江蘇省淮安市外國(guó)語實(shí)驗(yàn)小學(xué) 孫春育

數(shù)學(xué)課本中編排的思考題思維難度相對(duì)較大、挑戰(zhàn)性較強(qiáng)，在培養(yǎng)學(xué)生思維方面具有十分重要的價(jià)值，是學(xué)生思維素養(yǎng)培育的重要載體。但經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，大部分教師對(duì)思考題的重視程度不足，對(duì)如何利用思考題資源培養(yǎng)學(xué)生思維能力關(guān)注不夠，更鮮有教師去研究編者的編寫意圖及其背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。鄭毓信在《新數(shù)學(xué)教育哲學(xué)》一書中指出，與單純強(qiáng)調(diào)“問題解決”相比，我們更應(yīng)該明確提出如下主張：“求取解答并繼續(xù)前進(jìn)?！卑l(fā)展學(xué)生的思維，教學(xué)不能止步于單一的問題解決，應(yīng)該有更多的思考與嘗試。

下面，我將以蘇教版五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)課本R101、R104兩道思考題的教學(xué)為例，談?wù)勅绾闻囵B(yǎng)學(xué)生的思維能力。

課本R101思考題（如圖1）：圖中正方形的面積是8平方厘米，你能算出涂色部分的面積嗎？

課本R104思考題（如圖2）：圖中正方形的面積是10平方厘米。圓的面積是多少平方厘米？

圖2

一、舊題復(fù)習(xí)

出示五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)一道練習(xí)題：用35米長(zhǎng)的籬笆，在靠墻的地方圍一塊菜地（如圖3），高是10米。這塊菜地的面積是多少平方米？

圖3

學(xué)生思考片刻給出答案：(35-10)×10÷2=125m2。筆者質(zhì)疑：梯形的面積=（上底+下底）×高÷2，不知道上、下底分別是多少怎么計(jì)算面積？學(xué)生釋疑：知道上、下底的和可以直接求面積。

很顯然，學(xué)生們?cè)诮忸}中已經(jīng)突破了思維定式，學(xué)會(huì)換角度整體思考解決問題了。

二、新題教學(xué)

出示課本R101思考題（如圖1）：圖中正方形的面積是8平方厘米，你能算出涂色部分的面積嗎？

涂色部分面積是圓面積的四分之三，要求涂色部分的面積就要先求圓的面積，怎樣求圓的面積？學(xué)生眉頭緊鎖，陷入沉思。我不慌不忙，請(qǐng)學(xué)生談?wù)劺Щ蟆W(xué)生紛紛表示：一般情況下，求圓的面積必須知道圓的半徑，但這里只知道正方形的面積，不知道圓的半徑所以圓的面積不好求。筆者緊抓這一沖突點(diǎn)，進(jìn)一步引導(dǎo)：“在剛才的準(zhǔn)備題中，不知道梯形的上、下底，但是可以根據(jù)已知條件求出上、下底的和，想一想，這樣的思考方法能給你什么啟發(fā)？聯(lián)系已知條件，你有什么發(fā)現(xiàn)？”此時(shí)，一學(xué)生豁然開朗，思路泉涌：“老師，我知道了，因?yàn)閳A的面積公式是S=πr2，而圓的半徑是正方形的邊長(zhǎng)，所以正方形的面積就表示成r2，也就是說r2=8，那么圓的面積就是π×8=8π(cm2)。”

當(dāng)學(xué)生思維的火花被點(diǎn)燃，盛放的那一刻一定是絢爛奪目的。我總結(jié)：“同學(xué)們，知道半徑的平方，可以直接代入計(jì)算圓的面積，這就是整體思考，當(dāng)我們思考問題思路受阻時(shí)不妨換個(gè)方向，往往會(huì)收獲意想不到的精彩。”

三、變式練習(xí)

題1：已知陰影部分的面積等于8平方厘米，求圓環(huán)的面積（如圖4、圖5）。

題目出示后不少學(xué)生已經(jīng)在草稿紙上快速地算起來，不一會(huì)兒，許多雙手齊齊地舉了起來。一學(xué)生：“受剛才那道思考題的啟發(fā)，這道題雖然不知道內(nèi)外圓的半徑，但結(jié)合已知條件我想到，陰影部分的面積就是大正方形面積減去小正方形面積，而大正方形的邊長(zhǎng)是外圓的半徑，小正方形的邊長(zhǎng)是內(nèi)圓的半徑，陰影部分的面積等于8平方厘米，也就是說R2-r2=8，那么S環(huán)=π（R2-r2）=8π（cm）2。”出示圖5后，我已經(jīng)無須多做講解，學(xué)生就已能用舉一反三的類比遷移能力很好地解決問題。

題2：已知正方形的面積是10平方厘米，求圓的面積（如圖6）。

圖6

學(xué)生的想法基本一致，都是先將大正方形等分成四個(gè)小正方形，列式為10÷4×π=2.5π（cm）2，即先求出一個(gè)小正方形的面積，再乘π，就算出了圓的面積。在前兩題探究的基礎(chǔ)上，學(xué)生解答這個(gè)問題已經(jīng)非常熟練，思維變得更加靈活。

四、探究規(guī)律

（一）歸納發(fā)現(xiàn)

提問：你能算出這個(gè)（圖6）圓的面積與它外面最小的正方形面積之間的關(guān)系嗎？學(xué)生很快給出答案：圓的面積是正方形面積的π/4。我繼續(xù)追問：如果正方形的面積是12平方厘米、15平方厘米呢？學(xué)生計(jì)算發(fā)現(xiàn)：圓的面積都是正方形面積的π/4。此時(shí)學(xué)生的好奇心被激發(fā)，竟主動(dòng)探究起來，最后得出結(jié)論：“方中圓”圖形中圓的面積始終是正方形面積的π/4。在師生的共同研究下，運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)解釋了這一結(jié)論。

（二）適度延伸

出示課本P96第13題的三個(gè)圖，并做適當(dāng)改編（如圖7）。

圖7

學(xué)生經(jīng)引導(dǎo)比較發(fā)現(xiàn)：長(zhǎng)方形與其內(nèi)部最大的半圓以及正方形與里面最大的扇形面積之間的關(guān)系與“方中圓”圖形中的關(guān)系完全相同。

五、類比發(fā)散

出示課本R104思考題：圖中正方形的面積是10平方厘米。圓的面積是多少平方厘米（如圖2）？

學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)：這道思考題與變式題2比較，條件和問題完全相同，只是圖形中正方形與圓的位置發(fā)生了變化。我適時(shí)點(diǎn)撥：“在上題中，將大正方形等分成四個(gè)小正方形，是因?yàn)樾≌叫蔚倪呴L(zhǎng)就是圓的半徑，那么這道題怎樣將正方形和圓的半徑建立聯(lián)系？是否可以換一種等分的方法？”在筆者的啟發(fā)下，學(xué)生通過小組討論，得到兩種方法：一是10÷4=2.5（cm）2先算出一個(gè)小三角形的面積，再乘2得到半徑的平方，最后乘π即可（如圖8①）；二是將相鄰的兩個(gè)小三角形拼成一個(gè)正方形，這樣就將它轉(zhuǎn)化成了與第一道思考題相同的圖形（如圖8②）。筆者繼續(xù)啟發(fā)：“在解決‘方中圓’問題時(shí)我們發(fā)現(xiàn)，圓的面積始終是正方形面積的π/4，那像這樣的‘圓中方’問題會(huì)不會(huì)也存在類似的規(guī)律？”

圖8①

圖8②

一石激起千層浪，學(xué)生的探究欲望被再次激起。伴隨著這個(gè)問題的解決，課堂被推向高潮，學(xué)生們不禁感嘆：“數(shù)學(xué)真好玩！數(shù)學(xué)真有意思！”

六、擴(kuò)展規(guī)律

如果將“方中圓”和“圓中方”兩個(gè)圖形合并，會(huì)形成什么圖形？學(xué)生嘗試得出兩種圖形，即圖9①和圖9②，那么，這時(shí)候圖9①中的兩個(gè)正方形和圖9②中的兩個(gè)圓的面積又存在著怎樣的關(guān)系呢？在我的引導(dǎo)下，學(xué)生運(yùn)用賦值法探究出了規(guī)律。

圖9①

圖9②

發(fā)展學(xué)生思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo)之一，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要手段。以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維為核心組織課堂教學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，不斷提升學(xué)生的思維能力，已成為數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)然追求。

總之，教師應(yīng)以數(shù)學(xué)課本思考題資源為載體，抓住本質(zhì)，尋求變化，關(guān)注聯(lián)系，重視推廣，引發(fā)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生的思維向下扎根、向上生長(zhǎng)。