王偉芳

(廣西交科集團(tuán)有限公司，廣西 南寧 530007)

0 引言

混凝土橋梁服役過(guò)程中，在環(huán)境條件、車輛荷載以及材料退化等多重作用下，其結(jié)構(gòu)抗力不斷退化。對(duì)于沿海地區(qū)橋梁以及除冰鹽路段橋梁而言，氯離子侵蝕不可避免。隨著鋼筋表面氯離子的積累，鋼筋腐蝕過(guò)程隨之發(fā)展，不僅導(dǎo)致混凝土銹脹開(kāi)裂，引發(fā)結(jié)構(gòu)損傷，而且大大降低了橋梁的承載能力，嚴(yán)重時(shí)引發(fā)脆性破壞[1-2]。公路橋梁也受到重型運(yùn)輸車輛的沖擊，這是影響橋梁結(jié)構(gòu)可靠性的另一個(gè)主要因素。這些重載逐漸破壞結(jié)構(gòu)并加劇混凝土開(kāi)裂，使氯化物更快地腐蝕鋼筋。在普通的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，當(dāng)施加在結(jié)構(gòu)上的載荷超過(guò)其承載力時(shí)，會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失效。隨著結(jié)構(gòu)的老化，失效概率也隨之增加。

實(shí)際工程中橋梁的退化過(guò)程可以表示為單調(diào)遞減過(guò)程，因?yàn)槿绻贿M(jìn)行人工干預(yù)開(kāi)展維修工作，腐蝕過(guò)程和混凝土裂縫寬度的增長(zhǎng)是不可逆的。Wang和Xu[3]以逆高斯過(guò)程(Inverse Gaussian Process，IGP)為基礎(chǔ)，提出結(jié)構(gòu)性能退化模型，建立了在役結(jié)構(gòu)的時(shí)變可靠度的分析框架。張建仁[4]基于結(jié)構(gòu)性能退化機(jī)理模型，考慮影響結(jié)構(gòu)性能退化各種因素的不確定性，建立了結(jié)構(gòu)抗力的隨機(jī)過(guò)程模型。

最近，隨著智能檢測(cè)技術(shù)的發(fā)展，利用已有的檢測(cè)數(shù)據(jù)得到橋梁運(yùn)營(yíng)實(shí)時(shí)狀態(tài)并對(duì)未來(lái)進(jìn)行精準(zhǔn)預(yù)測(cè)已成為橋梁安全評(píng)估的重要手段。此時(shí)，貝葉斯更新方法進(jìn)入了人們的視野，與最大似然估計(jì)方法不同，貝葉斯更新不需要大量的樣本估計(jì)參數(shù)，這是涉及檢測(cè)數(shù)據(jù)的理想方法[5-7]。貝葉斯方法首先根據(jù)過(guò)去經(jīng)驗(yàn)和歷史數(shù)據(jù)確定先驗(yàn)分布，當(dāng)新檢測(cè)數(shù)據(jù)可用時(shí)，采用新數(shù)據(jù)更新初始分布，有效減小初始分布的不確定性。

本文以Gamma過(guò)程建模鋼筋混凝土橋梁結(jié)構(gòu)的退化，超過(guò)閾值的周期性車輛荷載根據(jù)泊松過(guò)程隨機(jī)產(chǎn)生，利用廣義Pareto分布控制超過(guò)特定臨界值的荷載，并采用貝葉斯參數(shù)更新方法結(jié)合檢測(cè)數(shù)據(jù)更新Gamma過(guò)程參數(shù)分布，以一座混凝土實(shí)橋?yàn)槔玫絽?shù)更新后的剩余服役壽命。

1 混凝土橋梁退化隨機(jī)過(guò)程

由于混凝土結(jié)構(gòu)的劣化涉及諸多因素且過(guò)程十分復(fù)雜，為簡(jiǎn)化模型，做出以下假設(shè)：

(1)RC橋梁退化過(guò)程可被觀測(cè)，且通過(guò)主梁抗彎承載力的降低率進(jìn)行衡量。

(2)不考慮自然災(zāi)害(如地震)的影響。

(3)將荷載視為系列脈沖，忽略其持續(xù)時(shí)間。

假定以t個(gè)時(shí)間單位表示抗力退化的隨機(jī)變量X(t)具有Gamma分布，其概率密度函數(shù)為：

(1)

其中：α(t)——形狀參數(shù)，是時(shí)間的函數(shù)；

β——比例參數(shù)。

Gamma過(guò)程具有以下特征：

(1)X(0)=0的概率為1。

(2)當(dāng)t1≥0，且t2>t1，增量X(t2)-X(t1)遵循分布g(α(t2)-α(t1)，β)。

(3)X(t)的增量相互獨(dú)立。

由于混凝土結(jié)構(gòu)抗力的降低主要是由鋼筋的腐蝕引起的，根據(jù)文獻(xiàn)[8]，線性函數(shù)α(t)=αt可用于描述鋼筋腐蝕而引起的混凝土結(jié)構(gòu)的退化。因此，結(jié)構(gòu)退化的均值和方差也為線性：

(2)

2 外荷載隨機(jī)過(guò)程

定義車輛荷載時(shí)，不僅需要定義車輛荷載到達(dá)時(shí)間的分布，還需要定義荷載大小的分布。本文采用泊松過(guò)程對(duì)車輛荷載的出現(xiàn)進(jìn)行建模：

(3)

在此，t≥0，其中λ為荷載出現(xiàn)的強(qiáng)度；n為時(shí)間間隔(0，t]中經(jīng)過(guò)橋梁的荷載總數(shù)目。

根據(jù)實(shí)際交通量調(diào)查結(jié)果，不同等級(jí)或不同類型道路的荷載分布均不相同。由于重型卡車和小汽車的軸載分別分布在某個(gè)特定位置，該分布通常具有兩個(gè)峰值，因此使用幾個(gè)分布的疊加來(lái)表示軸荷分布更為準(zhǔn)確。但為簡(jiǎn)化問(wèn)題，假設(shè)只有高于某個(gè)值的載荷才能影響主梁，對(duì)于公路橋梁而言，該確定值是指主梁的自重和荷載的疊加值。因此，該荷載的值可以表示為最小載荷l0值加上超出部分。假定超出部分Y具有廣義Pareto分布，梁中相應(yīng)的最大彎矩也具有廣義的Pareto分布。廣義Pareto分布的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)由式(4)、式(5)給出：

(4)

(5)

式中：a——比例參數(shù)；

c——形狀參數(shù)。

3 結(jié)構(gòu)退化與荷載組合

對(duì)于橋梁結(jié)構(gòu)而言，若r0表示主梁的初始抗彎承載力，自橋梁服役以來(lái)的t時(shí)間段內(nèi)該主梁承受n次重荷載，該時(shí)間段內(nèi)主梁未失效概率即為每次車輛荷載作用于主梁但未失效概率，由此可知所用重載均低于剩余抗彎承載力概率。根據(jù)文獻(xiàn)[8]的推導(dǎo)，在時(shí)間間隔(0，t]中，每個(gè)荷載的條件出現(xiàn)具有均勻分布性，概率密度為1/t。因此，主梁未失效概率表示為：

(6)

由于n個(gè)荷載獨(dú)立同分布，因此可以通過(guò)總概率定律來(lái)獲得主梁在服役壽命t時(shí)的生存函數(shù)S(t)[5]：

S(t)=P(nofailurein(0，t])

(7)

4 貝葉斯更新與剩余壽命

根據(jù)貝葉斯定理，如果假設(shè)先驗(yàn)分布，則條件獨(dú)立于給定的檢測(cè)數(shù)據(jù)集x[9]。橋梁服役壽命為結(jié)構(gòu)自身退化與交通荷載的組合，可從年度交通調(diào)查報(bào)告中查得荷載數(shù)據(jù)，因此唯一需要更新的部分為橋梁退化過(guò)程，即Gamma過(guò)程。因此，如果將參數(shù)(α和β)的先驗(yàn)分布表示為π(α，β)，則后驗(yàn)分布π(α，β|x)為：

(8)

在此，l(x|α，β)是給定α和β的檢測(cè)數(shù)據(jù)的似然函數(shù)。由于分母是常數(shù)值，因此后驗(yàn)分布π(α，β|x)與似然函數(shù)和先驗(yàn)密度成正比。

本文中，先驗(yàn)聯(lián)合分布π(α，β)遵循具有獨(dú)立α和β的二元正態(tài)分布。實(shí)際上，由于測(cè)量誤差始終已知且可控，因此α和β的方差可以視為恒定值，從而可得：

(9)

對(duì)于每次檢測(cè)而言，如果只能通過(guò)推斷獲得一對(duì)參數(shù)(表示為αi，βi)，則后驗(yàn)聯(lián)合概率密度與先驗(yàn)聯(lián)合概率密度共軛，并且更新的參數(shù)α*和β*是先驗(yàn)值和檢測(cè)值的平均值：

(10)

因此，如果在時(shí)刻T進(jìn)行橋梁檢測(cè)，則將使用觀測(cè)到的抗力r1和具有更新參數(shù)的新Gamma過(guò)程X*(t)計(jì)算安全服役概率分布S*(t)：

1-F*(t) (t>0)

(11)

以F*(t)的導(dǎo)數(shù)形式獲得橋梁安全服役密度：

(12)

此外，主梁的總壽命為時(shí)間T與檢測(cè)后的平均剩余壽命之和：

(13)

5 應(yīng)用實(shí)例

為進(jìn)一步闡述該方法，本研究以一座T形截面混凝土公路橋梁為例，主梁計(jì)算跨度為12m。主梁橫截面如圖1所示，材料特性如表1所示。當(dāng)交通荷載作用在主梁時(shí)，主梁同時(shí)承受彎剪作用，最大彎矩作用于主梁跨中位置。若僅以梁的抗彎承載力為研究對(duì)象，則當(dāng)車輛荷載引起的彎矩大于該時(shí)刻主梁的剩余抗彎承載力時(shí)，主梁失效。

橋梁初始運(yùn)營(yíng)時(shí)每片主梁抗彎承載力(Mcp)為4 713.25kN·m[10]，鋼筋混凝土密度約為2 500kg/m3。除自重產(chǎn)生的彎矩485.1kN·m外，每片主梁的抗彎能力為4 228.15kN·m。若總重量≤17.5t(即<514.5kN·m)卡車產(chǎn)生的彎矩忽略不計(jì)，則根據(jù)從交通量調(diào)查獲得的軸載譜，由交通荷載產(chǎn)生的超過(guò)514.5kN·m的部分通過(guò)廣義Pareto分布進(jìn)行擬合，其中a=0.5且c=0.02，由交通荷載引起的彎矩超過(guò)514.5kN·m的次數(shù)約為4 000次/每年。

圖1 某公路橋梁橫截面示意圖(mm)

表1 混凝土主梁材料參數(shù)值表

基于同條件下類似橋梁經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，彎矩退化率平均值為9.78kN·m/年，相應(yīng)的方差為6.5。因此，Gamma過(guò)程分布的參數(shù)為α=14.715和β=1.505。表2列出了Gamma過(guò)程分布參數(shù)的先驗(yàn)聯(lián)合正態(tài)分布，基于式(7)，利用蒙特卡羅方法得到服役壽命的先驗(yàn)概率密度函數(shù)。

橋梁服役運(yùn)行10年后，通過(guò)檢測(cè)主梁的鋼筋直徑，得到抗彎承載力為4 550kN·m，抗彎承載力退化率為16.84kN·m/年，相應(yīng)的方差為8.8。因此，相應(yīng)的α和β值分別等于32.226和1.914。此外，新的交通調(diào)查顯示，因交通荷載產(chǎn)生的彎矩超過(guò)514.5kN·m的次數(shù)約為5 000次/每年?；谪惾~斯更新，得到后驗(yàn)概率分布(見(jiàn)表2)。另外，通過(guò)蒙特卡洛方法計(jì)算得到相應(yīng)的服役壽命后驗(yàn)分布。

表2 先驗(yàn)與后驗(yàn)參數(shù)比較表

如下頁(yè)圖2所示給出了第10年檢測(cè)后主梁的剩余服役壽命的先驗(yàn)和后驗(yàn)累積分布函數(shù)與概率密度函數(shù)的比較。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，該橋梁退化速度明顯快于初始預(yù)期，這可能是由于十年來(lái)交通量增長(zhǎng)和重載車輛增加所致，在現(xiàn)有服役的公路橋梁中，該現(xiàn)象非常普遍。因此，在橋梁的實(shí)際運(yùn)行中，一旦出現(xiàn)這種情況，應(yīng)及時(shí)修訂維護(hù)計(jì)劃，以確保在更新后的退化速率下橋梁正常運(yùn)營(yíng)。

另外，通過(guò)利用橋梁檢測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)Gamma過(guò)程的參數(shù)進(jìn)行更新，可以大大減小主梁剩余服役壽命的標(biāo)準(zhǔn)差，從而減小其不確定性，提高預(yù)測(cè)精度，這進(jìn)一步體現(xiàn)了收集檢測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行貝葉斯更新的重要性。

(a)累計(jì)分布函數(shù)(CDF)

(b)概率密度函數(shù)(PDF)

6 結(jié)語(yǔ)

本文將車輛載荷與混凝土的退化過(guò)程相結(jié)合，通過(guò)貝葉斯更新方法得到了服役橋梁的剩余壽命。針對(duì)直接更新壽命分布十分困難的問(wèn)題，將混凝土退化過(guò)程建模為Gamma過(guò)程，將車輛荷載建模為泊松過(guò)程，并采用廣義Pareto分布控制隨機(jī)荷載的變異性，進(jìn)一步提出抗力-荷載效應(yīng)雙隨機(jī)過(guò)程的服役橋梁剩余壽命評(píng)估方法。基于橋梁檢測(cè)信息，利用貝葉斯方法更新Gamma過(guò)程的參數(shù)，采用蒙特卡羅方法計(jì)算橋梁剩余服役壽命的累積分布函數(shù)和概率密度函數(shù)。本研究可有效利用檢測(cè)數(shù)據(jù)為橋梁安全維護(hù)提供理論依據(jù)。