林魏玉

[摘 要]質(zhì)數(shù)與合數(shù)是重要的代數(shù)概念，也是數(shù)論的基礎(chǔ)。文章從教育的角度出發(fā)，提出“數(shù)字這么多，已有奇數(shù)偶數(shù)，為何還要區(qū)分質(zhì)數(shù)合數(shù)？”，并給出分類的意義，幫助學(xué)生領(lǐng)悟其中的奧妙。

[關(guān)鍵詞]質(zhì)數(shù);合數(shù);概念;因數(shù)

筆者初執(zhí)教鞭時(shí)，聽(tīng)到其他數(shù)學(xué)教師說(shuō)質(zhì)數(shù)與合數(shù)是教學(xué)中的難點(diǎn)，很不以為然：不就是一個(gè)數(shù)學(xué)概念嗎？要求學(xué)生牢記并學(xué)會(huì)辨別就好了。于是，筆者教學(xué)時(shí)在課堂上不到5分鐘就講完2個(gè)概念，然后要求學(xué)生熟記熟背，筆者親自把關(guān)驗(yàn)收，直到所有學(xué)生倒背如流。但第二天，就看到學(xué)生的作業(yè)本上一個(gè)個(gè)刺眼的紅叉。

多年之后，這種“打臉”的情境歷歷在目，苦苦背誦的學(xué)生，刺眼的紅叉，讓人有苦難言。掩卷而思，問(wèn)題到底出在哪？概念教學(xué)到底如何開(kāi)展？忽然想起一句話：“嚴(yán)重的誤解不如一知半解?！币幌伦用┤D開(kāi)。于是，筆者重整旗鼓，改變對(duì)質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念教學(xué)觀念。

一、寫(xiě)因數(shù)，數(shù)出個(gè)數(shù)，為概念搭設(shè)骨架

師：請(qǐng)大家依次寫(xiě)出1～20所有數(shù)的因數(shù)，看誰(shuí)又快又好。全部完成后，請(qǐng)同學(xué)代表展示匯報(bào)，其余同學(xué)幫助糾錯(cuò)，補(bǔ)足缺漏的因數(shù)。

1的全部因數(shù)：1。

2的全部因數(shù)：1、2。

3的全部因數(shù)：1、3。

4的全部因數(shù)：1、2、4。

5的全部因數(shù)：1、5。

6的全部因數(shù)：1、2、3、6。

……

（教師把特殊因數(shù)1和該數(shù)本身標(biāo)紅）

師：觀察各數(shù)的因數(shù)數(shù)量，有什么玄機(jī)？

生1：因數(shù)個(gè)數(shù)是不固定的，千差萬(wàn)別。

生2：1只有唯一一個(gè)因數(shù)，還是1。

生3：就因數(shù)數(shù)量而言，偶數(shù)多于奇數(shù)。

生4：我反對(duì)！2也是偶數(shù)，只有2個(gè)因數(shù)，和奇數(shù)3的因數(shù)一樣多。

師：是呀！除了2，未必所有偶數(shù)的因數(shù)都比奇數(shù)的因數(shù)多吧。

生5：2是個(gè)特例，其余的符合這個(gè)結(jié)論。

生6：我發(fā)現(xiàn)數(shù)字越大，因數(shù)不一定越多。

師：試舉一例。

生6：19比10大，但是前者只有2個(gè)因數(shù)，后者有4個(gè)！

二、分類別，下定義，為概念形成鋪設(shè)橋梁

師：同學(xué)們目光銳利，請(qǐng)根據(jù)因數(shù)個(gè)數(shù)給這些數(shù)分類。（擁有唯一因數(shù)的數(shù);有1和原數(shù)兩個(gè)因數(shù)的數(shù);多于2個(gè)因數(shù)的數(shù)）

擁有唯一因數(shù)的數(shù)：1。

擁有1和原數(shù)兩個(gè)因數(shù)的數(shù)：2、3、5、7、11、13、17、19。

擁有3個(gè)及以上因數(shù)的數(shù)：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20。

師：請(qǐng)認(rèn)清這些數(shù)（2、3、5、7、11、13、17、19）。數(shù)學(xué)上把這些特殊數(shù)單獨(dú)劃為一類，定義為質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)），誰(shuí)能用通俗易懂的語(yǔ)言解釋質(zhì)數(shù)的含義？

生1：擁有兩個(gè)因數(shù)的數(shù)就是質(zhì)數(shù)。

生2：表述不嚴(yán)謹(jǐn)，應(yīng)該加一個(gè)“只”字。

師：能舉例子嗎？

生2： 2、3、5、7、11、13、17、19都只含有2個(gè)因數(shù)。多一個(gè)都沒(méi)有。

生3：我同意！還可以再詳細(xì)一些。這些數(shù)有2個(gè)因數(shù)，一個(gè)必為1，一個(gè)是原數(shù)。換句話說(shuō)，只有1和原數(shù)兩個(gè)因數(shù)的數(shù)就是質(zhì)數(shù)。

師：觀察入微，嚴(yán)謹(jǐn)簡(jiǎn)練，質(zhì)數(shù)確實(shí)就是這么定義的。（課件出示質(zhì)數(shù)的定義）

師：請(qǐng)大家認(rèn)清這組數(shù)（4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20）。這類數(shù)又被單獨(dú)歸為一類，誰(shuí)能用通俗易懂的語(yǔ)言解釋？

生4：因數(shù)個(gè)數(shù)多于2個(gè)的數(shù)稱為合數(shù)。

生5：倒不如直接說(shuō)有3個(gè)以上因數(shù)的數(shù)稱為合數(shù)。

生6：不對(duì)！多于兩個(gè)不代表三個(gè)以上。

生7：擁有三個(gè)及以上的因數(shù)的數(shù)是合數(shù)。

師：能再精確些嗎？

生8：除了1和原數(shù)以外，還有別的因數(shù)的數(shù)就是合數(shù)。

師：照這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，那數(shù)字1該如何歸類？

生9：質(zhì)數(shù)只有兩個(gè)因數(shù)，合數(shù)有三個(gè)及以上個(gè)因數(shù)，可1只有一個(gè)因數(shù)，兩頭不沾邊。

三、舉例子，做練習(xí)題，為深入理解掃清障礙

師：誰(shuí)能分別試舉兩例質(zhì)數(shù)與合數(shù)？

生1：7是質(zhì)數(shù)。

生2：同意，7除了1和它本身，再無(wú)其他因數(shù)。

生3：15是質(zhì)數(shù)。

生4：不對(duì)！15除了1和15，還有因數(shù)3和5，違背了質(zhì)數(shù)的定義。

生5：不用去計(jì)算！根據(jù)乘法口訣三五一十五，就能判斷。

生6：沒(méi)錯(cuò)，只要這個(gè)數(shù)是乘法口訣里的積，它都不是質(zhì)數(shù)。

師： 87呢？

生7：87應(yīng)該是質(zhì)數(shù)，一時(shí)想不出還有其他因數(shù)。

生8：我反對(duì)。漏算了因數(shù)3呢！

師：你真厲害！說(shuō)說(shuō)你的秘訣吧！

生8：既然87不在乘法口訣表內(nèi)，就只好從是否含有因數(shù)2、3、5著手判斷。

師：哦，原來(lái)當(dāng)口訣法無(wú)法判斷時(shí)，就要依次排查這個(gè)數(shù)是否是2、3、5的倍數(shù)……思維縝密，推理嚴(yán)謹(jǐn)。請(qǐng)大家應(yīng)用此法判別91的身份。

生9：排除了91是2、3、5的倍數(shù)的可能，八成是質(zhì)數(shù)。

師：敢打包票嗎？

生10：千算萬(wàn)算，漏算了7，它是7的倍數(shù)，91是合數(shù)。

師：了不起！判別質(zhì)數(shù)合數(shù)，如何才能萬(wàn)無(wú)一失呢？

生11：我依次排查所有的質(zhì)數(shù)因數(shù)，2、3、5、7、11、13……直到逼近原數(shù)。

師：那100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)與合數(shù)都有哪些？請(qǐng)小組合作列出100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表。

四、抓起點(diǎn)，順其自然，為豐富理解夯實(shí)基礎(chǔ)

整堂課上學(xué)生發(fā)言踴躍，敢于質(zhì)疑，在合作探討中辨明了質(zhì)數(shù)與合數(shù)，更令人欣喜的是，作業(yè)正確率高得驚人。對(duì)比兩次“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”的教學(xué)，得到一個(gè)結(jié)論：看事容易做事難，枯燥的概念理解起來(lái)需要百轉(zhuǎn)千回;死記硬背徒勞無(wú)功，理解性地運(yùn)用才是終南捷徑。學(xué)生只有經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，才能吃透概念。因此，在概念教學(xué)中，教師必須做到：

1.抓準(zhǔn)起點(diǎn)，滲透隱伏

所有的數(shù)學(xué)知識(shí)都不是空中樓閣，萬(wàn)丈高樓平地起，打好地基是關(guān)鍵。如果舍棄舊知，單刀直入講概念，不但不能直搗黃龍，而且容易動(dòng)搖根本，讓學(xué)生對(duì)概念的理解變成無(wú)本之木。這節(jié)課上，筆者充分準(zhǔn)備，事先設(shè)計(jì)兩個(gè)活動(dòng)：找出1～20各數(shù)的所有因數(shù);觀察1～20各數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)的特征。通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)實(shí)現(xiàn)質(zhì)數(shù)和合數(shù)概念與因數(shù)知識(shí)的無(wú)縫對(duì)接，為新知的學(xué)習(xí)找到了“發(fā)源地”。同時(shí)，在大量的求因數(shù)的活動(dòng)中滲透了分辨質(zhì)數(shù)合數(shù)的技巧，在清點(diǎn)因數(shù)個(gè)數(shù)的大量實(shí)例中，讓學(xué)生形成按照因數(shù)個(gè)數(shù)分類的動(dòng)機(jī)。這些學(xué)習(xí)材料都為推出質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念鋪平了道路。

2.順其自然，水到渠成

質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念的本質(zhì)區(qū)別在于含有因數(shù)的個(gè)數(shù)。如果直接生硬地呈現(xiàn)概念，忽略形成概念的過(guò)程，學(xué)生即使倒背如流，最后也只會(huì)變成嚴(yán)重的誤解。在這節(jié)課上，當(dāng)學(xué)生通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)了1～20各數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)具有不同的特點(diǎn)后，筆者循循善誘，順應(yīng)學(xué)生朦朧的感悟，讓學(xué)生按心中所想來(lái)分類，比較發(fā)現(xiàn)三組數(shù)之間的異同，根據(jù)分好的類別定義質(zhì)數(shù)與合數(shù)，那么結(jié)論就想當(dāng)于是學(xué)生自己概括出來(lái)的。即使學(xué)生的語(yǔ)言稚拙，至少是基于理解上的真心話。學(xué)生在初步感知質(zhì)數(shù)和合數(shù)的基礎(chǔ)上，通過(guò)觀察分析、比較綜合、抽象概括，基本都可以用嚴(yán)謹(jǐn)準(zhǔn)確的語(yǔ)言表述，教學(xué)水到渠成。

3.循序漸進(jìn)，豐富理解

學(xué)生對(duì)概念的理解應(yīng)該遵循具體—抽象—具體的認(rèn)知過(guò)程。在揭示概念后，不宜讓學(xué)生馬上背記。這時(shí)，筆者繼續(xù)故技重施：“請(qǐng)舉質(zhì)數(shù)和合數(shù)的例子，說(shuō)說(shuō)判斷方法?！痹诮涣髡故局?，數(shù)字從小到大，難度不斷升級(jí)，從直覺(jué)判斷到口訣判斷，到最后的程序判斷，在反復(fù)論證中，學(xué)生不但完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，思維能力和判斷力也都得到發(fā)展。

前后兩次教學(xué)對(duì)比，使筆者深刻認(rèn)識(shí)到：欲速則不達(dá)，徐徐前進(jìn)才能出奇制勝。只有讓學(xué)生親歷數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，學(xué)生才能夠合理運(yùn)用，真正理解概念。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 余志敏.“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”教學(xué)要解決兩個(gè)“為什么”[J].小學(xué)教學(xué)參考，2019（05）.

[2] 王林勝.換一種教學(xué)思路，突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)：“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”教學(xué)片斷與思考[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（小學(xué)版），2019（10）.

[3] 杭惠娟.注重技能? 攻克難點(diǎn)：蘇教版教材五年級(jí)下冊(cè)“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”同課異構(gòu)教學(xué)及思考[J].小學(xué)教學(xué)參考，2018（02）.

（責(zé)編 金 鈴）