徐 捷，張 姿，莫鳳秀，金三梅，汪 海

(中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢)數(shù)學(xué)與物理學(xué)院，湖北 武漢 430074)

重力加速度具有重要的研究?jī)r(jià)值，在探礦、地震預(yù)測(cè)等方面有廣泛的應(yīng)用[1-3].測(cè)量重力加速度有多種傳統(tǒng)方法，如平衡法、單擺法、自由落體法等.不同的實(shí)驗(yàn)方法有不同的優(yōu)缺點(diǎn)，比如平衡法誤差較大[4]；單擺法容易變成圓錐擺，且擺動(dòng)周期T與擺角θ的關(guān)系不好確定[4-6]；自由落體法測(cè)量時(shí)，如果使用光電門，由于其自身形狀限制，不能很準(zhǔn)確測(cè)出條形物塊下端與光電門的距離[7]；利用懸鏈擺測(cè)量時(shí)，為了獲得較高的精確度，需要使用精密儀器[8]；利用原子干涉雖然能測(cè)出更為準(zhǔn)確的數(shù)值[9]，但是由于其消耗的人力物力過多，且對(duì)實(shí)驗(yàn)設(shè)備要求過高，因此不適合作為學(xué)生實(shí)驗(yàn).上述方法均在動(dòng)態(tài)過程中測(cè)量重力加速度，導(dǎo)致測(cè)量過程中外界環(huán)境引入的誤差較大，需要對(duì)原理公式進(jìn)行修正.基于此，本實(shí)驗(yàn)方案從新的角度看待該傳統(tǒng)研究課題，以靜態(tài)的過程來測(cè)量重力加速度，即通過控制細(xì)管中穩(wěn)定共存的液體柱和空氣柱在正立和倒置狀態(tài)下的壓強(qiáng)變化來測(cè)量重力加速度.

本實(shí)驗(yàn)與其他測(cè)量重力加速度的實(shí)驗(yàn)相比，只需要測(cè)量靜止?fàn)顟B(tài)的物理量，測(cè)量更加方便，且原理易懂、儀器簡(jiǎn)單、成本低、操作方便.該實(shí)驗(yàn)裝置獲得了“2020年全國(guó)大學(xué)生物理實(shí)驗(yàn)競(jìng)賽創(chuàng)新賽一等獎(jiǎng)”.

1 實(shí)驗(yàn)原理

細(xì)管內(nèi)液柱在靜止時(shí)，任意一液面的上下壓強(qiáng)相等，否則細(xì)管內(nèi)液體會(huì)流動(dòng)；由于毛細(xì)現(xiàn)象，在一端封閉的、裝有水的細(xì)管中，可以存在一段穩(wěn)定的水柱，如圖1所示.

(a)正立 (b)倒置

記圖1(a)中狀態(tài)與圖1(b)中狀態(tài)的空氣柱長(zhǎng)度分別為h1和h2，體積分別為V1和V2，空氣柱和水柱總長(zhǎng)分別為h3和h4，壓強(qiáng)分別為p1和p2，大氣壓強(qiáng)為p0，水的密度為ρ.

由玻意耳-馬略特定律[5]，有：

p1V1=p2V2,

(1)

又由空氣柱的橫截面面積相等，則其體積比等于其長(zhǎng)度比，有：

(2)

聯(lián)立式(1)、式(2)可得：

(3)

對(duì)圖1(a)狀態(tài)，對(duì)水柱下液面受力分析：其受到空氣柱和水柱向下的壓力，以及大氣對(duì)其向上的壓力，水柱處于平衡狀態(tài)，即兩者相等，有：

p1+ρgΔh=p0.

(4)

同理，對(duì)于圖1(b)狀態(tài)，下液面受到空氣柱向上的壓力，以及大氣和水柱向下的壓力，有：

p2=p0+ρgΔh.

(5)

聯(lián)立式(3)、式(4)可得：

(6)

將式(5)代入式(6)得：

(7)

(8)

由式(8)可知，在本實(shí)驗(yàn)中，重力加速度g與液面高度變化(α和Δh)、大氣壓強(qiáng)p0以及液體密度ρ有關(guān).

2 實(shí)驗(yàn)方法

實(shí)驗(yàn)儀器：

鐵架臺(tái)、橡膠塞、蒸餾水、卷尺、細(xì)管(細(xì)管內(nèi)徑小于10 mm，否則無法形成穩(wěn)定的液體柱).

實(shí)驗(yàn)步驟：

1)將細(xì)管的一端塞緊橡膠塞，向內(nèi)加入適量蒸餾水；輕輕松動(dòng)橡膠塞，在水柱和橡膠塞之間留出適當(dāng)長(zhǎng)度的空氣柱；

2)將細(xì)管固定在鐵架臺(tái)上，用刻度尺分別量出空氣柱長(zhǎng)度h1～h4,測(cè)量5次數(shù)據(jù)取平均值，求得g，并重復(fù)5次，部分實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示.

表1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

武漢地區(qū)的重力加速度為9.793 6 m·s-2.圖2縱坐標(biāo)為每組實(shí)驗(yàn)中，真實(shí)值與實(shí)驗(yàn)值之差，可以看出實(shí)驗(yàn)值與真實(shí)值的誤差可以控制在0.3 m·s-2以內(nèi).圖3中，圓點(diǎn)為每組實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)值，誤差線為每組實(shí)驗(yàn)3倍標(biāo)準(zhǔn)差的值，直線為真實(shí)值，可以看到，前4組真實(shí)值均落在每組實(shí)驗(yàn)值的±3σ之內(nèi).5組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中，第2組數(shù)據(jù)誤差最小，為0.09%，第5組數(shù)據(jù)誤差最大，為2.66%，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的不確定度不超過0.05 m·s-2,相對(duì)不確定度低.本實(shí)驗(yàn)方案不僅理論上可靠，在實(shí)際測(cè)量中也具有可行性.

圖2 真實(shí)值與實(shí)驗(yàn)值之差

圖3 真實(shí)值與實(shí)驗(yàn)值的3σ的關(guān)系

3 結(jié)束語(yǔ)

本文設(shè)計(jì)了基于空氣柱與水柱形成的壓強(qiáng)差來測(cè)量重力加速度的實(shí)驗(yàn)方法和裝置，利用該方法測(cè)量重力加速度，實(shí)驗(yàn)誤差小.原理簡(jiǎn)單易懂，且實(shí)驗(yàn)儀器簡(jiǎn)單、經(jīng)濟(jì)，材料易得，不需要借助于物體的運(yùn)動(dòng)和計(jì)時(shí)裝置來實(shí)現(xiàn)，即測(cè)量過程不需要參與物體的運(yùn)動(dòng)過程，進(jìn)而不再需要考慮傳統(tǒng)方法中阻力和計(jì)時(shí)引起的誤差.