic曲線法)、基于馬爾科夫鏈的曲線擬合法、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測結(jié)果，分別計算各種預(yù)測方法的mAE、mAPE、rMSE，結(jié)果見表4。

表4 各種預(yù)測方法的預(yù)測精度對比Table 4 Comparison of prediction accuracy by using various prediction methods

由表4可得，基于馬爾科夫鏈的曲線擬合法和GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測精度均比其單一的傳統(tǒng)模型更好，其中MC-Logistics曲線擬合法的3個精度指標(biāo)都優(yōu)于GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，MC-指數(shù)曲線法總體上優(yōu)于GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，但A1點的rMSE指標(biāo)稍差于GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。綜合分析6種沉降預(yù)測方法可以得出，基于馬爾科夫鏈的曲線擬合法的預(yù)測值更接近于實際監(jiān)測值，精度明顯優(yōu)于單一的曲線擬合法。尾礦壩沉降是一個受多因素影響復(fù)雜過程，而馬爾科夫鏈在隨機波動大的時間序列預(yù)測中有一定的優(yōu)勢，利用這種優(yōu)勢對曲線擬合模型的預(yù)測結(jié)果進行修正，實現(xiàn)模型間的優(yōu)勢互補。進一步分析發(fā)現(xiàn)，MC-Logistic曲線擬合法在A1和A7點的兩組監(jiān)測數(shù)據(jù)中預(yù)測精度均優(yōu)于GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，mAE、mAPE和rMSE這3個精度指標(biāo)在A1點分別提高了21.239%、19.373%和13.333%，在A7點則提高了37.825%、38.274%和30.889%，可見采用馬爾科夫鏈能夠有效提高曲線擬合法的預(yù)測精度。

3 結(jié)論

為了建立尾礦壩沉降預(yù)測方法，通過分析現(xiàn)有方法的不足，結(jié)合馬爾科夫鏈優(yōu)化傳統(tǒng)曲線擬合法，提出一種基于馬爾科夫鏈的曲線擬合法，實現(xiàn)組合預(yù)測模型的優(yōu)勢互補。采用實際工程數(shù)據(jù)，進行尾礦壩沉降的模擬與預(yù)測，通過與傳統(tǒng)曲線擬合法以及BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的比較分析表明，在短期預(yù)測中基于馬爾科夫鏈的曲線擬合法在保留原始模型建模簡單、易于操作的特點的同時，預(yù)測精度也得到了有效地提高，驗證了提出方法的準(zhǔn)確性。