魯桂青

[摘 要]數(shù)量關系具有相對性，已知的是標準量，未知的是相對量，二者的相對關系具有互換性，這在比大小、比多少問題中已經顯現(xiàn)。到了倍數(shù)問題中，同樣存在著辨析相對性的問題，到底誰比誰、該加還是該減、該乘還是該除，需要總結出一個簡單、可操作性強的公式進行研判。

[關鍵詞]數(shù)量關系;倍數(shù);公式;加減

每逢遇到較為煩瑣的倍數(shù)、分數(shù)（含百分數(shù)）應用題，師生都會感到頭痛。教師無奈于講了無數(shù)次，學生就是不會，而學生則覺得教師沒有講到點子上。如何才能打破這樣的困境呢？能否把這些形形色色、紛繁復雜的倍數(shù)、分數(shù)應用題歸為一類，歸納出一套行之有效的破解之道？筆者認為，不管是倍數(shù)問題還是分數(shù)問題，都屬于倍率、分率的范疇，只不過在描述問題時對數(shù)量關系的相對性作了置換。因此，根據(jù)內在的共性概括出一個“萬能公式”，使形式符合這一條件的題目或者通過一定加工和語言變換可以轉變?yōu)橥恍问降念}目，都套用這一“萬能公式”來解決，是完全行得通的。

一、簡單的倍數(shù)問題的解題公式

低年級學生在初學倍數(shù)問題時，一旦遇到類似下面的問題，往往就會束手無策，這類問題在情節(jié)描述上具有迷惑性，在語言邏輯上具有干擾性的相似情節(jié)，學生對到底該選用除法還是乘法解題常常感到迷茫。

1.佩奇有4雙旱冰鞋，喬治的旱冰鞋數(shù)量是佩奇的2倍，喬治有多少雙旱冰鞋？

2.佩奇有4雙旱冰鞋，是喬治的旱冰鞋數(shù)量的2倍，喬治有多少雙旱冰鞋？

很明顯，第1題是用“4×2=8”來解答，因為喬治的旱冰鞋數(shù)量是佩奇的2倍，也就是所求的未知數(shù)是已知數(shù)4的2倍，即有2個4，所以用乘法。而第2題有所不同，雖然也是已知佩奇的旱冰鞋數(shù)量，倍數(shù)也是2，但是相對性發(fā)生了轉換，已知數(shù)4是未知數(shù)的2倍，改寫成第1題的語序，就是未知數(shù)是已知數(shù)的[12]，所以用除法計算。

對比辨析這兩道題，可以總結出一個簡單易行的規(guī)律：知小求大，用乘法計算;知大求小，用除法計算。再進一步探究、解剖，從語法句式上辨析，還可以總結出：倍數(shù)問題，若求的是動詞“是”前面的量，用乘法計算;若求的是動詞“是”后面的量，用除法計算。倍數(shù)問題無非是誰是誰的倍數(shù)，翻來覆去，萬變不離其宗，所以用上述規(guī)律解答可以快刀斬亂麻，省去復雜的對比邏輯分析。那么，復雜的倍數(shù)問題又該怎么應付呢？

二、復雜倍數(shù)問題的解題公式

先看兩道不同類型的題目：

1.佩奇有20件裙子，豬媽媽的裙子件數(shù)比佩奇的2倍還多（少）6件，豬媽媽有多少件裙子？（用“20×2+6”或“20×2-6”解答）

2.佩奇有20件裙子，比豬媽媽的裙子件數(shù)的2倍還多（少）6件，豬媽媽有多少件裙子？（用“（20-6）÷2”或“（20+6）÷2”解答）

由于第1題的解法屬于順著情節(jié)發(fā)展來列式，大多數(shù)學生很容易就能理解和掌握，但是第2題的數(shù)據(jù)的變化是反著故事邏輯來走的，需要運用逆向思維推理，而一些學生欠缺反推能力，解題時往往就會思維受阻。部分學生經常混淆這兩類題目，尤其是對第2題這樣的題目，對于為何多了要減，少了反而要加，覺得不可思議、無法想象。

此時，教師可以扒掉情境外衣，提取直白的數(shù)量關系，進行直觀對比。將“（90）比40的2倍多10”與“90比（多少）的2倍多10”進行對比。通過反復對比可知：90只有先刨去10后，剩下的才正好是所求數(shù)的2倍。也可通過直觀的線段圖（如右圖）進行對比分析，這樣更能促進學生的理解和掌握。

引導學生經歷上述方法的運用，再經過分析、提煉與歸納，總結出較復雜的倍數(shù)問題的解題法則：知小求大，先乘倍數(shù)后加減，多幾加幾，少幾減幾;知大求小，先加減再除以倍數(shù)，多幾減幾，少幾加幾。通過進一步研究語法句式，還可以將這個法則推廣，使其更具普遍性：求“比”“占”“是”之前的未知量（未知量大于已知量），先乘倍數(shù)后加減，多幾加幾，少幾減幾;求“比”“占”“是”之后的未知量（未知量小于已知量），多減少加后再除以倍數(shù)，多幾減幾，少幾加幾。

三、倍數(shù)問題的推廣形式

在解決涉及小數(shù)、分數(shù)、百分數(shù)的應用題時，上述倍數(shù)問題的解題方法則是否可以沿用？下面從兩個例子著手研究。

1.佩奇有10件裙子，豬媽媽的裙子件數(shù)比佩奇的20%還多4件，豬媽媽有多少件裙子？（用“10×20%+4”解答）

2.佩奇有10件裙子，比豬媽媽的裙子件數(shù)的20%還多4件，豬媽媽有多少件裙子？（用“（10-4）÷20%”解答）

通過類比、分析，發(fā)現(xiàn)可以把從表面上看毫不相干的小數(shù)、分數(shù)、百分數(shù)問題與倍數(shù)問題歸為一類。為方便表述，姑且統(tǒng)稱為“倍率問題”，并歸納概括出破解此類問題的“萬能公式”：求“比”“占”“是”之前的未知量，先求乘積，多幾加幾，少幾減幾;求“比”“占”“是”之后的未知量，多退少補，多幾減幾，少幾加幾，然后再除以“倍率”。

上述規(guī)律只是從語法與詞序方面來機械比對出解題法則，那么它的數(shù)學依據(jù)到底是什么？

1.佩奇有a件裙子，豬媽媽的裙子件數(shù)比佩奇的裙子件數(shù)的b（倍）還多（少）c件，豬媽媽有多少件裙子？（b還可以是表示倍比關系的分數(shù)、小數(shù)）

分析：豬媽媽的裙子件數(shù)為ab[±]c。

2.佩奇有a件裙子，比豬媽媽的裙子件數(shù)的b（倍）還多（少）c件，豬媽媽有多少件裙子？（b還可以是表示倍比關系的分數(shù)、小數(shù)）

分析：用方程法順推出算式，然后用解方程逆推出結果，豬媽媽的裙子件數(shù)為（a±c）÷b。

【說明】

1.套用上述公式時，必須把已知量（數(shù)）置于數(shù)量關系詞句之前，否則，結論不成立。如“一個數(shù)的3倍是45，求這個數(shù)”必須改成“45是一個數(shù)的3倍，求這個數(shù)”。（調整句式后題目大意不變）

2.當多（少）之后連接的不是一個確切數(shù)字時，必須先轉換成倍率語言，再套公式。

如：①佩奇有20件裙子，豬媽媽的裙子件數(shù)比佩奇的2倍還多10%，豬媽媽有多少件裙子？其實質就是：佩奇有20件裙子，豬媽媽的裙子件數(shù)是佩奇的2.1倍，豬媽媽有多少件裙子？

②佩奇有40件裙子，比豬媽媽的裙子件數(shù)少20%，豬媽媽有多少件裙子？其實質就是：佩奇有40件裙子，是豬媽媽的裙子件數(shù)的80%，豬媽媽有多少件裙子？

說到底，簡單的倍率問題其實就是復雜倍數(shù)問題的特殊情況，就是多幾少幾的數(shù)量為0的情況，也就是沒有缺額和超額的整倍數(shù)情況，仍可用上述公式解答。上述結論只是筆者個人淺見，如有不當請不吝賜教。

（責編 吳美玲）