席萬強(qiáng)，宋 瑩，宋長坡，王堯堯

(1.南京信息工程大學(xué)濱江學(xué)院自動化學(xué)院，江蘇 無錫 214105；2.南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院，南京 210016)

0 引言

隨著工業(yè)技術(shù)的發(fā)展，工廠生產(chǎn)車間從半自動化逐步向全自動化發(fā)展，機(jī)器代人成為趨勢[1-2]。由于多數(shù)操作都是重復(fù)性的工作，這就需要機(jī)器人在面對重復(fù)運動的作業(yè)任務(wù)具有較好的控制性能。迭代學(xué)習(xí)控制(ILC)對執(zhí)行周期性任務(wù)的系統(tǒng)具有不錯的控制效果[3-4]。

迭代學(xué)習(xí)控制是Arimoto S等[5]在1984年正式提出的一種學(xué)習(xí)控制的重要分支。經(jīng)過30年的發(fā)展，已經(jīng)在理論和應(yīng)用方面取得了豐碩的成果。按照其學(xué)習(xí)率的不同，又可分為PID學(xué)習(xí)率[6](包括P型，PD型，PID型)、高階學(xué)習(xí)率[7]、最優(yōu)學(xué)習(xí)率[8]、前饋-反饋學(xué)習(xí)律[9]、動態(tài)學(xué)習(xí)律[10]、濾波器型學(xué)習(xí)律[11]以及與其他算法相結(jié)合的學(xué)習(xí)律(自適應(yīng)、模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò))等。PID學(xué)習(xí)率因其簡單形式廣泛應(yīng)用于控制領(lǐng)域。Luo A等[12]提出一種前饋-反饋PI型迭代學(xué)習(xí)控制律，在PI型控制器的基礎(chǔ)上加入D型迭代學(xué)習(xí)控制器作為其前饋環(huán)節(jié)，并將其應(yīng)用到注入式混合型有源電力濾波器中，結(jié)果表明該方法不僅計算和使用方便，而且可以有效地提高濾波器的性能。為了提高閥控非對稱缸(VCAC)的控制精度，Wang S K等[13]提出了一種PD型迭代學(xué)習(xí)控制方法，并應(yīng)用于液壓驅(qū)動的6自由度并聯(lián)平臺。Simba K R等[14]提出了一種由經(jīng)典PD控制器和擾動觀測器組成的迭代學(xué)習(xí)輪廓控制器，可以提高跟蹤能力。然而，在實際工業(yè)作業(yè)環(huán)境中，機(jī)器人的負(fù)載通常是未知可變的，這將會對系統(tǒng)造成較大的非線性擾動，影響機(jī)器人的控制性能。單獨的ILC對抑制系統(tǒng)的各種擾動，尤其是非重復(fù)性擾動的作用是有限的，必須將其他控制技術(shù)與迭代學(xué)習(xí)控制技術(shù)結(jié)合起來，而滑模控制(SMC)對于提升系統(tǒng)的魯棒性有很好的效用[15]。

為此，本文提出了一種基于ILC技術(shù)的自適應(yīng)魯棒控制策略。該策略的核心思想是將滑模函數(shù)作為控制變量，添加迭代自適應(yīng)滑模等速趨近律項，以應(yīng)對不確定位置參數(shù)和未知擾動。算法前期主體部分為滑模函數(shù)的比例增益，等同于PD控制，輔助部分為迭代自適應(yīng)控制，算法后期兩者主次顛倒。其基本思想為充分利用系統(tǒng)的先驗信息，對系統(tǒng)中的不確定參數(shù)以及控制器中的未知控制增益進(jìn)行自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)。最后，通過仿真軟件針對兩種工況對控制算法的性能進(jìn)行了實驗驗證。

1 基于ILC的自適應(yīng)滑?？刂破髟O(shè)計

迭代學(xué)習(xí)下的機(jī)器人動力學(xué)方程可寫為[16]：

(1)

機(jī)器人動力學(xué)方程需滿足如下特性：

(1)M(qk(t))為對稱正定的有界矩陣；

定義滑模控制函數(shù)如下：

(2)

則機(jī)器人的自適應(yīng)ILC技術(shù)的控制器可設(shè)計如下：

(3)

其中，

(4)

(5)

由于滑模控制本身的缺陷以及實際工程應(yīng)用中控制信息的延遲與滯后，使得系統(tǒng)的滑動模態(tài)出現(xiàn)抖震現(xiàn)象。對于連續(xù)系統(tǒng)，通常采用準(zhǔn)滑動模態(tài)的方法來抑制這種現(xiàn)象的發(fā)生，即通過設(shè)定理想滑動模態(tài)的某一Δ鄰域，并使系統(tǒng)的運動軌跡限制在該鄰域內(nèi)。通常采用以下準(zhǔn)滑動模態(tài)控制方法：

將理想滑動模態(tài)中的符號函數(shù)sgn(s)用飽和函數(shù)sat(s)代替。

(6)

其中，Δ稱為邊界層。在邊界層外，飽和函數(shù)采用線性化反饋控制，而邊界層內(nèi)則采用切換控制。

2 穩(wěn)定性收斂分析

本節(jié)將對基于ILC技術(shù)的自適應(yīng)滑?？刂破鞯拈]環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行分析，主要過程分為以下3個步驟。

①Vk(t)的有界性證明：首先定義Lyapunov能量函數(shù)，然后通過證明ΔVk(t)≤0，得出Vk(t)為非遞增序列；

②V0(t)的連續(xù)性和有界性證明：首先證明V0(t)的有界性，然后根據(jù)一致連續(xù)性判定定理，證明V0(t)在[0,T]上一致連續(xù)，再根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界定理，證明V0(t)在[0,T]上有界；

在證明過程之前，需要先給出2個定理以及4個假設(shè)條件，以用于下文的證明過程。

定理1：一致連續(xù)性判定定理：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的導(dǎo)數(shù)有界，則f(x)在[a,b]上一致連續(xù)。

定理2：閉區(qū)間有界定理：若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則它在[a,b]上有界。

機(jī)器人動力學(xué)方程滿足如下假設(shè)條件：

②不確定項和干擾項dk(t)在任意t∈[0,T]及任意k次迭代中都有界；

(1)Vk(t)的遞增性證明

選取如下Lyapunov函數(shù)：

(7)

式中，

(8)

(9)

對Wk(t)求一階導(dǎo)數(shù)，然后對兩邊積分可得：

(10)

(11)

為便于等式化簡，可將式(1)寫為：

(12)

結(jié)合式(2)可得：

(13)

將式(13)代入上式得：

(14)

將控制律式(3)代入上式得：

(15)

根據(jù)假設(shè)①～假設(shè)④，可得：

(16)

令δ=α+β，則上式可寫為：

(17)

根據(jù)假設(shè)條件③可知Wk(0)=0，并將式(17)代入式(11)可得：

(18)

將式(18)代入式(9)可得：

(19)

由式(4)可得：

(20)

(21)

從而可以看出Vk是非遞增序列，下面只需證明V0有界，就能說明Vk也是有界的。

(2)V0(t)的有界性證明

在證明之前，需給出如下不等式，該不等式在下文的證明中將會用到。

對于ρ>0，有下列不等式成立：

(22)

由公式(7)可以得到：

(23)

對上式求導(dǎo)可得：

(24)

參考式(18)可以得到：

(25)

第0次迭代時，由公式(20)可知：

(26)

代入上式到式(25)可得：

(27)

將上式代入到公式(24)得：

(28)

由公式(22)可知：

(29)

(30)

代入上式到式(28)可得：

(31)

(3)誤差收斂性證明

Vk可寫為：

(32)

由式(21)可知ΔVk≤-Wk-1，并根據(jù)式(8)可得到：

(33)

代入上式到公式(32)得：

(34)

從而有：

(35)

因為V0有界，則在區(qū)間[0,T]上可得到：

(36)

3 數(shù)字仿真

為了驗證上述提出算法的正確性，現(xiàn)以兩自由度機(jī)械臂作為仿真對象，如圖1所示。

圖1 兩自由度機(jī)械臂

依據(jù)式(1)得出其動力學(xué)方程：

其中，

其中，si=sin(qi)，ci=cos(qi)，cij=cos(qi+qj)，連桿參數(shù)如表1所示，設(shè)系統(tǒng)的期望的跟蹤軌跡為:

qd=[0.5sin(4t) 0.8cos(πt)]T0≤t≤2

表1 兩自由度機(jī)器人參數(shù)

仿真實驗分為兩種工況，其中工況1為無干擾狀況下，用飽和函數(shù)(6)代替控制律(3)中的符號函數(shù)(5)，比較兩種函數(shù)對基于ILC的自適應(yīng)滑模算法(簡稱ILC-ASM)控制效果的影響；工況2為添加隨機(jī)干擾，ILC-ASM與ILC兩種算法的控制效果比較。

3.1 工況1仿真結(jié)果

設(shè)定K=[1000 0;0 1000]，σ=[1000 0;0 1000]，λ=2，即式(2)表示為：

(37)

圖2～圖5為控制率(3)是符號函數(shù)時，算法ILC-ASM對位置精度、滑模函數(shù)s以及收斂情況的仿真曲線。由圖2、圖3可知：第25次迭代后，位置軌跡盡管能跟蹤期望軌跡，但偏差有毛刺，不夠平滑。由圖4中可知：滑模函數(shù)在第9次迭代后，收斂至最小值，隨著迭代次數(shù)增加，反而呈現(xiàn)發(fā)散趨勢，這主要是因為符號函數(shù)的添加，導(dǎo)致了控制器出現(xiàn)了顫振現(xiàn)象，如圖5所示。為了消除這種顫振現(xiàn)象，使得系統(tǒng)控制器控制軌跡更平滑些，將式(5)代替為式(6)，并設(shè)定Δ=0.2，仿真結(jié)果如圖6～圖9所示。由圖6、圖7可知：替換為飽和函數(shù)的控制率之后，系統(tǒng)的偏差軌跡變得更為平滑；最大絕對值滑模函數(shù)曲線呈現(xiàn)收斂趨勢，如圖8所示，說明隨著迭代次數(shù)的增加，系統(tǒng)的精度將會越來越高；并且相比于圖5，滑模函數(shù)軌跡變得更為平滑，抑制了顫振，如圖9所示。

圖2 控制率為符號函數(shù)的第25次迭代位置跟蹤曲線

圖3 控制率為符號函數(shù)的第25次迭代誤差曲線

圖4 控制率為符號函數(shù)的最大滑模函數(shù)絕對值收斂曲線

圖5 控制率為符號函數(shù)的第25次迭代滑模函數(shù)曲線

圖6 控制率為飽和函數(shù)的第25次迭代位置跟蹤曲線

圖7 控制率為飽和函數(shù)的第25次迭代誤差曲線

圖8 控制率為飽和函數(shù)的最大滑模函數(shù)絕對值收斂曲線

圖9 控制率為飽和函數(shù)的第25次迭代滑模函數(shù)曲線

3.2 工況2仿真結(jié)果

工況2為在工況1的基礎(chǔ)之上添加了隨機(jī)干擾τd

τd=[d1d2]T

(38)

設(shè)定隨機(jī)干擾τd為：

(39)

由于隨機(jī)干擾的添加，會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為了使系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度變得更大，調(diào)節(jié)飽和函數(shù)的Δ=0.3，為提高其收斂速度，調(diào)節(jié)σ=[30000 0;0 30000]，其它參數(shù)與工況1保持一致。仿真結(jié)果如圖10～圖13所示。

圖10 第90次迭代位置跟蹤曲線

圖11 第90次迭代位置誤差曲線

圖12 滑模函數(shù)最大絕對值收斂曲線

圖13 第90次迭代滑模函數(shù)曲線

可以看出，相比于ILC，算法ILC-ASM具有較好的魯棒性能以及較高的軌跡精度。隨機(jī)干擾會使得最大絕對值滑模函數(shù)曲線收斂到一定的精度之后，|s|max保持在一定的范圍內(nèi)變動，精度將不會再提高，當(dāng)然，隨機(jī)干擾也使得系統(tǒng)的滑模函數(shù)呈現(xiàn)隨機(jī)擾動的模式，分別如圖12、圖13所示。圖11比較的是ILC與ILC-ASM的軌跡跟蹤精度，在迭代次數(shù)增加到90次后，ILC-ASM的軌跡精度才較好于ILC，可見ILC-ASM雖對非線性隨機(jī)擾動具有較好的魯棒性能，但需要迭代的次數(shù)卻增加了，不可避免地降低了系統(tǒng)的控制效率。圖13中的波形圖中出現(xiàn)的幾個較大的脈沖，可通過調(diào)節(jié)算法的Δ與σ來抑制，例如，增大Δ的值或減小σ的值，但也會導(dǎo)致軌跡精度變低，收斂變慢，故而Δ與σ的設(shè)置，有一個尋優(yōu)的過程。

4 結(jié)論

針對非線性干擾控制問題，考慮到滑?？刂苾?yōu)越的抗干擾性能，提出了基于ILC的自適應(yīng)滑?？刂啤榱蓑炞C該控制器的特性以及對隨機(jī)干擾的抗干擾性能，分別基于兩種工況對其進(jìn)行了仿真實驗，結(jié)果表明：

(1) 基于迭代學(xué)習(xí)的自適應(yīng)滑?？刂?，既繼承了迭代學(xué)習(xí)對重復(fù)任務(wù)軌跡追蹤較高的控制性能，又繼承了滑?？刂戚^高的魯棒性能；

(2) 相比于普通的PD型迭代學(xué)習(xí)控制，雖然調(diào)節(jié)的參數(shù)增加了，但其優(yōu)點是魯棒性更強(qiáng)、軌跡精度更高、且更平滑，缺點是收斂速度較慢，需要多次迭代才能達(dá)到所需要的精度。