潘紅娟

【摘 要】評價不僅具有導(dǎo)向、診斷、激勵的功能，還具有“學(xué)習(xí)”的功能。評價的過程，同樣應(yīng)該是“學(xué)習(xí)”的過程。文章基于這一基本觀點，以小學(xué)數(shù)學(xué)紙筆測試為例，從優(yōu)化方法的習(xí)得、數(shù)學(xué)文化的滲透、數(shù)學(xué)新規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、后續(xù)學(xué)習(xí)的孕伏、思想方法的滲透、非常規(guī)問題的探索、現(xiàn)實世界的關(guān)注與解釋等七個維度，進行試題列舉與分析，試圖通過例析的方式，豐富命題者的關(guān)注視角，在注重數(shù)學(xué)本質(zhì)、指向?qū)W習(xí)過程，突出素養(yǎng)立意、尊重學(xué)生差異的同時，進一步增強試題的附加值，凸顯“學(xué)習(xí)功能”。

【關(guān)鍵詞】 小學(xué)數(shù)學(xué) 紙筆測試 命題 評價 學(xué)習(xí)功能

紙筆測試作為學(xué)生學(xué)業(yè)評價的重要途徑，被廣大教育工作者持續(xù)關(guān)注與深度研究。數(shù)學(xué)命題設(shè)計要“關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)”“指向?qū)W習(xí)過程”“突出素養(yǎng)立意”“尊重學(xué)生差異”等理念已逐漸成為共識。但是，如何發(fā)掘紙筆測試中的“學(xué)習(xí)”功能，將評價的過程視為“學(xué)習(xí)”的過程，則鮮有人研究。

筆者已有二十余年的命題實踐經(jīng)驗，評價不僅具有導(dǎo)向、診斷、激勵的功能，同樣，也具有“學(xué)習(xí)”的功能。為什么？首先，試題本身可以作為“信息源”，向?qū)W生傳遞數(shù)學(xué)常識、數(shù)學(xué)文化、時事信息、多元方法;其次，解題過程可以作為“方法源”，讓學(xué)生體驗問題解決的不同思路與策略，感受不同的數(shù)學(xué)思想方法;最后，解題結(jié)果可以得到“新命題”，獲得一些新的規(guī)律、定律、性質(zhì)、公理等結(jié)論。因而，好的命題設(shè)計，不僅指向于考查目標(biāo)的有效達成，同時，可以在拓寬知識視野、完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)、豐富學(xué)習(xí)經(jīng)驗、提升學(xué)習(xí)智慧等方面有所作為。

下面，以小學(xué)數(shù)學(xué)紙筆測試命題設(shè)計為例，從優(yōu)化方法的習(xí)得、數(shù)學(xué)文化的滲透、后續(xù)學(xué)習(xí)的孕伏、思想方法的滲透、數(shù)學(xué)新規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、非常規(guī)問題的探索、現(xiàn)實世界的關(guān)注等維度展開分析。

一、試題指向優(yōu)化方法的習(xí)得

考試雖指向于學(xué)習(xí)結(jié)果的評測，但如果能在試題中有意識地融入解決問題的優(yōu)化思路，讓學(xué)生在解題過程中感知不同方法、體驗優(yōu)化思想，并在之后類似問題的解決中得以有效遷移，則顯然是對考試功能的再拓展。

【試題舉例】計算4÷4.4，根據(jù)圖1中的筆算過程，下列結(jié)果正確且最簡潔的是（? ? ? ? ）。

A.0.909? ? ? B. 0.9

C. 0.90? ? ? D. 0.909

【分析】此試題考查目標(biāo)指向于“循環(huán)小數(shù)”的算理理解，旨在考查學(xué)生是否理解“商的循環(huán)出現(xiàn)，其原因是余數(shù)的循環(huán)出現(xiàn)”之本質(zhì)，要求學(xué)生根據(jù)余數(shù)的重復(fù)出現(xiàn)判斷商的循環(huán)節(jié)。同時，試題將“4÷4.4”轉(zhuǎn)化為“1÷1.1”進行筆算，顯然，意在向?qū)W生示范“根據(jù)商不變性質(zhì)自覺轉(zhuǎn)化，簡便計算”的思路與方法，運算能力中“能根據(jù)數(shù)據(jù)特征靈活運算”這一目標(biāo)蘊含其中。

【試題舉例】

①計算16÷3216—17時，佳佳這樣算：3216—17÷16=（2）+（1—17）=（21—17），那么，16÷3216—17的正確結(jié)果是（ ）。

②3—5÷2—5=3÷2，14—15÷7—15=14÷7，照這樣的方法，8—27÷2—9=（ ）÷（ ）。（填整數(shù)）

【分析】兩題均是六年級“分?jǐn)?shù)乘除”內(nèi)容的試題。題①綜合考查“運算定律在分?jǐn)?shù)計算中的運用”“求一個數(shù)的倒數(shù)”等相關(guān)知識。同時，試題又給出“如何通過轉(zhuǎn)化將復(fù)雜計算變得簡單”這一思路提示，幫助學(xué)生積累一種靈活計算的策略，使其在今后同類運算中得以運用。題②，同樣出于這一命題理念，幫助學(xué)生積累優(yōu)化策略的同時，對“分?jǐn)?shù)除法”與“整數(shù)除法”做了算理算法上的聯(lián)系與溝通。

二、試題指向數(shù)學(xué)文化的滲透

結(jié)合相關(guān)內(nèi)容進行“數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活”“數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)”“數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)”“數(shù)學(xué)史”等數(shù)學(xué)文化的滲透，在教學(xué)中已被充分關(guān)注。事實上，考試評價同樣可以將數(shù)學(xué)文化的滲透融入其中。例如，可以根據(jù)數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)名題、歷史材料編制數(shù)學(xué)試題，實現(xiàn)考查目標(biāo)的同時，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)之史、領(lǐng)略數(shù)學(xué)之美、感受數(shù)學(xué)之用。

【試題舉例】“哥德巴赫猜想”認(rèn)為，所有大于2的偶數(shù)，都可以表示為兩個質(zhì)數(shù)的和。如6=3+3，8=5+3，10=7+3，12=7+5，14=11+3……請你將60寫成兩個質(zhì)數(shù)之和：60=（ ）+（ ）=（ ）+（ ）。

【分析】試題指向于“質(zhì)數(shù)”概念的考查，并不要求學(xué)生記憶概念語言，而是基于概念理解進行舉例，這樣的命題，體現(xiàn)對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的考查。我們也看到，題干給出“哥德巴赫猜想”的背景介紹，意在拓寬數(shù)學(xué)視野，了解數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)名題。考查概念的同時，學(xué)習(xí)已無痕發(fā)生。

【試題舉例】

①圖2中有六個小正方形，它們的邊長是一組斐波那契數(shù)列，分別是：1，1，2，3，5，8，用這些數(shù)作半徑，可畫出美妙的螺旋線。

請計算圖中螺旋線的長度是（ ）cm。（結(jié)果可用含有π的式子表示）

②如果要計算1?+1?+2?+3?+5?+8?，有什么簡便的方法呢？我們可以用“數(shù)形結(jié)合”的方法來研究。觀察圖2和下面的算式，填空：

1?+1?=1×2

1?+1?+2?=2×3

1?+1?+2?+3?=（ ）×（ ）

1?+1?+2?+3?+5?+8?=（ ）×（ ）=（ ）

【分析】將經(jīng)典的“斐波那契數(shù)列”作為試題素材，考查圓的周長、數(shù)與形兩個知識點，這樣的命題，情境新穎，知識綜合。題①需要判斷螺旋線每段弧長的圓心、半徑，然后計算周長。題②一方面考查學(xué)生用“式”表達“形”的能力，另一方面考查學(xué)生借助“形”探究“式”的規(guī)律，以數(shù)解形、以形助數(shù)的思路凸顯。當(dāng)然，試題并不滿足于此，而是試圖向?qū)W生打開數(shù)學(xué)文化的窗口，領(lǐng)略斐波那契數(shù)列的神奇，感受數(shù)列螺旋線的美妙?？疾榻Y(jié)束，還可以將這一內(nèi)容作為長周期作業(yè)，布置學(xué)生搜索“斐波那契數(shù)列還有哪些奇妙的結(jié)論”“美妙的螺旋線在生活中有哪些應(yīng)用”等，相信會是一次美妙的數(shù)學(xué)文化之旅。

三、試題指向后續(xù)學(xué)習(xí)的孕伏

試題若能既著眼當(dāng)前，有效測查知識能力的掌握情況，又能為后續(xù)學(xué)習(xí)積累相應(yīng)的經(jīng)驗，則能發(fā)揮最大功效。后續(xù)學(xué)習(xí)的鋪墊與孕伏，可以是知識層面的，也可以是方法層面的。

【例題舉例】由圖3中的數(shù)據(jù)可知，兩條直角邊的長度（ ）。

A.不成比例關(guān)系

B.成正比例關(guān)系

C.成反比例關(guān)系

【分析】試題考查對正反比例意義的理解，難度不大，但很好地突破了形式判斷的記憶水平，要求學(xué)生真正理解正比例“一個量變化，另一個量隨之變化”“相對應(yīng)的量比值一定”，針對這一本質(zhì)內(nèi)涵進行概念辨析。試題給出的是一組相似三角形，為初中相似圖形、相似多邊形對應(yīng)邊成比例、比例線段等知識的學(xué)習(xí)，做了很好的孕伏。

【試題舉例】圖4中，a、b、c、d、e是五條等距的平行線，線段AD和BC相交于b直線上的E點。已知線段AB=4cm，AB∶CD=1∶3，△ABE的面積為4cm2，△CDE的面積是（? ? ? ? ）cm2。

【分析】本題指向比例應(yīng)用的綜合考查，基本思路為：根據(jù)“1∶3”求出CD;根據(jù)兩個三角形高的關(guān)系求出△CDE的高;底與高均已知，則可以求得△CDE的面積。在考查學(xué)生能否利用比例知識解決變式問題的同時，為初中學(xué)習(xí)相似三角形的面積比等于相似比的平方做了有效鋪墊。

四、試題指向思想方法的滲透

能否在命題設(shè)計時，將數(shù)學(xué)思想方法蘊含其中，需要命題者突破知識技能的考查視野，具有高瞻遠矚的戰(zhàn)略眼光。

1.恒等思想

【試題舉例】如圖5，有大小兩個圓，將兩個圓如圖6放置，陰影部分面積是（ ）cm2;如圖7放置，陰影面積是（ ）cm2;如圖8放置，兩塊陰影面積的差是（ ）cm2。

【分析】此題考查內(nèi)容為圓環(huán)面積。圖6、圖7著眼于基本方法的掌握，圖8則給出一個非常規(guī)圖形，不同層次的學(xué)生可以有不同的解題策略。水平較低的學(xué)生可以假設(shè)空白部分的面積，再計算求得;水平較高的學(xué)生可利用等式性質(zhì)，得到“（S大圓-S空白）-（S小圓-S空白）= S大圓- S小圓”，推理獲得結(jié)論。考查圓環(huán)面積的同時，將恒等思想孕伏其中。

2.簡化思想

【試題舉例】一批圓柱形茶葉罐的規(guī)格是：底面直徑8厘米，高12.5厘米。新茶上市了，茶葉公司用這批茶葉罐裝新茶，并采用如圖9的包裝方法進行包裝。問：裝入茶葉罐后，長方體盒子內(nèi)剩余的空間占長方體盒子容積的百分之幾？（π取3.14）

【分析】命題設(shè)計將“簡化思想”的考查蘊含其中。方法一：先求出長方體盒子內(nèi)剩余體積及長方體盒子容積，再求百分率;方法二：從“體”的關(guān)系轉(zhuǎn)化為“面”的關(guān)系，再求百分率;方法三：將四個單位轉(zhuǎn)化為一個單位計算，求出一個茶葉罐的空余體積與所占長方體的體積之間的百分率;方法四：簡化為“一個茶葉罐底面的空余面積與所占長方體的底面面積之間的百分率”等。顯然，方法二、三、四中思維的靈活性、問題的簡化能力明顯高于方法一。

3.化歸思想

【試題舉例】圖10中，正方形ABCD的邊長是5cm，正方形CEFG的邊長是3cm，求陰影部分的面積。

①小明解決這個問題的計劃是：

陰影部分的面積=四邊形BEFD的面積-三角形BEF的面積

四邊形BEFD的面積=三角形BCD的面積+（? ? ? ? ）的面積

解答：

②小強解決這個問題的計劃是：

如圖11，因為BD與CF平行，所以三角形BDF（陰影部分）和三角形（ ）同底等高。因此，求陰影三角形的面積就是求三角形（ ）的面積。

解答：

③如果正方形ABCD的邊長不變，將小正方形CEFG改為邊長為1cm的正方形，如圖12，請比較圖10、圖12中陰影部分的面積大小，并說明理由。

【分析】化歸，是指在解決問題時，將待解決的問題甲，通過某種轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為一個已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題乙，然后通過乙問題的解決返回去得到問題甲的解決。此試題正是考查學(xué)生能否將復(fù)雜圖形化為簡單圖形的能力，題①是將復(fù)雜圖形化為簡單圖形的加減，題②、題③則是引導(dǎo)學(xué)生將陰影三角形通過等積變形，轉(zhuǎn)化為直角三角形BDC的面積來解決。試題試圖幫助學(xué)生體會“化歸”的基本思想，并促進方法策略的形成，從而提高靈活解決問題的能力。

4.極限思想

【試題舉例】不計算，用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫出下面算式的商。

已知：1÷11=0.09

2÷11=0.18

3÷11=0.27

那么7÷11=（? ? ?），11÷11=（? ? ?），12÷11=（ ）。

【分析】此題為“用計算器探索規(guī)律”的內(nèi)容，考查學(xué)生能否通過觀察、推理，找到商的變化規(guī)律。我們看到，根據(jù)規(guī)律可得11÷11=0.99，基于已有經(jīng)驗可知11÷11=1，于是，“0.99=1”這一極限思想得以隨機滲透。

五、試題指向新規(guī)律的發(fā)現(xiàn)

對學(xué)生進行知識能力評測的同時，很多時候，還能通過解題過程與解題結(jié)果，幫助學(xué)生獲得一個新的規(guī)律、新的結(jié)論，這樣的試題，可謂獨具匠心，令人回味無窮。

【試題舉例】如圖13，圓上有3個數(shù)：1—2、1—3、1—6，每次變化都增加相鄰兩個數(shù)的和。如A=1—2+1—6，B=1—2+1—3，C=1—3+1—6。現(xiàn)在圓上所有數(shù)的和是多少？請列式計算。

【分析】本題意在考查學(xué)生對分?jǐn)?shù)加減計算的掌握情況，如果學(xué)生能分別求出A、B、C的值，然后正確求得圓上所有數(shù)的和，則達到考查目的。試題也為優(yōu)秀學(xué)生預(yù)留了“先發(fā)現(xiàn)規(guī)律然后計算”的空間，希望學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)，圓上所有數(shù)的和，其實是“1—2、1—3、1—6”三個數(shù)重復(fù)加了3次，這樣，則可以得出“和=原數(shù)和的3倍”這一新結(jié)論。

【試題舉例】有A、B、C三個數(shù)，如果數(shù)A除以5，余數(shù)是3;數(shù)B除以5，余數(shù)也是3，數(shù)C除以5，余數(shù)是2。且A>B>C。

小明認(rèn)為：A與C的和一定是5的倍數(shù)。

小紅認(rèn)為：A與B的差也一定是5的倍數(shù)。

他們兩人的說法是否正確？請說明你的觀點和理由。

【分析】人教版數(shù)學(xué)“因數(shù)倍數(shù)”單元中，“奇偶性”例題指向于“將抽象問題轉(zhuǎn)化為具體問題來解決”，此題正是對這一問題解決能力的考查，學(xué)生可通過列舉、推算等方式完成觀點說理，學(xué)生由此也獲得了“同余問題”的新結(jié)論。

六、試題指向于非常規(guī)問題的探索

這里所指的非常規(guī)問題，是指運用學(xué)生現(xiàn)有的知識基礎(chǔ)與經(jīng)驗儲備難以完成的問題。這樣的試題，如若能給出一個自學(xué)提示，根據(jù)問題之間的聯(lián)系，促進學(xué)生對解決方法的類比與遷移，則能實現(xiàn)“自學(xué)能力考查”與“非常規(guī)問題思路學(xué)習(xí)”的雙重目的。

【試題舉例】我們曾經(jīng)用圖14中的方法解決了求三角形面積的問題，用這樣的經(jīng)驗，你能求出圖15這個幾何體的體積嗎？（單位：cm）

【試題舉例】圖16中，若圓柱和圓錐等底等高，則圓錐體積是圓柱體積的1—3。圖17中，若這個四棱錐的底和高與長方體的底和高分別相等，則四棱錐的體積是（ ）。（單位：cm）

【分析】這兩道題，非規(guī)則幾何體與四棱柱的體積都是學(xué)生沒有學(xué)過的內(nèi)容，試題給出“圖形轉(zhuǎn)化”的思路提示、“圓柱與圓錐”的關(guān)系提示，引導(dǎo)學(xué)生通過類比推理，找到解決的思路與方法?？梢哉f，這兩題是學(xué)習(xí)功能試題的典型例證。

七、試題指向現(xiàn)實世界的關(guān)注與解釋

會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界，是新課標(biāo)提出的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的具體內(nèi)涵。評價如何凸顯對現(xiàn)實世界的觀察、思考與解釋，是命題者需要關(guān)注的重要方面。

【試題舉例】“一元錢去哪了”的小故事。

小明向爸爸媽媽各借錢50元，買書用了97元，剩下的錢，各還父母一元，還欠父母各49元，自己還剩下1元。他算了一下：49元+49元=98元，98元+1元=99元。小明覺得很奇怪，還有一元去哪了？

你覺得小明錯哪了？根據(jù)這個故事情境，請你寫出兩個正確的等量關(guān)系：

向父親借的錢+向母親借的錢=（? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?）

欠父親49元+欠母親49元=（? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?）

【分析】試題期待學(xué)生尋找情境中正確的數(shù)量關(guān)系，解釋“一元錢去哪兒了”的疑惑，一方面，指向?qū)W生“關(guān)系表征”的能力考查;另一方面，將視角從單純的數(shù)學(xué)題中走出來，轉(zhuǎn)向現(xiàn)實世界，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活，并用數(shù)學(xué)語言解釋、表達現(xiàn)實。

最后，值得說明的是，試題作為一個測量單元，它有刺激情景和對應(yīng)答形式的規(guī)定，它的目的是獲得被試的應(yīng)答，并根據(jù)應(yīng)答對考生的某些心理特質(zhì)方面的表現(xiàn)（如知識、能力等）進行推測。命制一道試題，需要回答“考什么能力”“考什么內(nèi)容”“用什么材料考”“用什么方式考”“問什么問題”“怎么回答”“怎樣賦分”“難度預(yù)估”等相關(guān)問題。因而，本文所提出的“試題要具有學(xué)習(xí)功能”，應(yīng)該是在保證試題信度、效度基礎(chǔ)上的增值思考，與同行探討！