劉 煉,付紹昌,黃輝先

(湘潭大學(xué)自動(dòng)化與電子信息學(xué)院,湖南 湘潭 411105)

1 引言

高維函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題在理論研究和實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中具有很重要的應(yīng)用價(jià)值，許多問(wèn)題可通過(guò)數(shù)學(xué)建模轉(zhuǎn)換為最優(yōu)問(wèn)題，如物流配送路徑優(yōu)化的研究[1]、高鐵動(dòng)態(tài)調(diào)度方法問(wèn)題[2]和多分類(lèi)孿生支持向量機(jī)參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題[3]。高維復(fù)雜函數(shù)優(yōu)化通常是指維度超過(guò)100維的函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題，而隨著維度的增加，問(wèn)題的局部最優(yōu)值也會(huì)增加，其計(jì)算復(fù)雜度也會(huì)呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)[4]，解決問(wèn)題的難度也隨之加大。

近年來(lái)隨著群體智能SI(Swarm Intelligence)算法的興起，遺傳算法GA(Genetic Algorithm)、粒子群優(yōu)化PSO( Particle Swarm Optimization)算法和人工蜂群ABC(Artificial Bee Colony)算法等相繼被提出。郭佳等[5]提出一種優(yōu)化的馬爾可夫鏈人工蜂群算法，通過(guò)馬爾可夫鏈對(duì)第一階段產(chǎn)生的解空間進(jìn)行重構(gòu)，減少了人工蜂群算法的隨機(jī)性，同時(shí)避免了因依賴某一最優(yōu)值導(dǎo)致的算法早熟。馮璋等[6]提出一種二維主成分分析法與主成分分析法結(jié)合與改進(jìn)灰狼優(yōu)化算法共同優(yōu)化支持向量機(jī)的人臉識(shí)別方法，以減少提取特征的維度和提取時(shí)間,從而縮短了支持向量機(jī)所需的識(shí)別時(shí)間，為了提高灰狼優(yōu)化算法的全局搜索能力,引用精英反向?qū)W習(xí)策略初始化種群。在光伏大規(guī)模故障系統(tǒng)中，標(biāo)記數(shù)難以記錄，Huang等[7]提出了一種結(jié)合人工蜂群算法和半監(jiān)督極限學(xué)習(xí)機(jī)的新算法來(lái)解決該問(wèn)題。隨著社會(huì)的進(jìn)步，問(wèn)題復(fù)雜程度不斷增加，為進(jìn)一步檢測(cè)算法的綜合能力，近幾年研究人員提出了更復(fù)雜的測(cè)試函數(shù)，如CEC(Congress on Evolutionary Computation)2013、CEC2014等。以上學(xué)者所提出的改進(jìn)算法無(wú)論在全局收斂性還是求解精度方面都待提高，同時(shí)算法尋優(yōu)只針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)，對(duì)復(fù)雜測(cè)試函數(shù)效果不佳。

灰狼優(yōu)化GWO(Grey Wolf Optimizer)算法是Mirjalili等[8]在2014 年提出的一種群體智能優(yōu)化算法。GWO概念清晰，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度低、易于實(shí)現(xiàn)和局部尋優(yōu)能力強(qiáng)等特性，擁有良好的全局搜索和局部搜索切換機(jī)制，得到了諸多國(guó)內(nèi)外研究者的認(rèn)可。Teng等[9]提出了一種結(jié)合粒子群優(yōu)化算法的灰狼優(yōu)化算法PSO_GWO，利用非線性控制參數(shù)來(lái)平衡算法的搜索能力，提高算法的收斂速度。Pan等[10]將種群狼分成幾個(gè)獨(dú)立的群體，提出了一種并行灰狼優(yōu)化算法。Mittal等[11]通過(guò)控制參數(shù)a協(xié)調(diào)算法的探索和開(kāi)發(fā)能力,提出了一種改進(jìn)的灰狼優(yōu)化算法MGWO(Modified GWO)。柳長(zhǎng)安等[12]設(shè)計(jì)了一種靜態(tài)平均和動(dòng)態(tài)加權(quán)平均混合的位置更新策略，并使用非線性遞減函數(shù)改進(jìn)灰狼優(yōu)化算法距離控制參數(shù)。GWO 算法雖然得到了許多改進(jìn),但針對(duì)高維復(fù)雜函數(shù)問(wèn)題的研究仍不多見(jiàn)。龍文等[13,14]對(duì)高維復(fù)雜函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行了研究，但其收斂精度不是很高，且在近幾年提出的復(fù)雜測(cè)試函數(shù)上效果不明顯。為增強(qiáng)算法綜合尋優(yōu)能力，同時(shí)兼顧對(duì)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)和復(fù)雜測(cè)試函數(shù)的尋優(yōu)效果，本文將醉漢漫步、反向?qū)W習(xí)與灰狼優(yōu)化算法相結(jié)合，提出一種改進(jìn)灰狼優(yōu)化算法DGWO(Drunkard Grey Wolf Optimizer)。算法主要改進(jìn)策略為：

(1)為增加局部搜索和全局搜索能力，對(duì)種群中精英個(gè)體采用醉漢漫步策略進(jìn)行更新。

(2)為避免陷入局部最優(yōu)，對(duì)種群中α、β、δ與當(dāng)前種群中適應(yīng)度值最差的3匹狼進(jìn)行反向?qū)W習(xí)，重新計(jì)算適應(yīng)度值并與本身比較排序，將3匹最好的狼隨機(jī)保留在狼群中，以增加種群多樣性，增加跳出局部最優(yōu)的概率。

(3)為平衡局部搜索能力和全局搜索能力，種群迭代過(guò)程中，更新時(shí)參數(shù)A、C采用標(biāo)量系數(shù)[15]和矢量系數(shù)，各為迭代次數(shù)的一半。

實(shí)驗(yàn)測(cè)試，該改進(jìn)算法應(yīng)用于高維測(cè)試函數(shù)與復(fù)雜函數(shù)時(shí)在精度和收斂速度上有明顯的優(yōu)勢(shì)，可應(yīng)用于兩級(jí)運(yùn)算放大器參數(shù)設(shè)計(jì)中。

2 基本灰狼優(yōu)化算法

GWO算法是受大自然中狼群狩獵捕食的啟發(fā)而提出來(lái)的，其中α狼為當(dāng)代種群中最靠近獵物的狼，β狼和δ狼為第2和第3靠近獵物的狼，ω狼則為種群中其它狼。在狼群搜捕獵物時(shí)ω狼受α、β、δ狼的引導(dǎo)朝3匹狼的方向前進(jìn)，以實(shí)時(shí)更新自身的位置，并靠近獵物。根據(jù)狼群狩獵時(shí)所建立的數(shù)學(xué)模型如式(1)～式(4)所示：

X(t+1)=Xp(t)-A·D

(1)

A=2·a·r1-a

(2)

D=|C·Xp(t)-X(t)|

(3)

C=2·r2

(4)

其中，t為當(dāng)前迭代次數(shù);Xp(t)為獵物位置;A為收斂因子，其值控制著ω狼是接近還是逃離領(lǐng)導(dǎo)狼，當(dāng)A的絕對(duì)值大于1時(shí)狼群將逃離領(lǐng)導(dǎo)狼，此時(shí)ω狼會(huì)放棄此時(shí)可能有獵物的區(qū)域，去探索更多的區(qū)域；D為包圍步長(zhǎng)；r1和r2是隨機(jī)向量，其分量取值為[0,1];a隨著整個(gè)迭代過(guò)程的進(jìn)行從2到0逐漸線性減小,a={a,a,…,a}是由a構(gòu)造出的向量，其維度與r1維度相同;C為擺動(dòng)因子。

狼群個(gè)體在包圍獵物時(shí)的數(shù)學(xué)模型如式(5)～式(11)所示，式(5)～式(10)用于計(jì)算狼群個(gè)體與α、β、δ狼的距離，式(11)用于計(jì)算新的狼群個(gè)體位置:

Dα=|C1·Xα-X(t)|

(5)

Dβ=|C2·Xβ-X(t)|

(6)

Dδ=|C3·Xδ-X(t)|

(7)

X1(t)=Xα-A1×Dα

(8)

X2(t)=Xβ-A2×Dβ

(9)

X3(t)=Xδ-A3×Dδ

(10)

X(t+1)=[X1(t)+X2(t)+X3(t)]/3

(11)

其中，Xα、Xβ和Xδ分別表示α、β和δ的位置，Dα、Dβ和Dδ分別表示狼群個(gè)體到α、β和δ的距離，A1～A3，C1～C3分別表示通過(guò)式(2)和式(4)生成的隨機(jī)數(shù)。

基本GWO 算法的偽代碼如算法1 所示。

算法1基本GWO算法

輸入：種群規(guī)模N，迭代次數(shù)t，最大迭代次數(shù)Maxit。

輸出：Xα。

1：在搜索空間中隨機(jī)生成N匹初始狼；

2：根據(jù)式(3)和式(4)計(jì)算參數(shù)A、a和C的值;

3：依次計(jì)算適應(yīng)度值f(Xi),i=1,2,3,…,N;

4：將狼按適應(yīng)度值升序排序，取前3分別標(biāo)記為Xα、Xβ和Xδ，令并t=0;

5：whilet

6：fori=1 toNdo

7： 根據(jù)式(8)～式(11)更新第i匹灰狼的位置;

8：endfor

9： 根據(jù)式(3)和式(4)更新參數(shù)A和C的值;

10： 重新計(jì)算適應(yīng)度值f(Xi),i=1,2,3,…,N;

11： 更新Xα、Xβ和Xδ的值;

12：t=t+1;

13：endwhile

14:returnXα

3 改進(jìn)的灰狼優(yōu)化算法DGWO

3.1 醉漢漫步模型

隨機(jī)漫步(Random Walk)[16]思想最早由Pearson在1905年提出的，它是一種不規(guī)則的變動(dòng)形式，變動(dòng)過(guò)程中的每一步都是隨機(jī)的。隨機(jī)漫步的思想是,從隨機(jī)點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行隨機(jī)跳躍但會(huì)遍歷整個(gè)圖。隨機(jī)漫步已在眾多領(lǐng)域得到應(yīng)用。Gupta等[17]提出一種新穎的隨機(jī)漫步灰狼優(yōu)化算法，并證明可解決連續(xù)優(yōu)化問(wèn)題，而且可以解決實(shí)際生活優(yōu)化問(wèn)題。隨機(jī)漫步可大致分為3種：馬爾可夫鏈[18]、醉漢走路(Drunkard Walk)[19]和萊維飛行(Lévy Flight)[20]。本文采用基本的醉漢漫步模型，該模型在初始化時(shí)產(chǎn)生一組隨機(jī)數(shù)，如式(12)所示：

Di=(r3*2-1)*π

(12)

其中,r3∈[0,1]，π為圓周率。

如式(13)～式(17)所示進(jìn)行三角變換：

newx=step×sin(Di)+oldx

(13)

Drβ=newx·(Xβ-Xα)

(14)

Drδ=newx·(Xδ-Xα)

(15)

X(t+1)=a×Drβ+Xβ

(16)

oldx=newx

(17)

X(t+1)=a×Di+Xα

(18)

其中,step為醉漢步長(zhǎng)，步長(zhǎng)可固定也可變化，小步長(zhǎng)促使在當(dāng)前子代附近展開(kāi)搜索，而足夠大的步長(zhǎng)有助于探索新的有希望或未探索的搜索區(qū)域，本文中step固定為2。

本文根據(jù)式(13)～式(17)更新β狼和δ狼。根據(jù)式(18)更新α狼，醉漢漫步具有強(qiáng)大的隨機(jī)性，方向具有不確定性，精英狼處于當(dāng)前狼群最優(yōu)位置，故精英狼漫步增強(qiáng)了精英狼的局部搜索能力，在優(yōu)化復(fù)雜函數(shù)時(shí)效果明顯。

3.2 反向?qū)W習(xí)策略

反向?qū)W習(xí)策略[21]是由Tizhoosh于2005 年提出的一種智能計(jì)算方法，廣泛應(yīng)用于各種算法優(yōu)化中，以提高算法搜索性能。利用反向?qū)W習(xí)策略的有效性，張新明等[22]提出一種最優(yōu)最差反向?qū)W習(xí)策略，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明最優(yōu)最差反向?qū)W習(xí)策略比一般反向?qū)W習(xí)策略更有效。反向?qū)W習(xí)的主要思想是在同一空間中對(duì)當(dāng)前解進(jìn)行反向求解，設(shè)xj是某一對(duì)象n維空間的一個(gè)當(dāng)前解，x*為反向解，則x*通過(guò)式(19)進(jìn)行求解,且x1,x2,…,xn∈R，xj∈(aj,bj),aj與bj分別代表搜索空間上下限。

x*=aj+bj-xj

(19)

狼群中α、β、δ狼與最差的狼的信息是當(dāng)前狼群所積累的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的代表。在本文改進(jìn)的灰狼優(yōu)化算法DGWO中，α、β、δ狼均為精英個(gè)體，在求α、β、δ狼的反向解的同時(shí)將狼群中適應(yīng)度最差的3匹狼進(jìn)行反向求解，并重新計(jì)算6個(gè)反向解的適應(yīng)度值且進(jìn)行排序，用排序后前3的反向解隨機(jī)替換種群中的個(gè)體，以增加種群的多樣性，擴(kuò)大搜索范圍。為了協(xié)調(diào)算法的勘探和開(kāi)采能力, 引入反向?qū)W習(xí)策略。由精英反向?qū)W習(xí)策略可知, 將反向解與當(dāng)前解同時(shí)保留，可增強(qiáng)下一代群體中種群的多樣性, 能增加算法跳出局部最優(yōu)的概率；另一方面,反向解又保留了當(dāng)前種群中精英個(gè)體的有益搜索信息，可以加快算法的收斂速度。

3.3 算法步驟

綜上所述,改進(jìn)灰狼優(yōu)化(DGWO) 算法的步驟如下所示：

步驟1算法參數(shù)設(shè)置：種群規(guī)模N，最大迭代次數(shù)Maxit。

步驟2隨機(jī)生成初始種群，計(jì)算每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值并排序，將前3個(gè)最優(yōu)個(gè)體的位置依次保存為Xα、Xβ、Xδ。

步驟3根據(jù)式(5)～式(11)更新灰狼位置信息,更新A，a，C的值。

步驟4根據(jù)式(12)～式(18)更新α、β、δ狼。

步驟5根據(jù)式(19) 進(jìn)行反向?qū)W習(xí)。

步驟6重復(fù)步驟3～步驟5直到達(dá)到最大迭代次數(shù)，輸出α狼位置，算法終止。

4 實(shí)驗(yàn)及數(shù)值分析

4.1 測(cè)試函數(shù)

本節(jié)采用國(guó)際通用的10個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)驗(yàn)證本文DGWO算法的有效性，并將其應(yīng)用于模擬集成電路參數(shù)設(shè)計(jì)問(wèn)題。為了驗(yàn)證該改進(jìn)算法求解高維函數(shù)的有效性，本文還選取了10個(gè)高維測(cè)試函數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并將測(cè)試結(jié)果與PSO、GWO-CS和GWO的測(cè)試結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。10個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)如表1所示，表中n表示維度，F(xiàn)min表示全局最優(yōu)解的值。

4.2 基本GWO算法與DGWO算法對(duì)比

為了保證公平性，算法進(jìn)行對(duì)比時(shí)采用相同的參數(shù)初始化設(shè)置，其中求解高維測(cè)試函數(shù)時(shí)種群規(guī)模N=50，最大迭代次數(shù)Maxit=1000。在GWO中，參數(shù)a的初始值為2。每種算法獨(dú)立運(yùn)行30 次，記錄尋優(yōu)的最優(yōu)值、最優(yōu)值位置、平均值以及標(biāo)準(zhǔn)差。所有測(cè)試均在Intel(R) Core(TM)i5-4590 CPU、6 GB內(nèi)存、3.30 GHz的計(jì)算機(jī)上進(jìn)行，利用Matlab 2017a編寫(xiě)程序。采用DGWO對(duì)表1中10個(gè)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行求解，并與基本GWO進(jìn)行對(duì)比。

Table 1 10 standard test functions表1 10個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)

由表2可看到，改進(jìn)后DGWO算法與基本GWO算法相比有明顯改進(jìn)，其中f1、f2、f3、f4、f5、f7、f8、f9的收斂精度有了明顯提高，且尋到了f1、f2、f3、f7、f8、f9的全局最優(yōu)解，標(biāo)準(zhǔn)差達(dá)到零，其仿真結(jié)果顯示了DGWO算法改進(jìn)策略的有效性。

表3給出了DGWO與3種對(duì)比算法(PSO、GWO和GWO-CS)對(duì)表1中10個(gè)可變維測(cè)試函數(shù)在100維、500維和1 000維中各自的尋優(yōu)結(jié)果對(duì)比,其中種群規(guī)模N=30,最大迭代次數(shù)Maxit=500,算法獨(dú)立運(yùn)行20次。通過(guò)分析表3可以得知全部測(cè)試函數(shù)取得最優(yōu)值，在100維、500維和1 000維的情況下函數(shù)f1、f2、f3、f7、f9均達(dá)到理論最小值0，函數(shù)f8達(dá)到理論最小值8.88e-16。

Table 2 Results comparison of 10 standard test functions between GWO algorithm and DGWO algorithm表2 GWO算法與DGWO算法對(duì)10個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)結(jié)果對(duì)比

Table 3 Optimization results of PSO,GWO,GWO-CS,DGWO algorithms on high-dimensional function 表3 PSO、GWO、GWO-CS、DGWO 在高維測(cè)試函數(shù)上的尋優(yōu)結(jié)果

在其它函數(shù)的尋優(yōu)精度上，與3個(gè)對(duì)比算法相比均具有優(yōu)勢(shì)。隨著維度的增大，3種算法的尋優(yōu)精度明顯下降，但本文DGWO算法在測(cè)試函數(shù)尋優(yōu)結(jié)果中均具有優(yōu)勢(shì)，且標(biāo)準(zhǔn)差同樣具有優(yōu)勢(shì)?？傮w來(lái)說(shuō),本文提出的DGWO算法在100維、500維、1 000維的測(cè)試函數(shù)上相對(duì)于GWO、PSO和GWO-CS算法尋優(yōu)結(jié)果更優(yōu)。

由表3可知，DGWO與GWO、PSO、GWO-CS相比在100維、500維以及1 000維時(shí)均取得了較優(yōu)的結(jié)果，PSO算法均未收斂，GWO在100維時(shí)(f1、f2、f3、f6、f7和f8)收斂，在500維和1 000維時(shí)只有部分收斂，由此可見(jiàn)GWO算法在高維函數(shù)尋優(yōu)方面還有提升空間。

為了更直觀地比較4種算法的收斂精度與收斂速度，圖1給出函數(shù)f1、f2、f5、f7、f8、f9的適應(yīng)度進(jìn)化曲線圖進(jìn)行對(duì)比。從圖1中可看出，與PSO、GWO、GWO-CS算法相比，DGWO算法尋優(yōu)效果更好，精度更高，收斂速度也快。

從圖1中f2、f5、f8的適應(yīng)度進(jìn)化曲線可以看出，在迭代過(guò)程中算法收斂速度較快，體現(xiàn)出改進(jìn)算法在陷入局部最優(yōu)時(shí)具有良好的機(jī)制跳出局部最優(yōu)，找到全局最優(yōu)解。

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文提出的改進(jìn)算法的有效性，本文使用10個(gè)CEC2013[23]測(cè)試函數(shù)作為尋優(yōu)對(duì)象，測(cè)試函數(shù)中包含單峰函數(shù)(f11、f12)、多峰函數(shù)(f13～f16)及組合函數(shù)(f17～f20)。各算法尋優(yōu)參數(shù)設(shè)定如下：維度為10，種群規(guī)模N=50，最大迭代次數(shù)Maxit=1000，算法獨(dú)立運(yùn)行30次，測(cè)試函數(shù)如表4所示，尋優(yōu)結(jié)果如表5所示。

Figure 1 Fitness curves of 4 algorithms on 6 functions圖1 4種算法在6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上的適應(yīng)度進(jìn)化曲線

Table 4 CEC2013 test functions

由表5可知,與GWO、PSO、GWO-CS相比，DGWO在f11～f20上均具有優(yōu)勢(shì)，平均值均取得最優(yōu)，大部分標(biāo)準(zhǔn)差取得最優(yōu)。在單峰函數(shù)(f11)上取得全局優(yōu)解，且標(biāo)準(zhǔn)差較小，可以看出該改進(jìn)算法在復(fù)雜單峰函數(shù)上較對(duì)比算法具有明顯優(yōu)勢(shì)，在多峰函數(shù)(f13～f16)上均取得最優(yōu)，對(duì)于函數(shù)f13和f16改進(jìn)效果顯著，明顯提高了收斂精度，在組合函數(shù)(f17～f20)上測(cè)試算法性能時(shí)，DGWO同樣均取得最優(yōu)，且相較于GWO、PSO和GWO-CS具有明顯的效果，f17、f19、f20平均值有大幅度提高。由以上的比較結(jié)果可知，DGWO在求解大部分函數(shù)時(shí)具有優(yōu)勢(shì)，不僅僅在高維測(cè)試標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)上，而且在復(fù)雜測(cè)試函數(shù)上同樣具有優(yōu)勢(shì)，進(jìn)一步驗(yàn)證了DGWO算法的有效性。

4.3 計(jì)算復(fù)雜度

評(píng)價(jià)元啟發(fā)式算法有效性的一個(gè)指標(biāo)為計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度。計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度越低的算法，可以用越少的計(jì)算力來(lái)完成相同的求解任務(wù)。在最壞的情況下，DGWO與GWO、GWO-CS的計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度如下所示：

在初始化階段，DGWO與GWO、GWO-CS的時(shí)間復(fù)雜度相同。種群初始化時(shí)的時(shí)間復(fù)雜度為O(N),其中N為種群大小。參數(shù)a、A和C的初始化時(shí)間復(fù)雜度為O(3)，領(lǐng)導(dǎo)者的產(chǎn)生過(guò)程的時(shí)間復(fù)雜度為O(3N)。

Table 5 Optimization results of 4 algorithms on CEC201310 test functions表5 4種算法在CEC201310測(cè)試函數(shù)上的尋優(yōu)結(jié)果

每種算法的主要計(jì)算步驟都在 while 循環(huán)中。在 GWO中，種群位置更新的時(shí)間復(fù)雜度為O(N)；在假設(shè)每個(gè)測(cè)試函數(shù)的時(shí)間復(fù)雜度為O(1)的前提下，種群適應(yīng)度計(jì)算的時(shí)間復(fù)雜度為O(N)；參數(shù)更新、領(lǐng)導(dǎo)者更新過(guò)程的時(shí)間復(fù)雜度分別為O(3)和O(3N)。綜上所述，while 循環(huán)的時(shí)間復(fù)雜度為O((5N+3)·T)，其中T是最大迭代次數(shù)。GWO 的總計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度為O(T·N)。

在GWO_CS中種群位置更新的時(shí)間復(fù)雜度為O(N)；杜鵑搜索復(fù)雜度為O(3N)，種群重新更新計(jì)算復(fù)雜度為O(N)。部分參數(shù)更新計(jì)算復(fù)雜度為O(10)，領(lǐng)導(dǎo)者更新過(guò)程的時(shí)間復(fù)雜度為O(3N)。綜上所述，while 循環(huán)的時(shí)間復(fù)雜度為O((8N+10)·T)，其中T是 最大迭代次數(shù)。GWO_CS 的總計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度為O(T·N)。

因此，考慮最壞情況下，3種灰狼優(yōu)化算法的計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度相同。

5 在兩級(jí)運(yùn)算放大器設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

隨著模擬集成電路(IC)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變得越來(lái)越復(fù)雜，模擬電路設(shè)計(jì)自動(dòng)化面臨更多更嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。模擬集成電路的參數(shù)設(shè)計(jì)可以通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，在保證增益、轉(zhuǎn)換速率、單位增益和帶寬等設(shè)計(jì)指標(biāo)的前提下獲得最優(yōu)解，大大縮短設(shè)計(jì)時(shí)間，提高電路的綜合性能。本文以L50G CMOS工藝下兩級(jí)無(wú)緩沖運(yùn)算放大器的增益優(yōu)化設(shè)計(jì)為例[24,25]檢驗(yàn)DGWO算法的實(shí)用性。該放大器的電路如圖2所示。

Figure 2 Standard two-stage operational amplifier圖2 標(biāo)準(zhǔn)兩級(jí)運(yùn)算放大器

該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型如下所示：

considerX=[x1,x2,…,x10]=[S1,…,S8,I6,Cc]

minf(X)=EAv/Av=EAv/(20 lg(2gm1gm6/(x9I6(λ2+λ4)(λ6+λ7))))

s.tg1(X)=EUGB/UGB=EUGB/(gm1/(x10+A2Cgd6))≤1

g2(X)=ESR/SR=ESR/(x9/x10)≤1

g4(X)=EPSRR+/PSRR+=EPSRR+/(20 lg(2gm1gm6/(x9λ6I6(λ2+λ4))))≤1

g5(X)=EPSRR-/PSSR-=EPSRR-/(20 lg(2gm1gm6/(x9λ7I6(λ2+λ4))))≤1

g6(X)=Pdiss/EPdiss=(VDD-VSS)(2x9+

I6)/1000/EPdiss≤1

g7(X)=10gm2/gm6≤1

g8(X)=0.122CL/x10≤1

g9(X)=10UGB/P3≤1

h1(X)=x1-x2=0,h2(X)=x3-x4=0

wheregm1=gm2= (K′nx1x9)0.5

gm3=gm4= (K′px3x9)0.5

gm6=gm4x6/x4

A2=gm6/(I6(λ6+λ7))

Cgd6=CGDOP·x6·L

P3=gm3/(4/3·COXx3L2)

Rangex1,x2,…,x8∈[1,50],x9∈(0,30],x10∈(0,10]

其中，λ2,λ4，λ6和λ7分別代表晶體管m2,m4,m6和m7的溝道調(diào)制系數(shù)。

在DGWO的基礎(chǔ)上，引入非平穩(wěn)多級(jí)分配罰函數(shù)約束處理方法[26]對(duì)模擬電路進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

表6給出了對(duì)該運(yùn)算放大器性能指標(biāo)設(shè)計(jì)要求，模型中，EAv,EUGB,ESR和ETA分別表示增益、帶寬、擺率和版圖面積的期望值，λ為晶體管的溝道調(diào)制系數(shù)，CGDOP為PMOS的柵漏重疊電容，K′n和K′p分別為NMOS和PMOS的本征導(dǎo)電因子。PSRR+和PSRR-為正電源抑制比和低頻負(fù)電源抑制比。

Table 6 Standard two-stage operational amplifier design characteristics requirements表6 標(biāo)準(zhǔn)兩級(jí)運(yùn)算放大器設(shè)計(jì)特性要求

分別設(shè)置EAv，EUGB，ESR，ETA，EPSSR+，EPSSR-，EPdiss，CL，L為50 dB，5 MHz，10 V/μs，400 μm2，60 dB，60 dB，2 mW，10 pF，2 μm,表7給出了4種算對(duì)標(biāo)準(zhǔn)兩級(jí)運(yùn)算放大器低頻增益的優(yōu)化結(jié)果，經(jīng)過(guò)5 000次迭代,每種算法獨(dú)立運(yùn)行20次。由表7可知，PSO算法在5 000次迭代后找不到可行解，DGWO算法的均值結(jié)果明顯優(yōu)于其它3種算法,驗(yàn)證了DGWO在工程應(yīng)用中的有效性。

Table 7 Standard two-stage operational amplifier low-frequency gain optimization results表7 標(biāo)準(zhǔn)兩級(jí)運(yùn)算放大器低頻增益優(yōu)化結(jié)果

6 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)基本灰狼優(yōu)化算法進(jìn)行了改進(jìn)，將反向?qū)W習(xí)和醉漢漫步融入其中，提出了DGWO算法。精英反向?qū)W習(xí)策略提高了種群多樣性，擴(kuò)大了搜索范圍，醉漢漫步機(jī)制在提高灰狼優(yōu)化算法收斂速度的同時(shí)，也提高了算法的收斂精度。本文在10個(gè)高維標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)及CEC2013部分測(cè)試函數(shù)上對(duì)DGWO進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明,與PSO、GWO和GWO-CS 算法相比,DGWO算法在大部分函數(shù)上獲得了較高的尋優(yōu)精度，能有效處理高維函數(shù)及復(fù)雜函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題，在單峰函數(shù)中具有良好的局部尋優(yōu)效果，在多峰函數(shù)與組合函數(shù)中又體現(xiàn)出全局搜索能力得到加強(qiáng)。在開(kāi)環(huán)低頻增益優(yōu)化問(wèn)題中，與其它3種群體智能算法相比，DGWO算法在對(duì)比實(shí)驗(yàn)中具有優(yōu)勢(shì)，驗(yàn)證了該算法的有效性。