林秀芳，陳淑梅，林蔚青

1. 閩江學(xué)院 福建省先進(jìn)運(yùn)動(dòng)控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福州 350108；2. 福州大學(xué) 福建省流體動(dòng)力與電液智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福州 350108；3. 寧德師范學(xué)院 信息與機(jī)電工程學(xué)院，福建 寧德 352000

土木結(jié)構(gòu)抗震性能的優(yōu)劣關(guān)乎人類(lèi)生命和財(cái)產(chǎn)安全，如何提高土木結(jié)構(gòu)的抗震能力一直以來(lái)都是工程領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)．磁流變阻尼器(MRD)是一種頗具應(yīng)用前景的智能半主動(dòng)控制裝置，它兼有主動(dòng)控制裝置和被動(dòng)控制裝置的優(yōu)點(diǎn)．近年來(lái)，基于它的振動(dòng)控制研究已經(jīng)獲得越來(lái)越多的關(guān)注[1-2]．為了使MRD的優(yōu)良減震特性得到充分發(fā)揮，基于它的半主動(dòng)控制研究仍有待進(jìn)一步深入.

現(xiàn)有的利用MRD進(jìn)行振動(dòng)控制的算法主要包括線(xiàn)性最優(yōu)控制[3]、H∞控制[4]、 滑?？刂芠5]、 模糊控制[6]、 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[7]等．在結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制中，由于存在系統(tǒng)建模誤差和結(jié)構(gòu)參數(shù)攝動(dòng)，難以建立精確的控制模型，因此要求所采用的控制算法具有較強(qiáng)的魯棒性．作為一種魯棒控制方法，近年來(lái)H∞控制在MRD半主動(dòng)振動(dòng)控制中的研究受到越來(lái)越多的關(guān)注．Yeganehfallah等[4]為了實(shí)現(xiàn)地震波激勵(lì)下的斜拉索橋MRD振動(dòng)控制，設(shè)計(jì)了一種H∞魯棒控制器．研究結(jié)果表明，這種控制方法能夠有效減小參數(shù)不確定性對(duì)系統(tǒng)地震響應(yīng)的影響．Wu等[8]針對(duì)MRD懸架減振問(wèn)題，設(shè)計(jì)了一種考慮時(shí)變載荷的H∞半主動(dòng)控制方法，仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果均表明在不同的路況激勵(lì)下，該控制方法都能提升乘坐舒適度和車(chē)輛駕駛性能．然而，這些研究中的H∞控制算法更側(cè)重考慮系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性，控制器的設(shè)計(jì)相對(duì)比較保守.

混合靈敏度H∞控制作為一種典型的H∞控制，可以通過(guò)調(diào)整控制器結(jié)構(gòu)以及對(duì)閉環(huán)傳遞函數(shù)進(jìn)行增益成形，滿(mǎn)足系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性的不同需求，在保證魯棒穩(wěn)定的同時(shí)改善系統(tǒng)的性能指標(biāo)．張子健等[9]針對(duì)機(jī)翼顫振問(wèn)題，設(shè)計(jì)了一種混合靈敏度H∞控制器，仿真結(jié)果表明，相比LQG控制器，該控制方法將顫振速度提高了12.2%，能夠更加有效地抑制機(jī)翼顫振．?etin等[10]針對(duì)全階-六自由度建筑結(jié)構(gòu)的MR阻尼器振動(dòng)控制問(wèn)題，提出一種考慮降階模型的混合靈敏度H∞半主動(dòng)控制方法，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，這種控制方法具有良好的結(jié)構(gòu)響應(yīng)控制效果和魯棒穩(wěn)定性．但是，混合靈敏度H∞控制性能在很大程度上取決于其加權(quán)函數(shù)的選擇，且當(dāng)控制對(duì)象和控制指標(biāo)改變時(shí)，其加權(quán)函數(shù)也必須隨之改變．而目前加權(quán)函數(shù)還沒(méi)有確切的選擇方法，函數(shù)之間也沒(méi)有特定的規(guī)律可循，通常需要經(jīng)過(guò)一系列試計(jì)算確定．為了克服加權(quán)函數(shù)的選取對(duì)工程經(jīng)驗(yàn)的依賴(lài)性，采用智能優(yōu)化算法對(duì)其進(jìn)行優(yōu)選是一種切實(shí)可行的方案[11].

智能優(yōu)化算法是一類(lèi)能夠有效求解復(fù)雜非線(xiàn)性問(wèn)題的優(yōu)化方法，具有很強(qiáng)的通用性和魯棒性[12-14]．鯨魚(yú)優(yōu)化算法(WOA)由Mirjalili等[15]于2016年提出，是一種新興的群智能優(yōu)化算法．該算法需要調(diào)節(jié)的參數(shù)很少，算法簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)，且具有很強(qiáng)的尋優(yōu)能力．該文獻(xiàn)研究結(jié)果表明，WOA在求解一系列數(shù)學(xué)優(yōu)化問(wèn)題和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)所展現(xiàn)的性能均優(yōu)于差分進(jìn)化算法和重力搜索算法等多種現(xiàn)有的優(yōu)化算法．Aljarah等[16]采用WOA訓(xùn)練多層感知神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，仿真結(jié)果表明，針對(duì)大部分?jǐn)?shù)據(jù)集而言，WOA在收斂精度和收斂速度方面的性能都優(yōu)于反向傳播算法和包括遺傳算法、 人工蜂群算法以及蟻群算法在內(nèi)的其他6種智能優(yōu)化算法．此外，WOA還被成功地用于解決傳感器網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化[17]、 電力設(shè)備定位優(yōu)化[18]、 機(jī)組組合[19]以及無(wú)線(xiàn)網(wǎng)絡(luò)資源分配[20]等工程問(wèn)題.

基于上述分析，本文針對(duì)地震波激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)振動(dòng)問(wèn)題，考慮到結(jié)構(gòu)模型中忽略的不確定性和減振性能要求，提出一種改進(jìn)的混合靈敏度H∞魯棒半主動(dòng)控制方法．其中，鑒于混合靈敏度H∞控制器加權(quán)函數(shù)難以確定的問(wèn)題，提出采用WOA對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)．雖然WOA已在多領(lǐng)域得到成功應(yīng)用，但據(jù)筆者所知，尚未發(fā)現(xiàn)其在H∞控制器優(yōu)化設(shè)計(jì)方面的研究．在該半主動(dòng)控制策略中，首先利用基于WOA優(yōu)化的混合靈敏度H∞控制器計(jì)算主動(dòng)控制力，然后引入限幅電壓定律(CVL)[1]，使其根據(jù)主動(dòng)控制力計(jì)算MRD的控制信號(hào)，最終實(shí)現(xiàn)基于MRD的半主動(dòng)控制．為驗(yàn)證所提出的控制方法的有效性，本文將針對(duì)地震波激勵(lì)下的Benchmark結(jié)構(gòu)，通過(guò)仿真測(cè)試，比較所提出的控制方法與現(xiàn)有其他幾種控制方法的控制效果．此外，還將分析地震波和結(jié)構(gòu)參數(shù)變化時(shí)該控制方法的控制效果.

1 半主動(dòng)控制策略

本文所提出的H∞魯棒半主動(dòng)控制策略(簡(jiǎn)稱(chēng)WOA-H∞CVL)框圖見(jiàn)圖1．該半主動(dòng)控制系統(tǒng)由兩級(jí)子系統(tǒng)組成，第一級(jí)是混合靈敏度H∞控制系統(tǒng)，其作用是計(jì)算閉環(huán)控制系統(tǒng)的主動(dòng)控制力．鑒于全狀態(tài)結(jié)構(gòu)響應(yīng)往往難以直接測(cè)量，即使可以全部測(cè)量，傳感器的需求量將大幅增加，這將會(huì)增加控制成本，同時(shí)還有可能降低系統(tǒng)的可靠性，因此，本文采用基于加速度的輸出反饋的控制方式.

圖1 WOA-H∞CVL半主動(dòng)控制策略框圖

確定了最優(yōu)主動(dòng)控制力后，決定MRD輸入電壓的切換方法是MRD半主動(dòng)控制的關(guān)鍵．本控制策略中第二級(jí)控制系統(tǒng)是采用限幅電壓定律將主動(dòng)控制力轉(zhuǎn)換成MRD的控制信號(hào)．其核心控制律[1]是：當(dāng)MRD的阻尼力f=fc(主動(dòng)控制力)時(shí)，控制電壓u維持原值； 當(dāng)f

本文采用WOA優(yōu)化混合靈敏度H∞控制系統(tǒng)，在優(yōu)化過(guò)程中，CVL也參與閉環(huán)計(jì)算，以獲得更優(yōu)的主動(dòng)控制力．由于位移響應(yīng)和加速度響應(yīng)分別與建筑結(jié)構(gòu)的安全性和建筑內(nèi)部人員在地震時(shí)的體感舒適度密切相關(guān)，故將這兩種結(jié)構(gòu)響應(yīng)定為WOA優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)(見(jiàn)公式(16))的兩大因素．需要注意的是，在本文中仿真時(shí)采用現(xiàn)象模型[1]作為MRD的正向模型，以替代真實(shí)的阻尼器，用于計(jì)算阻尼力.

2 結(jié)構(gòu)減振混合靈敏度H∞控制

2.1 標(biāo)準(zhǔn)H∞控制

廣義控制對(duì)象G和控制器K組成的標(biāo)準(zhǔn)H∞閉環(huán)系統(tǒng)如圖2所示．圖中，w，u，y和z分別是外部激勵(lì)輸入、 控制輸入、 測(cè)量輸出和受控輸出.

圖2 標(biāo)準(zhǔn)H∞控制框圖

廣義控制對(duì)象G是一個(gè)兩輸入-兩輸出的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)，可將其分塊表達(dá)為

(1)

受控輸出z和受控輸出y可用如上的分解矩陣表達(dá)為

z=G11w+G12u

y=G21w+G22u

(2)

根據(jù)圖2，控制輸入u表示為

u=Ky

(3)

如果(I-G22K)是可逆的真實(shí)有理矩陣，則

z=(G11+G12K(I-G22K)-1G21)w

(4)

其中，I是單位矩陣．于是，從w到z的傳遞函數(shù)Tzw可用線(xiàn)性分式變換表示為

Tzw(s)=LFT(G，K)=G11+G12K(I-G22K)-1G21

(5)

因此，標(biāo)準(zhǔn)H∞控制的設(shè)計(jì)問(wèn)題可描述為求解一個(gè)正則實(shí)有理控制器K，使閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)穩(wěn)定且閉環(huán)傳遞函數(shù)Tzw的H∞范數(shù)達(dá)到最小.

2.2 標(biāo)準(zhǔn)H∞控制混合靈敏度問(wèn)題

混合靈敏度H∞控制是對(duì)傳遞函數(shù)Tzw進(jìn)行加權(quán)處理，構(gòu)建混合靈敏度廣義對(duì)象模型．鑒于地震波激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)的減振控制屬于抗干擾問(wèn)題，本文采用PS/T型混合靈敏度控制[10]，該混合靈敏度H∞控制標(biāo)準(zhǔn)形式如圖3所示.

圖3 混合靈敏度H∞控制標(biāo)準(zhǔn)形式

圖中，P是名義對(duì)象，即真實(shí)的控制對(duì)象．虛線(xiàn)框所示內(nèi)容為廣義控制對(duì)象．K是控制器系統(tǒng)，u是控制器產(chǎn)生的控制力，w是地震波激勵(lì)，y是測(cè)量得到的結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)，z1和z2是評(píng)估信號(hào).

W1稱(chēng)為靈敏度加權(quán)函數(shù)，用于描述擾動(dòng)的頻譜，又稱(chēng)為干擾衰減性能指標(biāo)，引入該加權(quán)函數(shù)是為了保證H∞控制系統(tǒng)的魯棒性能，即提高系統(tǒng)輸出信號(hào)y抵抗外部擾動(dòng)w的能力．W2稱(chēng)為補(bǔ)靈敏度加權(quán)函數(shù)，它代表系統(tǒng)乘性不確定性的范數(shù)界，通過(guò)設(shè)計(jì)合理的W2可以抑制未建模動(dòng)態(tài)不確定性，并限制控制量的大小，以防執(zhí)行器因控制量過(guò)大造成損害.

圖3虛線(xiàn)框中的名義對(duì)象P與加權(quán)函數(shù)W1和W2組成了標(biāo)準(zhǔn)H∞控制中的廣義對(duì)象G，G可表達(dá)為

(6)

針對(duì)圖3，可以構(gòu)建一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)受控系統(tǒng)，則從擾動(dòng)輸入w到受控輸出z的閉環(huán)傳遞函數(shù)可表示為

(7)

令

S=(I-PK)-1T=(I-PK)-1PK

則S和T分別稱(chēng)為靈敏度函數(shù)和補(bǔ)靈敏度函數(shù)．S越小，對(duì)外干擾信號(hào)的抵抗能力越強(qiáng)．T越小，系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性越強(qiáng).

因此，閉環(huán)傳遞函數(shù)可重新定義為

(8)

該混合靈敏度設(shè)計(jì)的目的是針對(duì)控制對(duì)象P，通過(guò)選擇合適的加權(quán)函數(shù)W1和W2，找到一個(gè)合適的控制器K，使得上述閉環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)H∞范數(shù)達(dá)到最小.

針對(duì)該混合靈敏度H∞控制問(wèn)題，當(dāng)將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)H∞控制問(wèn)題后，可以采用線(xiàn)性矩陣不等式(LMI)方法求得控制器K．由上述分析可知，在確定實(shí)際受控對(duì)象P之后，廣義對(duì)象G由加權(quán)函數(shù)決定，因此控制器設(shè)計(jì)成功與否的關(guān)鍵在于加權(quán)函數(shù)W1和W2的選擇.

3 基于WOA的半主動(dòng)控制系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 WOA的工作原理

鯨魚(yú)優(yōu)化算法(WOA)是一種基于座頭鯨Bubble-net捕食方法的新型元啟發(fā)式優(yōu)化算法，在該算法中，每一個(gè)鯨魚(yú)個(gè)體都攜帶一串對(duì)應(yīng)其位置的代碼(即問(wèn)題的可能解)．基于文獻(xiàn)[14]，WOA的核心數(shù)學(xué)模型可以描述為搜索和包圍獵物與螺旋更新位置兩個(gè)階段，其相應(yīng)的偽代碼為

初始化鯨魚(yú)種群X(0)=[X1，X2，…，XN]

計(jì)算每個(gè)解的適應(yīng)度

X*=最優(yōu)解

開(kāi)始執(zhí)行WOA搜索

t=1

當(dāng)t≤最大迭代次數(shù)Tmax時(shí)，

更新每個(gè)解的a，A，C，l以及p

如果p<0.5

如果 |A|<1，則

用公式(14)更新當(dāng)前解

如果 |A|≥1，則

選擇一個(gè)隨機(jī)解Xrand

用公式(10)更新當(dāng)前解

如果p≥0.5，則

用公式(15)更新當(dāng)前解

檢驗(yàn)解中的任何一個(gè)參數(shù)是否超過(guò)給定的搜索空間，如有，對(duì)其進(jìn)行修正

計(jì)算每個(gè)解的適應(yīng)度

如果有更優(yōu)解，則更新X*

t=t+1

結(jié)束循環(huán)

返回X*

結(jié)束程序

1) 搜索和包圍獵物

搜索獵物的數(shù)學(xué)模型表達(dá)為

D=|C·Xrand-X|

(9)

X(t+1)=Xrand-A·D

(10)

其中t表示目前迭代次數(shù)，X表示該個(gè)體的位置向量，Xrand是從當(dāng)前種群中選取的隨機(jī)位置向量．在每次迭代后如果有更優(yōu)解，位置向量X將被更新．A和C是系數(shù)向量，表達(dá)為

A=2a·r-a

(11)

C=2·r

(12)

式中，a在整個(gè)迭代過(guò)程中沿著2～0線(xiàn)性下降，r是一個(gè)變化范圍為[0，1]的隨機(jī)向量.

需要注意的是，按照公式(9)和公式(10)執(zhí)行獵物搜索的前提條件是|A|≥1，該搜索機(jī)制側(cè)重算法的全局搜索．當(dāng)|A|<1時(shí)，將執(zhí)行收縮機(jī)制以便包圍獵物，這是局部深度搜索階段．此時(shí)，根據(jù)如下公式進(jìn)行解的更新：

D′=|C·X*(t)-X(t)|

(13)

X(t+1)=X*(t)-A·D′

(14)

其中，X*表示目前為止最優(yōu)的位置向量(即最優(yōu)解).

2) 螺旋更新位置

座頭鯨在收縮包圍獵物的同時(shí)，還作螺旋式上升運(yùn)動(dòng)．為了模擬這種運(yùn)動(dòng)行為，假設(shè)采用收縮包圍機(jī)制和螺旋上升機(jī)制更新解的概率均為50%．該過(guò)程的數(shù)學(xué)模型如下：

(15)

其中p是一個(gè)[0，1]之間的隨機(jī)數(shù)，根據(jù)這個(gè)值，算法能夠在螺旋和圓周運(yùn)動(dòng)之間切換，其中，后者也是一種局部深度搜索過(guò)程．D″=|X*(t)-X(t)| 表示第i個(gè)鯨魚(yú)個(gè)體迄今為止與最佳獵物的距離．b是用于定義對(duì)數(shù)螺旋線(xiàn)的常量，l是一個(gè)[-1，1]之間的隨機(jī)數(shù).

3.2 半主動(dòng)控制系統(tǒng)的優(yōu)化流程

WOA-H∞CVL控制系統(tǒng)的具體設(shè)計(jì)流程描述如下：

1) 確定優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)：

Obj=αO1+(1-α)O2

(16)

式中，

2) 根據(jù)名義受控對(duì)象和MRD的數(shù)量，確定控制系統(tǒng)的輸入和輸出的數(shù)量，并確定加權(quán)函數(shù)的結(jié)構(gòu)及其待優(yōu)化參數(shù)．其中，為使所設(shè)計(jì)的控制器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單且在工程上易于實(shí)現(xiàn)，令加權(quán)函數(shù)均為對(duì)角化的實(shí)有理函數(shù)陣，即

W1=diag(w11，w12，…w1m)

(17)

W2=diag(w21，w22，…w2n)

(18)

為便于解耦計(jì)算，令該m輸入-n輸出的混合靈敏度H∞控制系統(tǒng)的加權(quán)函數(shù)上述元素的結(jié)構(gòu)均為一階正則形式，見(jiàn)第4.1節(jié).

3) 對(duì)代表加權(quán)函數(shù)參數(shù)完整信息的待優(yōu)化參數(shù)進(jìn)行編碼．為了同時(shí)保證控制系統(tǒng)的抗干擾能力和穩(wěn)定魯棒性，分別將加權(quán)函數(shù)W1和W2選為低通濾波器和高通濾波器．在此基礎(chǔ)上，根據(jù)受控對(duì)象屬性界定待優(yōu)化參數(shù)的搜索空間.

4) 算法初始化：隨機(jī)生成鯨魚(yú)個(gè)體的位置信息X=[X1，X2，…，XN]，將其作為初始的待優(yōu)化參數(shù)，并初始化算法參數(shù)，包括種群大小N和迭代次數(shù)Tmax.

5) 計(jì)算適應(yīng)度：首先根據(jù)步驟2和3確定每個(gè)鯨魚(yú)個(gè)體對(duì)應(yīng)的加權(quán)函數(shù)W1和W2，然后求解廣義對(duì)象G，接著基于LMI方法求解相應(yīng)的控制器K，最后根據(jù)公式(16)計(jì)算第i個(gè)個(gè)體位置向量Xi的適應(yīng)度F(Xi)．由于WOA-H∞CVL半主動(dòng)控制系統(tǒng)是由混合靈敏度H∞主動(dòng)控制系統(tǒng)和CVL組成的閉環(huán)系統(tǒng)，即使主動(dòng)控制閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，其開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)也可能失穩(wěn)．因此計(jì)算適應(yīng)度F(Xi)時(shí)，首先判斷混合靈敏度H∞開(kāi)環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定，如果否，則該解無(wú)效，令F(Xi)=1； 否則，繼續(xù)判斷H∞CVL閉環(huán)半主動(dòng)控制系統(tǒng)中任意一個(gè)主動(dòng)控制力是否超過(guò)MRD的出力量程，如果是，則該解也無(wú)效，令F(Xi)=1； 否則，根據(jù)公式(16)計(jì)算F(Xi)； 令t=0，進(jìn)入步驟6.

6) 開(kāi)始迭代計(jì)算：令t=t+1，更新a，A，C，l以及p.

7) 更新解Xi：如果p<0.5，則執(zhí)行如下操作：如果|A|≥1，執(zhí)行獵物搜索操作，即在當(dāng)前種群范圍中隨機(jī)確定一個(gè)位置Xrand并根據(jù)公式(10)更新Xi； 如果|A|<1，執(zhí)行獵物包圍操作，即利用公式(14)更新Xi.

如果p≥0.5，則根據(jù)公式(15)執(zhí)行螺旋更新操作.

8) 判斷解的有效性：更新完每個(gè)個(gè)體的位置后，判斷是否有任何參數(shù)超出預(yù)定的范疇，如果存在大于上限值(或者小于下限值)的參數(shù)，則用上限值(或者下限值)取代該參數(shù).

9) 更新整個(gè)種群的最優(yōu)解：如果新種群的最優(yōu)解優(yōu)于原種群的最優(yōu)解，則將前者替代后者； 否則，保持后者不變.

10) 判斷是否滿(mǎn)足算法終止條件：如果t

11) 求解MRD阻尼力：利用最優(yōu)參數(shù)求解加權(quán)函數(shù)，繼而求解出最優(yōu)主動(dòng)控制力，結(jié)合CVL計(jì)算半主動(dòng)閉環(huán)控制系統(tǒng)中MRD所需的控制電壓，并基于MRD正向模型計(jì)算減振所需的阻尼力.

4 數(shù)值計(jì)算及分析

4.1 系統(tǒng)建模及優(yōu)化結(jié)果

減震對(duì)象是一個(gè)在地面和第一層之間安裝一個(gè)MRD的三層剪切框架Benchmark結(jié)構(gòu)，對(duì)該結(jié)構(gòu)采用前20 s的El-Centro地震波激勵(lì)，按照相似準(zhǔn)則，將地震波的時(shí)間歷程縮短為原來(lái)的五分之一[1，21-22]．該結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣M、 剛度矩陣K和阻尼矩陣C分別為

MRD-受控結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)方程為

(19)

y(t)=Cz(t)+Du(t)

(20)

針對(duì)本文減振對(duì)象，上述公式中的n=3，m=1，Λ=[-1，-1，-1]T，Γ=[-1，0，0]T，如令該控制器的輸入僅為第三層的加速度，則該混合靈敏度H∞控制器是一個(gè)單輸入-輸出系統(tǒng)．優(yōu)化時(shí)，令目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重α=0.8，WOA的種群大小N和迭代次數(shù)Tmax分別為100和150．為了進(jìn)行算法性能的比較，分別采用遺傳算法(GA)和差分進(jìn)化算法(DE)進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，其中GA的交叉率和變異率分別為0.7和0.02，DE的交叉概率和變異放大因子分別為0.1和0.4．這兩種算法的種群大小和迭代次數(shù)均與WOA相同．圖4是3種優(yōu)化算法的收斂曲線(xiàn)比較結(jié)果．可見(jiàn)，WOA的尋優(yōu)能力更強(qiáng)，它能夠獲得比GA和DE更優(yōu)的目標(biāo)值．而且從迭代次數(shù)的角度而言，WOA的收斂速度也是最優(yōu)的．經(jīng)過(guò)WOA優(yōu)化得到的加權(quán)函數(shù)W1和W2分別為

圖4 3種優(yōu)化算法的迭代曲線(xiàn)對(duì)比

4.2 控制結(jié)果討論

為了驗(yàn)證所提出的WOA-H∞CVL半主動(dòng)控制算法的有效性，本節(jié)將其控制結(jié)果與未經(jīng)優(yōu)化的H∞CVL控制以及現(xiàn)有文獻(xiàn)中的LQR-CVL控制[1]、 模糊控制[21]、 模糊GH2[22]的控制結(jié)果進(jìn)行比較．其中，通過(guò)試算法，確定未經(jīng)優(yōu)化的H∞CVL控制中的加權(quán)函數(shù)的參數(shù)如下：

b11=1 000b21=10b31=10

b41=1 000a11=1 000a21=0.001

由表1可知，雖然LQR-CVL控制對(duì)最大位移的控制效果略?xún)?yōu)于本文提出的WOA-H∞CVL控制，但其最大加速度減小率僅為50%．雖然模糊GH2控制對(duì)加速度的控制效果是所有控制方法中最佳的，但是其對(duì)各層位移的控制效果均不如WOA-H∞CVL控制．通過(guò)綜合分析可知，在5種控制方法中，本文提出的WOA-H∞CVL方法對(duì)最大位移和最大加速度響應(yīng)的綜合控制效果最佳，這兩個(gè)值相對(duì)于無(wú)控時(shí)的減小率分別為77%和64%．說(shuō)明控制器的設(shè)計(jì)滿(mǎn)足了優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的要求，證明了基于WOA的優(yōu)化方法的有效性．圖5顯示了在WOA-H∞CVL控制下的各層響應(yīng)峰值控制效果．由表1和圖5可見(jiàn)，WOA-H∞CVL方法還可以顯著減小其他樓層的位移和加速度響應(yīng)峰值以及所有樓層的層間位移響應(yīng)峰值．另一方面，除了模糊GH2控制以外，WOA-H∞CVL控制所需的最大阻尼力小于另外3種控制方法．為了更直觀(guān)地說(shuō)明本文控制算法的減震效果，圖6和圖7分別比較了無(wú)控時(shí)和WOA-H∞CVL控制時(shí)第三層的位移時(shí)程響應(yīng)和加速度時(shí)程響應(yīng)，由圖可見(jiàn)，這兩種響應(yīng)均得到明顯的抑制.

表1 不同控制策略下各層的響應(yīng)峰值

圖5 不同控制方法下的響應(yīng)峰值控制效果

圖6 第三層位移時(shí)程響應(yīng)的控制效果

圖7 第三層加速度時(shí)程響應(yīng)的控制效果

接著，為了評(píng)估所設(shè)計(jì)的WOA-H∞CVL控制器對(duì)未受訓(xùn)地震波激勵(lì)時(shí)的結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制效果，分別采用TianjinNS地震波和Taft地震波對(duì)上述結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)態(tài)激勵(lì)，圖8和圖9分別顯示了在這兩個(gè)地震波激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)峰值的控制效果.

圖8 地震波變化為T(mén)ianjinNS時(shí)的響應(yīng)峰值控制效果

圖9 地震波變化為T(mén)aft時(shí)的響應(yīng)峰值控制效果

由圖可見(jiàn)，在El-Centro地震波激勵(lì)下所設(shè)計(jì)的控制器仍然可以有效控制未受訓(xùn)地震波激勵(lì)下的所有樓層的位移、 層間位移和加速度響應(yīng).

最后，為了分析結(jié)構(gòu)參數(shù)變化對(duì)WOA-H∞CVL控制效果的影響，假設(shè)該結(jié)構(gòu)所有樓層的剛度都變化+10%和+30%，這兩種工況下的控制結(jié)果分別見(jiàn)圖10和圖11.

圖10 剛度變化+10%時(shí)的響應(yīng)峰值控制效果

圖11 剛度變化+30%時(shí)的響應(yīng)峰值控制效果

由圖可見(jiàn)，針對(duì)原始結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)得到的WOA-H∞CVL控制算法仍能有效地控制現(xiàn)有結(jié)構(gòu)所有樓層的位移、 層間位移和加速度響應(yīng)．其中，當(dāng)剛度變化率為+30%時(shí)，控制效果雖然有所下降，但所有樓層的位移、 層間位移和加速度響應(yīng)仍然得到非常顯著的抑制.

5 結(jié) 論

1) 使用WOA優(yōu)化混合靈敏度H∞控制的加權(quán)函數(shù)參數(shù)，克服了普通H∞控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的保守性，避免了傳統(tǒng)的人工試湊．此外，WOA的尋優(yōu)能力和收斂速度均優(yōu)于遺傳算法和差分進(jìn)化算法.

2) 所設(shè)計(jì)的WOA-H∞CVL控制能夠使最大位移和最大加速度分別比無(wú)控時(shí)下降77%和64%，同時(shí)還能有效地降低所有樓層的層間位移響應(yīng)．這種控制方法對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的綜合控制性能優(yōu)于未經(jīng)優(yōu)化的H∞CVL控制以及現(xiàn)有文獻(xiàn)中的LQR-CVL控制、 模糊控制、 模糊GH2控制.

3) WOA-H∞CVL控制方法所需要的最大阻尼力小于其他3種所比較的控制方法，說(shuō)明了該算法在保證良好的結(jié)構(gòu)響應(yīng)控制效果的同時(shí)，還具有較優(yōu)的節(jié)能性.

4) 以TianjinNS和Taft地震波為例，證明了針對(duì)El-Centro波激勵(lì)所設(shè)計(jì)的WOA-H∞CVL控制算法仍然能夠有效控制未受訓(xùn)地震波激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)．以剛度變化+10%和+30%為例，證明了針對(duì)原始結(jié)構(gòu)所設(shè)計(jì)的WOA-H∞CVL控制算法也具有較強(qiáng)的抵抗結(jié)構(gòu)剛度變化的魯棒性.