張夢琪，劉金全，劉丹丹，王 秋，劉驊鋒，涂良成

（華中科技大學物理學院引力中心，重力導航教育部重點實驗室，武漢 430074）

作為慣性測量系統核心元器件之一的加速度計，當其分辨率達到ng (1 ng=10-9g，g 為當地重力加速度)量級時，可應用于微震和重力場的測量，涉及資源勘探、重力輔助導航和空間探索等需要高精度加速度傳感器的領域[1-5]。此類加速度計分辨率比較高，在使用環(huán)境的溫度產生變化時，由于組成材料或信號提取電路的性能會隨之產生變化，輸出對于環(huán)境溫度比較敏感，一定程度上制約了其測量精度的提升，限制了使用場合[6,7]。

對加速度計溫度特性進行表征的方式通常是建立加速度計的溫度模型，主要表現在零偏的溫度靈敏度和標度因數的溫度靈敏度兩方面[8,9]，可以先測試得到兩個系數然后通過補償的方法對其進行校正，以降低加速度計的溫度靈敏度[10-13]。這就需要對加速度計本身的溫度特性進行充分、準確的測試。通用的溫度特性測試方法是把加速度計安裝在溫控箱內，對加速度計進行升降溫試驗[14-16]，結合重力場分度裝置[17,18]或者精密離心機測試[19]不同溫度點下加速度計的輸出，然后關于溫度做最小二乘擬合，從而得到加速度計溫度模型中的各項系數。然而對于ng 級加速度計，因為加速度計分辨率高，遠小于1″的姿態(tài)改變即可能影響到加速度計的輸出，溫度變化時夾具等產生的微小熱形變即可能干擾溫度靈敏度的測量，為溫度特性的檢測帶來難度。

本文針對ng 級超高靈敏度加速度計[20,21]溫度特性的測試，詳細分析了利用重力場分度裝置測試時存在的潛在誤差及其影響，確認了利用典型重力場進行此類加速度計溫度靈敏度系數標定的可行性，并利用重力場中小角度傾斜四位置旋轉的方法，基于帶溫箱的二軸溫箱對本實驗室研制的ng 級高精度MEMS 加速度計溫度模型進行了測試，將此溫度模型用于星載試驗數據的溫度補償，結果表明，此方法對于改進加速度計在高精度應用場景中的特性是有效的。

1 加速度計溫度模型

根據相關的國際和國內標準[22,23]，加速度計的輸出E 可表示為沿其基準軸作用的加速度等輸入的數學關系式。本文中以其簡化的模型為例，此時加速度計門狀態(tài)安裝時輸出E 和沿輸入敏感軸的加速度ai的關系可表示為：

其中K0表示加速度計的零偏，K1表示加速度計的標度因數。根據本課題組前期的工作結果，超高靈敏度加速度計在重力場測試中高階項的激發(fā)效果較弱[24]，其對溫度模型測試的誤差貢獻將在章節(jié)3.4 中進行討論。

根據文獻[2]，加速度計的模型參數零偏K0和標度因數K1關于溫度的模型可以由如下函數關系表示：

溫度靈敏度系數和溫度的函數關系可以采用多種形式，例如，公式(2)中的K0(Tj)和K1(Tj)可以具化為多項式，當僅考慮它們關于溫度的線性關系時，加速度計含溫度模型的輸出可以表示為

其中，Tj是不同的溫度點，a0和a1分別是室溫條件下加速度計的零偏和標度因數，b0是加速度計零偏關于溫度的線性響應系數，b1是加速度計標度因數關于溫度的線性響應系數。

本文重點關注在不同溫度點下如何對加速度計的零偏K0和標度因數K1進行準確測試。

2 溫度模型參數測試潛在的問題

為了對加速度計的零偏靈敏度和標度因數靈敏度進行測試，一種簡單方便的方式是定點升溫法[14]，它利用加速度計在重力場中兩個不同姿態(tài)位置的輸出分別獲取零偏和標度因數的溫度信息：首先將加速度計置于水平面上，此時加速度計的輸出即表征零偏K0(Tj)，改變溫度Tj即可測得加速度計的零偏溫度靈敏度系數，繼而將加速度計置于有較大重力加速度輸入的姿態(tài)（例如1 g 輸入），從加速度計輸出中扣除零偏K0(Tj)的貢獻，即可得到標度因數K1(Tj)隨溫度的變化，從而推知標度因數溫度靈敏度。這種方法對于分辨率在亞mg 左右的加速度計是可行的，然而對于ng分辨率的加速度計，溫度變化很容易引起加速度計夾具和基座的形變，原因可能是材料內部應力改變、各部件熱漲系數不匹配或溫度不均勻等，最終導致和加速度計敏感結構無關的加速度計輸出，效應遠超ng，最終干擾對加速度計本身溫度系數的測量。如圖1 所示，假設因為某種原因加速度計的安裝基座產生微小形變，導致敏感軸方向偏離預期的水平方向，偏離的角度為γe，則加速度計的輸出為：

圖1 定點升溫模型圖Fig.1 Model diagram of fixed-point temperature-rising tests

在計算此溫度點的零偏時，K1(Tj)gsinγe就會耦合在其中。尤其需要注意的是，在不同溫度下，由于形變γe的不同，這項誤差也可能不同。

在加速度計處于有較大重力加速度輸出的姿態(tài)時，加速度計的實際輸出為：

對于ng 分辨率的超高靈敏度加速度計，受到量程限制，其傾斜角度γ 較小，比如量程為10 mg 的加速度計其敏感軸偏離水平面的傾角最大僅為0.57 °，1″的γe變化，即帶來近5 μg 的加速度變化，直接影響到零偏和標度因數溫度系數的測試。

因此，簡單的二位置變溫試驗不再適用于ng 級加速度計的溫度模型測試。而對于更多位置的測試方法，則需要進行系統的誤差分析，確定實驗方案的可行性。

3 測試方案與誤差分析

3.1 測試方法

從傳統的重力場中豎直平面內等角度多位置翻滾的測試方法出發(fā)，本文采用在小角度傾斜平面內進行等角度多位置旋轉測試。如圖 2 所示，加速度計敏感軸（Input Axis, IA）位于旋轉平面內，γ 是傾斜的角度，θk=360°×k/n 是旋轉的角度，k=0, 1, 2…n-1。沿敏感軸方向的輸入分別為gsinγsinθk。當θk=0 時，沿敏感軸方向的輸入為0；當θk= π/2 或3π/4 時，沿敏感軸方向的輸入分別為±gsinγ。這樣一來，沿敏感軸的重力加速度分量最大值從豎直平面內的1g 減小為小角度傾斜平面內的gsinγ，適當選擇γ 可以確保加速度計在旋轉到不同位置時均處于未超量程的正常工作狀態(tài)。

圖2 小角度傾斜面內等角度多位置旋轉測試原理圖 Fig.2 Tilt multi-position angle schematic

此時加速度計的輸入為：

根據式(1)，加速度計此時的輸出為：

當加速度計模型中僅考慮一階項及零偏項時，僅存在兩個待求系數，故n≥4 即可。以n=4 為例，即從傳統的四點翻滾法出發(fā)，在傾斜平面內進行等角度四位置定點標定，在這四個位置，加速度計的輸出應分別為：

式(8)經過加減組合，就可以得到一組零偏和標度因數：

然后，將各組零偏和標度因數分別與其對應的溫度進行擬合，就可以得到加速度計零偏和標度因數各自的溫度模型。

3.2 夾具熱形變產生的誤差角

在某個溫度T 下，當存在夾具對應的受熱形變時，加速度計敏感軸方向可能從圖3 所示的實線箭頭方向變化為虛線箭頭方向，即該溫度下加速度計的實際敏感軸方向偏離其初始安裝方向某一個小角度γe1。誤差角γe1可能隨著溫度的變化而發(fā)生變化；而在同一個溫度點下做多位置旋轉時，如果溫度場足夠均勻則該角度變化可以假設為維持不變，如果溫度場不均勻則需要考慮該角度隨角位置的改變。還需要注意的是，即便在旋轉到不同位置點時輸入軸方向出現某種小的偏差，只要該偏差不隨著溫度和測量時間點的改變而改變，則該偏差對于通過變溫來測量溫度系數的實驗沒有顯著影響，因此有些固定誤差可以不予考慮。

圖3 夾具受熱形變后加速度計敏感軸方向變化。Fig.3 Changes in the direction of the accelerometer sensitive axis after the fixture is deformed by heat

首先假設定點溫度下溫度場均勻，因此不同角位置下可以用同一個γe1,，則加速度計的實際輸出為：

從式(10)可以看到，其中Ej0和Ej2均包含一個可能較大（相對于 ng 加速度計而言）的誤差項K1(Tj)gcosγsinγe1；而Ej1和Ej3的第二項會受到γe1的影響，將其展開為：

當γe1≤2′時，cosγe1造成的相對誤差≤0.1 ppm，而γe1≤2′的條件在精密設備中，可以得到很好的保證，所以公式(11)中主要的誤差來源是K1(Tj)gcosγsinγe1≈ K1(Tj)gsinγe1（其中，γ 是一個小角度，cosγ 接近于1），這項誤差和Ej0、Ej2中的誤差項相當，也是一個可能較大的誤差項。由此可見，每個位置點上，加速度計的輸出均可能包含較大的誤差。

對式(11)進行加減組合，則可以推知各個溫度測試點Tj下的零偏和標度因數：

式中的“≈”是基于當γe1≤2′時cosγe1造成的相對誤差≤0.1 ppm 的前提。

從式(12)可以看到，利用等角度多位置數據求取K1的過程中，對稱位置的組合運算巧妙地消除掉了單個位置（定點升溫法）測試時較大的誤差項，如此可以大幅度提升K1的測試精度。對于零偏K0而言，γe1則會經由K1j貢獻到測試結果中，然而，由于本文中關注的是其溫度靈敏度，所以一旦K1的溫度靈敏度測試準確，即可估算該項誤差對于零偏溫度靈敏度測試的影響。比如，若標度因數的溫度系數≤100 ppm/℃，則當形變 γe1≤2′時，將對零偏溫度系數帶來≤0.5cosγ μg/℃的誤差，也就是說，隨著γ 的減小，這項誤差會逐漸增大，對于量程10 mg 的加速度計，傾斜角度γ 為0.45 °時，此誤差約為0.58 μg/℃。需要說明的是，實際情況中定點溫度下溫度場一定會存在不均勻，上述理論分析的扣除效果可能會存在一定的偏差。

3.3 分度機構基座傾斜角度波動產生的影響

除了上述的加速度計夾具由于溫度改變而造成的局部變化需要考慮，還需要考慮在測試過程中，旋轉面整體的傾斜角度因為某種原因產生了波動造成的影響。比如，設備外界環(huán)境溫度或溫度梯度發(fā)生了改變，導致設備基座兩側熱膨脹程度不同，或者溫箱內的溫度引起了基座溫度的改變，導致設備基座自身的熱形變，亦或者傾斜潮汐造成的傾角改變。如圖4 所示，在存在分度機構傾斜角度波動造成的誤差角γe2時，實線箭頭方向變化為虛線箭頭方向。用γe2||表示γe2沿θ =0 方向的誤差角，γe2⊥表示沿θ = π/2 方向的誤差角。

圖4 分度機構傾斜角度波動造成的加速度計敏感軸方向變化Fig.4 Changes in the direction of the accelerometer sensitive axis after the dividing mechanism is deformed by heat

此時，加速度計的實際輸出為：

式(13)經過加減組合，得到不同溫度測試點Tj下的零偏和標度因數：

從式(14)可以看到，經過組合處理后，基座傾角出現的小角度波動不會影響到零偏溫度系數的測量，但卻會影響到標度因數溫度系數的測量。對于量程較小的ng 分辨率加速度計，1″的γe2⊥的變化就將引起幾百到上千ppm 的相對誤差，因此，如果要準確地測試標度因數的溫度系數，需要在整個測量過程中，將傾斜角穩(wěn)定在遠好于1″的水平。這就要求必須對環(huán)境溫度和溫度梯度進行控制，并將傾斜裝置設計在常溫環(huán)境中，減小基座傾斜角波動造成的影響。

另外如果測量持續(xù)時間比較長，達到幾個小時或更長，則需要考慮傾斜潮汐的影響。傾斜潮汐最大可在±200 nrad 即±0.05″的范圍內波動，有可能造成約30 ppm 的相對誤差。

綜上所述，對于量程僅為mg 量級的超高靈敏度加速度計，要測試其溫度模型，需要將傾斜分度機構置于溫控機構之外，保持測試設備外界環(huán)境的溫度穩(wěn)定，并且采用傾斜至一小角度然后等位置間隔旋轉的方式測試不同溫度點下的零偏和標度因數，以減小加速度計夾具熱形變和基座傾斜波動引入的誤差。對于標度因數溫度系數≤1000 ppm/℃，并且夾具熱形變小于 2′的情況下，零偏溫度系數測試精度可優(yōu)于0.5 μg/℃，標度因數的測試精度主要受限于基座傾斜角度的波動，傾斜潮汐造成的影響最大約為30 ppm。

3.4 加速度計高階項系數帶來的誤差

若考慮加速度計的高階項系數，以二階非線性系數K2為例，加速度計的輸出E(Tj)應為：

在k=0 和2 的位置處，ai=0，K2帶來的效應對加速度計輸出不構成影響，在k=1 和3 的位置處，K2帶來的效應將通過對這兩個位置加速度計的輸出做減法消除掉，因此二階非線性系數不會影響加速度計的溫度模型測試。

以交叉耦合系數Kip為例，加速度計的輸出E(Tj)應為：

類似地，在k=0 和2 的位置處，Kip帶來的效應對加速度計輸出不構成影響，而在k=1 和3 的位置處，Kip帶來的效應無法通過減法消除掉，最終得到的不同溫度測試點Tj下的零偏和標度因數為：

若Kip隨溫度變化很小或者其本身的效應貢獻到加速度計輸出上很小，則可以忽略其影響；否則應使用更全面的輸出模型，例如式(16)，對加速度計的各個模型參數進行擬合。

4 測試實驗與分析

基于以上分析，本實驗室采用北京航空精密機械研究所研制的基于雙軸轉臺的變溫試驗系統進行了溫度模型的測試。如圖5 所示，測試裝置主要包括雙軸轉臺、高低溫箱、直流電源和高精度數據采集系統。雙軸轉臺的轉角精度達到1″，溫箱及內部轉動臺面可以沿著水平軸做傾斜轉動，轉動臺面可以做360 °旋轉，所有轉動控制機構在高低溫箱之外，溫箱的控溫精度達到0.1 ℃，溫控均勻性優(yōu)于±2 ℃。整個實驗過程中，實驗室的溫度控制在(23±1) ℃。

圖5 實驗設備Fig.5 Experimental equipment

4.1 高精度MEMS 加速度計溫度模型測試實驗

我們以自研高精度MEMS 加速度計為測試對象，對前述方案展開驗證。待測MEMS 加速度計的量程為10 mg，分辨率達到3 ng/ Hz，內置溫度傳感器以便更加準確地評估加速度計的溫度。考慮加速度計可能存在的溫度效應，傾斜角度γ 設定為0.45 °，旋轉θ角時能產生的最大加速度為7.9 mg，略小于加速度計10 mg 的滿量程。在傾斜平面內，進行十二位置定點測試。每完成一個溫度點的12 點測試后，改變溫箱溫度，保溫1 小時，以使加速度計內部以及設備整體達到均勻的熱平衡狀態(tài)。根據應用需求，我們依次在20～40 ℃之間每隔5 ℃做了5 個溫度點的測試，分別求出這五個溫度點的零偏和標度因數。

圖6 和圖7 分別給出了計算出的加速度計零偏和標度因數隨溫度變化的關系圖。圖中展示了三次重復升溫實驗的結果，以及零偏和標度因數分別關于加速度計內部溫度變化的線性擬合結果。零偏和標度因數均表現出了與溫度較好的線性關系。

圖6 零偏關于溫度的變化情況Fig.6 Bias as a function of temperature

圖7 標度因數關于溫度變化情況Fig.7 Scale factor as a function of temperature

通過擬合可以得到，三次實驗中零偏的溫度模型和系數分別如表1 所示，標度因數的溫度模型和系數分別如表2 所示。綜合各溫度點的多次實驗數據，在95%置信區(qū)間內，零偏的不確定度達到了0.5 μg/℃，其可能原因是不同溫度點下轉臺確實存在較大的變形，或者因為溫度不均勻較大且在不同溫度點下溫度梯度存在較大的變化；相同的置信區(qū)間條件下，標度因數的不確定度達到了4 ppm/℃，各溫度點之間標度因數的波動則為～100 ppm，考慮到實驗室溫度的不確定度為1℃，據此評估基座傾斜帶來的影響最大約為6000 ppm，也就是標度因數的波動大于傾斜潮汐帶來的影響，小于實驗室溫度1℃不確定度帶來的影響，故實驗室溫度是影響本實驗標度因數不確定度的主要因素。

表1 零偏的溫度系數Tab.1 Temperature coefficient of bias

表2 標度因數的溫度系數Tab.2 Temperature coefficient of scale factor

通過對各組實驗結果分析，可以計算得到零偏的溫度系數測試重復性優(yōu)于0.4 μg/℃（95%置信區(qū)間），標度因數溫度系數測試重復性優(yōu)于30 ppm/℃（95%置信區(qū)間），達到了良好的測試效果。

4.2 高精度MEMS 加速度計定點升溫法對照實驗

為與本文所提方法進行對比，我們采用傳統的定點升溫法對同一只加速度計進行了測試。在將加速度計分別固定在0 輸入、正向接近滿量程輸入、負向接近滿量程輸入的三個位置，如前述實驗在20～40 ℃之間每隔5 ℃改變溫箱溫度，采集加速度計的輸出，以0 輸入位置的測試結果表征加速度計零偏的溫度系數，如表3 所示。

表3 定點升溫法零偏的溫度系數Tab.3 Temperature coefficient of bias in different fixed-point temperature

以接近滿量程輸入位置的測試結果表征加速度計標度因數的溫度系數，分別如表4、5 所示。

表4 定點升溫法標度因數的溫度系數（正向）Tab.4 Temperature coefficient of scale factor in different fixed-point temperature (positive direction)

表5 定點升溫法標度因數的溫度系數（負向）Tab.5 Temperature coefficient of scale factor in different fixed-point temperature (negative direction)

從零偏溫度系數的測試結果可以看出，定點升溫法和本文提出的方法結果一致，但對于標度因數溫度系數的測試而言，定點升溫法表現出了非常大的弊端：在加速度計正向和負向滿量程輸入時結果差異很大，這主要是由于夾具隨溫度發(fā)生了單向的形變γe1，K1(Tj)gsinγe1中γe1隨溫度的變化被當做了標度因數隨溫度的變化，與正向輸入和負向輸入時的測試結果分別疊加或抵消，從而使結果表現出不一致，這也證明了消除夾具形變誤差角的必要性。

4.3 星載MEMS 加速度計溫度模型測試與補償

為再次驗證本文提出的方法，我們對一款量程為2 mg 的自研星載MEMS 加速度計進行了三組測試，可以得到標度因數的溫度系數為1831 ppm/℃，不確定度為247 ppm/℃，各溫度點之間標度因數的波動則為～4700 ppm，大于潮汐引起的波動(231 ppm)，根據章節(jié)3.3 的分析，傾斜0.06 °測試時，由于傾斜角度γ太小，分度機構傾斜角度的波動影響被放大了，實驗室溫度梯度變化導致的基座傾斜成為影響測試精度的主要限制條件；零偏的溫度系數為44 μg/℃，不確定度為5 μg/℃，各溫度點之間零偏的波動為～120 μg，大于理論波動1 μg，仍考慮這是轉臺變形或溫度梯度導致的。

對其星載試驗的結果[25]，依據地面溫度測試結果，對其進行了補償，結果如圖8 所示。可以看到，在存在如綠色曲線所示的較大溫度變化趨勢時，未經溫度補償的加速度計輸出也表現出了和溫度較大的變化趨勢，在溫度趨于平穩(wěn)時，加速度計的輸出變化也隨之趨于平緩，表現出了較強的相關性，系數可達47 μg/℃，而經過溫度補償的加速度計輸出則擺脫了和溫度相關的變化趨勢，降低為1.7 μg/℃，為補償前的3.5%，有效減弱了溫度對加速度計輸出的影響。

圖8 高精度MEMS 加速度計星載過程中溫度補償前后的加速度計輸出Fig.8 Acceleration output of high precision MEMS accelerometer before and after temperature compensation in spaceborne test

5 結 論

本文從ng 級MEMS 加速度計的測試需求出發(fā)，全面地分析了超高靈敏度加速度計的零偏和標度因數的溫度系數測試時面臨的誤差，量化了各誤差帶來的影響，從原理上給出了重力場多位置測試方案中提升測試精度的方法，并確認部分誤差依然可通過在重力場中選取對稱位置進行多位置測試予以抵消。對本組自研的ng 級加速度計進行了測試，試驗結果表明，對于ng 級的加速度計，其零偏和標度因數的溫度系數測試精度主要受限于傾斜潮汐等地面環(huán)境波動的影響，在可以保證加速度計精度的情況下，適當增大其量程，或控制實驗設備外部溫度，從而減小地面傾角波動，將有效提高標度因數的溫度系數測試精度。本分析亦可適用于部分微震儀、傾斜儀的溫度模型測試。