蔡際杰 陳德旺 黃允滸 黃 瑋

（1.福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 福州 350108）

（2.福州大學(xué)智慧地鐵福建省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 福州 350108）

（3.福州理工學(xué)院計(jì)算與信息科學(xué)學(xué)院 福州 350506）

1 引言

模糊系統(tǒng)（Fuzzy System，F(xiàn)S）在二十世紀(jì)90年代初期間發(fā)展迅速，尤其是在模糊控制領(lǐng)域的應(yīng)用效果突出［1］。但是近年來FS的研究并非主流，究其原因主要是因?yàn)槟壳癋S的研究還不夠成熟［2］，主要表現(xiàn)在隸屬度函數(shù)類型和參數(shù)的選擇主要依靠經(jīng)驗(yàn)、現(xiàn)有FS的適用范圍有限、缺乏在通用硬件平臺(tái)中的實(shí)現(xiàn)方法等［3］。WM（Wang-Mendel）算法［4］簡單、實(shí)用，已經(jīng)成為了FS研究領(lǐng)域的經(jīng)典方法，但該算法也同樣存在上述問題。盡管近年來許多學(xué)者根據(jù)這些問題提出了一些改進(jìn)的辦法，但是這些改進(jìn)方法仍存在計(jì)算復(fù)雜、改進(jìn)效果不明顯以及優(yōu)化目標(biāo)不全面等問題。

文獻(xiàn)［5］針對(duì)WM算法存在的問題，利用采樣數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)完成了進(jìn)一步的改進(jìn)，但該方法在規(guī)則庫的魯棒性上仍然有待提高；文獻(xiàn)［6］提出了一種基于優(yōu)化模糊規(guī)則輸出集合中心的改進(jìn)WM方法，提高了WM方法的魯棒性和模型精度，但該方法難以應(yīng)對(duì)高維問題。近年來，利用遺傳算法［7］與進(jìn)化算法［8］優(yōu)化FS的改進(jìn)方法也相繼被提出，但由于計(jì)算過于復(fù)雜，因此難以真正應(yīng)用在FS的優(yōu)化中。文獻(xiàn)［9］通過遺傳算法和梯度下降法對(duì)FS的結(jié)構(gòu)和參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，取得了較好的效果，但是其模型復(fù)雜度過高，不易求解。而后許多學(xué)者開始利用高效、簡單的PSO算法對(duì)FS模型進(jìn)行優(yōu)化，如文獻(xiàn)［10］提出了一種基于PSO算法的WM方法，該方法通過改進(jìn)的PSO算法對(duì)數(shù)據(jù)覆蓋區(qū)域的模糊規(guī)則質(zhì)心進(jìn)行優(yōu)化，再利用外推得到完整的模糊規(guī)則庫，一定程度上提高了WM方法的預(yù)測(cè)精度，但其規(guī)則數(shù)隨輸入呈指數(shù)增加，算法效率急劇下降；文獻(xiàn)［11］為提高FS模型的預(yù)測(cè)精度，利用ANFIS、GA算法和PSO算法對(duì)模型的隸屬度函數(shù)范圍進(jìn)行了優(yōu)化，進(jìn)一步提高了模型的預(yù)測(cè)精度，但未進(jìn)一步研究模糊規(guī)則的約簡。

針對(duì)以上問題，可以發(fā)現(xiàn)目前FS的優(yōu)化仍然存在很大的進(jìn)步空間。目前的優(yōu)化研究主要是針對(duì)FS模型的精度方向改進(jìn)，而在規(guī)則約簡方面的研究較為欠缺，規(guī)則約簡后的優(yōu)化模型是否仍可以保證模型精度的提高仍需進(jìn)一步考察；且FS隸屬度函數(shù)主要是針對(duì)三角形隸屬度函數(shù)，而由高斯型隸屬度函數(shù)構(gòu)成的FS研究相對(duì)較少。由此可見亟需一種在規(guī)則約簡的條件下，既能夠保證模型可解釋性又能夠保證模型精度的FS優(yōu)化算法。

因此，本文致力于提高FS模型的精度和約簡模糊規(guī)則。通過改進(jìn)PSO算法對(duì)具有高斯型隸屬度函數(shù)的FS進(jìn)行有效優(yōu)化，提出了CPSFS和SPSFS兩種模糊系統(tǒng)優(yōu)化算法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文提出的CPSFS算法在約簡大量模糊規(guī)則后，依然能夠保證訓(xùn)練集和測(cè)試集上的預(yù)測(cè)精度領(lǐng)先于傳統(tǒng)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等回歸算法，具有很好的發(fā)展前景。

2 模糊系統(tǒng)構(gòu)造

構(gòu)造FS模型首先需要?jiǎng)澐帜：齾^(qū)間，設(shè)置每維變量的模糊集合個(gè)數(shù)；然后初始化模糊區(qū)間中每個(gè)模糊集合對(duì)應(yīng)的隸屬度函數(shù)參數(shù)，對(duì)訓(xùn)練集數(shù)據(jù)的每維變量做模糊化處理，模糊化后的變量屬于模糊值最大的模糊集合。完成模糊化操作后，可根據(jù)每條數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的模糊集合組合產(chǎn)生IF-THEN規(guī)則，對(duì)m維輸入n維輸出的IF-THEN規(guī)則表示如下：

I F(x1is Ap1and…and xi is Api)

T HEN(y1is Bq1and…and yj is Bqj)

(i=1，2…m，j=1，2…n)

其中pi為第i維輸入變量劃分的模糊集合個(gè)數(shù)，qj為第j維輸出變量劃分的模糊集合個(gè)數(shù)。本文采用的隸屬度函數(shù)為高斯型隸屬函數(shù)，其定義如下：

其中x為變量值，c為隸屬度函數(shù)的中心值，σ為隸屬度函數(shù)的方差。

按照上述方式，若每條數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)產(chǎn)生一條規(guī)則，那么當(dāng)數(shù)據(jù)量增大到一定程度時(shí)，將生成非常多的模糊規(guī)則，導(dǎo)致FS模型越來越復(fù)雜，無法保證其可解釋性。且按此方式生成的規(guī)則庫包含大量的重復(fù)規(guī)則、沖突規(guī)則和無法真正體現(xiàn)數(shù)據(jù)特點(diǎn)的“壞規(guī)則”，因此需要對(duì)這些“問題規(guī)則”進(jìn)行消除操作。本文通過計(jì)算每條規(guī)則的支持度，篩選掉支持度較小的規(guī)則，從而達(dá)到約簡規(guī)則的目的。由最終保留的規(guī)則組合形成FS規(guī)則庫，代入FS的結(jié)構(gòu)即可完成模型的構(gòu)建。對(duì)m維輸入n維輸出的數(shù)據(jù)產(chǎn)生的規(guī)則，其支持度（SD）計(jì)算方式如下：

本文采用的FS為帶有乘積推理機(jī)、單值模糊器、中心平均解模糊器和高斯型隸屬度函數(shù)的模糊系統(tǒng)，其形式如下：

3 粒子群優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化算法最早由Kennedy和Eberhart提出［12］，其核心就是每個(gè)個(gè)體會(huì)在每次迭代中通過跟蹤個(gè)體當(dāng)前最優(yōu)值pb esti和群體最優(yōu)值gbest更新自己的位置和速度［13］，規(guī)定迭代次數(shù)完成后，群體發(fā)現(xiàn)的最優(yōu)位置gbest即為最優(yōu)解。其位置和速度更新公式如下所示：

其中i=1，2，……N，N為群體中粒子的總數(shù)，vi為粒子i的速度，xi為粒子i的位置，c1，c2表示學(xué)習(xí)因子。

3.1 標(biāo)準(zhǔn)粒子群優(yōu)化算法

Shi等［14］發(fā)現(xiàn)式（4）中的第一部分vi本身具有隨機(jī)性，為了擴(kuò)大搜索空間，在vi前乘以慣性權(quán)重w來增強(qiáng)算法的搜索能力，提出了一種標(biāo)準(zhǔn)PSO算法（SPSO），其速度和位置更新公式如下：

3.2 基于收斂因子的粒子群優(yōu)化算法

Clerc等［15］為加快PSO算法的收斂速度，在（6）式中引入了收斂因子K，提出了一種基于收斂因子的PSO算法（CPSO），其速度更新公式如下：

通常將φ設(shè)為4.1，則K由式（9）計(jì)算后為0.729。

4 本文方法

目前FS隸屬度函數(shù)的參數(shù)選取主要是依靠經(jīng)驗(yàn)，選取的參數(shù)很有可能并不適合當(dāng)前的數(shù)據(jù)，導(dǎo)致生成的FS模型效果很難達(dá)到最優(yōu)。因此本文利用SPSO算法和CPSO算法對(duì)FS的隸屬度函數(shù)的參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化。通過尋找隸屬度函數(shù)的最優(yōu)參數(shù)達(dá)到優(yōu)化FS模型的目標(biāo)。利用SPSO算法優(yōu)化后形成的FS優(yōu)化算法稱之為SPSFS算法，利用CPSO算法優(yōu)化后形成的FS優(yōu)化算法稱之為CPSFS算法。

PSO算法具體的初始化操作是選取粒子數(shù)量N、設(shè)定粒子空間維度dim以及優(yōu)化的迭代次數(shù)max_iter，迭代次數(shù)應(yīng)該保證模型能夠在迭代次數(shù)范圍內(nèi)尋找到隸屬度函數(shù)參數(shù)的最優(yōu)值。為擴(kuò)大搜索空間，本文粒子個(gè)體數(shù)設(shè)為30，迭代次數(shù)設(shè)為100次。為了將上述PSO算法應(yīng)用在FS的優(yōu)化中，本文將每個(gè)粒子的位置初始化為每維變量對(duì)應(yīng)模糊集合的隸屬度函數(shù)參數(shù)（即高斯隸屬度函數(shù)中的中心值c和方差值σ），將每個(gè)粒子的適應(yīng)度值設(shè)置為模型的目標(biāo)函數(shù)值，即FS模型的均方誤差指標(biāo)MSE。若粒子當(dāng)前所處位置的適應(yīng)度值在當(dāng)前迭代次數(shù)中最小，則可以將其位置設(shè)置為該個(gè)體目前尋找到的最優(yōu)位置pb esti，若粒子所處最優(yōu)位置在整個(gè)群體中取得的適應(yīng)度值最小，則可以將其位置設(shè)置為整個(gè)群體目前尋找到的最優(yōu)位置gbest。

規(guī)定迭代次數(shù)完成后，群體尋找到的最優(yōu)位置gbest即為FS高斯隸屬度函數(shù)的最優(yōu)參數(shù)，將最優(yōu)參數(shù)代入到FS模型中每維變量對(duì)應(yīng)的隸屬度函數(shù)中，按照FS的常規(guī)流程建模，所產(chǎn)生的模型效果即可達(dá)到最優(yōu)。

利用PSO算法優(yōu)化FS模型的流程如圖1所示。

圖1 本文算法流程圖

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為了更直觀地對(duì)CPSFS算法和SPSFS算法進(jìn)行評(píng)價(jià)，本文引入了傳統(tǒng)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、LR線性回歸算法以及WM算法。同時(shí)，引入平均絕對(duì)誤差（MAE）、均方誤差（MSE）以及決定系數(shù)R2作為算法的評(píng)價(jià)性能指標(biāo)，其定義分別如下：

5.1 數(shù)據(jù)集描述

表1描述了本實(shí)驗(yàn)采用的數(shù)據(jù)集的具體屬性。1號(hào)數(shù)據(jù)集為預(yù)測(cè)房價(jià)數(shù)據(jù)集；2號(hào)數(shù)據(jù)集為預(yù)測(cè)廣告投資收益數(shù)據(jù)集。實(shí)驗(yàn)中按一定比例將每個(gè)數(shù)據(jù)集隨機(jī)劃分為訓(xùn)練集和測(cè)試集。

表1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)集信息

5.2 RES數(shù)據(jù)集應(yīng)用

各算法在訓(xùn)練集上的預(yù)測(cè)效果如圖2所示，在測(cè)試集上的預(yù)測(cè)效果如圖3所示，表2展示了各個(gè)算法預(yù)測(cè)訓(xùn)練集的各項(xiàng)性能指標(biāo)，表3展示了各個(gè)算法預(yù)測(cè)測(cè)試集的各項(xiàng)性能指標(biāo)。

圖2 RES訓(xùn)練集預(yù)測(cè)效果

圖3 RES測(cè)試集預(yù)測(cè)效果

如表2和表3所示，可以發(fā)現(xiàn)CPSFS算法在訓(xùn)練集與測(cè)試集上占主要優(yōu)勢(shì)，各項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)上均優(yōu)于其他經(jīng)典算法。以表3為例，CPSFS算法在MSE指標(biāo)上：相比BP下降了5.2%，相比RBF下降了8.2%，相比LR下降了18.4%，相比WM下降了14.6%。同時(shí)，CPSFS算法和SPSFS算法均降低了模糊規(guī)則數(shù)，但相比CPSFS算法而言，SPSFS算法的綜合表現(xiàn)并沒有很好。盡管SPSFS算法降低的規(guī)則數(shù)更多，但是該算法無法保證降低規(guī)則數(shù)后各項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)領(lǐng)先于其他經(jīng)典算法，而CPSFS算法既可以降低規(guī)則數(shù)，又能夠保證預(yù)測(cè)評(píng)價(jià)指標(biāo)最好。傳統(tǒng)的WM算法產(chǎn)生了729條規(guī)則，規(guī)則數(shù)太多，模糊規(guī)則庫更加復(fù)雜，導(dǎo)致可解釋性變差；而CPSFS算法生成的規(guī)則數(shù)僅103條，相比WM算法一共減少了626條，模糊規(guī)則庫復(fù)雜度大大降低，人們可以快速地從較少的模糊規(guī)則中理解模型結(jié)果的產(chǎn)生依據(jù)，從而更有效地保證了算法的可解釋性。

表2 RES訓(xùn)練集預(yù)測(cè)評(píng)價(jià)指標(biāo)

表3 RES測(cè)試集預(yù)測(cè)評(píng)價(jià)指標(biāo)

5.3 ADV數(shù)據(jù)集應(yīng)用

各算法在訓(xùn)練集上的預(yù)測(cè)效果如圖4所示，在測(cè)試集上的預(yù)測(cè)效果如圖5所示，表4展示了各個(gè)算法預(yù)測(cè)訓(xùn)練集的各項(xiàng)性能指標(biāo)，表5展示了各個(gè)算法預(yù)測(cè)測(cè)試集的各項(xiàng)性能指標(biāo)。

圖4 ADV訓(xùn)練集預(yù)測(cè)效果

圖5 ADV測(cè)試集預(yù)測(cè)效果

如表4和表5所示，可以發(fā)現(xiàn)CPSFS算法在訓(xùn)練集和測(cè)試集中依然占主要優(yōu)勢(shì)，其各項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)均優(yōu)于BP、RBF等經(jīng)典算法。以表5為例，CPSFS在MSE指標(biāo)上：相比BP、RBF、LR和WM分別下降了70.0%，59.5%，77.1%和63.5%。在規(guī)則數(shù)上，盡管SPSFS算法減少了大量模糊規(guī)則，但其無法保證精度最優(yōu)；而CPSFS算法則具有這個(gè)優(yōu)勢(shì)，在降低規(guī)則數(shù)的條件下依然保證精度領(lǐng)先，其生成的規(guī)則數(shù)比傳統(tǒng)的WM算法更少，一共約簡了90條規(guī)則，一定程度上保證了模型的可解釋性。

表4 ADV訓(xùn)練集預(yù)測(cè)評(píng)價(jià)指標(biāo)

表5 ADV測(cè)試集預(yù)測(cè)評(píng)價(jià)指標(biāo)

6 結(jié)語

本文針對(duì)FS目前精度不高、規(guī)則數(shù)太多、無法保證收斂速度等問題，通過SPSO算法和CPSO算法對(duì)具有高斯型隸屬度函數(shù)的FS進(jìn)行了優(yōu)化。通過SPSO算法優(yōu)化形成的SPSFS算法雖然降低了規(guī)則數(shù)，但卻無法保證回歸精度最優(yōu)；而通過CPSO算法優(yōu)化所形成的CPSFS算法在回歸任務(wù)上均取得了不錯(cuò)的效果，在訓(xùn)練集、測(cè)試集上的各項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)均優(yōu)于傳統(tǒng)的回歸算法。且在優(yōu)化后，CPSFS算法產(chǎn)生的規(guī)則數(shù)大大降低，有效地保證了其可解釋性在各個(gè)經(jīng)典算法中居于首位。

綜上所述，本文提出的CPSFS算法不僅具有較強(qiáng)的可解釋性，而且在回歸問題上的表現(xiàn)優(yōu)異，能夠有效解決相對(duì)低維的回歸問題。后續(xù)的工作中將會(huì)考慮搭建多層模糊系統(tǒng)來提高算法應(yīng)對(duì)高維數(shù)據(jù)的能力。相信通過廣大學(xué)者的不斷努力以及FS的可解釋性優(yōu)勢(shì)，在不久后的將來，F(xiàn)S的應(yīng)用領(lǐng)域?qū)?huì)更加廣泛，并成為深度學(xué)習(xí)下具有獨(dú)特優(yōu)勢(shì)的AI技術(shù)。