王瑞

（中國石化勝利油田分公司勘探開發(fā)研究院，山東東營257015）

關(guān)于壓裂直井的產(chǎn)能研究可分為穩(wěn)態(tài)與非穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能[1-3]。對于壓裂直井的穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能研究相對豐富，王峰等[4]與陳映赫等[5]考慮低速非線性滲流特征，建立了壓裂直井的穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能模型。熊健等[6]建立了發(fā)育有多翼裂縫的直井產(chǎn)能模型。何理鵬等[7]考慮低速非線性流動與應(yīng)力敏感，推導(dǎo)了低滲透油藏壓裂直井穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能與流入動態(tài)方程。張政等[8]，王宏等[9]，苑志旺等[10]考慮油藏應(yīng)力敏感與啟動壓力梯度影響基礎(chǔ)上，研究了壓裂直井的穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能。朱維耀等[11-12]在2013與2014年分別針對煤層氣與頁巖氣的擴散、吸附特征，建立了壓裂直井的穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能模型。以上內(nèi)容均為關(guān)于壓裂直井穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能的研究。

而對于壓裂直井的非穩(wěn)態(tài)研究也較豐富，JACQUES[13]依據(jù)產(chǎn)量相等，將壓裂直井等效為直井，再建立該等效直井的產(chǎn)能模型，從而獲得壓裂直井的產(chǎn)能。LUO 等[14]，REN 等[15]與WAN 等[16]認(rèn)為直井壓裂后在井筒附近形成多條裂縫，各裂縫的長度與方位角均不相同，并建立了壓裂后發(fā)育該復(fù)雜裂縫的直井井底壓力分析模型。WANG 等[17]考慮油藏壓力變化對儲層裂縫影響，建立耦合油藏形變與流體滲流的壓裂直井滲流數(shù)學(xué)模型。劉海龍等[18]考慮儲層非均質(zhì)性，推導(dǎo)了適合致密砂巖油藏部分射開的壓裂直井產(chǎn)能計算公式。WANG 和YI[19]考慮碳酸鹽油藏溶蝕孔形態(tài)、裂縫有限導(dǎo)流等影響，運用Laplace變換與疊加原理，建立了壓裂直井井底壓力半解析模型。崔傳智等[20]運用滲流力學(xué)理論，建立了縫洞型碳酸鹽巖油藏壓裂直井瞬態(tài)產(chǎn)能分析模型。GUO等[21]考慮致密氣藏的應(yīng)力敏感，建立了大型水力壓裂直井的瞬態(tài)壓力模型。ZHU 等[22]在考慮致密油藏裂縫與油藏基質(zhì)非穩(wěn)態(tài)竄流基礎(chǔ)上，建立了大規(guī)模改造直井試井模型。以上內(nèi)容均為關(guān)于壓裂直井瞬態(tài)產(chǎn)能的研究。

從以上關(guān)于壓裂直井產(chǎn)能與壓力分析研究可知，目前的壓裂直井產(chǎn)能研究主要為考慮油藏特性、滲流特性、裂縫發(fā)育情況、完井情況，運用穩(wěn)定或者不穩(wěn)定滲流理論，建立考慮各自假設(shè)、物理模型特征的壓裂直井滲流數(shù)學(xué)模型。這些研究很少能用于油水兩相流動情況下的壓裂井產(chǎn)能預(yù)測。本文運用滲流力學(xué)理論與數(shù)值計算方法，給出了低滲透油藏油水兩相流動的壓裂井產(chǎn)能計算方法，并將該方法計算結(jié)果與礦場數(shù)據(jù)對比以驗證本文方法的準(zhǔn)確性。該研究為壓裂井產(chǎn)能預(yù)測與優(yōu)化提供了理論基礎(chǔ)。

1 壓裂井產(chǎn)能模型建立

井網(wǎng)壓裂后，流體在儲層中的流動呈現(xiàn)出橢圓形特征（圖1），在裂縫中的流動呈現(xiàn)出線性流動特征。根據(jù)流體在儲層與裂縫中的流動規(guī)律不同，可以將單元井網(wǎng)劃分為2 個物理滲流區(qū)域（I 區(qū)與II區(qū)），其中I區(qū)為裂縫內(nèi)線性流動區(qū)域，II區(qū)為儲層橢圓滲流區(qū)域。在I 區(qū)內(nèi)，流體為高速非達(dá)西流動；在II區(qū)內(nèi)，流體流動存在啟動壓力梯度。

圖1 垂直壓裂井等壓線與流線分布Fig.1 Distribution of isobar and streamline of vertical fracturing wells

為建立I區(qū)與II區(qū)耦合的油水兩相滲流模型，給出如下合理假設(shè)：①油水兩相流體不混溶且微可壓縮；②忽略重力和毛管壓力的影響；③地層溫度不變，滲流過程等溫；④油藏各向異性；⑤裂縫穿透整個油藏。

1.1 油藏各向異性的處理方法

MUSKAT[23]指出，滲透率為(Kx,Ky)的各向異性油藏可以等效為滲透率為K的各向同性油藏，等效后的滲透率與等效前滲透率具有如下關(guān)系，

式中：K為平均滲透率，10-3μm2；Kx和Ky分別為x和y方向上的滲透率，10-3μm2。

1.2 I區(qū)裂縫內(nèi)線性流動區(qū)域

I區(qū)為裂縫內(nèi)的線性流動區(qū)域；在該區(qū)域內(nèi)流體流動為高速非達(dá)西流動，描述方程如下：

式（2）—（3）中：p為壓力，MPa；μo與μw分別為原油黏度與水黏度，mPa·s；kfo與kfw為裂縫油相與水相滲透率，10-3μm2；vfo與vfw為裂縫內(nèi)油、水的流動速度，m/s；ρo與ρw為油、水密度，kg/m3；h為油層的厚度，m；wf為裂縫的寬度，cm；Qo與Qw為地層條件下流過裂縫截面的油、水流量，m3/s。

高速非線性滲流系數(shù)ζ計算公式如下[24-25]：

式中：φ為孔隙度；sfwr為裂縫內(nèi)束縛水飽和度；kfro(sw)為裂縫內(nèi)油相相對滲透率；kf為裂縫絕對滲透率，10-3μm2。

1.3 Ⅱ區(qū)為裂縫控制范圍內(nèi)的橢圓滲流區(qū)

壓裂直井開發(fā)過程中，在儲層中形成共軛等壓橢圓和共軛流線雙曲線（圖1：紅色為等壓橢圓，綠色為流線雙曲線）。

直角坐標(biāo)和橢圓坐標(biāo)的關(guān)系可以表示為：

式中：cosh 與sinh 分別為雙曲余弦和雙曲正弦函數(shù)；ξ、η為橢球坐標(biāo)。

則II區(qū)內(nèi)描述橢圓與雙曲線的方程可以分別表示為：

式中：a與b分別為橢圓長軸與短軸的半長，m；xf是裂縫半長，m。

基于擾動橢圓：橢圓族可等效為發(fā)展矩形簇[26]。相關(guān)參數(shù)計算如下：

式中：與分別為矩形的長邊（平均等壓線方向）與短邊（平均流線方向坐標(biāo)）[26]，m。

等效后的矩形內(nèi)滲流偏微分方程為：

式中：kro為油相相對滲透率；krw為水相相對滲透率；G為啟動壓力梯度，MPa/m。

等效的矩形過流斷面流量可表示為：

式中：Q為流過斷面的流量，m3/s；B為體積系數(shù)，m3/m3。

1.4 定解條件

1）初始條件為：

式中：pe為油井井底流壓，MPa；pw為水井井底流壓，MPa；rw為井筒半徑，m；swc為初始含水飽和度；ξe為供給邊緣半徑，m。

2）外邊界條件為：

3）內(nèi)邊界條件為：

4）I區(qū)與II區(qū)的界面耦合條件：

將需要計算產(chǎn)量的整個時間離散，當(dāng)離散時間足夠小時，該離散時間段內(nèi)的流動為穩(wěn)態(tài)滲流[27]。第一個離散時間段內(nèi)的產(chǎn)油量與產(chǎn)水量可以通過式（2）、式（3）、式（8）及定解條件計算獲得。對于第二個離散時間段，含水飽和度已經(jīng)不是第一個離散時間段內(nèi)的含水飽和度（swc）。依據(jù)物質(zhì)守恒有：第二個離散時間段內(nèi)的飽和度等于第一個離散時間段內(nèi)飽和度與第一個離散時間段內(nèi)的存水量孔隙體積倍數(shù)之和。依據(jù)該關(guān)系，可以求得第二個離散時間段內(nèi)的油藏含水飽和度，將其代入式（2）、式（3）、式（8）可以獲得第二個離散時間段內(nèi)的產(chǎn)油量與產(chǎn)水量。對于第三個離散時間段，求解產(chǎn)水量與產(chǎn)油量的思路與第二個離散時間段的產(chǎn)水量與產(chǎn)油量求取思路相同。直至最后一個離散時間段產(chǎn)油量與產(chǎn)水量計算完成，最終獲得整個產(chǎn)量計算時間內(nèi)的產(chǎn)油量與產(chǎn)水量。

建立的滲流數(shù)學(xué)模型包括兩部分：裂縫線性流動與裂縫控制范圍內(nèi)的橢圓滲流。通過將橢圓等壓線等效為發(fā)展的矩形，各矩形長邊方向為平均等壓線方向、短邊為平均流線方向，等式（8）描述的是沿流線方向的流動，將裂縫控制范圍內(nèi)的2維橢圓滲流轉(zhuǎn)化為沿著流線流動的1維滲流，縮短了程序運行成本。

2 壓裂井產(chǎn)能模型應(yīng)用

以永1沙四段永1-7井為例，該井位于沙四段砂礫巖體南部，滲透率較低（8×10-3μm2）。因此，對該井采取了酸化壓裂的措施，自1989 年2 月投產(chǎn)以來已累計產(chǎn)油3.7×104t。永1-7井所處位置見圖2。

圖2 永安油田東北部永1砂礫巖油藏永1-7井位置Fig.2 Position of Well-Y1-7 in Yong-1 glutenite reservoir of northeastern Yongan Oil Field

以生產(chǎn)井永1-7 井為中心，再結(jié)合永1-53 井、永1-22 井、永1-6 和永1-20 井，最終構(gòu)成了一個四邊形井網(wǎng)。其中永1-7井射開了12—42小層，并進(jìn)行了酸化壓裂改造，此處選取23小層進(jìn)行研究。已知注采井距為350 m，地層滲透率從壓裂井到注水井間從4×10-3μm2到16×10-3μm2呈線性分布，啟動壓力梯度為0.01 MPa/m，裂縫長度與導(dǎo)流能力分別為150 m與0.4 μm2·m，注采壓差為25 MPa。利用上文所建立的壓裂井產(chǎn)能計算方法，對永1-7 井的產(chǎn)能進(jìn)行預(yù)測。預(yù)測的理論產(chǎn)油量與實際產(chǎn)油量對比見圖3。

從圖3 可知，隨著水驅(qū)油程度的增加，地層滲流阻力逐漸減小，產(chǎn)液量增大；隨著地層含水率的增長，產(chǎn)油量逐漸減小。通過將理論產(chǎn)油量、產(chǎn)液變化曲線與實際生產(chǎn)數(shù)據(jù)點進(jìn)行對比，可以看出建立的產(chǎn)能預(yù)測方法計算結(jié)果與實際生產(chǎn)數(shù)據(jù)具有較好的一致性，證明了產(chǎn)能預(yù)測方法的正確性。

圖3 永安油田東北部永1砂礫巖油藏永1-7井預(yù)測的理論產(chǎn)油量與實際產(chǎn)油量對比曲線Fig.3 Comparison of theoretical production and flied data of Well-Y1-7 in Yong-1 glutenite reservoir of northeastern Yongan Oil Field

3 壓裂井產(chǎn)能影響因素分析

以表1與圖4中的參數(shù)為基礎(chǔ)，采用控制變量方法，以定井底流壓生產(chǎn)方式為前提開展裂縫導(dǎo)流能力、裂縫長度及儲層非均質(zhì)性對壓裂井產(chǎn)能的影響研究。

圖4 相對滲透率數(shù)據(jù)Fig.4 Data of relative permeability

表1 壓裂井產(chǎn)能基礎(chǔ)參數(shù)Table 1 Basic parameters of productivity for fracturing wells

3.1 裂縫導(dǎo)流能力對產(chǎn)能的影響

采取控制變量法，運用給出的油水兩相流動壓裂井產(chǎn)能計算方法，首先研究了裂縫導(dǎo)流能力對累積產(chǎn)油量的影響（圖5）。通過研究可知，隨著裂縫導(dǎo)流能力增加，累計產(chǎn)油量增加，但是增加的趨勢慢慢變小。在裂縫導(dǎo)流能力大于0.4 μm2·m后，累計產(chǎn)油量上升的幅度明顯減小?？紤]該拐點值（0.4 μm2·m），選取導(dǎo)流能力分別為0.2，0.4，0.6 μm2·m，開展裂縫導(dǎo)流能力對壓裂井產(chǎn)能與含水率曲線的影響研究（圖6）。從圖6 可以看出，同一含水率條件下，隨著裂縫的導(dǎo)流能力越低，其產(chǎn)油量越??；但導(dǎo)流能力變大時，產(chǎn)油量增長幅度變小。

圖5 導(dǎo)流能力對累計產(chǎn)油量的影響Fig.5 Influence of conductivity on cumulative oil production

圖6 導(dǎo)流能力對產(chǎn)油量與含水率關(guān)系曲線的影響Fig.6 Relation between production and water cut under different conductivity

3.2 裂縫長度對產(chǎn)能的影響

采取控制變量法，運用給出的油水兩相流動壓裂井產(chǎn)能預(yù)測方法，分析了裂縫長度對壓裂井產(chǎn)能的影響（圖7）。從圖7可知：壓裂井產(chǎn)油量隨著含水率的增長而逐漸降低，且降低趨勢先快后穩(wěn)定再變快，呈現(xiàn)出‘S’型。當(dāng)在同一含水率條件下時，裂縫長度越大對應(yīng)的壓裂井產(chǎn)油量越大。裂縫長度的增加有利于降低井底附近的滲流阻力，故壓裂井產(chǎn)油量增加。

圖7 裂縫長度對產(chǎn)油量與含水率曲線的影響Fig.7 Relation between production and water cut under different fracture length

3.3 滲透率級差對產(chǎn)能的影響

采取控制變量法，運用給出的油水兩相流動壓裂井產(chǎn)能預(yù)測方法，分析了非均質(zhì)性（即滲透率級差）對壓裂井產(chǎn)能的影響，見圖8。由圖8可知，隨著滲透率級差從1 增加至9，儲層非均質(zhì)性逐漸變強，壓裂井產(chǎn)能降低，水驅(qū)油開發(fā)效果變小。

圖8 滲透率級差對產(chǎn)油量與含水率曲線的影響Fig.8 Relation between production and water cut under different permeability ratio

4 結(jié)論

1）考慮儲層各向異性、啟動壓力梯度及壓裂井油水兩相流動基礎(chǔ)上，運用滲流理論與數(shù)值計算方法，建立了低滲透油藏油水兩相流動壓裂井產(chǎn)能預(yù)測方法。通過將該方法計算結(jié)果與礦場實際數(shù)據(jù)對比，驗證了該產(chǎn)能預(yù)測方法的準(zhǔn)確性。

2）在含水率一定的條件下，裂縫導(dǎo)流能力越大，產(chǎn)油量越高；但隨著導(dǎo)流能力變大，壓裂井產(chǎn)油量的增加幅度變小。裂縫導(dǎo)流能力增加，累計產(chǎn)油量增加，當(dāng)導(dǎo)流能力大于0.4 μm2·m 后，累計產(chǎn)油量增加趨勢變緩。裂縫長度變大，I 區(qū)滲流阻力降低，壓裂井產(chǎn)油量增加。滲透率級差增加（即儲層非均質(zhì)性增強）導(dǎo)致壓裂井產(chǎn)能降低，水驅(qū)開發(fā)效果變差。