郝 瑞 彭 倍 周 吳

電子科技大學(xué)機(jī)械與電氣工程學(xué)院，成都，611731

0 引言

MEMS加速度傳感器在導(dǎo)航定位[1]、國防安全[2]、智能機(jī)器人[3]等領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用，然而長期存儲(chǔ)和遠(yuǎn)距離運(yùn)輸?shù)募铀俣葌鞲衅鲿?huì)出現(xiàn)零位與標(biāo)度因數(shù)漂移誤差[4]，嚴(yán)重影響傳感器的測量精度。為保障傳感器測量的準(zhǔn)確性，通常需要在加速度傳感器使用前進(jìn)行一次重新標(biāo)定來修正漂移誤差[5]。這就要求標(biāo)度過程能夠簡單方便且即時(shí)有效地在現(xiàn)場實(shí)施，而MEMS振動(dòng)臺(tái)作為一種可移動(dòng)的機(jī)械平臺(tái)，能夠提供持續(xù)穩(wěn)定的簡諧振動(dòng)來實(shí)現(xiàn)對加速度傳感器的片上物理激勵(lì)[6]，以振動(dòng)加速度[7]作為參考運(yùn)動(dòng)來獲取傳感器的零位和標(biāo)度因數(shù)[8]。目前密歇根大學(xué)設(shè)計(jì)的最大加速度為0.3g(g為重力加速度)的壓電微振動(dòng)臺(tái)[9]可用于商用微慣性測量單元的現(xiàn)場快速重新標(biāo)定，實(shí)現(xiàn)標(biāo)度因數(shù)漂移小于0.02%；康奈爾大學(xué)設(shè)計(jì)的采用光學(xué)測距系統(tǒng)進(jìn)行閉環(huán)控制的壓電微振動(dòng)臺(tái)[10]，其本身的長期穩(wěn)定性可以維持在滿量程的0.01%；中國物理工程研究院設(shè)計(jì)的壓電微振動(dòng)臺(tái)[11]，其加速度的輸出范圍可達(dá)±16g。然而，壓電振動(dòng)臺(tái)的壓電材料具有明顯的遲滯特性，導(dǎo)致振動(dòng)臺(tái)振動(dòng)加速度存在誤差，嚴(yán)重影響傳感器的標(biāo)定精度[12]，因此需要對振動(dòng)臺(tái)壓電材料遲滯引起的誤差進(jìn)行補(bǔ)償。

壓電遲滯補(bǔ)償方法主要包括建立遲滯模型來預(yù)測遲滯量并通過模型逆向求解補(bǔ)償電壓的前饋控制方法，以及觀測當(dāng)前位移輸出預(yù)測下一時(shí)刻的遲滯量并進(jìn)行補(bǔ)償?shù)目刂品椒?。這些方法對遲滯模型的精度要求較高，同時(shí)還涉及復(fù)雜的參數(shù)識(shí)別過程。如基于雙曲正切函數(shù)的動(dòng)態(tài)Preisach模型[13]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)才能完成動(dòng)態(tài)Preisach模型的參數(shù)識(shí)別；而改進(jìn)的Maxwell模型[14]可以描述非對稱的遲滯現(xiàn)象，但修改了基礎(chǔ)遲滯單元的特性導(dǎo)致參數(shù)識(shí)別過程復(fù)雜；此外，基于Bouc-Wen遲滯模型的前饋線性化控制方法簡化了Bouc-Wen模型的參數(shù)識(shí)別過程，但要求遲滯位移在線觀測器對壓電執(zhí)行器的遲滯位移進(jìn)行精確觀測[15]；而基于最小二乘支持向量機(jī)的壓電作動(dòng)器遲滯非線性模型是利用Preisach模型和最小二乘支持向量機(jī)的混合建模法來構(gòu)建，參數(shù)識(shí)別過程同樣繁瑣[16]。另一種方法是將系統(tǒng)的遲滯看作隨機(jī)擾動(dòng)，設(shè)計(jì)具有反饋的非線性控制器來抑制擾動(dòng)引起的誤差[17]，這種方法通用性強(qiáng)，易于實(shí)現(xiàn)，但不能根據(jù)壓電執(zhí)行器的特點(diǎn)做針對性的補(bǔ)償，控制精度無法滿足傳感器標(biāo)定需求。

本文采用前饋控制和反饋控制相結(jié)合的復(fù)合控制方法[18-19]來實(shí)現(xiàn)振動(dòng)臺(tái)的驅(qū)動(dòng)和復(fù)合控制。前饋控制器采用多項(xiàng)式擬合的遲滯模型，其參數(shù)識(shí)別簡單[20]，結(jié)合PID反饋控制器能夠?qū)崿F(xiàn)壓電執(zhí)行器的遲滯補(bǔ)償[21]。

1 MEMS壓電振動(dòng)臺(tái)遲滯模型的建立

MEMS壓電振動(dòng)臺(tái)的制作步驟詳見文獻(xiàn)[22]，它由四個(gè)相同的L形壓電梁和中心平臺(tái)組成，如圖1所示。其中，L形壓電梁由上層壓電陶瓷和下層硅組成，壓電陶瓷的上下表面為金屬電極，如圖2所示。梁在合理的電壓加載下產(chǎn)生變形，驅(qū)動(dòng)振動(dòng)臺(tái)做面外平動(dòng)及定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。加速度傳感器在標(biāo)定過程中固定在中心平臺(tái)上，與平臺(tái)一起做簡諧振動(dòng)。

圖1 未封裝的MEMS壓電振動(dòng)臺(tái)照片F(xiàn)ig.1 The unencapsulated MEMS piezoelectric vibratory platform

圖2 MEMS壓電振動(dòng)臺(tái)結(jié)構(gòu)(單位：μm)Fig.2 The structure of MEMS piezoelectric vibratory platform(unit：μm)

振動(dòng)臺(tái)面外振動(dòng)原理如圖3所示，圖3a為壓電振動(dòng)臺(tái)變形示意圖。當(dāng)給內(nèi)圈壓電梁施加電壓U(U=asinωt)，給外圈壓電梁施加電壓-U時(shí)，中心平臺(tái)和加速度傳感器沿z軸方向做簡諧振動(dòng)。提取振動(dòng)臺(tái)中心O點(diǎn)位移發(fā)現(xiàn)，其波形存在遲滯現(xiàn)象，可能是由壓電材料的壓電遲滯特性引起，因此建立基于多項(xiàng)式擬合的遲滯模型對遲滯現(xiàn)象進(jìn)行分析。Maxwell遲滯模型指出遲滯包含線性部分和遲滯部分[23]，三次模型是描述機(jī)械系統(tǒng)遲滯非線性的模型之一，遲滯函數(shù)f(U)[24]如下：

圖3 MEMS壓電振動(dòng)臺(tái)面外振動(dòng)變形示意圖Fig.3 The out of plane deformation of MEMS piezoelectric vibratory platform

f(U)=KsU-αU3+β(U′)3

(1)

式中，U′為驅(qū)動(dòng)電壓導(dǎo)數(shù)，遲滯環(huán)線性部分為等式右邊第一項(xiàng)；Ks為線性部分系數(shù)；α、β為遲滯部分待擬合參數(shù)。

繪制量綱一電壓-位移遲滯環(huán)圖像，如圖4、圖5所示。壓電陶瓷電壓-位移遲滯環(huán)[25]表示對壓電陶瓷在極化方向上施加周期變化的電場，壓電陶瓷的變形量隨電場變化周期性改變，交變電場由施加在驅(qū)動(dòng)電極上的電壓控制，電壓上升段和下降段壓電陶瓷變形量不同導(dǎo)致壓電振動(dòng)臺(tái)的電壓-位移曲線呈環(huán)形。同一電壓下，壓電陶瓷的變形量在電壓上升段和下降段之差為d，如圖4所示，它的大小可以描述壓電陶瓷的遲滯量，通過改變參數(shù)β可以控制壓電陶瓷的遲滯量。同時(shí)，根據(jù)壓電陶瓷遲滯成因分析[26]得出壓電陶瓷非180°電疇轉(zhuǎn)向的不完全可逆是造成壓電陶瓷執(zhí)行器遲滯的根本原因，而不同的壓電陶瓷中非180°電疇的數(shù)量、分布不同，影響遲滯環(huán)的形狀，參數(shù)α可以描述遲滯環(huán)的形狀變化[27]，如圖5所示。

圖4 電壓-位移遲滯環(huán)(α不變)Fig.4 Dimensionless hysteresis loop(α unchanged)

圖5 電壓-位移遲滯環(huán)(β不變)Fig.5 Dimensionless hysteresis loop(β unchanged)

通過參數(shù)擬合可以得到參數(shù)α、β，并得到MEMS壓電振動(dòng)臺(tái)的電壓-位移遲滯環(huán)，如圖6所示。圖6為壓電振動(dòng)臺(tái)在10 V(317 Hz)正弦電壓激勵(lì)下平穩(wěn)振動(dòng)后提取一個(gè)周期內(nèi)壓電振動(dòng)臺(tái)的電壓和振幅數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)擬合的曲線，擬合結(jié)果為Ks=1.46×10-6，α=0.411×10-6、β=1.19×10-6。

圖6 MEMS壓電振動(dòng)臺(tái)擬合遲滯環(huán)Fig.6 Dimensionless hysteresis loop fitting of MEMS piezoelectric vibratory platform

2 MEMS壓電振動(dòng)臺(tái)復(fù)合控制

根據(jù)振動(dòng)臺(tái)機(jī)電耦合模型[22]，等效驅(qū)動(dòng)力是驅(qū)動(dòng)電壓的線性函數(shù)，設(shè)比例系數(shù)為Kf，則振動(dòng)臺(tái)的振動(dòng)方程可寫成

(2)

式中，y(t)為振動(dòng)臺(tái)的位移；M為等效質(zhì)量；C為阻尼系數(shù)；K為剛度系數(shù)，ΔU為驅(qū)動(dòng)電壓的幅值。

振動(dòng)微分方程可以寫成離散的狀態(tài)空間形式，即

(3)

式中，X(k)為系統(tǒng)在t=kT時(shí)的狀態(tài)向量，k=0，1，2，…；T為采樣周期；u(k)為輸入向量；Y(k)為輸出向量；A、B、C分別為狀態(tài)矩陣、輸入矩陣和輸出矩陣。

壓電振動(dòng)臺(tái)復(fù)合控制原理如圖7所示。圖7中u(kT)表示復(fù)合控制器的控制量，由前饋控制器的控制量uFF(kT)和反饋控制器的控制量uFB(kT)組成[28]。按照文獻(xiàn)[29]設(shè)計(jì)前饋控制器，由于前饋控制器抵抗擾動(dòng)的能力較弱，其擾動(dòng)可能引起補(bǔ)償過度使控制效果降低[30]，為此引入函數(shù)G(k)來限制前饋控制器的補(bǔ)償量：

圖7 MEMS壓電振動(dòng)臺(tái)控制原理框圖Fig.7 The control block diagram of MEMS piezoelectric vibratory platform

(4)

式中，δk為k時(shí)刻前饋控制器最大補(bǔ)償量。

則復(fù)合控制器的控制量u(kT)可以表示為前饋控制量和反饋控制量的疊加：

u(kT)=G(k)uFF(kT)+uFB(kT)=

G(k)uFF(kT)+uFB(kT-T)+

KP[e(kT)-e(kT-T)]+KIe(kT)+

KD[e(kT)-2e(kT-T)+e(kT-2T)]

(5)

式中，KP、KI、KD分別為PID控制器的比例系數(shù)、積分系數(shù)和微分系數(shù)；e(kT)為偏差。

由于k時(shí)刻驅(qū)動(dòng)電壓為u(kT)，則通過位移傳感器得到振動(dòng)臺(tái)位移為y(kT)。采用壓電遲滯模型預(yù)測k+1時(shí)刻振動(dòng)臺(tái)的預(yù)測位移yp(kT+T)以及期望位移yr(kT+T)，則位移補(bǔ)償量φ(kT+T)等于期望位移yr(kT+T)減去預(yù)測位移yp(kT+T)，而最大電壓補(bǔ)償量δk與位移補(bǔ)償量φ(kT+T)存在線性關(guān)系：

δk=γφ(kT+T)

(6)

式中，γ為比例系數(shù)。

在有擾動(dòng)的情況下，前饋控制量uFF(kT)被限制避免過度補(bǔ)償，反饋控制器依然能夠保證在前饋控制量被限制的情況下實(shí)現(xiàn)振動(dòng)臺(tái)的連續(xù)控制。采用Simulink來仿真補(bǔ)償結(jié)果，輸入信號(hào)為10 V(317 Hz)的正弦電壓，仿真結(jié)果如圖8、圖9所示。仿真結(jié)果表明，函數(shù)G(k)存在時(shí)補(bǔ)償效果優(yōu)于不包含限制函數(shù)G(k)的遲滯補(bǔ)償效果。

圖8 不增加G(k)情況下振動(dòng)平臺(tái)電壓-位移曲線Fig.8 The voltage-displacement curve of vibratory platform without G(k)

圖9 增加G(k)情況下振動(dòng)平臺(tái)電壓-位移曲線Fig.9 The voltage-displacement curve of vibratory platform with G(k)

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

完成電路設(shè)計(jì)，搭建振動(dòng)臺(tái)位移檢測實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖10所示。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)由定位臺(tái)、固定架、壓電振動(dòng)臺(tái)、位移傳感器和控制電路組成。振動(dòng)臺(tái)位移檢測原理是：通過垂直腔面發(fā)射激光器(SS85-5U001)向振動(dòng)臺(tái)表面發(fā)射激光束，激光束被振動(dòng)臺(tái)表面的反光層反射后，由若干分布在不同位置的光敏二極管(SP85-4N001)接收并檢測光強(qiáng)，不同位置的光敏二極管接收到的光強(qiáng)不同，通過幾何光學(xué)方法得到振動(dòng)臺(tái)與位移傳感器之間的距離[7]，如圖11所示。

圖10 MEMS振動(dòng)臺(tái)位移檢測實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.10 MEMS vibratory platform displacement detection experimental platform

圖11 MEMS振動(dòng)臺(tái)位移檢測原理圖Fig.11 The schematic diagram of MEMS vibratory platform displacement detection

光學(xué)位移檢測系統(tǒng)的檢測范圍為0～500 μm，分辨力可以達(dá)到0.15 μm。實(shí)驗(yàn)采用10 V(317 Hz)的正弦電壓驅(qū)動(dòng)，補(bǔ)償前后振動(dòng)臺(tái)時(shí)間-位移曲線見圖12。補(bǔ)償前振動(dòng)臺(tái)位移與期望位移的最大誤差為1.8 μm，而補(bǔ)償后振動(dòng)臺(tái)位移與期望位移間最大誤差小于位移傳感器的靈敏度0.15 μm。

圖12 MEMS壓電振動(dòng)臺(tái)時(shí)間-位移曲線Fig.12 The displacement curve of MEMS vibratory platform

圖13為補(bǔ)償前后的振動(dòng)臺(tái)時(shí)間-加速度曲線，補(bǔ)償前振動(dòng)臺(tái)加速度與期望加速度的最大誤差為1.3g，補(bǔ)償后振動(dòng)臺(tái)加速度與期望加速度的最大誤差為0.05g。

圖13 MEMS壓電振動(dòng)臺(tái)時(shí)間-加速度曲線Fig.13 The acceleration curve of MEMS vibratory platform

補(bǔ)償后振動(dòng)位移誤差為1.8 μm，振幅為14 μm，相對誤差為12.8%，振動(dòng)加速度誤差為1.3g，振動(dòng)臺(tái)提供的最大加速度為6.5g，相對誤差為21.6%，采用遲滯補(bǔ)償控制后振動(dòng)臺(tái)位移相對誤差為1.07%，加速度相對誤差為0.7%。結(jié)果表明壓電陶瓷遲滯效應(yīng)是引起壓電振動(dòng)臺(tái)振動(dòng)位移和振動(dòng)加速度誤差的重要原因之一。

同時(shí)增加前饋控制器閾值函數(shù)G(k)可以有效地提高補(bǔ)償效果，圖14為振動(dòng)臺(tái)在補(bǔ)償前后電壓-位移對比曲線，可以看出，增加前饋控制器閾值函數(shù)G(k)后，補(bǔ)償結(jié)果優(yōu)于未增加閾值函數(shù)G(k)的結(jié)果。

圖14 補(bǔ)償前后MEMS壓電振動(dòng)臺(tái)電壓-位移曲線Fig.14 The voltage-displacement curve of MEMS vibratory platform before and after compensation

4 結(jié)論

(1)振動(dòng)臺(tái)時(shí)間-位移曲線的遲滯現(xiàn)象主要由壓電材料的遲滯特性引起。

(2)振動(dòng)臺(tái)的振動(dòng)位移遲滯引起的誤差在微米量級(jí)，對振動(dòng)臺(tái)振動(dòng)加速度的影響較為嚴(yán)重。壓電遲滯引起的振動(dòng)臺(tái)加速度誤差為1.3g，振動(dòng)臺(tái)提供的最大加速度為6.5g，其相對誤差為21.6%。

(3)基于多項(xiàng)式擬合的遲滯建模方法能夠在避免復(fù)雜參數(shù)識(shí)別的情況下對壓電振動(dòng)臺(tái)的遲滯進(jìn)行較準(zhǔn)確的描述。

(4)復(fù)合控制方法適用于MEMS壓電振動(dòng)臺(tái)的控制和遲滯補(bǔ)償，并成功將振動(dòng)臺(tái)振動(dòng)加速度誤差從1.3g降到0.05g，相對誤差降低到1%以內(nèi)。