張家賓

（91404部隊 秦皇島 066000）

1 引言

在武器裝備發(fā)展建設(shè)過程中，裝備性能試驗的測試及評估分析對于裝備的改進、提升及指導(dǎo)部隊的作戰(zhàn)使用都具有重大意義。作戰(zhàn)效能評估一般指武器裝備在相應(yīng)的作戰(zhàn)背景下，針對具體的作戰(zhàn)對手構(gòu)建近似于實戰(zhàn)的、逼真的試驗環(huán)境，綜合進行作戰(zhàn)能力的評估。評估結(jié)果可以識別并評估裝備的設(shè)計和使用缺陷，為新裝備作戰(zhàn)使用提出建議，為裝備的列裝定型提供決策，同時在裝備的作戰(zhàn)適用性、體系貢獻率和作戰(zhàn)效能方面給出結(jié)論。作戰(zhàn)效能的評估方法眾多，包括層次分析法、ADC法、指數(shù)法等，每種方法均需要構(gòu)建作戰(zhàn)能力指標體系并將指標定量化。對能力指標的定量化需要基礎(chǔ)數(shù)據(jù)做支撐，但長期以來由于兵力短缺、靶標保障困難、復(fù)雜環(huán)境難以構(gòu)設(shè)等因素限制，作戰(zhàn)效能評估一直面臨著樣本量不足的問題。通過一次或少量幾次試驗也很難獲得一些復(fù)雜環(huán)境、邊界條件下的試驗數(shù)據(jù)，無法用概率統(tǒng)計的方法進行試驗結(jié)果的評估。針對上述問題，一般根據(jù)原始數(shù)據(jù)或小樣本的數(shù)據(jù)特征擴充樣本量，在大的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上再進行后續(xù)能力特征分析。

對于處理小樣本數(shù)據(jù)條件下的能力特征問題，工程上已經(jīng)有很長的應(yīng)用經(jīng)驗。傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)樣本量擴充方法按是否存在先驗信息即了解數(shù)據(jù)的統(tǒng)計規(guī)律信息大致分為兩類。對于有先驗信息的數(shù)據(jù)樣本可以采用Bayes方法擴充樣本量。對于不了解數(shù)據(jù)特征規(guī)律的樣本量，一般選用Bootstrap方法來擴充樣本量［1］。由于作戰(zhàn)試驗獲取的數(shù)據(jù)多為無統(tǒng)計規(guī)律的數(shù)據(jù)，文章采用的是Bootstrap方法進行樣本量擴充，下面介紹其基本數(shù)學(xué)原理，并針對存在的適用性問題引入改進的Bootstrap方法。

2 兩種樣本量擴充方法的數(shù)學(xué)原理

2.1 Bootstrap方法

Bootstrap方法是一個傳統(tǒng)小樣本量擴充方法，該方法為一個再抽樣過程，通常也稱為計算機增強型統(tǒng)計推斷過程。該方法是在小樣本分析中經(jīng)常使用該方法，其基本原理通過數(shù)理統(tǒng)計方法構(gòu)建基于現(xiàn)有小樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分布，對樣本的統(tǒng)計分布規(guī)律參數(shù)進行評估，將小樣本問題轉(zhuǎn)化為大樣本問題，其一般步驟如下［2～3］。

取試驗中所得原始試驗數(shù)據(jù)樣本序列為X=(x1，x2，…，xn)，該樣本數(shù)據(jù)量有限，我們稱該樣本為原始樣本。

令xi～F(x)，i=1，2，…，n，

F(x)為經(jīng)驗分布函數(shù)。

由這些原始樣本構(gòu)造的經(jīng)驗分布函數(shù)一般形式如下：

其中，x(1)≤x(2)≤…≤xn是一組順序統(tǒng)計量，是x1，x2…，xn按從小到大排列后得到的數(shù)據(jù)序列。

利用上述經(jīng)驗分布函數(shù)Fn來構(gòu)造N組新的樣本數(shù)據(jù)，即抽取新的試驗樣本，方法如下：

取區(qū)間為0～M（M?n），η為計算機產(chǎn)生的隨機數(shù)（η取整數(shù)且具有獨立性、均勻性）。

令i=η%n，

在觀測值中找到對應(yīng)下標為i的樣本xi作為新生成樣本x*，則x*為所需的新的隨機樣本序列值。

這N組新樣本為

我們稱這些樣本為自助樣本。

引入Rn如下：

Θ為樣本分布的特征值，θ^為特征值估計。由于根據(jù)小樣本試驗很難求出θ(F)，上式中用θ^(F)近似代替θ(F)。

Bootstrap方法是通過構(gòu)造經(jīng)驗分布函數(shù)，再利用隨機數(shù)挑選構(gòu)建新的樣本序列。對新構(gòu)建的統(tǒng)計序列進行參數(shù)估計，積累參數(shù)估計的值，統(tǒng)計參數(shù)的分布規(guī)律進而得到樣本的參數(shù)估計值。該方法原理清晰，計算步驟簡單，是實際的樣本數(shù)據(jù)擴充中經(jīng)常用到的方法，但由于該方法為樣本的重復(fù)再抽樣，所以導(dǎo)致所生成的自助樣本中原樣本點的重復(fù)率偏高，最終的參數(shù)估計不準確。針對該問題引入下面的Bayes Bootstrap方法。

2.2 Bayes Bootstrap方法

引入Bayes Bootstrap的數(shù)據(jù)生成方法，對上述Bootstrap的樣本擴充方法進行部分改進，使得擴充后數(shù)據(jù)對原始樣本點的重復(fù)率降低［5～9］。其數(shù)學(xué)原理如下。

設(shè)原始樣本為X=( )x1，x2…，xn，該樣本量是有限的，則利用Bayes Bootstrap方法生成自助樣本的方法步驟如下。

取服從于Dirichlet分布的隨機變量：

其中U0，U1，U2，…，Un-1為服從于（0，1）均勻分布的隨機數(shù)，取U0=0，Un=1。

那么有

V1+V2+…+Vn=1

則該樣本的平均值估計為

重復(fù)上述步驟，逐步得到均值和方差的平均值。

Bayes Bootstrap方法通過構(gòu)造服從于Dirichlet分布的隨機變量，使新生成樣本為原始樣本按隨機概率生成，然后通過多次迭代來生成自助樣本，使得新樣本中原樣本點出現(xiàn)率大大降低，一定程度上消除了新樣本的偏向性特征，在樣本數(shù)據(jù)擴充方面比改進前更有優(yōu)勢。

3 模型驗證及效果對比分析

給出已知分布規(guī)律的小樣本數(shù)據(jù)，利用上述兩種方法模型分別進行數(shù)據(jù)樣本擴充并計算分布特征的估計值，然后進行對比，分析兩種方法的實際應(yīng)用效果。

取服從于正態(tài)分布N（2，1）的樣本數(shù)據(jù)列為（1.7586，2.3192，2.3129，1.1351，1.9699，1.8351，2.6277，3.0933，3.1093，1.1363）

利用Bootstrap方法擴充原始樣本的數(shù)據(jù)量，若將數(shù)據(jù)擴充為100組，利用Matlab畫出統(tǒng)計的直方圖如圖1所示。

圖1 自助樣本統(tǒng)計特性驗證圖

從圖上可以看出新生成的樣本分布近似接近于原分布的特征。為進一步對比兩者的參數(shù)估計效果。分別用Bootstrap、Bayes Bootstrap方法擴充原始樣本生成自助樣本，并對新樣本做均值參數(shù)估計和區(qū)間估計，取0.95的置信度，計算結(jié)果如表1所示。

表1 兩種方法所做參數(shù)估計和區(qū)間估計對比表

對比兩種方法在對小樣本數(shù)據(jù)的特征值估計方面的效果，兩種方法產(chǎn)生的估計特征值和原始分布相比均值誤差分別為0.0052、0.0032，區(qū)間估計長度分別為0.0082、0.0070。兩種方法得到的誤差值都在誤差范圍內(nèi)，樣本都服從相應(yīng)參數(shù)下的正態(tài)分布，表明兩種方法在對小樣本條件下的參數(shù)估計都符合原分布特點。同等條件下，改進的Bayes Bootstrap方法比Bootstrap方法，均值參數(shù)估計誤差更小，區(qū)間估計長度更短，表明改進的Bayes Bootstrap方法在小樣本參數(shù)估計方面能更精確。這也驗證了改進方法通過多次迭代生成的自助樣本，使得新樣本中原樣本點出現(xiàn)率大大降低，從而使參數(shù)估計效果更有優(yōu)勢。

4 對空攔截能力作戰(zhàn)效能評估研究

將Bayes Bootstrap方法應(yīng)用于某艦艇參加作戰(zhàn)試驗鑒定時對空攔截能力的作戰(zhàn)效能評估。由于試驗成本、兵力短缺、環(huán)境構(gòu)設(shè)復(fù)雜等因素限制，對空攔截試驗數(shù)據(jù)采集不充分，為提高試驗結(jié)果置信度、增加對空攔截能力考察的全面性并綜合考評裝備系統(tǒng)的效能，考慮通過Bayes Bootstrap方法擴充樣本量，在大樣本量下進行數(shù)據(jù)分析及參數(shù)估計，迭代若干次參數(shù)估計的數(shù)值后取平均值來確定最終的參數(shù)值。

對空攔截的作戰(zhàn)效能評估應(yīng)首先構(gòu)建對空攔截作戰(zhàn)能力指標體系。體系的建立應(yīng)以艦艇的使命任務(wù)為牽引，從裝備的性能指標出發(fā)，綜合考慮作戰(zhàn)樣式、作戰(zhàn)對手及作戰(zhàn)環(huán)境等因素。結(jié)合本艦性能特征分析上述因素后，從艦艇對空信息感知、指揮控制、打擊概率、毀傷效果等方面進行考慮［10～12］，構(gòu)建該型水面艦艇能力指標如圖2所示。

圖2 對空能力指標圖

作戰(zhàn)效能評估可以采用指數(shù)評估法、層次分析法、ADC法等，此次評估采用最常用的指數(shù)法。該方法首先需對評估體系中的各項指標進行量化，然后進行各指標間的權(quán)重分配計算，最后進行指標權(quán)重的加權(quán)和確定最終的評估值。

以上述指標中的精度指標為例，將對空探測距離精度值（RMS）按距離分段，在不同航次的同一距離段，對測量值和真值進行數(shù)據(jù)處理獲得在各個航次下，探測距離精度值如下：

（0.05，0.06，0.08，0.03，0.10，0.07，0.05）

考慮到能力指標的正比例關(guān)系，對精度值進行正比例處理得到：

（0.95，0.94，0.92，0.97，0.90，0.93，0.95）

利用上述的Bayes Bootstrap方法對精度樣本進行擴充并分析精度樣本的特征值。

原始樣本數(shù)據(jù)為

X=(x1，x2…，xn)=(0.95，0.94，0.92，0.97，0.90，0.93，0.95)

取服從于（0，1）均勻分布的隨機數(shù)序列U0，U1，U2，…，Un-1為

（0，0.13，0.22，0.38，0.55，0.62，0.70，0.91，1）

那么有服從于Dirichlet分布的隨機變量

V1，V2，…，Vn=Ui-Ui-1=(0.13，0.09，0.16，0.17，0.07，0.08，0.21，0.09)

滿足：

V1+V2+…+Vn=1

計算該樣本的平均值參數(shù)估計為

樣本方差估計為

重復(fù)上述步驟五次，進行迭代，最終得到平均值和方差值的估計值見表2。

表2 五次平均值和方差迭代表

對五組數(shù)據(jù)取平均值后最終的均值和方差的為

同理，根據(jù)上述方法可以得到對空攔截能力指標體系內(nèi)其他指標經(jīng)Bayes Bootstrap方法處理后得到的估計值，令計算得到的各指標能力值為Ki（其中i為指標個數(shù)）。指數(shù)法進行作戰(zhàn)效能評估還需要進行各指標權(quán)重的計算，一般利用專家打分法確定體系內(nèi)各指標的權(quán)重ωi并經(jīng)過判斷矩陣檢驗其一致性，則該型水面艦艇最終的作戰(zhàn)效能評估結(jié)果為

評估結(jié)果是在相應(yīng)作戰(zhàn)背景下，對作戰(zhàn)對手的能力評價，對部隊有針對性的改進戰(zhàn)法、提高訓(xùn)練效果具有重要的指導(dǎo)意義。

5 結(jié)語

針對作戰(zhàn)效能評估處理中一直存在的樣本量不足的問題，文章對比了傳統(tǒng)的Bootstrap和改進的Bayes Bootstrap樣本擴充方法，驗證了Bayes Bootstrap方法在參數(shù)估計和區(qū)間估計方面的精確性，并將該方法成功應(yīng)用于某型艦艇的對空攔截能力的作戰(zhàn)效能評估中，提高了結(jié)果的置信度。但該模型并不能應(yīng)用于成敗型試驗（即10問題）的效能評估，而該類試驗往往為導(dǎo)彈射擊等高消耗試驗，對其作戰(zhàn)效能評估具有重大的參考意義，這也是下一步要研究的方向。