王 祥，肖曙紅

（廣東工業(yè)大學(xué)機電工程學(xué)院，廣東 廣州510006）

1 引言

諧波傳動是依靠波發(fā)生器運動迫使柔性輪發(fā)生變形，然后與剛性輪進行嚙合并傳遞力矩，從而達到傳動目的。由于諧波減速器的體積小、重量輕、傳動比大和傳動精度高等諸多優(yōu)點，目前已經(jīng)被普遍的應(yīng)用在不同的機械領(lǐng)域當(dāng)中［1］。美國的Boeing、通用汽車等多個公司針對諧波傳動技術(shù)都設(shè)置了專門的研究機構(gòu)，同時還有MIT和空間技術(shù)實驗室等科研機構(gòu)和研究中心對此技術(shù)進行相關(guān)的研究。日本建立了哈默納科公司，并到目前為止一直都是諧波減速器領(lǐng)域的領(lǐng)導(dǎo)者。諧波傳動技術(shù)傳入國內(nèi)以后就得到了國家的大力支持，學(xué)者沈允文較早的開始進行研究并發(fā)表諸多著作，近年來哈爾濱工業(yè)大學(xué)、重慶大學(xué)等高校也都進行了大量的研究工作，他們所取得的成果極大的推動了國內(nèi)諧波傳動技術(shù)的發(fā)展。另有以中技克美為代表的眾多公司能夠自主研究開發(fā)諧波減速器，他們所生產(chǎn)的產(chǎn)品也都被國內(nèi)外所采用。

在諧波減速器的動力傳輸過程中，柔輪是核心部件。由于其是彈性薄壁零件，并且在運轉(zhuǎn)過程中受到波發(fā)生器帶來的交變載荷的作用下，容易對柔輪造成疲勞損壞，其中最常見的現(xiàn)象就是齒根的疲勞斷裂。因此，柔輪的強度分析對于諧波傳動來說是十分必要的，通過對柔輪進行有限元分析來為強度分析提供依據(jù)。

柔輪在諧波傳動的過程中會發(fā)生彈性變形，然后與剛輪輪齒嚙合，接觸情況比較復(fù)雜，并且諧波減速器的模型屬于剛?cè)峄旌夏Ｐ?，所以可以考慮在Adams中建立剛?cè)狁詈系奶摂M樣機，然后對虛擬樣機進行動態(tài)仿真，通過仿真分析來模擬實際運動過程中柔輪的變形以及和剛輪的嚙合狀態(tài)，分析在這種情況下柔輪的變形情況。

2 諧波減速器齒輪齒形設(shè)計

諧波減速器的剛輪和柔輪的齒形均采用雙圓弧齒廓，采用雙圓弧齒廓的齒輪在嚙合的時候可以增加嚙合的輪齒對數(shù)，并改善普通齒輪嚙合時易產(chǎn)生尖點和干涉的情況，也有利于提高諧波減速器在傳動過程中的嚙合性能。根據(jù)雙圓弧齒形的嚙合原理以及傳動特性，可以確定柔輪的齒廓參數(shù)如下［2］：

表1 柔輪齒廓參數(shù)表Tab.1 Tooth Profile Parameter

對所設(shè)計的柔輪齒廓建立方程組，然后進行坐標(biāo)變換，并利用包絡(luò)法得到對應(yīng)的剛輪的齒廓方程，由于剛輪齒廓方程組中的變量參數(shù)之間是隱函數(shù)的關(guān)系，只能通過數(shù)值法進行求解［3］，所以利用Matlab對剛輪的齒廓方程進行編程，然后將相應(yīng)的參數(shù)代入，擬合得到剛輪齒廓的曲線如圖1所示，通過曲線可以確定剛輪齒廓曲線的半徑和圓心，進一步可以求解齒廓參數(shù)，如表2所示。

圖1 剛輪齒廓曲線擬合圖Fig.1 Tooth Profile Curve Fitting of Rigid Wheel

表2 剛輪齒廓參數(shù)表Tab.2 Rigid Wheel Profile Parameter

利用柔輪和剛輪的齒廓參數(shù)建立實體模型，而波發(fā)生器則采用橢圓凸輪結(jié)構(gòu)，它的優(yōu)點是能夠平穩(wěn)運轉(zhuǎn)而且精度較高，柔輪和剛輪在嚙合的過程中能夠達到較為理想的嚙合狀態(tài)。

3 柔輪的接觸應(yīng)力分析

空載時，由于凸輪波發(fā)生器的長軸略大于柔輪的直徑，因此將波發(fā)生器裝入柔輪后會使得柔輪的前端面形狀變?yōu)闄E圓形，如圖所示為按w=w0cos2φ規(guī)律變形以后柔輪的端面形狀。

圖2 柔輪按w=w0cos2φ規(guī)律變形Fig.2 Flexspline Strain of w=w0cos2φ

根據(jù)它的變形規(guī)律可以得出位移方程（

式中：w0-徑向變形量系數(shù)，φ-轉(zhuǎn)動角，θ-法向轉(zhuǎn)角，r-柔輪半徑；

由于柔輪在波發(fā)生器的作用下要發(fā)生變形，而且在和剛輪嚙合的時候，接觸的輪齒對數(shù)以及接觸區(qū)域都不確定，因此難以準(zhǔn)確求解柔輪的應(yīng)力情況。考慮將柔輪進行簡化，把它看作成一個光滑的圓柱殼體，然后利用圓柱殼體理論對柔輪進行應(yīng)力分析［4］。

彎曲應(yīng)力和剪切應(yīng)力為：

式中：E—彈性模量，h—柔輪齒圈厚度；

將柔輪的變形規(guī)律方程w=w0cos2φ分別代入式（1）和式（2），可以得到：

通過上述的計算公式可以看出，當(dāng)柔輪的結(jié)構(gòu)確定之后就可以求出柔輪的應(yīng)力大小，其中柔輪齒圈的厚度h，柔輪筒長L以及柔輪的半徑r對于柔輪的應(yīng)力影響較大。

4 柔輪有限元接觸分析

4.1 邊界條件的設(shè)置

對于諧波減速器的有限元分析應(yīng)該采用非線性大變形分析方法，利用Ansys Workbench對柔輪進行接觸分析來模擬波發(fā)生器對柔輪的強制位移效果，分析柔輪應(yīng)力應(yīng)變的分布狀況。

首先忽略柔輪的螺紋孔并且將波發(fā)生器和柔性軸承簡化為一個外徑與柔性軸承工作狀態(tài)下相當(dāng)外徑的橢圓體，然后對柔輪模型進行適當(dāng)?shù)姆指?。將柔輪的齒圈和柔輪筒體進行切割分離，這樣做的好處是能夠保證在齒圈上能夠得到相對密集的網(wǎng)格，而在筒體上可以得到相對稀疏的網(wǎng)格［5］。

對模型進行接觸條件的設(shè)置，將柔輪內(nèi)表面設(shè)置為目標(biāo)面，波發(fā)生器外表面為接觸面，接觸系數(shù)0.08，添加偏移量，數(shù)值為0，接觸計算方法為加強的拉格朗日法，接觸剛度定義為手動控制，剛度值為0.01，柔輪和剛輪之間的接觸設(shè)置同上，將摩擦系數(shù)設(shè)置為0.12，由于柔輪會發(fā)生較大變形，因此開啟大變形選項。

由實際情況考慮，約束波發(fā)生器的軸向位移，采用（Remote displacement）限制Y軸方向的位移；因為剛輪是固定在機構(gòu)的殼體上，所以約束剛輪外表面的所有自由度（Fixed support）。

4.2 分析結(jié)果

從圖3（a）中可以看出，應(yīng)力沿著Z軸方向從齒圈處向筒底方向逐漸減小，在波發(fā)生器的作用下，柔輪前端面由圓形變?yōu)闄E圓形，并在柔輪的內(nèi)壁、波發(fā)生器的長軸和短軸位置處產(chǎn)生拉應(yīng)力和壓應(yīng)力。應(yīng)力最大的地方發(fā)生在柔輪齒圈和筒體過渡的齒根處，應(yīng)力大小為409.6MPa，這是因為柔輪發(fā)生變形使這個位置產(chǎn)生了應(yīng)力集中現(xiàn)象。大長徑比使得柔輪筒體較長，因而柔輪在受力的過程中筒底處受力較為均勻，所以在筒底幾乎沒有應(yīng)力的存在。

圖3 柔輪分析結(jié)果Fig.3 Analysis Result of Flexible Wheel

由（b）可以看得出，柔輪的變形量也是沿著Z軸向筒體方向逐漸減小，在筒底的位置變形量為0，而變形量最大的地方發(fā)生在齒圈前沿與波發(fā)生器的長短軸的位置，變形量為0.68558mm，這是由于波發(fā)生器的初始載荷使得柔輪前端面在波發(fā)生器的長短軸位置處發(fā)生變形，并影響柔輪筒體，之后沿著筒體的方向影響在逐漸減小。柔輪的變形對于諧波減速器的使用壽命以及傳動的穩(wěn)定性來說都有很大的影響，因此應(yīng)盡量保證柔輪在工作的過程中不發(fā)生較大的變形。

5 柔輪工作過程的動態(tài)仿真

在諧波減速器的實際運動過程中，波發(fā)生器的轉(zhuǎn)動會導(dǎo)致柔輪轉(zhuǎn)動并且產(chǎn)生變形，而在與剛輪的嚙合過程中，由于受到剛輪輪齒的約束且嚙合區(qū)域不斷變化的情況，會導(dǎo)致柔輪的運動狀態(tài)和嚙合狀態(tài)變得比較復(fù)雜［6］。因此考慮在Adams中建立諧波減速器的剛?cè)狁詈咸摂M樣機，之后對虛擬樣機進行動態(tài)仿真，求解柔輪在負載情況下的運動狀態(tài)，同時驗證模型是否合理。

5.1 虛擬樣機的建立

利用Abaqus建立柔性體模型，首先將裝配體模型導(dǎo)入到Abaqus里，定義材料和屬性并劃分網(wǎng)格，然后創(chuàng)建模態(tài)分析步和設(shè)置所需要輸出的模態(tài)特征值。之后在柔輪的前端口和后端口的中心點的位置建立RP點并添加RP點與模型之間的MPC Constrain，對所建立的RP點進行自由度約束。建立Job并修改模型的關(guān)鍵語句后提交分析會得到模型的模態(tài)分析結(jié)果，之后打開Abaqus的命令流進行相關(guān)修改后即可得到生成的mnf文件。在Adams中打開裝配體模型，用mnf文件替換剛性體柔輪，即得到諧波減速器的剛?cè)狁詈夏Ｐ停?］，如圖4所示，此時的柔輪已經(jīng)變?yōu)槿嵝泽w。對模型賦予零件密度、泊松比以及楊氏模量等參數(shù)值，同時Adams將會自動計算出各個零件的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量等參數(shù)［8］。

圖4 諧波傳動虛擬樣機模型Fig.4 Harmonic Drive Virtual Prototype Model

5.2 施加載荷和約束

在諧波傳動的過程中，剛輪是固定不動的，所以在剛輪和大地之間施加固定副，同時對輸入軸和波發(fā)生器以及柔輪和輸出軸之間添加固定副；而在輸入軸和大地以及柔輪和大地之間建立旋轉(zhuǎn)副；對輸入軸添加驅(qū)動，輸入軸的轉(zhuǎn)速為600r/min( )3600°/s，為了能夠保證平穩(wěn)的啟動運轉(zhuǎn)，利用STEP函數(shù)來調(diào)節(jié)驅(qū)動的轉(zhuǎn)速［9］（Step(time,0,0d,0.03,3600d)。

對模型進行仿真參數(shù)的設(shè)置，為了能夠得到收斂以及正確的仿真結(jié)果，設(shè)置仿真的時間為0.5s，仿真的步數(shù)為300進行仿真。

5.3 仿真結(jié)果

5.3.1 諧波傳動裝置的運動

后處理查看仿真結(jié)果可得波發(fā)生器和柔輪的轉(zhuǎn)速，如圖5～圖6所示。

圖6 柔輪轉(zhuǎn)速Fig.6 Speed of Flexible Wheel

由圖5和6中可以看出，波發(fā)生器和柔輪的轉(zhuǎn)動方向是相反的，這與實際的諧波減速器的工作情況相吻合。通過分析曲線可知，在0-0.03s中，電機的轉(zhuǎn)速在逐漸增加，因而波發(fā)生器和柔輪等各部件的轉(zhuǎn)速也開始相應(yīng)的增加。之后柔輪開始逐漸趨于穩(wěn)定的嚙合狀態(tài)，在0.03s之后轉(zhuǎn)速值穩(wěn)定在45°/s，此后的諧波建減速器處于負載勻速的運動過程。由波發(fā)生器和柔輪的轉(zhuǎn)速可知，諧波傳動裝置滿足傳動比80的設(shè)計要求，諧波傳動裝置的各部件設(shè)計也合理。

圖5 波發(fā)生器轉(zhuǎn)速Fig.5 Speed of Wave Generator

下圖分別為波發(fā)生器和柔輪的角加速度變化曲線，通過曲線可以看出波發(fā)生器和柔輪的加速度方向相反，在0-0.03s之間是處于加速過程，大約在0.015s的時候加速度達到最大值，而在0.03s之后加速度為0，說明此時的柔輪和波發(fā)生器均處于勻速運動的階段，這也與開始設(shè)定的驅(qū)動轉(zhuǎn)速相吻合，如圖7～圖8所示。

圖7 波發(fā)生器角加速度Fig.7 Angular Acceleration of Wave Generator

圖8 柔輪角加速度Fig.8 Angular Acceleration of Flexible Wheel

5.3.2 諧波傳動裝置的嚙合狀態(tài)

從仿真結(jié)果圖9可以看到，波發(fā)生器使柔輪產(chǎn)生了變形，同時在剛輪的作用下，柔輪向著波發(fā)生器的反方向轉(zhuǎn)動。柔輪和剛輪的嚙合點發(fā)生在波發(fā)生器的長軸兩端，該位置處的柔輪輪齒和剛輪輪齒完全嚙合。輪齒沿著橢圓兩側(cè)向短軸方向逐漸脫離嚙合，在短軸處則處于完全脫離嚙合的狀態(tài)。在工作狀態(tài)下，柔輪的輪齒依次順時針的經(jīng)過波發(fā)生的長軸，并且每經(jīng)過四分之一周之后，位于長軸方向上的輪齒將會到達柔輪波發(fā)生器的短軸方向。波發(fā)生器每順時針轉(zhuǎn)過一周，柔輪將會逆時針的轉(zhuǎn)過剛輪的兩個齒，并且和剛輪產(chǎn)生嚙合，從而實現(xiàn)了從高速到低速的二齒差減速效果。

圖9 柔輪剛輪嚙合模擬Fig.9 Meshing Simulation of Flexible Wheel Rigid Wheel

6 結(jié)論

通過對柔輪進行有限元接觸分析可以得到柔輪的應(yīng)力分布均勻，對所建立的剛?cè)狁詈夏Ｐ瓦M行動態(tài)仿真可以得到運動過程中柔輪的變形情況以及柔輪和剛輪輪齒間的動態(tài)嚙合過程，由曲線可知諧波減速器的輸出轉(zhuǎn)速滿足傳動比的設(shè)計要求，同時柔輪和剛輪輪齒之間的嚙合傳動過程平穩(wěn)，所以可以說明虛擬樣機的模型建立正確，為后續(xù)的疲勞分析提供基礎(chǔ)。