張宇鹍 袁 驍

1(北京師范大學(xué)物理系 北京 100875) 2(北京師范大學(xué)高等量子研究中心 北京 100875) 3(北京大學(xué)前沿計(jì)算研究中心 北京 100080)

近期量子設(shè)備的特征限制了能夠操控的量子比特(qubit)數(shù)目，一般為幾個(gè)到幾十個(gè)量子比特，且存在一定的噪聲，因此稱之為有噪聲的中等尺寸量子(noisy intermediate-scale quantum,NISQ)設(shè)備[1].由于能夠控制的量子比特?cái)?shù)目有限，故一般無(wú)法使用量子糾錯(cuò)碼將物理量子比特編碼為邏輯量子比特后進(jìn)行計(jì)算：據(jù)估計(jì)，以合理的成功概率實(shí)現(xiàn)超越經(jīng)典計(jì)算機(jī)算力的Shor算法需要將幾千個(gè)物理量子比特編碼為1個(gè)邏輯量子比特[2].故而，對(duì)于NISQ設(shè)備我們需要考慮設(shè)計(jì)對(duì)其友好的算法，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)算法能夠成功實(shí)施的相應(yīng)技術(shù).一系列面向NISQ設(shè)備設(shè)計(jì)的算法已經(jīng)提出，其中最受矚目的為變分量子求解器(variational quantum eigensolver,VQE)[3-5]和量子近似優(yōu)化算法(quantum approximate optimization algorithm,QAOA)[6]，前者多用于量子模擬(quantum simulation)領(lǐng)域[7]，而后者主要面向計(jì)算機(jī)領(lǐng)域的組合優(yōu)化(combinatorial optimization)問(wèn)題[8].與此同時(shí)，量子錯(cuò)誤緩解(quantum error mitigation,QEM)技術(shù)[9]成為NISQ時(shí)代在量子設(shè)備上可靠地實(shí)施算法的必不可少的元素.

2019年和2020年，Google公司在量子計(jì)算領(lǐng)域取得了里程碑式的進(jìn)展，分別在其Sycamore量子芯片上實(shí)現(xiàn)了量子霸權(quán)(quantum supremacy)實(shí)驗(yàn)[10]和目前在量子計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)的最大的量子模擬(quantum simulation)算法[11].對(duì)于后者，依賴于后處理(post-selection)和McWeen純化(McWeen purification)的量子錯(cuò)誤緩解技術(shù)，研究人員們成功將保真度(fidelity)最低2%的計(jì)算結(jié)果還原到99%，足以體現(xiàn)量子錯(cuò)誤緩解對(duì)于NISQ時(shí)代量子計(jì)算的重要性.

本文主要以面向VQE算法實(shí)施的量子模擬算法為背景，介紹相關(guān)的量子錯(cuò)誤緩解技術(shù).

1 量子模擬和變分量子特征求解器簡(jiǎn)介

量子力學(xué)是描述微觀世界的基礎(chǔ)理論.通過(guò)經(jīng)典計(jì)算機(jī)研究量子系統(tǒng)問(wèn)題是物理、化學(xué)、材料等領(lǐng)域的重要研究方向之一.然而，隨著系統(tǒng)自由度的增加，經(jīng)典計(jì)算機(jī)所需要的計(jì)算資源在最一般的情況下呈指數(shù)級(jí)上升，稱之為“指數(shù)墻”(exponential wall)困難[12].

意識(shí)到這一困難，F(xiàn)eynman最早于1982年提出了量子模擬的概念：通過(guò)可控的、易獲得的量子系統(tǒng)來(lái)模擬難以獲得的目標(biāo)量子系統(tǒng)[7].直覺(jué)上，利用量子系統(tǒng)本身自由度指數(shù)級(jí)增大的希爾伯特空間(Hilbert space)，我們可以在一定程度上解決指數(shù)墻困難.

在量子多體物理和量子化學(xué)領(lǐng)域中，系統(tǒng)在低能態(tài)表現(xiàn)出的特性是研究人員關(guān)心的問(wèn)題之一.其中，最具代表性的即為原子或分子系統(tǒng)的電子結(jié)構(gòu)問(wèn)題.電子結(jié)構(gòu)問(wèn)題的研究目的為對(duì)特定哈密頓量(Hamiltonian)H描述的原子或分子系統(tǒng)，理解其在低能態(tài)下相互作用的電子在原子核產(chǎn)生的勢(shì)能下是怎樣分布的.系統(tǒng)的性質(zhì)由波函數(shù)(wave function)描述，電子結(jié)構(gòu)問(wèn)題要求我們求解系統(tǒng)的基態(tài)(ground state)和低能激發(fā)態(tài)，并計(jì)算各個(gè)觀測(cè)量的大小，其中最為重要的觀測(cè)量為系統(tǒng)能量E.

Rayleigh-Ritz變分法給出了對(duì)量子基態(tài)求解的可行策略，其主要通過(guò)設(shè)定參數(shù)化的試探波函數(shù)(trial wave function)|ψ(θ)〉，又稱擬設(shè)(ansatz)，θ為其參數(shù).以能量E作為觀測(cè)量為例，系統(tǒng)基態(tài)能量E0滿足:

E0≤〈ψ(θ)|H|ψ(θ)〉.

(1)

可以看到，系統(tǒng)的基態(tài)能量給出了該觀測(cè)量的下界，我們可以不斷調(diào)整、優(yōu)化擬設(shè)的參數(shù)使其逐漸逼近系統(tǒng)基態(tài)，從而獲得基態(tài)能量.

借助這一思想，VQE算法通過(guò)在量子計(jì)算機(jī)上制備試探波函數(shù)，通過(guò)測(cè)量獲得觀測(cè)量當(dāng)前值，并使用經(jīng)典計(jì)算機(jī)優(yōu)化試探波函數(shù)參數(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)基態(tài)能量的求解.其優(yōu)勢(shì)在于利用量子計(jì)算機(jī)指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)的希爾伯特空間來(lái)表示波函數(shù)，經(jīng)典計(jì)算機(jī)的參與減少了對(duì)量子線路(quantum circuit)深度的要求.隨著量子線路深度的增加，隨機(jī)錯(cuò)誤的數(shù)量和退相干(decoherence)效應(yīng)的影響會(huì)越來(lái)越明顯，故VQE算法保持較為淺層的量子線路深度的特性使其適合于在近期量子設(shè)備上實(shí)施.另外，VQE算法本身具有一定的對(duì)連續(xù)錯(cuò)誤的緩解效果[4-5].當(dāng)然，淺層量子線路的錯(cuò)誤仍然會(huì)帶來(lái)計(jì)算的偏差，本文將接下來(lái)總結(jié)針對(duì)淺層量子線路的量子錯(cuò)誤緩解方法.

2 量子錯(cuò)誤緩解基本框架

(2)

其中，M為量子門的數(shù)量.當(dāng)單個(gè)量子門的出錯(cuò)概率小于一定的閾值(threshold)時(shí)，我們可以通過(guò)量子糾錯(cuò)以及提升量子糾錯(cuò)碼矩(distance)實(shí)現(xiàn)對(duì)錯(cuò)誤的任意精度的緩解.

Fig.1 Schematic of quantum error mitigation[5]圖1 量子錯(cuò)誤緩解示意圖[5]

3 量子錯(cuò)誤緩解的主要方法

本節(jié)將具體介紹10類量子錯(cuò)誤緩解方法以及各類方法相互結(jié)合的方法.根據(jù)對(duì)噪聲模型的依賴程度和錯(cuò)誤緩解的不同方法，我們將這些方法歸為如表1所示的4種類型：弱噪聲模型、精確噪聲模型、機(jī)器學(xué)習(xí)噪聲模型、未假設(shè)噪聲形式模型.最后，我們將討論各個(gè)方法間的組合方法.

Table 1 Classification of Different Quantum Error Mitigation Methods表1 不同量子錯(cuò)誤緩解方法分類

3.1 外推法

外推法(extrapolation)利用不同的物理錯(cuò)誤率下運(yùn)行相同的量子線路，從而通過(guò)不同錯(cuò)誤率對(duì)應(yīng)的測(cè)量結(jié)果外推得到無(wú)錯(cuò)誤情況下的觀測(cè)結(jié)果，如圖2所示:

Fig.2 Schematic of quantum error extrapolation [4]圖2 量子錯(cuò)誤外推法示意圖[4]

1)Richardson外推法

(3)

(4)

其中，Zm為展開系數(shù)，〈Z〉(ε)為觀測(cè)量在錯(cuò)誤率為ε情況下的期望值.

為了得到理想的測(cè)量數(shù)據(jù)〈Z〉(0)，我們通過(guò)實(shí)驗(yàn)調(diào)節(jié)不同的ε大小獲得相應(yīng)的觀測(cè)結(jié)果〈Z〉(ε).通過(guò)實(shí)驗(yàn)手段，我們可以增加物理錯(cuò)誤率ε.我們選擇不同的噪聲放大比例λl，并要求1=λ0<λ1<…<λn，得到不同噪聲大小下的觀測(cè)期望值〈Z〉(λlε).然后，我們可以通過(guò)n階泰勒展開和Richardson外推法獲得對(duì)無(wú)噪聲情況的估計(jì):

(5)

外推法的優(yōu)勢(shì)在于任何連續(xù)函數(shù)都可以被泰勒展開，故而，在保證能夠準(zhǔn)確提升系統(tǒng)的物理錯(cuò)誤率的情況下，該方法在理論上可以應(yīng)用于任何錯(cuò)誤模型中.這是由于外推法沒(méi)有使用噪聲的具體形式做出特定的假設(shè)，故而，錯(cuò)誤緩解后的測(cè)量結(jié)果的方差會(huì)急劇上升.特別地，可以得到〈Z〉est的方差為

(6)

值得注意的是，IBM演示了通過(guò)VQE求解LiH和H2分子基態(tài)能量的實(shí)驗(yàn)[15].

2)指數(shù)外推法

上面1)討論的Richardson外推法通過(guò)假設(shè)存在一個(gè)有效的泰勒展開式，可以將測(cè)量結(jié)果展開為錯(cuò)誤率的多項(xiàng)式函數(shù)，且可以忽略高階項(xiàng)的影響.實(shí)踐中，量子設(shè)備具有的特點(diǎn)是物理錯(cuò)誤率ε小，但量子門數(shù)目M較大，這種情況下多項(xiàng)式展開會(huì)變得不精確.Endo等人[16]提出指數(shù)外推法(exponential extrapolation)，使用指數(shù)衰減函數(shù)來(lái)替代原來(lái)的多項(xiàng)式展開.

考慮Markov隨機(jī)錯(cuò)誤，形式為

(7)

(8)

(9)

對(duì)于量子線路中錯(cuò)誤率ε較小、量子門M數(shù)量較多的情況，若二者滿足Mε=O(1)的關(guān)系，則二項(xiàng)式分布αj可以通過(guò)Poisson分布近似獲得:

(10)

噪聲信道可以展開為

(11)

其中，展開系數(shù)e-M ε使得其隨著Mε指數(shù)衰減.進(jìn)一步，通過(guò)對(duì)該展開實(shí)施一階近似，我們考慮在ε和λε(λ>1)兩個(gè)噪聲率下的測(cè)量結(jié)果〈M〉(ε)和〈M〉(λε)，可以得到對(duì)于無(wú)噪聲情況的近似：

(12)

錯(cuò)誤緩解的額外開銷為

(13)

指數(shù)外推法僅在觀測(cè)量對(duì)錯(cuò)誤率的展開式上進(jìn)行了改變，故依然可以使用3.2節(jié)中提出的最小二乘法進(jìn)行近似.Endo等人[16]和Giurgica-Tiron等人[17]分別通過(guò)數(shù)值模擬證明了指數(shù)展開相較于Richardson展開的優(yōu)勢(shì).并通過(guò)IBM超導(dǎo)量子計(jì)算機(jī)就哈密頓量模擬進(jìn)行了演示[18].

3.2 最小二乘擬合法

當(dāng)被給定在不同錯(cuò)誤率情況下的測(cè)量值時(shí)，我們可以使用最小二乘法(least square fitting)[19]估計(jì)無(wú)錯(cuò)誤情況下的測(cè)量結(jié)果.與第3.1節(jié)所討論外推法類似，考慮不同錯(cuò)誤率大小ε1,ε2,…,εm，外推法中使用的n階泰勒展開可以近似為一個(gè)線性方程:

Dz≈k,

(14)

其中，

(15)

z=(〈Z〉(0),Z1,…,Zn)T，
k=(〈Z〉(ε1),〈Z〉(ε2),…,〈Z〉(εn))T.

錯(cuò)誤率的數(shù)量m可以隨著展開的階數(shù)變化.式(14)的解可以通過(guò)最小化獲得:

(16)

當(dāng)m=n時(shí)，式(16)給出的結(jié)果與Richardson展開一致.

實(shí)踐中，最小二乘法可以對(duì)不同的噪聲影響分配不同的系數(shù).假設(shè)存在另一個(gè)噪聲系數(shù)κ，我們可以獲得觀測(cè)量期望值的展開〈Z〉(ε,κ)，將其展開為

〈Z〉(ε,κ)=〈Z〉(0)+Z10ε+Z01κ+
Z11εκ+Z20ε2+Z02κ2+….

(17)

假設(shè)我們將式(17)展開截?cái)嗟蕉A，可以得到線性方程的各項(xiàng)為

(18)

及

(19)

則我們可以通過(guò)式(14)獲得對(duì)〈Z〉(0)的估計(jì).該方法通過(guò)Rigetti的八量子比特設(shè)備演示[19].

3.3 量子子空間展開

量子子空間展開(quantum subspace expansion,QSE)法由McClean等人[20]最先提出.假設(shè)已經(jīng)獲得關(guān)于某系統(tǒng)哈密頓量H基態(tài)的近似|ψref〉，將該量子態(tài)作為參考，我們用一組算符可以構(gòu)造一個(gè)線性子空間展開這一參考態(tài).具體而言，我們可以定義泡利算符集合{G?I,X,Y,Z?M}及以該集合展開的子空間:

(20)

其中，ci，cj為展開系數(shù)，我們?cè)谡归_后的子空間中求解能量的最小值以獲得對(duì)噪聲緩解的結(jié)果:

(21)

其中c=(ci).

如圖3所示，給定有噪聲的基態(tài)，我們可以通過(guò)子空間的擴(kuò)展面來(lái)找到真實(shí)的基態(tài).子空間展開的最優(yōu)解可以通過(guò)以下泛化特征值問(wèn)題求解得到:

Fig.3 Schematic of quantum subspace expansion圖3 量子子空間展開法示意圖

(22)

3.4 對(duì)稱性驗(yàn)證

當(dāng)系統(tǒng)遵循一定的物理對(duì)稱性時(shí)，我們可以通過(guò)設(shè)計(jì)滿足這種對(duì)稱性的波函數(shù)擬設(shè)來(lái)縮小參數(shù)搜索的范圍.例如，對(duì)于遵循粒子數(shù)和自旋守恒的系統(tǒng)，考慮設(shè)計(jì)由使得系統(tǒng)的總粒子數(shù)和自旋守恒的幺正變換構(gòu)成的波函數(shù)擬設(shè)，則可以選擇幺正偶合簇(unitary coupled-cluster)[21]方法，或者特定的硬件高效擬設(shè)(hardware-efficient ansatz)[22].相應(yīng)地，我們可以通過(guò)對(duì)稱性檢驗(yàn)(symmetry verification)[23-24]的方式來(lái)檢驗(yàn)輸出波函數(shù)是否仍然具備這種對(duì)稱性.理想的量子算法實(shí)施會(huì)保持量子態(tài)的對(duì)稱性，但是由有噪聲的量子線路制備得到的量子態(tài)可能會(huì)破壞這種對(duì)稱性.因?yàn)閷?duì)稱性僅在錯(cuò)誤出現(xiàn)的情況下才會(huì)被破壞，故對(duì)稱性驗(yàn)證方法的工作原理為丟掉對(duì)稱性被破壞的測(cè)量結(jié)果.

具體而言，對(duì)稱性檢驗(yàn)量子線路輸出態(tài)是否遵循特定對(duì)稱性的方式為對(duì)該對(duì)稱性實(shí)施奇偶校驗(yàn)，注意到該校驗(yàn)方式在量子糾錯(cuò)碼中常常使用，但這里我們不糾正錯(cuò)誤，而是去掉有瑕疵的結(jié)果.我們可以通過(guò)泡利群(Pauli group)N來(lái)理解奇偶驗(yàn)證.泡利群N中所有元素由所有長(zhǎng)度為N的泡利矩陣X,Y和Z，及單位矩陣I構(gòu)成的直積態(tài)組成，群元的第i個(gè)元素代表作用到第i個(gè)量子比特的操作.注意到，N中任意群元都有±1兩個(gè)特征值，并分別表示該群元檢測(cè)量的奇偶性，若為偶數(shù)則為1，若為奇數(shù)則為-1.特定群元可以用于對(duì)系統(tǒng)相應(yīng)對(duì)稱性進(jìn)行奇偶校驗(yàn)，而理想波函數(shù)應(yīng)為相應(yīng)對(duì)稱性算符的本征態(tài).例如，考慮對(duì)于理想波函數(shù)|ψ〉的粒子數(shù)奇偶性算符其應(yīng)滿足:

(23)

Fig.4 Schematic of verify circuit[5]圖4 檢測(cè)線路示意圖[5]

(24)

(25)

參考量子糾錯(cuò)中應(yīng)用最為廣泛的穩(wěn)定子編碼(stabilizer code)，McClean等人[26]設(shè)計(jì)了對(duì)應(yīng)的經(jīng)典后處理版本，相較于穩(wěn)定子編碼需要對(duì)穩(wěn)定子群(stabilizer)中各生成元(generator)實(shí)施對(duì)應(yīng)的奇偶校驗(yàn)線路，該方法可以在完全忽略這些線路實(shí)施的情況下檢測(cè)錯(cuò)誤.另外，我們可以以概率的形式實(shí)施量子糾錯(cuò)碼中具備的各個(gè)對(duì)稱性投影，使得量子態(tài)回歸到碼字(codeword)空間.相應(yīng)的后處理解碼器(decoder)通過(guò)數(shù)值實(shí)現(xiàn)了對(duì)5個(gè)量子比特量子化學(xué)模擬的糾錯(cuò)并獲得了50%的有效糾錯(cuò)閾值(threshold).

3.5 測(cè)量錯(cuò)誤緩解

測(cè)量錯(cuò)誤緩解(measurement error mitigation)[27-29]用于減少測(cè)量過(guò)程中的錯(cuò)誤.假設(shè)理想測(cè)量過(guò)程由一組正算符值測(cè)量(positive-operator valued measure,POVM)構(gòu)成{Fi}.對(duì)于系統(tǒng)狀態(tài)ρ，獲得第i個(gè)測(cè)量結(jié)果的概率為Pi=tr(Fiρ).將理想概率分布表示為Pideal=(P1,P2,…,PM-1,PM)T，其中，M為正算符值測(cè)量的數(shù)量.當(dāng)測(cè)量中存在錯(cuò)誤時(shí)，測(cè)量錯(cuò)誤將理想概率分布轉(zhuǎn)換為

Pnoisy=F·Pideal,

(26)

其中，F(xiàn)為轉(zhuǎn)換矩陣.例如，我們可以考慮對(duì)單量子比特的投影測(cè)量結(jié)果P=(P0,P0)，錯(cuò)位測(cè)量錯(cuò)誤可以描述為

(27)

其中，ε和η分別為量子比特狀態(tài)0和1的發(fā)生翻轉(zhuǎn)的錯(cuò)誤概率.

實(shí)踐中，對(duì)變換矩陣的估計(jì)可以通過(guò)量子探測(cè)器態(tài)層析(quantum detector tomography)實(shí)現(xiàn).當(dāng)我們不考慮探測(cè)器對(duì)不同量子比特存在串?dāng)_錯(cuò)誤(crosstalk error)時(shí)，對(duì)整體變換矩陣的估計(jì)可以表示為各個(gè)部分變換矩陣估計(jì)的直積態(tài).我們可以通式(28)獲得對(duì)無(wú)錯(cuò)誤情況的估計(jì):

(28)

然而，由于量子錯(cuò)誤的存在，如相干錯(cuò)誤，我們獲得的轉(zhuǎn)換矩陣中可能會(huì)出現(xiàn)非物理概率.為了避免這一問(wèn)題，我們可以采用優(yōu)化方法:

(29)

該方法用于IBM 5量子比特設(shè)備上[27-28].近期，測(cè)量錯(cuò)誤緩解技術(shù)被延伸到測(cè)量階段存在量子比特間的關(guān)聯(lián)錯(cuò)誤的情況，并在IBM 20量子比特計(jì)算機(jī)上演示[30].

3.6 N階可表示性

N階可表示性(N-representability)由Rubin等人[31]引入量子錯(cuò)誤緩解領(lǐng)域.考慮N電子系統(tǒng)，其哈密頓量H為

(30)

(31)

其中，D1和D2分別為系統(tǒng)的單電子和兩電子約化密度矩陣(reduced density matrix,RDM)，分別記作1-RDM和2-RDM.實(shí)驗(yàn)上，我們可以高效測(cè)量得到體系的2-RDM，并約化得到1-RDM.由于具有實(shí)際的物理意義，要求2-RDM不但滿足約化密度矩陣自身的性質(zhì)，如厄米性、交換反對(duì)稱性、跡為N×(N-1)等，還需加入額外限制條件保證其為N電子密度矩陣約化而來(lái)，這些條件稱為N階可表示性(N-representability)條件.由于得到全部條件被證明是QMA-complete問(wèn)題，理論上無(wú)法獲得，故一般考慮近似、必要非充分條件，如2階正定條件(2-positive conditions)，其形式為

(32)

(33)

(34)

3.7 準(zhǔn)概率模型

Fig.5 Schematic of probabilistic error cancel圖5 概率錯(cuò)誤抵消示意圖

(35)

(36)

得到其逆過(guò)程形式為

(37)

(38)

當(dāng)測(cè)量量子態(tài)時(shí)，相應(yīng)符號(hào)及常數(shù)τ作用于測(cè)量結(jié)果.重復(fù)多次后，我們可以獲得理論上理想的測(cè)量結(jié)果.

(39)

Fig.6 Schematic of the quasi-probability method[4]圖6 準(zhǔn)概率方法示意圖[4]

(40)

3.8 個(gè)體錯(cuò)誤減少

個(gè)體錯(cuò)誤減少(individual error reduction)[33]將量子糾錯(cuò)用于單個(gè)量子比特錯(cuò)誤檢測(cè)，并使用經(jīng)典后處理來(lái)緩解錯(cuò)誤.假設(shè)每一個(gè)量子門受到物理噪聲的作用形式由Lindblad主方程給出:

(41)

(42)

(43)

從而，個(gè)體錯(cuò)誤減少的定義為

(44)

(45)

注意到，個(gè)體錯(cuò)誤減少將錯(cuò)誤壓制到一階，我們可以在此基礎(chǔ)上與其他量子錯(cuò)誤緩解方法結(jié)合獲得更好的效果.由于使用量子糾錯(cuò)，該方法相較于其他量子錯(cuò)誤緩解算法會(huì)帶來(lái)額外的硬件和算力開銷.

3.9 基于機(jī)器學(xué)習(xí)的量子錯(cuò)誤緩解算法

1)Clifford數(shù)據(jù)回歸(Clifford data regression)

注意到使用經(jīng)典計(jì)算機(jī)模擬一般量子線路的困難性，Czarnik等人[34]提出使用Clifford線路作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)的來(lái)源.理由是Clifford量子線路可以被經(jīng)典計(jì)算機(jī)高效模擬，從而保證了訓(xùn)練過(guò)程的高效性.一旦學(xué)習(xí)完成，我們可以使用訓(xùn)練好的模型預(yù)測(cè)任意給定的噪聲結(jié)果對(duì)應(yīng)的理想觀測(cè)結(jié)果.理想情況下，不論我們給定的量子線路的形式如何，機(jī)器學(xué)習(xí)算法在訓(xùn)練過(guò)程中能夠?qū)W習(xí)到有噪聲觀測(cè)量到理想觀測(cè)量的映射模式，這一映射模式隱含了對(duì)系統(tǒng)噪聲模式的學(xué)習(xí).故而，我們可以在測(cè)試階段將訓(xùn)練得到的模型用于任意具備相同噪聲模式的數(shù)據(jù)，由于機(jī)器學(xué)習(xí)算法的泛化性質(zhì)，可以保證在預(yù)測(cè)階段模型獲得合理的表現(xiàn).

(46)

Clifford數(shù)據(jù)回歸模型已經(jīng)在IBMQ16量子比特計(jì)算機(jī)和64量子比特經(jīng)典計(jì)算機(jī)上進(jìn)行演示[34].由于機(jī)器學(xué)習(xí)算法具有強(qiáng)大的模式學(xué)習(xí)能力，這類算法具備高度的靈活性和通用性，可以應(yīng)用于各類噪聲模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中，且可以同時(shí)用于Markov和關(guān)聯(lián)錯(cuò)誤.這使得面相特定量子設(shè)備的錯(cuò)誤緩解成為可能.

2)基于學(xué)習(xí)的準(zhǔn)概率方法(learning-based quasi-probability method)

(47)

(48)

這里，為了保證訓(xùn)練過(guò)程的效率，我們的訓(xùn)練集選擇使用Clifford群生成量子線路.可以看到與1)Clifford數(shù)據(jù)回歸的學(xué)習(xí)方法類似，由于機(jī)器學(xué)習(xí)算法的泛化性，算法可以學(xué)習(xí)到噪聲的模式.故在測(cè)試環(huán)節(jié)中，我們可以將訓(xùn)練好的模型用于任意存在非關(guān)聯(lián)錯(cuò)誤的非Clifford單量子比特門中.

注意到隨著線路中量子門個(gè)數(shù)的增加，恢復(fù)操作構(gòu)成的空間大小可能會(huì)呈現(xiàn)指數(shù)級(jí)上升.這種情況下，一種方法是采用截?cái)喾椒ǎ硪环N為變分優(yōu)化方法.前者通過(guò)泡利旋轉(zhuǎn)(Pauli twirling)[13]將錯(cuò)誤轉(zhuǎn)化為有錯(cuò)誤的泡利量子門，并截?cái)嘣摽臻g的大小到與量子線路大小呈多項(xiàng)式關(guān)系.后者則通過(guò)蒙特卡洛采樣得到損失函數(shù)并通過(guò)變分法優(yōu)化該損失函數(shù).實(shí)踐中，我們可以使用不完美的量子門組態(tài)層析作為優(yōu)化的初始點(diǎn).

3.10 隨機(jī)錯(cuò)誤緩解

相較于離散的數(shù)字量子模擬，當(dāng)前量子計(jì)算領(lǐng)域沒(méi)有系統(tǒng)的方法對(duì)模擬量子模擬(analog quantum simulation)實(shí)施量子糾錯(cuò)[36].而隨機(jī)錯(cuò)誤緩解為連續(xù)的模擬量子模擬提供了壓制錯(cuò)誤的方法，可以實(shí)現(xiàn)有效應(yīng)用.

考慮，假設(shè)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)演化過(guò)程由Lindblad主方程給出:

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

注意到，對(duì)于模擬量子模擬，持續(xù)地實(shí)施式(53)恢復(fù)操作會(huì)帶來(lái)過(guò)高的開銷.每一個(gè)小時(shí)間段δt內(nèi)所實(shí)施的恢復(fù)操作接近全等算符.這里，我們可以使用蒙特卡洛方法在整個(gè)過(guò)程中隨機(jī)地加入強(qiáng)恢復(fù)操作，類似于隨機(jī)薛定諤方程.

3.11 量子錯(cuò)誤緩解方法的組合

在3.8節(jié)的討論中，我們已經(jīng)提及不同量子錯(cuò)誤緩解方法間的結(jié)合可以彌補(bǔ)特定方法的缺陷.這里，我們就3種不同的方法結(jié)合[37]進(jìn)行討論.

1)對(duì)稱性驗(yàn)證與外推法結(jié)合

對(duì)稱性驗(yàn)證方法無(wú)法識(shí)別能夠保持系統(tǒng)對(duì)稱性的錯(cuò)誤，這些錯(cuò)誤與對(duì)稱性檢測(cè)算符相互對(duì)易，稱之為對(duì)易錯(cuò)誤(commuting error)，而其他錯(cuò)誤稱之為反對(duì)易錯(cuò)誤(anti-commuting error).而與對(duì)稱性檢測(cè)算法反對(duì)易的錯(cuò)誤經(jīng)過(guò)偶數(shù)次的出現(xiàn)與積累，其也會(huì)與檢測(cè)算符相互對(duì)易.為了增加算法的錯(cuò)誤緩解能力，一種方法是將其與外推法結(jié)合.假設(shè)對(duì)觀測(cè)量Z在錯(cuò)誤率為ε下對(duì)稱性檢測(cè)后得到的觀測(cè)期望值為〈Z〉sym(ε)，使用外推法可以進(jìn)一步緩解對(duì)稱性檢測(cè)后仍然存在的與檢測(cè)算符對(duì)易的錯(cuò)誤:

(54)

這里采用線性外推法.數(shù)值上，該方法被McArdle等人[23]驗(yàn)證.并且，Cai[38]討論了該方法在Hubbard VQE算法中的應(yīng)用.

2)準(zhǔn)概率方法與外推法結(jié)合

我們也可以使用準(zhǔn)概率方法與外推法結(jié)合[38].這種情況下，我們不使用準(zhǔn)概率方法來(lái)緩解所有類型的錯(cuò)誤，而是在不改變?cè)肼曅诺佬问降那闆r下實(shí)現(xiàn)對(duì)噪聲率的壓制.從而，我們可以獲得在不同噪聲大小的測(cè)量期望值，并使用外推法獲得理想測(cè)量期望值.相較于一般的外推法，我們不需要在量子設(shè)備上通過(guò)實(shí)驗(yàn)手段獲得不同噪聲率情況下的測(cè)量值，且由于可以降低而非增加噪聲率，我們可以獲得更低的估計(jì)誤差.代價(jià)是引入準(zhǔn)概率方法會(huì)產(chǎn)生更高的采樣需要.發(fā)現(xiàn)這2種方法的結(jié)合可以用于緩解連續(xù)過(guò)程的物理和模型估計(jì)誤差[37].

3)準(zhǔn)概率與對(duì)稱性驗(yàn)證方法結(jié)合

本節(jié)1)討論到對(duì)稱性驗(yàn)證方法無(wú)法檢測(cè)到與對(duì)稱性檢測(cè)算符對(duì)易的錯(cuò)誤.通過(guò)引入準(zhǔn)概率方法，我們可以通過(guò)改變?cè)肼曅诺赖男问剑瑥亩淖冨e(cuò)誤與對(duì)稱性檢驗(yàn)算符的對(duì)易性，實(shí)現(xiàn)更好的效果.在實(shí)施準(zhǔn)概率方法的過(guò)程中，額外加入的量子門可能會(huì)與對(duì)稱性檢驗(yàn)算符反對(duì)易，故而，我們需要相應(yīng)改變結(jié)果的對(duì)稱性.準(zhǔn)概率方法用于緩解線路中的反對(duì)易錯(cuò)誤.在此之后，若線路中剩下的反對(duì)易錯(cuò)誤為奇數(shù)個(gè)，則會(huì)被對(duì)稱性驗(yàn)證方法檢驗(yàn)并糾正；若存在偶數(shù)個(gè)，則無(wú)法檢測(cè).

使用ν代表系統(tǒng)經(jīng)過(guò)準(zhǔn)概率方法作用后剩余的錯(cuò)誤數(shù)量，而后通過(guò)式(11)可以獲得這種情況下系統(tǒng)觀測(cè)量的期望值為

(55)

其中，〈Z〉k為觀測(cè)量在量子線路中存在k個(gè)錯(cuò)誤情況下的期望值.

通過(guò)3.1節(jié)2)中對(duì)指數(shù)外推法的討論，可知觀測(cè)量遵從指數(shù)衰減曲線:

〈Z〉(ν)=〈Z〉(0)e-Γdν,

(56)

假定〈Z〉(ν)與理想情況測(cè)量值〈Z〉(0)滿足:

〈Z〉k=〈Z〉(0)(1-Γd)k,

(57)

其中，0≤Γd≤1.可知在實(shí)施對(duì)稱性驗(yàn)證方法后，量子線路中僅可能存在偶數(shù)個(gè)非對(duì)易錯(cuò)誤，給定下列觀測(cè)結(jié)果:

(58)

4 量子錯(cuò)誤緩解技術(shù)未來(lái)發(fā)展方向

以測(cè)量錯(cuò)誤減少和準(zhǔn)概率方法等為代表的錯(cuò)誤緩解技術(shù)，面向特定的量子信道，通過(guò)嚴(yán)格推導(dǎo)可以達(dá)到對(duì)錯(cuò)誤形成有保證的緩解效果.然而，實(shí)踐過(guò)程中，一方面，這類方法依賴錯(cuò)誤的形式，故需要實(shí)施具有高開銷的態(tài)和信道層析技術(shù)；另一方面，真實(shí)設(shè)備中錯(cuò)誤的來(lái)源多種多樣，很難通過(guò)嚴(yán)格的推導(dǎo)實(shí)現(xiàn)對(duì)所有類型錯(cuò)誤的緩解.而類似于外推法等方法，沒(méi)有利用錯(cuò)誤本身的信息，導(dǎo)致達(dá)到理想精度的錯(cuò)誤緩解效果一般需要高度的計(jì)算資源.機(jī)器學(xué)習(xí)算法為這種兩難的困境提出了一大出路.理由是機(jī)器學(xué)習(xí)算法具有強(qiáng)大的模式識(shí)別的能力[39]，能夠從訓(xùn)練數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)到系統(tǒng)噪聲對(duì)理想測(cè)量期望值的改變模式，故使得機(jī)器學(xué)習(xí)算法在這一方面具有更高的靈活性：既可以用于各類特定形式的量子信道中，也可以對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理.故而，未來(lái)在量子錯(cuò)誤緩解領(lǐng)域更多機(jī)器學(xué)習(xí)算法的進(jìn)入值得期待.并且，機(jī)器學(xué)習(xí)算法的開銷主要集中于訓(xùn)練階段，當(dāng)完成訓(xùn)練后可以使用訓(xùn)練好的模型低成本地推斷各類情況下的錯(cuò)誤緩解結(jié)果.

除此以外，利用計(jì)算任務(wù)本身特性的錯(cuò)誤緩解算法展現(xiàn)出具有優(yōu)勢(shì)的表現(xiàn)，如3.6節(jié)的N階可表示性[31].在近期量子計(jì)算任務(wù)中，量子模擬求解化學(xué)、物理體系的基態(tài)及動(dòng)力學(xué)過(guò)程等成為最受矚目的分支之一，值得期待的是未來(lái)更多面向特定物理、化學(xué)體系的錯(cuò)誤緩解算法的提出.這有賴于在傳統(tǒng)凝聚態(tài)物理、量子多體物理和量子化學(xué)領(lǐng)域?qū)w系的知識(shí)積累，利用相應(yīng)的認(rèn)識(shí)和見(jiàn)解，可以獲得理想結(jié)果所存在的子空間，從而對(duì)量子態(tài)施加除了對(duì)稱性驗(yàn)證以外更為具體的限制以約束結(jié)果到相應(yīng)子空間.可以預(yù)見(jiàn)，對(duì)物理、化學(xué)體系信息的更充分利用可以帶來(lái)更加穩(wěn)定的結(jié)果表現(xiàn)以及在算法開銷上的優(yōu)勢(shì).

5 結(jié)束語(yǔ)

我們通過(guò)量子模擬，引入和介紹了量子錯(cuò)誤緩解技術(shù)的重要性：在NISQ時(shí)代，通過(guò)插入特定量子門到量子線路中和經(jīng)典后處理，量子錯(cuò)誤緩解保證了即便存在噪聲，較淺量子線路也可以有效實(shí)施.并且，量子錯(cuò)誤緩解方法可以延伸到連續(xù)的量子過(guò)程中，為實(shí)施定量的模擬量子計(jì)算提出了一定的可能性.故而，錯(cuò)誤緩解方法成為發(fā)揮近期量子計(jì)算機(jī)能力的必不可少的元素.

本文還對(duì)量子錯(cuò)誤緩解的未來(lái)可能發(fā)展方向進(jìn)行了討論.我們認(rèn)為量子錯(cuò)誤緩解的發(fā)展具有巨大的潛力.由于實(shí)驗(yàn)上可以控制的量子比特?cái)?shù)目，量子錯(cuò)誤緩解將作為量子糾錯(cuò)的過(guò)度技術(shù)而存在，且為各類量子算法的實(shí)施提供保障.特別地，IBM等行業(yè)巨頭在提供量子計(jì)算機(jī)云服務(wù)的同時(shí)，都考慮使用相應(yīng)量子錯(cuò)誤緩解技術(shù)作為實(shí)施算法的必要選項(xiàng).注意到，機(jī)器學(xué)習(xí)算法在與量子糾錯(cuò)方法的結(jié)合中經(jīng)歷了相對(duì)較長(zhǎng)時(shí)間、多種形式的發(fā)展，包括受限玻爾茲曼機(jī)、卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和強(qiáng)化學(xué)習(xí)等[40-42].而目前，量子錯(cuò)誤緩解技術(shù)在此領(lǐng)域仍存在大量未探索方向.