潘敬貞 唐明超

摘 要：建立坐標(biāo)系是代數(shù)方法解決幾何（空間）問題的橋梁，建立合適的空間直角坐標(biāo)系是快速解決問題的關(guān)鍵，本文結(jié)合實例主要從基于共頂點的三條互相垂直、線面垂直、面面垂直、正棱錐的高所在直線等四個方面談空間直角坐標(biāo)系的建系策略.

關(guān)鍵詞：空間;直角坐標(biāo)系;建系;策略

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2021）10-0070-03

坐標(biāo)法是解決立體幾何問題的重要方法，借助坐標(biāo)法可以將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，既可以降低幾何問題的抽象性，同時也為解決實際問題開辟了一條新的途徑.用坐標(biāo)法解決空間幾何問題，首先需要合理建立空間直角坐標(biāo)系.建立空間直角坐標(biāo)系的過程就是根據(jù)問題給定的空間幾何關(guān)系在幾何圖形中尋找三條兩兩互相垂直的直線，通過平移等方式讓三條直線交于一點，并盡可能的讓與問題相關(guān)的點落在坐標(biāo)軸上，使得相關(guān)點的坐標(biāo)更易求，使得問題的求解更加簡潔、高效.文章結(jié)合實例談建立空間直角坐標(biāo)系的策略.

一、基于共頂點的三條互相垂直的棱建系

例1 如圖1，四面體ABCD中，AB，BC，BD兩兩垂直，且AB=BC=BD=4，E，F(xiàn)分別為棱BC，AD的中點.

（1）求異面直線AB與EF所成角的余弦值;

（2）求點E到平面ACD的距離;

（3）求EF與平面ACD所成角的正弦值.

解析 如圖2，以B為坐標(biāo)原點，分別以BC，BD，BA所在直線為x，y，z軸建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，則依題意得，B（0，0，0），A（0，0，4），C（4，0，0），D（0，4，0），E（2，0，0），F(xiàn)（0，2，2）.

（1）經(jīng)坐標(biāo)運(yùn)算易知AB=（0，0，-4），EF=（-2，2，2），因為兩異面直線所成角的余弦值與兩直線的方向向量所成角的余弦值絕對值相等，所以可以根據(jù)數(shù)量積公式求得兩異面直線所成角的余弦值為

|cos<AB，EF>|=|AB·EF|AB||EF||=|-84×23|=33.

（2）點到面的距離等于該點到該點在平面上的投影兩點間線段的長度，設(shè)平面ACD的一個法向量為n=（x，y，z），則n·AC=0n·CD=0，因為AC=（4，0，-4），CD=（-4，4，0），所以4x-4z=0-4x+4y=0，令z=1，得x=y=1，所以n=（1，1，1）.

因為F∈平面ACD，EF=（-2，2，2），所以E到平面ACD的距離為d=|n·EF|n=23=233.

（3）設(shè)EF與平面ACD所成角為θ，則θ與直線EF與平面的法向量所成的角互余，進(jìn)而求線面角可以轉(zhuǎn)化為求直線EF與法向量所成的角，借助坐標(biāo)運(yùn)算實現(xiàn)幾何問題代數(shù)化，所以，sinθ=|cos<n，EF>|=|n·EF||n||EF|=23×23=13，所以EF與平面ACD所成角的正弦值為13.

評注 本題雖然解法較多，但是坐標(biāo)法解題具有較強(qiáng)的直觀性，可以有效降低幾何問題的抽象性.在解決立體幾何有關(guān)問題時，如果已知條件中有三條直線兩兩互相垂直，則可以通過建立空間直角坐標(biāo)系用坐標(biāo)法來解決.當(dāng)然，在考題中，已知條件中有三條直線兩兩互相垂直的情況比較少見，更多是利用圖形的特點與性質(zhì)作出兩兩互相垂直且交于一點的三條直線來建立空間直角坐標(biāo)系.

二、基于線面垂直關(guān)系建系

例2 如圖3，四棱錐P-ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°，E是BC中點，F(xiàn)是PC上的點.

（1）求證：平面AEF⊥平面PAD;

（2）若M是PD的中點，當(dāng)AB=AP時，是否存在點F，使直線EM與平面AEF的所成角的正弦值為15？若存在，請求出PFPC的值，若不存在，請說明理由.

解析 （1）證明：連接AC，因為底面ABCD為菱形，且∠ABC=60.，則△ABC是正三角形，因為E是BC中點，所以AE⊥BC，又AD∥BC，所以AE⊥AD，因為PA⊥平面ABCD，

AE平面ABCD，所以PA⊥AE，又因為PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，又AE平面AEF，所以平面AEF⊥平面PAD.

（2）由（1）得AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點，分別以AE，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立如圖4所示的空間直角坐標(biāo)系;不妨設(shè)AB=AP=2，則AE=3，則

A（0，0，0），C（3，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（3，0，0），M（0，1，1），設(shè)PF=λPC，則F（3λ，λ，2-2λ），所以EM=（-3，1，1），AE=（3，0，0），AF=（3λ，λ，2-2λ）;設(shè)m=（x，y，z）是平面AEF的一個法向量，則m·AE=0m·AF=0，所以3x=03λx+λy+（2-2λ）z=0，取z=λ，得m=（0，2λ-2，λ），設(shè)直線EM與平面AEF的所成角為θ，得sinθ=|cos<EM，m>|=|EM·m|

|EM|·|m|=|3λ-2|5·（2λ-2）2+λ2=15，化簡得10λ2-13λ+4=0，解得λ=12或λ=45，所以，存在點F，使直線EM與平面AEF的新成角的正弦值為15，此時，PFPC為12或45.

評注 若題目已知條件中有某一條直線與某個平面垂直，則一般把該條直線作為一條坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系.第（1）題用幾何法證明較容易，可以在第（1）題的基礎(chǔ)上順利的建立合理的空間直角坐標(biāo)系實現(xiàn)對第（2）題的解答.對于第（2）題，如果采用幾何法來解決，難度較大，抽象性較強(qiáng)，明顯不是最好選擇.

三、基于面面垂直的性質(zhì)建系

例3 如圖5，等邊三角形PAC所在平面與梯形ABCD所在平面互相垂直，且有AD∥BC，AB=AD=DC=2，BC=4.

（1）證明：平面PAB⊥平面PAC;

（2）求二面角B-PC-D的余弦值.

解析 （1）證明：取BC中點M，連接AM，因為四邊形AMCD為菱形，所以有AM=MC=12BC，所以AB⊥AC，因為AB平面ABCD，平面ABCD⊥平面PAC，平面ABCD∩平面PAC=AC，所以AB⊥平面PAC，又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.

（2）方法1 由（1）可得AC=23，取AC中點O，連接PO，則PO⊥AC，PO=3，因為PO平面PAC，平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，所以PO⊥平面ABCD.又因為M、O分別是BC、AC的中點，所以O(shè)M∥AB，又由（1）知AB⊥AC，所以O(shè)M，OC，OP兩兩互相垂直，所以以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)M，OC，OP所在直線為x，y，z軸建立如圖6所示的空間直角坐標(biāo)系，依題意得B（2，-3，0），P（0，0，3），C（0，3，0），D（-1，0，0） ，BC=（-2，23，0），PC=（0，3，-3），CD=（-1，-3，0），設(shè)平面BPC的法向量為n1=（x，y，z），則n1·BC=0n1·PC=0，所以-2x+23y=03y-3z=0，取z=1，得n1=（3，3，1），設(shè)平面PCD的法向量為n2=（a，b，c），則有n2·CD=0n2·PC=0，-a-3b=03b-3c=0，不妨取c=1，得n2=（-3，3，1），所以cos<n1，n2>=n1·n2|n1||n2|=-9+3+113×13=-513，結(jié)合圖5可知，二面角B-PC-D的余弦值為513.

方法2 由（1）可得AC=23，取AC中點O，連接PO，則PO⊥AC，PO=3，因為PO平面PAC，平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，所以PO⊥平面ABCD.所以，以A為坐標(biāo)原點，分別以AB、AC為x軸、為y軸，過點A且垂直于平面ABCD的直線為z軸，建系如圖7的空間直角坐標(biāo)系，依題意得B（2，0，0），P（0，3，3），C（0，23，0），D（-1，3，0），BC=（-2，23，0），PC=（0，3，-3），CD=（-1，-3，0），設(shè)平面BPC的法向量為n1=（x，y，z），則n1·BC=0n1·PC=0，所以-2x+23y=03y-3z=0，取z=1，得n1=（3，3，1），設(shè)平面PCD的法向量為n2=（a，b，c），則n2·CD=0n2·PC=0，代入計算得-a-3b=03b-3c=0，取c=1，得n2=（-3，3，1），所以cos<n1，n2>=n1·n2|n1||n2|=-9+3+113×13=-513，結(jié)合圖5可知，二面角B-PC-D的余弦值為513.

評注 一般地，若題目已知的圖形中有兩個互相垂直的平面，可根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理作出兩兩互相垂直且交于一點的三條直線.如果兩個互相垂直的平面中有一個平面已知或已證的兩條相互垂直直線，可過這兩條直線的交點作該平面的垂線，從而得出兩兩互相垂直且交于一點的三條直線，如本題第（2）問的解法2.本題第（2）問的解法2建立空間直角坐標(biāo)系的方法相對解法1的方法更加簡潔，是一種不錯的建系方法.

四、基于正棱錐的高所在直線建系

例4 已知正四棱錐V-ABCD中，E為VC中點，正四棱錐底面邊長為2a，高為h.

（1）求∠DEB的余弦值;

（2）若BE⊥VC，求∠DEB的余弦值.

解析 （1）如圖8，以V在平面ABCD的射影O為坐標(biāo)原點建立如圖8的空間直角坐標(biāo)系，其中Ox//BC，Oy//AB，依題意得，AB=2a，OV=h，所以B（a，a，0）、C（-a，a，0）、D（-a，-a，0）、V（0，0，h）、E-a2，a2，h2，所以BE=-32a，-a2，h2，DE=a2，32a，h2，所以cos<BE，DE>=BE·DEBEDE=-6a2+h210a2+h2，所以∠DEB的余弦值為-6a2+h210a2+h2.

（2）因為E是VC的中點，又BE⊥VC，所以BE·VC=0，即-32a，-a2，h2·（-a，a，-h）=0，所以32a2-a22-h22=0，所以h=2a.這時cos<BE，DE>=-6a2+h210a2+h2=-13，所以∠DEB的余弦值為-13.

評注 用正棱錐的中心與高所在直線建立空間直角坐標(biāo)系，相關(guān)的坐標(biāo)就容易求出，有關(guān)問題也就得到順利解決.建立空間直角坐標(biāo)系的方法很多，最關(guān)鍵是能根據(jù)已知圖形的特點與性質(zhì)作出兩兩互相垂直且交于一點的三條直線，建立空間直角坐標(biāo)系的原則是盡可能的使相關(guān)點落在坐標(biāo)上，相關(guān)點的坐標(biāo)容易求出.只有善于思考、勤于動手，空間直角坐標(biāo)系建立的技巧方可熟能生巧，從而提高解題能力.

不同的問題情景中建系的方法可能不同，但是正確建立空間直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)是能夠基于問題給定的幾何關(guān)系找到三條兩兩互相垂直的直線，很多時候?qū)ふ掖嬖谌龡l兩兩互相垂直的直線或作三條兩兩互相垂直的直線并不是很困難，如何建系更有利于求出解決問題所需要的點的坐標(biāo)更為重要、更為關(guān)鍵.文章中所歸納的四種建系方法是解決常見空間幾何問題中點線面的位置關(guān)系，線線角、線面角、二面角以及點到直線距離等問題所必須掌握的基本思想和方法，需要在不斷的練習(xí)中加以體會和總結(jié)，不斷提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和空間想象能力是利用坐標(biāo)法解決空間幾何問題的基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

[1]陳國林，葉智群.立體幾何中的角度會這樣考查[J].數(shù)理化解題研究，2019（22）：17-18.

[責(zé)任編輯：李 璟]