戴雅婷 李東臻 邱 原

（海軍工程大學(xué) 武漢 430033）

1 引言

無刷直流電機由于結(jié)構(gòu)和驅(qū)動控制方法簡單，控制方式類似于傳統(tǒng)的直流電機，因此在中小功率傳動場合得到了廣泛的應(yīng)用［1］。大容量傳動場合可采用多相分數(shù)槽繞組降低每相容量，同時提高轉(zhuǎn)矩密度和減小電流諧波［2］。合適的電機極、槽數(shù)的分數(shù)槽繞組，還能夠有效地抑制無刷直流電機的轉(zhuǎn)矩脈動［3］。

電機電感參數(shù)對于建立電機數(shù)學(xué)模型、分析電機性能與研究控制策略十分重要。多相分數(shù)槽繞組電機不能沿用傳統(tǒng)三相整數(shù)槽電機的傳統(tǒng)電感計算方法，這是由于［4～8］：

1）不同于正弦波供電的交流電機，電機的方波氣隙磁密均參與產(chǎn)生有效電磁轉(zhuǎn)矩，因此相繞組磁通的各次諧波應(yīng)計入主電感，而不是單獨計算諧波漏感；

2）相繞組通入的電流為近似方波，不同于交流電機的正弦波；

3）電機若采用表貼式磁極，等效氣隙大，主電感與漏電感較接近；

4）各相繞組的互感不按空間位置角的余弦規(guī)律變化，需按照各相的繞組函數(shù)重新推導(dǎo)，而分數(shù)槽繞組的相互關(guān)系更加復(fù)雜。

一般來說，電感的計算可以分為由基本元件磁勢分析出發(fā)的磁路方法［9～10］、采用等效面電流的解析磁場方法［11～12］或有限元法。有限元計算方法精度高，能夠考慮鐵芯的飽和，但計算時間長、物理意義也不明確，難以獲得自感與各相互感的關(guān)系。解析磁場方法雖有明確的物理意義，但推導(dǎo)十分復(fù)雜。因此本文從解析磁路出發(fā)，借鑒繞組函數(shù)的思路，推導(dǎo)多相分數(shù)槽繞組無刷直流電機的通用電感計算公式。

2 電感計算的基本方法

分析對象為表貼式永磁電機，并作如下假設(shè)。

1）假設(shè)鐵芯材料的磁導(dǎo)率為無窮大，忽略鐵芯材料的飽和與損耗；

2）沿圓周方向氣隙均勻，各處磁導(dǎo)相同，永磁體的氣隙處磁密波形為理想方波；

3）氣隙磁場的正方向規(guī)定為由轉(zhuǎn)子外表面進入定子為內(nèi)表面。

由電感L的含義可知，其為磁鏈ψ與產(chǎn)生該磁鏈的電流i之比為

磁鏈是磁通Φ與所交鏈線圈匝數(shù)N的乘積，即：

根據(jù)磁路歐姆定律，磁通可由磁動勢（MMF）與磁路磁導(dǎo)的乘積求得

因此電感計算的關(guān)鍵在于求得該電流在磁路上所產(chǎn)生的磁動勢F與磁路處的磁導(dǎo)λ。對于電機繞組的電感計算，由于假設(shè)中忽略了鐵芯材料的磁壓降，因此主要問題在于計算沿氣隙圓周的磁動勢及氣隙處磁導(dǎo)。

氣隙磁動勢的計算可借鑒繞組函數(shù)的思想，不用考慮整數(shù)槽繞組與分數(shù)槽繞組的區(qū)別，由安培環(huán)路定理得到其分布函數(shù)，從而得到通用的電感計算公式。

3 電樞反應(yīng)自感的計算

首先計算一相繞組通入電流im后在氣隙產(chǎn)生的磁動勢。

分數(shù)槽結(jié)構(gòu)的相繞組由分布于多個單元電機、同相位的線圈組成，考慮到單元電機之間完全對稱的繞組分布，氣隙磁動勢的分布完全一致，于是可以將單元電機作為對象分析相繞組產(chǎn)生的磁動勢。

在單元電機內(nèi)，一個節(jié)距為y（按槽數(shù)計算）、匝數(shù)為Nc的線圈嵌放在定子槽內(nèi)（見圖1）。

圖1 繞組元件在氣隙中產(chǎn)生的磁動勢

當(dāng)線圈通入電流ic時，它將在在氣隙圓周上產(chǎn)生一個閉合磁場，考慮到正方向的規(guī)定，該定子磁動勢沿氣隙圓周將按圖示分布。由磁路的安培環(huán)路定理可知，線圈所產(chǎn)生的磁動勢為磁力線所包圍的總電流，它的幅值就為

由磁通連續(xù)性定理，該線圈磁動勢所產(chǎn)生的磁通進入定子軛部與從定子軛部穿出的磁通量必然相等，但由于線圈的跨距不是半個單元電機圓周，因此兩個方向磁通通路的面積不同，磁動勢沿氣隙圓周的分布必然也不同，它與通路面積成反比。由于給位置鐵芯軸向長度一致，通路面積與各自磁路的圓周長度決定。以繞組槽數(shù)為單位計算，定義x為沿圓周方向的槽數(shù)，原點位于線圈的軸線。由以上分析知道沿圓周的氣隙磁動勢的表達式為

式中Zt為單元電機的槽數(shù)。在得到單個線圈在氣隙產(chǎn)生的磁動勢后下一步需要計算氣隙處磁通路徑的磁導(dǎo)，氣隙磁導(dǎo)計算式為

式中δef是考慮了永磁體厚度的等效氣隙長度，Ag是與繞組交鏈的氣隙磁通路徑面積，其表達式分別為

式中δ為氣隙長度；lpm為永磁體厚度；μr為永磁體的相對磁導(dǎo)率；t為單元電機數(shù)；D為氣隙圓周處的直徑；lef為定子鐵芯的有效長度。

在得到沿氣隙分布的磁動勢表達式與氣隙磁導(dǎo)后，在線圈跨距y個槽內(nèi)累加得到與線圈交鏈的磁通，為

4 電樞反應(yīng)互感的計算

對于多相繞組結(jié)構(gòu)，根據(jù)兩相繞組的相互位置，它們的互感計算需要分為三種情況。下面計算第k相對第j相繞組的互感。兩相繞組相距的槽數(shù)為|k-j|。

4.1 | k-j|＜y的情況

|k-j|＜y時兩相繞組位置的相互關(guān)系如圖2，k相線圈在氣隙中產(chǎn)生的磁通與j相線圈交鏈的部分既有正向，又有反向。

圖2 |k-j|＜y時兩線圈相互位置

此時k相線圈在氣隙中產(chǎn)生的磁動勢分為

下面需要分別計算磁通正向部分與反向部分的氣隙處磁導(dǎo)，它們的區(qū)別僅在于磁通路徑沿圓周方向的長度不同，分別為

按照與自感相同的計算方法可以得到兩部分的氣隙磁導(dǎo)，λ+和λ-。在線圈跨距y個槽內(nèi)累加，得到k相線圈在氣隙中產(chǎn)生的磁通與j相線圈交鏈的部分之和。

4.2 y≤| k-j|≤z-y的情況

y≤| k-j|≤z-y時兩相繞組位置的相互關(guān)系如圖3，此時k相線圈在氣隙中產(chǎn)生的磁通與j相線圈交鏈的部分全為反向。

圖3 y≤| k-j|≤z-y時兩線圈相互位置

4.3 | k-j|＞z-y的情況

|k-j|＞z-y時兩相繞組位置的相互關(guān)系如圖4所示，k相線圈在氣隙中產(chǎn)生的磁通與j相線圈交鏈的部分同樣既有正向，又有反向。

圖4 | k-j|＞z-y時兩線圈相互位置

此時k相線圈在氣隙中產(chǎn)生的磁動勢分別為

下面需要分別計算磁通正向部分與反向部分的氣隙處磁導(dǎo)，它們的區(qū)別僅在于磁通路徑沿圓周方向的長度不同，分別為按照與自感相同的計算方法可以得到兩部分的氣隙磁導(dǎo)，λ+和λ-。在線圈跨距y個槽內(nèi)累加，得到k相線圈在氣隙中產(chǎn)生的磁通與j相線圈交鏈的部分之和。

在線圈跨距y個槽內(nèi)累加，得到k相線圈在氣隙中產(chǎn)生的磁通與j相線圈交鏈的部分之和。

將式（18）、（21）、（26）三式統(tǒng)一起來便得到兩相繞組的互感完整表達式。

5 漏電感與總電感的計算

電機漏電感是由不穿過氣隙的磁通引起的，由于分數(shù)槽繞組特別是節(jié)距y較小時的電機端部繞組很短，端部漏電感含量較小，因此電機漏電感的主要成分是槽漏電感。槽漏電感的計算方法與傳統(tǒng)交流電流類似，這里不再贅述。

需要注意的是，槽漏感既存在與一相繞組的自感中，也存在滿足一定關(guān)系的兩相繞組互感中，如圖5所示。一相繞組的槽漏電感是相繞組線圈的原邊與副邊元件經(jīng)槽底、槽內(nèi)空間、槽口閉合的漏磁場分量，定義為Lls；當(dāng)兩相繞組相距的槽數(shù)恰好等于相繞組的跨距時，它們有元件邊同槽，磁鏈會通過定子齒槽相互交鏈，于是兩相繞組有互感作用，定義為Llm。

圖5 槽漏電感的磁路

6 算例

以一臺8極、46槽、23相無刷直流電機為例，通過有限元仿真驗證電機電感參數(shù)的計算結(jié)果。該電機由兩個4極23槽單元電機組成，兩單元電機間的線圈串聯(lián)成一相繞組，電機的具體參數(shù)如表1所示。

表1 算例參數(shù)

由電機的結(jié)構(gòu)參數(shù)代入上文推導(dǎo)的電感計算表達式，能夠計算電樞得到相繞組的主自感Lm，一相的槽漏電感Lls，兩相互交鏈的槽漏電感Llm及各相間的互感Mtotal_k-j。解析計算公式的一項優(yōu)勢是能夠得到電機各電感參數(shù)間的關(guān)系，例如當(dāng)|k-j|<6時，各相間的互感為

利用ANSYS Maxwell 16.0建立如圖6的電機有限元仿真模型驗證電感的計算結(jié)果，有限元仿真采用靜態(tài)求解器。

圖6 電感計算的有限元模型

解析方法與有限元仿真的部分結(jié)果如表2，由于互感矩陣具有對稱性，因此所給出的結(jié)果已經(jīng)能夠驗證計算結(jié)果。電感計算的誤差在7%以內(nèi)，滿足工程需求，若考慮定子開齒及飽和的影響，計算精度將進一步提高。這種計算方法最大的好處是能夠獲得電機各自感之間的關(guān)系，從而非常方便編程計算多相電機中數(shù)目眾多的電感參數(shù)。

表2 電感計算結(jié)果

7 結(jié)語

本文針對表貼式多相分數(shù)槽繞組無刷直流電機，借鑒繞組函數(shù)的思路，由磁路方法解析推導(dǎo)了通用的電感計算公式，其計算過程簡單，物理意義清晰，并通過有限元仿真驗證了計算結(jié)果，驗證結(jié)果表明滿足工程精度需求。該解析公式能夠得到電機自感與各相互感間的關(guān)系，因此能夠大大減少多相繞組電感參數(shù)的數(shù)目，有利于編程計算和多相電機數(shù)學(xué)模型的建立。

本文所推導(dǎo)的通用計算公式適用于不同結(jié)構(gòu)的分數(shù)槽繞組，例如當(dāng)y=1時可以計算集中繞組結(jié)構(gòu)的電感。由于整數(shù)槽結(jié)構(gòu)屬于分數(shù)槽繞組的一種特殊情況，因此同樣可以用來計算多相整數(shù)槽結(jié)構(gòu)的各相電感。