胡其志,王芝超,丁志剛,2
(1.湖北工業(yè)大學(xué) 土木建筑與環(huán)境學(xué)院,湖北 武漢 430068;2.中交路橋南方工程有限公司,北京 101149)
巖石自身的蠕變特性對(duì)工程穩(wěn)定性有重要影響。近年來(lái),國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)巖石蠕變特性作了細(xì)致而深入研究,提出很多巖石蠕變本構(gòu)模型,主要分為組合元件模型、積分型本構(gòu)模型和經(jīng)驗(yàn)?zāi)P蚚1-4]。組合元件模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單是,物理意義清晰明確,在實(shí)際工程中應(yīng)用廣泛。元件模型通常是線性模型,而實(shí)際工程中巖石蠕變往往呈現(xiàn)明顯的非線性特點(diǎn)。針對(duì)元件模型這一劣勢(shì),研究發(fā)現(xiàn)運(yùn)用分?jǐn)?shù)階微積分理論推導(dǎo)的蠕變模型在對(duì)蠕變加速階段非線性曲線刻畫上具有線性元件無(wú)法比擬的優(yōu)勢(shì),因此得到了廣泛關(guān)注和研究。
徐國(guó)文等[5]用分?jǐn)?shù)階黏壺和NVPB模型分別替換了西原模型中的牛頓黏壺和黏塑性體,提出改進(jìn)西原模型并推導(dǎo)其三維蠕變本構(gòu)方程;吳斐等[6]提出一種反映加速階段分?jǐn)?shù)階非線性黏壺元件,并和傳統(tǒng)的Abel黏壺和彈簧元件串聯(lián)形成新的非線性分?jǐn)?shù)階蠕變模型;宋勇軍等[7]將軟體元件與胡克元件串聯(lián),引入一個(gè)具有冪函數(shù)特征的黏塑性體,推導(dǎo)一個(gè)新的四元件黏彈塑性蠕變模型,并給出該模型的本構(gòu)和蠕變方程;何利軍等[8]按照遺傳流變理論,利用修正的Burgers模型導(dǎo)數(shù)形式作為蠕變核函數(shù),得到一個(gè)反映軟黏土蠕變的經(jīng)驗(yàn)?zāi)P?;何志磊等[9]基于分?jǐn)?shù)階微積分理論,將西原模型中的牛頓黏壺替換為Abel黏壺,并考慮蠕變參數(shù)的非定常性,得到基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的非定常蠕變本構(gòu)模型;蘇騰等[10]結(jié)合Scott-Blair 分?jǐn)?shù)階元件和變系數(shù)分?jǐn)?shù)階元件,提出一種三維變階分?jǐn)?shù)階非線性黏彈塑性蠕變模型;許多等[11]對(duì)錦屏深部大理巖進(jìn)行三軸蠕變?cè)囼?yàn),得到其軸向和環(huán)向變形規(guī)律,運(yùn)用分?jǐn)?shù)階理論改進(jìn)了大理巖黏彈塑性損傷蠕變模型;丁靖洋等[12]引入分?jǐn)?shù)階和損傷理論對(duì)經(jīng)典三元件模型進(jìn)行改進(jìn),得到基于損傷演變的鹽巖分?jǐn)?shù)階三元件模型;王立業(yè)等[13]在線性元件模型上串聯(lián)Abel黏壺,推導(dǎo)出滲透吸力條件下的飽和鹽漬土分?jǐn)?shù)階蠕變模型,并進(jìn)行驗(yàn)證。
借鑒經(jīng)典元件模型的組合思路,將基于分?jǐn)?shù)階理論的軟體元件并與一個(gè)胡克體和一個(gè)黏塑性體串聯(lián)形成一個(gè)四元件分?jǐn)?shù)階模型,并推導(dǎo)其本構(gòu)方程。運(yùn)用綠片巖、砂巖和鹽巖的蠕變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合分析,發(fā)現(xiàn)該模型可很好模擬巖石蠕變的3階段,且結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,力學(xué)意義明確。
巖石作為一種實(shí)際的工程材料具有比較明顯的蠕變特性,既像固體一樣具有一定剛度,也可類似液體具有一定的流動(dòng)性。巖石蠕變?cè)诘蛻?yīng)力狀態(tài)下往往呈現(xiàn)出黏彈性特征,因此可將彈簧體和黏性體進(jìn)行串并聯(lián)等方式組合,經(jīng)典的Maxwell模型、Bergers模型和Kevin模型就是此類形式。然而這些模型都是線性模型,無(wú)法反映巖石加速蠕變階段,因此經(jīng)典元件模型的應(yīng)用存在一定的局限性。研究發(fā)現(xiàn)運(yùn)用分?jǐn)?shù)階理論在描述巖石蠕變理論曲線上具有明顯優(yōu)勢(shì),尤其是在刻畫巖石的等速和加速蠕變階段上。
分?jǐn)?shù)階微積分是微積分理論一個(gè)分支,它研究函數(shù)任意階次的微分、積分算子特性,在數(shù)學(xué)和力學(xué)建模方面應(yīng)用廣泛。相對(duì)于整數(shù)階微積分,分?jǐn)?shù)階微積分全局關(guān)聯(lián)度好,試驗(yàn)結(jié)果和理論模擬值吻合度高[14]。同時(shí)在對(duì)復(fù)雜物理力學(xué)問題模擬中,分?jǐn)?shù)階模型比經(jīng)典模型表述也更簡(jiǎn)潔,物理意義更明確。因此,分?jǐn)?shù)階理論在眾多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。
對(duì)于分?jǐn)?shù)階微積分定義,理論上有各種方法。巖石蠕變本構(gòu)模型領(lǐng)域中Riemann-Liouville 型分?jǐn)?shù)階微積分算子理論應(yīng)用最普遍。由該理論可知,函數(shù)f(t)在可積空間[0,t]上的β階積分定義為
(1)
相應(yīng)函數(shù)f(t)β階微分定義為
(2)
即
(3)
式中:β為分?jǐn)?shù)階數(shù),0≤β≤1;Γ(β)為伽馬函數(shù),當(dāng)β>0時(shí),Γ(β)定義為
(4)
以上分?jǐn)?shù)階微積分的Laplace變換公式為
(5)
式中,f(p)為f(t)Laplace變換。
在經(jīng)典元件模型中,胡克定律σ(t)=Eε(t),可以準(zhǔn)確反映理想彈性體的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。其中σ(t)為應(yīng)力,ε(t)為應(yīng)變;牛頓定律即σ(t)=ηdε(t)/d(t)可以準(zhǔn)確反映牛頓流體的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。引入R-L理論,則存在一種軟體元件,它的力學(xué)性質(zhì)介于彈性體和牛頓流體之間,并且本構(gòu)關(guān)系為
(6)
式中:σ為應(yīng)力;ε為應(yīng)變;t為加載時(shí)間;ηβ為黏滯系數(shù)。
當(dāng)應(yīng)力σ保持不變時(shí),根據(jù)分?jǐn)?shù)階R-L積分定義對(duì)式(6)兩邊積分得
(7)
式中,Γ(β+1)為Gamma函數(shù)。同理,當(dāng)σ(t)為常數(shù)時(shí),即應(yīng)力恒定情況下,分?jǐn)?shù)階元件將可描述應(yīng)力松弛,經(jīng)過推導(dǎo)可得松弛方程為
(8)
其中,ε0為對(duì)應(yīng)于初始應(yīng)力的初始應(yīng)變。
在巖石的蠕變?nèi)^程中,低應(yīng)力下巖石主要表現(xiàn)為彈性和黏彈性變形。隨著應(yīng)力提高,巖石所受荷載逐漸大于長(zhǎng)期強(qiáng)度,蠕變進(jìn)入加速階段。此時(shí)巖石內(nèi)部損傷加劇,導(dǎo)致黏塑性變形大大增加,從而產(chǎn)生破壞。因此長(zhǎng)期強(qiáng)度即為巖石在長(zhǎng)時(shí)間應(yīng)力作用下維持穩(wěn)定所能承受的最大荷載。長(zhǎng)期強(qiáng)度主要根據(jù)巖石蠕變?cè)囼?yàn)間接獲得,確定長(zhǎng)期強(qiáng)度最普遍的方法是等時(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線法[15],相等時(shí)間內(nèi)巖石在不同應(yīng)力作用下得到的蠕變變形與應(yīng)力關(guān)系曲線即為等時(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線。經(jīng)過時(shí)間推移和應(yīng)力增大,等時(shí)曲線會(huì)逐漸彎曲,非線性程度會(huì)愈加明顯,曲線簇上會(huì)出現(xiàn)拐點(diǎn),拐點(diǎn)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值即為巖石長(zhǎng)期強(qiáng)度。
當(dāng)巖石經(jīng)過等速蠕變階段進(jìn)入加速蠕變階段時(shí),其內(nèi)部損傷和變形加速發(fā)展,呈現(xiàn)出明顯的黏塑性變形特征,少量可恢復(fù)的彈性變形和大量不可恢復(fù)的塑性變形同時(shí)出現(xiàn)。因此可將一個(gè)應(yīng)力觸發(fā)形式的非線性黏壺元件和摩擦鍵并聯(lián)[16],組成一個(gè)可以描述巖石加速蠕變階段特性的非線性黏塑性元件,如圖1所示。
圖1 非線性黏塑元件
在巖石所受應(yīng)力σ作用下,非線性黏塑性元件的蠕變方程為
(9)
式中:σs為應(yīng)力閾值;a,b,η1為蠕變參數(shù),由試驗(yàn)確定。
H(σ)為Heaviside單位階躍函數(shù),其表達(dá)式為
(10)
一般情況下,巖石的蠕變變形可簡(jiǎn)化為應(yīng)力初加載時(shí)的瞬時(shí)變形、加載持續(xù)期間內(nèi)的黏彈性變形、蠕變破壞期間的黏塑性變形3部分,因此用胡克體表征巖石的瞬時(shí)蠕變?chǔ)舉,分?jǐn)?shù)階軟體元件表征巖石的黏彈性變形特征εve,帶應(yīng)力觸發(fā)的非線性黏塑性元件表征巖石黏塑性變形εvp。將四元件串聯(lián)形成一個(gè)新的分?jǐn)?shù)階黏彈塑模型(圖2)。
圖2 巖石分?jǐn)?shù)階黏彈塑性模型
當(dāng)巖石所受應(yīng)力未達(dá)到其屈服強(qiáng)度,即σ<σs時(shí),蠕變變形處于衰減蠕變和等速蠕變階段。此時(shí)巖石蠕變變形由瞬時(shí)彈性變形εe和黏彈性變形εve組成,蠕變總應(yīng)變?yōu)?/p>
ε=εe+εve。
(11)
(1)胡克體對(duì)應(yīng)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為
(12)
式中:σ為胡克體的應(yīng)力,即總應(yīng)力;E1為胡克體中彈簧的彈性模量。
(2)分?jǐn)?shù)階軟體元件的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為
(13)
式中:η1為其黏性系數(shù):β為其求導(dǎo)階數(shù)。
當(dāng)σ≥σs時(shí),巖石蠕變變形進(jìn)入加速階段,巖石除了出現(xiàn)少部分彈性和黏彈性變形外,還有比較明顯的黏塑性變形εvp,此時(shí)蠕變總變形為
ε=εe+εve+εvp。
(14)
(3)黏塑性元件對(duì)應(yīng)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為
(15)
因此,綜合3部分應(yīng)變建立的巖石分?jǐn)?shù)階蠕變模型的表達(dá)式為
(16)
模型參數(shù)擬合分析主要有最小二乘法、退火算法、粒子群算法和全局優(yōu)化算法等,其中以最小二乘法應(yīng)用最為普遍。最小二乘法通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù),從而得到匹配程度最優(yōu)的函數(shù)。本次擬合采用基于最小二乘算法的MATLAB軟件識(shí)別參數(shù)并繪制擬合曲線。
采用徐衛(wèi)亞等[17]對(duì)錦屏一級(jí)水電站綠片巖進(jìn)行三軸蠕變?cè)囼?yàn)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)和齊亞靜等[18]對(duì)萬(wàn)州紅層砂巖進(jìn)行三軸蠕變?cè)囼?yàn)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)以及邱賢德等[19]對(duì)長(zhǎng)山鹽巖進(jìn)行單軸壓縮的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)擬合。為說明擬合過程,現(xiàn)以綠片巖試驗(yàn)數(shù)據(jù)為研究對(duì)象,砂巖和鹽巖的參數(shù)擬合方法和綠片巖一致。綠片巖蠕變?cè)囼?yàn)中其試驗(yàn)圍壓為15 MPa,主應(yīng)力為100 MPa,巖石進(jìn)入加速蠕變階段的時(shí)間點(diǎn)為1.5 h,砂巖蠕變?cè)囼?yàn)的圍壓為6 MPa,主應(yīng)力為61 MPa,鹽巖所受應(yīng)力為14.41 MPa。
t<1.5 h時(shí),巖石未到達(dá)加速蠕變階段,先求解瞬時(shí)彈性模量E1。E1=σ/ε1,ε1為t=0時(shí)巖石瞬時(shí)加載產(chǎn)生的形變,可從蠕變曲線中求得。通過式(16)σ<σs時(shí)的公式進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合,求解到η1和β。
t>1.5 h時(shí),巖石進(jìn)入到加速蠕變階段,此時(shí)利用式(16)中σ≥σs時(shí)的公式進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合,求解得到余下的參數(shù)。
σ<σs時(shí),巖石處于衰減和等速蠕變階段,巖石變形趨于穩(wěn)定,黏塑性體此時(shí)不起作用。根據(jù)式(7),將應(yīng)力和黏滯系數(shù)設(shè)為定值,β為變量,得到巖石蠕變曲線,如圖3所示。由于β不斷增大,巖石蠕變特性逐漸增強(qiáng)。當(dāng)β趨近于0時(shí),分?jǐn)?shù)階軟體元件類似理想彈性體;當(dāng)β趨近于1時(shí),分?jǐn)?shù)階軟體元件類似理想流體。具體在實(shí)際工程中巖石蠕變特性表現(xiàn)各異。一般狀態(tài)下,硬巖蠕變不明顯,其性質(zhì)和理想彈性體相近,適合用較小的β進(jìn)行模擬;軟巖在荷載應(yīng)力作用下具有明顯蠕變特點(diǎn),適合用較大的β進(jìn)行模擬。
圖3 等速階段下不同β值的蠕變-時(shí)間曲線
表1 綠片巖蠕變擬合參數(shù)
表2 紅砂巖蠕變擬合參數(shù)
表3 長(zhǎng)山鹽巖蠕變擬合參數(shù)
由圖4~6可知,該分?jǐn)?shù)階模型可以較好反映巖石衰減蠕變階段隨時(shí)間增長(zhǎng)應(yīng)變逐漸減小的特點(diǎn),并且分?jǐn)?shù)階軟體元件對(duì)巖石等速蠕變階段內(nèi)蠕變平滑緩慢增加的線性形變發(fā)展趨勢(shì)描繪準(zhǔn)確。當(dāng)進(jìn)入加速蠕變階段時(shí),巖石蠕變曲線曲率增大,同時(shí)巖石變形急劇擴(kuò)展,軸向蠕變明顯增加。而非線性黏塑性元件可準(zhǔn)確描繪巖石應(yīng)變發(fā)展隨時(shí)間變化呈現(xiàn)指數(shù)型函數(shù)增長(zhǎng)的特點(diǎn)。模型理論值和實(shí)際巖石蠕變值基本一致,擬合程度較高。說明推導(dǎo)的分?jǐn)?shù)階黏彈塑性模型能有效描述巖石的3階段蠕變?nèi)^程。該模型參數(shù)數(shù)量少,求解簡(jiǎn)單,在實(shí)際工程中有一定應(yīng)用性。
圖4 綠片巖試驗(yàn)值與模型擬合值對(duì)比曲線
圖5 砂巖試驗(yàn)值與模型擬合值對(duì)比曲線
圖6 鹽巖試驗(yàn)值與擬合值對(duì)比曲線
(1)基于分?jǐn)?shù)階理論,引入分?jǐn)?shù)階軟體元件。并將該軟體元件和彈簧元件串聯(lián),引入一個(gè)表征非線性加速階段的黏塑性體,形成一個(gè)非線性黏彈塑性蠕變模型,從而更好反映巖石蠕變?nèi)^程。
(2)通過調(diào)整分?jǐn)?shù)階數(shù)β值大小,發(fā)現(xiàn)β值對(duì)于巖石等速階段蠕變速率有較大影響。一般情況下,硬巖用較大β值進(jìn)行模擬,軟巖用較小β值進(jìn)行模擬。
(3)結(jié)合綠片巖、萬(wàn)州紅巖和長(zhǎng)山鹽巖的蠕變實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),運(yùn)用MATLAB軟件進(jìn)行擬合,并對(duì)提出的基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的巖石蠕變模型參數(shù)進(jìn)行識(shí)別,擬合結(jié)果表明理論值與實(shí)際值比較貼合,相關(guān)系數(shù)較高,具有一定的適用性。