曹利軍，馬 超，王 偉

（水發(fā)規(guī)劃設計有限公司，濟南250014）

蠕變特性是指材料受外界荷載、化學作用、溫度、水等因素的影響，其應變表現(xiàn)出顯著的時效特性［1］。巖石蠕變特性關系到巖體工程長期穩(wěn)定性，是實際工程中必須重視的內容之一［2］。巖石在外界應力條件下蠕變變形逐漸累積，外界應力條件改變影響蠕變變形發(fā)展，達到一定應力水準時，巖石便表現(xiàn)出加速蠕變行為，短時間內巖石破壞，巷道隧洞、高邊坡、核廢料儲存室、油田套管失穩(wěn)破壞常常與應力條件改變導致的巖石加速蠕變行為有關，因此在巖體工程全壽命周期中，巖石蠕變特性不可忽視［3，4］。

本構模型是描述巖石蠕變特性的核心手段，通過不同元件自由組合而成的元件模型由于其靈活性得到了廣泛應用，但建立能精準識別不同類型巖石蠕變行為（尤其是加速蠕變）的本構模型仍是一個難點。Shibata等［5］通過搭建蠕變應變率與流變參數(shù)之間的聯(lián)系，建立可較好描述凝灰?guī)r蠕變行為的本構模型；Günther 等［6］開展不同應力和溫度下的鹽巖蠕變試驗，通過建立穩(wěn)態(tài)蠕變速率和外界影響因素之間的關系，得到了較為精準的鹽巖蠕變模型；唐佳等［7］以白云石英片巖和綠泥鈉長片巖為研究對象，構建了能反映黏彈塑性偏量特征的改進Burgers模型；盧軍振［8］針對硬巖的脆性蠕變破壞現(xiàn)象，探究硬巖脆性蠕變破壞時間和破壞后的應力變形之間的聯(lián)系，從而建立能較好表征硬巖蠕變行為的本構模型；黃海峰等［9］引入分數(shù)階微積分來描述軟巖蠕變的黏彈性和黏塑性應變，與損傷彈性體串聯(lián)，得到一個新的蠕變損傷模型，并證明能較好地反映軟巖蠕變變形特征；金俊超等［10］提出一種基于應變軟化指標的蠕變力學模型，能較好地模擬泥巖和砂巖蠕變現(xiàn)象。

目前已有大量蠕變本構模型，但多數(shù)模型難以同時描述軟巖和硬巖的加速蠕變行為，鑒于此，本文以廣義Burgers 模型作為基礎模型，引入損傷力學理論，建立考慮時效損傷的黏塑性體，從而建立一維巖石黏彈塑性蠕變損傷模型，并推廣至三維應力狀態(tài)。給出模型參數(shù)求取方法，并進行參數(shù)敏感性分析。采用所建模型辨識5 種不同堅硬程度巖石的蠕變試驗數(shù)據(jù)，驗證所建模型的合理性和適用性。

1 蠕變損傷模型的建立

1.1 基礎模型的選擇

巖石作為一種復雜的非線性地質材料，其內部同時賦存著彈性、黏性、黏彈性和黏塑性特征，元件模型理論［1］中常用的有彈性元件、黏性元件和塑性元件，但單一的某個元件難以準確描述材料蠕變性質，因此需對不同元件進行自由組合從而得到組合元件模型。傳統(tǒng)Burgers 模型是組合元件模型中的一類經典模型，被眾多學者［1，7，8］證明能較好地描述巖石衰減、穩(wěn)定蠕變，但部分學者發(fā)現(xiàn)［11，12］傳統(tǒng)Burgers 模型描述硬巖蠕變特征時誤差較大，由此學者們在傳統(tǒng)Burgers 模型的基礎上，串聯(lián)了一個Kelvin 體，得到了適用范圍更廣的廣義Burgers 蠕變模型［11］，廣義Burgers蠕變模型示意圖如圖1所示。

由圖1可看出，廣義Burgers模型與傳統(tǒng)Burgers模型不同之處在于多串聯(lián)了一下Kelvin體，其蠕變狀態(tài)方程為

圖1 廣義Burgers蠕變模型Fig.1 Generalized Burgers creep model

式中：σ0為初始應力；σ1、ε1、E1和η1分別為Maxwell體的應力、應變、彈性模量和黏滯系數(shù)；σ2、ε2、E2和η2分別為Kelvin-1體的應力、應變、彈性模量和黏滯系數(shù)；σ3、ε3、E3和η3分別為Kelvin-2體的應力、應變、彈性模量和黏滯系數(shù)；上標圓點表示某變量對時間t的一階導數(shù)。

通過對式（1）進行求解得到廣義Burgers 模型的一維蠕變方程：

引用文獻［13，14］中的大理巖和輝綠巖蠕變試驗數(shù)據(jù)，利用數(shù)學軟件Origin，基于Levenberg-Marquardt 算法，驗證一維廣義Burgers 模型和一維傳統(tǒng)Burgers 模型描述硬巖穩(wěn)定蠕變行為的差異，對比驗證結果如圖2所示。

由圖2 可知，傳統(tǒng)Burgers 模型擬合曲線形態(tài)相對固定，衰減、穩(wěn)定蠕變階段之間部分較為“外凸”，理論值遠高于試驗值，穩(wěn)定蠕變階段理論值曲線近似為直線性線段，該階段快結束部分的曲線明顯高于理論值，傳統(tǒng)Burgers模型對大理巖和花崗巖的擬合效果一般，R2分別為0.933 8 和0.957 7，廣義Burgers 模型對大理巖和花崗巖的擬合效果較好，R2分別為0.999 0 和0.990 5。鑒于廣義Burgers模型描述硬巖穩(wěn)定蠕變的優(yōu)越性，考慮到蠕變模型對不同種類、不同硬度巖石的適用性，擇取適用范圍更廣的廣義Burgers模型作為本文模型的基礎模型。

圖2 對比驗證曲線Fig.2 Comparison validation curves

1.2 考慮時效損傷的黏塑性體

廣義Burgers 蠕變模型結構為H-N-H｜N-H｜N-N｜S，具備一定的反映巖石彈性、黏性、黏彈性變形特征的能力，但無法描述巖石的黏塑性變形。由此引入一個黏塑性體，其微分本構方程為

當應力超過損傷應力閾值（即長期強度），巖石材料才能進入加速蠕變階段，該階段黏塑性變形急劇增加，巖石材料內部微裂紋不斷發(fā)育和擴展，內部損傷不斷累積，造成巖石力學性能的宏觀劣化［9］。由此在黏塑性體的基礎上，引入損傷力學理論，根據(jù)Lemaitre等效應力原理［15］，將式（3）變形為：

式中：D（t）為損傷變量。

這里需注意的是，部分學者［16，17］按照Lemaitre 應變等效原理進行損傷演化時，直接將本構方程中的應力替換成等效應力，譬如將直接替換為，這樣的做法是不對的。實際上損傷變量是關于時間的函數(shù)，積分后D（t）會發(fā)生變化，正確的方法應該是將微分本構方程中的應力替換成等效應力，例如本文式（3）演化為式（4）的方式［18］。

Kachanov［19］認為在一維應力狀態(tài)下，蠕變條件下的損傷發(fā)展方程為：

式中：A和ν為材料參數(shù)。

對式（5）進行積分可得蠕變破壞時間te為：

聯(lián)立式（5）和式（6）可得D的演化規(guī)律：

將式（7）代入式（4）得：

對式（8）進行積分可得：

式中：C為積分常數(shù)。

當t=0時，黏塑性應變?yōu)榱?，將該條件代入式（9）有：

將式（10）代入式（9）變形可得：

式（11）即為考慮時效損傷的黏塑性體。

1.3 一維條件下的蠕變損傷模型

為使蠕變本構模型可同時反映巖石彈性、黏性、黏彈性和黏塑性特征，將考慮時效損傷的黏塑性體與廣義Burgers模型串聯(lián)，得到一個新的蠕變損傷模型，如圖3所示。

圖3 蠕變損傷模型Fig.3 Creep damage model

結合式（2）和（11）得到一維條件下的蠕變本構方程：

式中：σ0為初始應力；σs為長期強度。

式（12）即為本文所建一維條件下的蠕變損傷模型。

1.4 三維蠕變損傷本構模型

在巖體工程中，巖石多處于三向應力狀態(tài)，由此需構建三維條件下的蠕變本構模型。假設巖石各向同性，依據(jù)廣義Hooke定律有：

式中：σm為球應力張量；Sij為偏應力張量；K為體積模量；G為剪切模量。

分解巖石內部的應力張量，于是有：

式中：σij為應力張量；δij為單位張量。

一般認為，巖石在三維應力下不發(fā)生體積蠕變［13］，故本文三維蠕變方程中不考慮體積蠕變，并引入屈服函數(shù)F來描述巖石的屈服。由此將式（12）推廣為三維應力狀態(tài)：

式中：（Sij）0為初始偏應力張量；（Sij）S為對應長期強度的偏應力張量；G1、G2和G3為對應E1、E2和E3的剪切模量；H1、H2、H3和H4為三維黏滯系數(shù)；F0為屈服函數(shù)的初始值。

屈服函數(shù)可以取如下形式［13］：

式中：J2為應力偏量第二不變量。

在等圍壓三軸壓縮應力狀態(tài)中有：

將式（17）代入式（15）可得：

式（18）即為本文所建三維巖石蠕變損傷模型的軸向蠕變方程。

2 模型可行性驗證及參數(shù)求解

2.1 巖石蠕變試驗

試樣取自某水電工程邊坡平硐內頁巖巖層，運回實驗室后制備成直徑50 mm、高100 mm 的圓柱樣。蠕變試驗采用RLW-2000 型巖石三軸流變試驗系統(tǒng)，將圍壓分別設置為1、2 和3 MPa，共施加5級軸向荷載。通過試驗數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，得到3種圍壓下的分級加載蠕變曲線（偏應力標示在曲線上），如圖4所示。

圖4 分級加載蠕變曲線Fig.4 Creep curves under step loading

由圖4可看出，巖石在應力作用下首先出現(xiàn)瞬時彈性變形，接著進入衰減蠕變階段，該階段蠕變速率遞減，當蠕變速率衰減到某一恒定值附近時，便進入了穩(wěn)定蠕變階段，當應力加載到某一級別時，巖石還表現(xiàn)出歷時較短的加速蠕變，隨后巖石破壞?？傮w上，隨著圍壓的提升，對應級別的應變量值遞增。由于式（18）針對每一級加載，故還需根據(jù)玻爾茲曼原理［7，8］對圖4進行處理，得到分別加載蠕變曲線，從而對每一級加載的蠕變曲線進行擬合辨識。

2.2 參數(shù)求解

（1）參數(shù)G1和K。根據(jù)廣義Hooke定律有。

式中：μ為泊松比。

根據(jù)等圍壓三軸壓縮試驗可求得E1和μ，從而確定G1和K，限于篇幅，這里不再給出等圍壓三軸壓縮試驗結果曲線。

（2）參數(shù)G2、G3、H1、H2和H3。巖石蠕變試驗前4 級加載中，未出現(xiàn)加速蠕變階段，通過式（18）的第一式求取參數(shù)，通過數(shù)學軟件Origin，基于Levenberg-Marquardt 算法，進行非線性擬合便可確定參數(shù)G2、G3、H1、H2和H3。

（3）參數(shù)H4、te、ν和長期強度（σ1-σ3）s。當巖石外界應力水平超過長期強度時，還會表現(xiàn)出加速蠕變階段。采用式（18）的第二式求取參數(shù)H4和ν，根據(jù)試驗總歷時確定蠕變破壞時間te，根據(jù)等時應力-應變曲線法［20］確定長期強度，三種圍壓下的長期強度分別為4.75、5.68 和6.64 MPa，限于篇幅，這里不再給出求取過程。

2.3 頁巖蠕變模擬

通過式（18）辨識頁巖分別加載蠕變曲線，同時利用傳統(tǒng)三維Burgers 模型作為對比驗證，得到理論值與試驗值對比曲線，如圖5所示。模型參數(shù)如表1所列。

表1 模型參數(shù)Tab.1 Parameters of model

圖5 理論值與試驗值對比曲線Fig.5 Comparison curves between theoretical value and experimental value

由圖5 和表1 可看出，本文所建模型對頁巖蠕變試驗數(shù)據(jù)擬合效果較好，平均R2達到了0.986 8。傳統(tǒng)三維Burgers 模型的平均R2僅有0.926 4，對前4 級蠕變數(shù)據(jù)擬合誤差相對較小，但擬合值始終略低于試驗值，無法辨識最后一級蠕變數(shù)據(jù)，難以描述巖石加速蠕變階段。

3 參數(shù)分析及適用性驗證

3.1 參數(shù)敏感性分析

為了研究材料參數(shù)ν對巖石蠕變發(fā)展的影響，判斷其敏感性，將不同ν值和表1 中剩余已確定模型參數(shù)代入式（18），以頁巖圍壓1 MPa 下最后一級應力水平為例，繪制不同ν值的蠕變曲線，如圖6（a）所示。以同樣的方法繪制不同H4值的蠕變曲線，如圖6（b）所示。

圖6（a）中ν=0.35 時的蠕變曲線即為圖5（a）中最后一級理論值曲線，當ν值逐漸增加時，蠕變曲線逐漸遠離時間軸，曲線斜率遞增。材料參數(shù)ν影響蠕變速率和極限蠕變值，ν值的變化明顯影響曲線形態(tài)。當ν值從0.25 增長至1.00 時，ν值增長了300%，應變值從0.032 4 增加至0.061 9，應變值增加了91.05%，ν值平均每1%的變化引起了應變值0.30%的變化。

由圖6（b）可知，應變值隨著H4值的減小而遞增，黏滯系數(shù)H4值影響蠕變速率和極限蠕變值，同時影響曲線形態(tài)。當H4值從300 GPa·h 增長至700 GPa·h 時，H4值增長了133.33%，應變值從0.045 5 減小至0.031 2，應變值減少了31.43%。H4值平均每1%的變化引起了應變值0.24%的變化，與ν值對比發(fā)現(xiàn)，材料參數(shù)ν的敏感性高于黏塑性體的黏滯系數(shù)H4。

圖6 不同參數(shù)值的蠕變曲線Fig.6 Creep curves with different parameters

3.2 模型適用性驗證

巖石按照堅硬程度將巖石劃分為堅硬巖、較硬巖、較軟巖、軟巖和極軟巖［21］，本文蠕變試驗對象頁巖屬于軟巖。為了驗證本文所建模型描述不同類型、不同硬度巖石蠕變力學行為的適用性，引用文獻［22-25］中的石英砂巖、板巖、凝灰?guī)r和全風化花崗巖的蠕變試驗數(shù)據(jù)，通過本文所建模型進行擬合。由于Burgers模型無法描述巖石加速蠕變階段，引用文獻［26］中可反映加速蠕變過程黏塑性變形的三維Cvisc 模型進行對比驗證，得到理論值與試驗值對比曲線，如圖7所示。

圖7 理論值與試驗值對比曲線Fig.7 Comparison curves between theoretical value and experimental value

分析圖7，利用三維Cvisc 模型辨識4 種巖石的R2分別為0.928 9、0.902 4、0.983 3 和0.881 7，本文所建模型辨識4 種巖石的R2分別為0.997 3、0.975 2、0.991 6 和0.953 8。石英砂巖、板巖、凝灰?guī)r和全風化花崗巖分別屬于堅硬巖、較硬巖、較軟巖和極軟巖［21］，由于不同類型、不同硬度巖石的蠕變曲線形態(tài)各異，盡管三維Cvisc 模型擬合凝灰?guī)r蠕變數(shù)據(jù)時具備較好的模擬能力，但對石英砂巖、板巖和全風化花崗巖的擬合效果較差，適用范圍較小。本文所建模型總體上擬合精度更高，能較好地識別5 種堅硬程度巖石的蠕變力學行為，由此證明本文所建蠕變損傷本構模型反映不同類型巖石蠕變特性的適用性。

4 結論

（1）根據(jù)巖石蠕變黏彈塑性變形特性，選擇廣義Burgers 模型作為基礎模型，引入損傷力學理論，引入損傷力學理論，建立考慮時效損傷的黏塑性體，與基礎模型串聯(lián)，得到新的考慮時效損傷的巖石黏彈塑性蠕變本構模型，并推廣至三維應力狀態(tài)。

（2）利用所建模型辨識頁巖蠕變試驗數(shù)據(jù)，給出參數(shù)求解辦法，并進行參數(shù)敏感性分析，材料參數(shù)ν的敏感性高于黏塑性體的黏滯系數(shù)H4。對比試驗曲線和理論曲線，證明所建模型的可行性和合理性。

（3）引用相關文獻中不同堅硬程度的巖石蠕變試驗數(shù)據(jù)，利用所建模型和三維Cvisc 模型進行擬合對比，證明了本文所建模型反映不同類型、硬度巖石蠕變力學行為的優(yōu)越性，從而驗證所建考慮時效損傷的巖石黏彈塑性模型的適用性。目前多數(shù)模型難以反映不同巖石加速蠕變特性，所建模型通過驗證可描述不同類型、硬度巖石蠕變行為，對不同加速蠕變曲線仍有良好辨識能力，具有較廣闊的工程應用前景?！?/p>