梁興波

摘要：針對內(nèi)嚙合變位齒輪，裂紋是影響齒輪傳動系統(tǒng)的主要因素。建立內(nèi)嚙合變位齒輪的動力學(xué)模型，得出內(nèi)嚙合變位齒輪的接觸嚙合力，并對虛擬樣機(jī)進(jìn)行有限元分析，結(jié)果表明，應(yīng)力最大值點(diǎn)位于接觸側(cè)的齒根圓位置。在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用聯(lián)合軟件分析的方法，對內(nèi)嚙合變位齒輪的裂紋疲勞分析。

關(guān)鍵詞：變位齒輪;裂紋;嚙合力;聯(lián)合軟件分析法

中圖分類號：U463.3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1674-957X（2021）06-0001-03

0? 引言

齒輪傳動廣泛用于各重工和制造行業(yè)[1]，同時常被用作減速器、增速器、差速器和換向機(jī)構(gòu)以及其它特殊用途，是世界各國機(jī)械傳動發(fā)展的重點(diǎn)[2]。但是它也有存在自身的一定缺陷，那就是齒輪疲勞，其中疲勞斷齒所占比例最大。特別是出現(xiàn)裂紋之后，對疲勞壽命和接觸嚙合都有很大的影響，對整體的效應(yīng)也會有影響。然而疲勞斷裂不會發(fā)生明顯的塑性變形，相對比較難檢測和預(yù)防，這是影響齒輪傳動效率以及造成經(jīng)濟(jì)損失的重要因素。

針對含裂紋內(nèi)嚙合變位齒輪疲勞性能的研究，為工程檢查和評估提供依據(jù)參考，也有利于提高它的可靠性和壽命，大大提高工作效益。

1? 內(nèi)嚙合變位齒輪模型建立

內(nèi)嚙合變位齒輪的主要參數(shù)如表1所示。

三環(huán)傳動主要采用內(nèi)嚙合角度變位齒輪，所以要建立內(nèi)齒板和外齒輪的模型就需要運(yùn)用變位齒輪的構(gòu)建方法。

在笛卡爾坐標(biāo)系下，變位齒輪的齒廓曲線參數(shù)方程為：

在式（1）和式（5）中，db為基圓直徑;theta為壓力角由0到45°。

建立第一條變位齒輪的齒廓曲線，第二條變位齒輪的齒廓曲線通過創(chuàng)建基準(zhǔn)面，再鏡像生成，最后拉伸實(shí)體。對于外齒輪和內(nèi)齒板的構(gòu)建輪齒是不一樣的，內(nèi)齒板采用切除法構(gòu)建輪齒。

2? 內(nèi)嚙合變位齒輪動力學(xué)分析

根據(jù)內(nèi)嚙合齒輪副的力學(xué)模型并結(jié)合齒輪動力學(xué)模型，創(chuàng)建本文內(nèi)嚙合變位齒輪的動力學(xué)模型，模型如圖1所示。

在圖1中，K廣義接觸剛度;e為齒輪傳動誤差;C齒輪副接觸過程中的阻尼系數(shù);I、？茲、R、T分別為轉(zhuǎn)動慣量、扭轉(zhuǎn)振動位移、基圓半徑、外力矩。根據(jù)圖1動力學(xué)模型，運(yùn)用牛頓定律推導(dǎo)出嚙合力方程為[3]：

動力學(xué)模型建立之后，運(yùn)用MATLAB函數(shù)編程求解出嚙合力，并進(jìn)行對比分析。分析結(jié)果如圖2所示。

從圖2中可以看出嚙合力在-600～600N之間，最大嚙合力出現(xiàn)在波動幅值上方，為600N，當(dāng)機(jī)構(gòu)運(yùn)動到波動幅值下方時。

3? 內(nèi)嚙合變位齒輪有限元分析

因?yàn)閮?nèi)齒板和外齒輪接觸嚙合時齒輪工作情況是一樣的，有限元分析效果也是一樣的，所以選擇兩對嚙合齒輪進(jìn)行有限元分析。采用六面體網(wǎng)格劃分，175179個節(jié)點(diǎn)。

根據(jù)齒輪的工作狀態(tài)，對外齒板的軸孔內(nèi)圈加固定約束，給外齒輪輸入扭矩T，扭矩T為：

從圖3中可以看出內(nèi)齒板應(yīng)力分布，最小應(yīng)力為87.581Pa，最大應(yīng)力為168.44×108Pa。最大應(yīng)力和最小應(yīng)力的差值比較大，主要是因?yàn)辇X輪接觸嚙合部分受力比較大，其他部分受力比較小。最大應(yīng)力出現(xiàn)主要是在齒根位置和接觸嚙合點(diǎn)，齒根位置的應(yīng)力要比接觸嚙合點(diǎn)應(yīng)力大，而且位于接觸側(cè)。

4? 含裂紋內(nèi)嚙合變位齒輪壽命分析

對內(nèi)齒板裂紋疲勞壽命分析時，將運(yùn)用ABAQUS軟件和FRANC3D軟件聯(lián)合運(yùn)用分析法[4-6]，主要分析步驟如下：

4.1 對內(nèi)齒板定義子模型

進(jìn)裂紋分析時，首先是導(dǎo)入*.inp格式的模型，選擇導(dǎo)入并劃分為全局模型和子模型;分別輸出子模型和全局模型的有限元模型，生成兩個*.inp文件，用于后續(xù)的裂紋擴(kuò)展分析。

4.2 在子模型中添加初始裂紋

首先建立裂紋，選擇裂紋類型為橢圓形裂紋。其次定義裂紋的尺寸，橢圓裂紋的長軸半徑a=1mm，橢圓裂紋的短軸半徑b=0.25mm。再次就是定義橢圓形裂紋坐標(biāo)為（73.5018，3.091，-20），圍繞X、Y、Z軸在各旋轉(zhuǎn)90°。最后再重新劃分網(wǎng)格，為了保證計(jì)算精度，裂紋處的網(wǎng)格會自動加密。

4.3 求解應(yīng)力強(qiáng)度因子

通過計(jì)算機(jī)計(jì)算出相關(guān)參數(shù)和應(yīng)力強(qiáng)度因子，如圖4～圖6所示。

圖4中，從圖中可以看出，應(yīng)力強(qiáng)度因子KI是呈現(xiàn)對稱性，裂紋尖端的中部應(yīng)力強(qiáng)度因子要比邊緣位置的大;應(yīng)力強(qiáng)度因子KI在邊緣的變化趨勢要比中部大，說明邊緣的擴(kuò)展速度要比中部大;節(jié)點(diǎn)0處的應(yīng)力強(qiáng)度因子要比節(jié)點(diǎn)1處小一點(diǎn)，出現(xiàn)這種情況主要因?yàn)榱鸭y中部拉應(yīng)力比較大。通過查相關(guān)的手冊，可以找到相關(guān)材料的KIC。45號鋼的KIC=281MPa，F(xiàn)RANC3D分析結(jié)果最大應(yīng)力強(qiáng)度因子KI=13.6MPa，KI<KIC，所以滿足要求，符合斷裂準(zhǔn)則。

在圖5中，應(yīng)力強(qiáng)度因子KII在節(jié)點(diǎn)0.2處和節(jié)點(diǎn)0.8處出現(xiàn)負(fù)值，負(fù)值是代表擴(kuò)展方向?yàn)榉捶较?。?yīng)力強(qiáng)度因子KII也是呈現(xiàn)對稱性，節(jié)點(diǎn)0處附近的應(yīng)力強(qiáng)度因子大于節(jié)點(diǎn)1處;裂紋尖端邊緣是正方向擴(kuò)展，裂紋尖端節(jié)點(diǎn)0.2處和節(jié)點(diǎn)0.8處是反方向擴(kuò)展;雖然裂紋尖端節(jié)點(diǎn)0.2處和節(jié)點(diǎn)0.8處是反方向擴(kuò)展，但是相比裂紋尖端邊緣擴(kuò)展速度，中部還是很小。這些也是因?yàn)镮I型應(yīng)力在裂紋尖端邊緣位置要大于裂紋尖端中部。

從圖6中可以看出應(yīng)力強(qiáng)度因子KIII近似一條直線，是以節(jié)點(diǎn)0.5處為界，左半部分是正方向擴(kuò)展，右半部分是反方向擴(kuò)展，擴(kuò)展速度相近，1.89MPa為最大應(yīng)力強(qiáng)度因子。節(jié)點(diǎn)0.5處應(yīng)力強(qiáng)度因子KIII為零，說明節(jié)點(diǎn)0.5處III型裂紋是不擴(kuò)展的。

求解出應(yīng)力強(qiáng)度因子之后，下文將根據(jù)應(yīng)力強(qiáng)度因子，判斷主要裂紋類型，并對主要裂紋類型進(jìn)行裂紋擴(kuò)展分析。

4.4 裂紋擴(kuò)展分析

根據(jù)上一節(jié)計(jì)算出的應(yīng)力強(qiáng)度因子，對應(yīng)力強(qiáng)度因子分析中發(fā)現(xiàn)KI的結(jié)果最大，比II型和III型應(yīng)力強(qiáng)度因子要大很多。所以裂紋主要是I型裂紋為主，裂紋一開始擴(kuò)展就發(fā)生比較嚴(yán)重的產(chǎn)生張開位移，但也有一點(diǎn)滑開位移。根據(jù)應(yīng)力強(qiáng)度因子已經(jīng)判斷裂紋主要模式是I型為主，II型和III型為輔。

裂紋判斷完成之后，開始裂紋擴(kuò)展分析。裂紋擴(kuò)展第一步設(shè)置最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則，第二步添加材料相關(guān)Paris參數(shù)。第三步設(shè)置擴(kuò)展增量為0.2mm，最后進(jìn)行裂紋擴(kuò)展。

裂紋開始擴(kuò)展第一次之后，F(xiàn)RANC3D會自動對子模型進(jìn)行裂紋識別并對裂紋子模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格劃分之后;將進(jìn)行第二次裂紋擴(kuò)展，求出裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子;第二次裂紋擴(kuò)展完成之后，F(xiàn)RANC3D自動會網(wǎng)格劃分，再進(jìn)行第三次裂紋擴(kuò)展。這樣一個重復(fù)過程一直到斷裂狀態(tài)，或者設(shè)置自動擴(kuò)展時到達(dá)到設(shè)置的終止條件為止。

4.5 疲勞裂紋壽命分析

第一次擴(kuò)展完成之后，再進(jìn)行應(yīng)力強(qiáng)度因子求解，根據(jù)應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行第二次裂紋擴(kuò)展，這樣一個反復(fù)循環(huán)的過程，直到實(shí)現(xiàn)斷裂。這樣一個循環(huán)過程，可以得出應(yīng)力強(qiáng)度因子歷程曲線數(shù)據(jù)，在利用FRANC3D的后處理模塊可得出裂紋擴(kuò)展壽命曲線。計(jì)算出的裂紋疲勞擴(kuò)展壽命結(jié)果如圖7所示。

從圖7中可以看出，隨著裂紋擴(kuò)展不斷的增加，壽命次數(shù)也在逐漸增加，當(dāng)裂紋擴(kuò)展到8.37mm時，整個過程裂紋擴(kuò)展了41次，出現(xiàn)斷裂，最終壽命次數(shù)為36891次。通過對三環(huán)傳動的傳動齒輪進(jìn)行壽命預(yù)測，將擴(kuò)張裂紋長度8.37mm帶入公式中：

綜合上文分析發(fā)現(xiàn)，對內(nèi)齒板進(jìn)行疲勞壽命分析是運(yùn)用聯(lián)合軟件分析，很大程度上彌補(bǔ)各自的不足，分析結(jié)果合理、可行。出現(xiàn)裂紋之后，壽命急劇下降為36891次，說明裂紋對壽命影響還是很大。

5? 結(jié)論

從內(nèi)齒板應(yīng)力分布中看出，最大應(yīng)力為168.44×108Pa。最大應(yīng)力出現(xiàn)主要是在齒根位置和接觸嚙合點(diǎn)，齒根位置的應(yīng)力要比接觸嚙合點(diǎn)應(yīng)力大，而且位于接觸側(cè)。

三環(huán)傳動的疲勞壽命分析，結(jié)果表明，擴(kuò)張裂紋長度8.37mm，最終壽命次數(shù)為36891次，壽命次數(shù)大幅度降低。裂紋的主要擴(kuò)展模式，以張開型裂紋為主，以滑開型裂紋和撕開型裂紋為輔。

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