王小慶

摘? ?要：比較衛(wèi)星機(jī)械能大小的問(wèn)題，是高考中的高頻考點(diǎn)。各省考查的主要是單顆衛(wèi)星變軌時(shí)機(jī)械能大小的變化，對(duì)于多個(gè)衛(wèi)星機(jī)械能大小的比較雖然暫時(shí)還沒(méi)考過(guò)，但是，選擇無(wú)窮遠(yuǎn)處為零勢(shì)能平面的高考題已經(jīng)多次出現(xiàn)。對(duì)動(dòng)能、重力勢(shì)能具有相對(duì)性的深度分析，可以得出重要結(jié)論，那就是比較兩顆衛(wèi)星機(jī)械能大小的關(guān)系時(shí)，考慮到衛(wèi)星飛行的實(shí)際高度，只有選擇無(wú)窮遠(yuǎn)處為參考平面才是正確的分析方法。

關(guān)鍵詞：零勢(shì)能面;機(jī)械能的相對(duì)性;衛(wèi)星勢(shì)能

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? 文章編號(hào)：1003-6148（2021）8-0061-3

1? ? 引? 言

近幾年高考試題中，?？夹l(wèi)星機(jī)械能大小的相關(guān)問(wèn)題。然而在這個(gè)問(wèn)題上，關(guān)于衛(wèi)星勢(shì)能大小的計(jì)算，存在諸多爭(zhēng)論。經(jīng)過(guò)調(diào)查，絕大部分物理教師沒(méi)有從根本上理解問(wèn)題所在，造成了在課堂上無(wú)法正確講解，給學(xué)生造成物理觀念上的困擾。本文對(duì)此類問(wèn)題進(jìn)行深入分析，為解決不同衛(wèi)星在天上運(yùn)行時(shí)機(jī)械能大小的比較問(wèn)題提出有效方法。

首先，讓我們來(lái)看一個(gè)問(wèn)題[1]，如圖1所示，假設(shè)兩顆人造衛(wèi)星A和B都繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其質(zhì)量之比為mA∶mB=1∶4，周期之比為TA∶TB=1∶8，那么，衛(wèi)星A和衛(wèi)星B的機(jī)械能大小關(guān)系如何呢？

通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算，我們可以得出兩顆衛(wèi)星的軌道半徑之比為rA：rB=1：4，速度之比為vA：vB=2∶1。根據(jù)機(jī)械能等于動(dòng)能和重力勢(shì)能之和，從常規(guī)思路分析可以得知，兩顆衛(wèi)星的動(dòng)能相等，衛(wèi)星B質(zhì)量大，且距地球表面的高度大，衛(wèi)星B的重力勢(shì)能比衛(wèi)星A的重力勢(shì)能大，故而，衛(wèi)星B的機(jī)械能大。這種情況是以地球表面為零勢(shì)能平面為前提的，重力勢(shì)能計(jì)算式為常用公式EP=mgh。但是，我們也常將無(wú)窮遠(yuǎn)處規(guī)定為零勢(shì)能點(diǎn)，此時(shí)，重力勢(shì)能的表達(dá)式為EP=-G，將已知條件m和r代入公式，可得兩顆衛(wèi)星的重力勢(shì)能大小是相等的，且動(dòng)能也相同，從而，得到了第二種結(jié)論，即兩顆衛(wèi)星的機(jī)械能一樣大。

對(duì)于以上兩種情況，到底是機(jī)械能相等，還是衛(wèi)星B的機(jī)械能大呢？接下來(lái)，我們將進(jìn)行深度探究。

2? ? 選取不同零勢(shì)能參考平面重力勢(shì)能的相應(yīng)表達(dá)式

首先，我們來(lái)看勢(shì)能的定義，將物體從某一位置移動(dòng)到零勢(shì)能點(diǎn)，重力所做的功，即為該點(diǎn)的勢(shì)能值。

若選擇無(wú)窮遠(yuǎn)處為零勢(shì)能平面，將一個(gè)質(zhì)量為m的物體從距地心為r處移動(dòng)到無(wú)窮遠(yuǎn)處，萬(wàn)有引力所做的功，即為物體在r處所具有的重力勢(shì)能，其大小為：

若選擇地球表面為零勢(shì)能平面，設(shè)地球的半徑為R，物體距地面的高度為h，將物體從距地心r=R+h處移動(dòng)到地球表面，重力做的功，即為物體在距地面h處所具有的重力勢(shì)能（圖2），其大小為：

分析上式可知，當(dāng)h<

EP=mgh（4）

該公式中所有勢(shì)能值均為正值[2]。

于是，衛(wèi)星在天空運(yùn)行時(shí)，根據(jù)（1）（5）及（2）（5）式，分別選取無(wú)窮遠(yuǎn)處和地面為參考平面的機(jī)械能的表達(dá)式各自為：

再回到本文開始提出的問(wèn)題，衛(wèi)星A和衛(wèi)星B的機(jī)械能等于動(dòng)能和重力勢(shì)能之和，在動(dòng)能相同的條件下，重力勢(shì)能到底該?。?）式還是（4）式呢？已知衛(wèi)星A和衛(wèi)星B距地心的距離為1：4，若衛(wèi)星A貼地飛行，rA=R，rB=4R，由此可知，衛(wèi)星B距地面的距離h=3R，不滿足（3）式中h<

3? ? 動(dòng)能和勢(shì)能相對(duì)性的深度分析

動(dòng)能和勢(shì)能是狀態(tài)量，它們都具有相對(duì)性，選擇不同的參考系，它們的數(shù)值大小是不同的。接下來(lái)，我們分析一下兩個(gè)物體動(dòng)能的大小關(guān)系。

如圖3所示，有兩個(gè)質(zhì)量都是m的木塊在光滑的足夠長(zhǎng)的木板上滑動(dòng)，A木塊向左勻速運(yùn)動(dòng)，B木塊向右勻速運(yùn)動(dòng)，速度大小都是v，若長(zhǎng)木板也向右以速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)，那么，哪個(gè)木塊的動(dòng)能大呢？

如果選取地面為參考系，兩個(gè)木塊相對(duì)于地面的速度都是v，可知兩個(gè)木塊的動(dòng)能是相等的。如果選擇長(zhǎng)木板為參考系，則A木塊相對(duì)于長(zhǎng)木板的速度為2v，B木塊相對(duì)于長(zhǎng)木板的速度為零，可知A木塊的動(dòng)能大，B木塊的動(dòng)能小。

現(xiàn)將木塊的動(dòng)能和衛(wèi)星的勢(shì)能綜合分析，通過(guò)以上條件，計(jì)算結(jié)果列入表1。

綜合分析可知，動(dòng)能具有相對(duì)性，勢(shì)能具有相對(duì)性，機(jī)械能等于動(dòng)能和勢(shì)能之和，機(jī)械能也具有相對(duì)性。選取不同的參考系，兩個(gè)物體的相對(duì)動(dòng)能的大小是不同的，重力勢(shì)能的大小也是不同的，如果比較兩個(gè)物體的機(jī)械能、動(dòng)能和勢(shì)能，一定要選取同一參考系，否則，得出的結(jié)果是不一樣的。

也有很多教師對(duì)以上分析提出質(zhì)疑，認(rèn)為上面的結(jié)果違反了愛(ài)因斯坦的相對(duì)論原理，即在慣性參考系中，所有物理規(guī)律是一樣的，不會(huì)隨著參考系的改變而產(chǎn)生不同的結(jié)果。其實(shí)，這是對(duì)相對(duì)論原理的誤解，在慣性參考系中物理規(guī)律相同指的是物理公式的表達(dá)形式是一樣的，就像表1中所示，無(wú)論選擇地面為參考系還是選擇其他平面為參考系，動(dòng)能和勢(shì)能的表達(dá)式并沒(méi)有發(fā)生本質(zhì)的改變，其內(nèi)在形式還是保持了原來(lái)的一致性。

若有兩個(gè)長(zhǎng)均為L(zhǎng)0的金屬棒，相互垂直放置在傳輸帶上，金屬棒和傳輸帶一起以速度v向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)，俯視圖如圖4所示。

若以傳輸帶為參考系，金屬棒相對(duì)于傳輸帶靜止不動(dòng)，其靜止長(zhǎng)度均為L(zhǎng)0，A和B金屬棒長(zhǎng)度相等;若以地面為參考系，金屬棒相對(duì)于地面向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)相對(duì)論可知，在運(yùn)動(dòng)方向上，相對(duì)長(zhǎng)度會(huì)變短，即A金屬棒的長(zhǎng)度不變，B金屬棒的長(zhǎng)度會(huì)變短，A金屬棒的相對(duì)長(zhǎng)度比B金屬棒的相對(duì)長(zhǎng)度大，如表2所示。

通過(guò)以上分析可知，選取不同的參考系，相同的兩根金屬棒的長(zhǎng)度是不同的，比較兩個(gè)物體的相對(duì)長(zhǎng)度，還是要選取相同的參考平面。這再次證明了衛(wèi)星機(jī)械能的相對(duì)性、重力勢(shì)能的相對(duì)性與相對(duì)論并不矛盾，比較不同衛(wèi)星機(jī)械能大小時(shí)，選取不同的參考平面，其結(jié)果是不同的。

4? ? 結(jié)束語(yǔ)

比較衛(wèi)星機(jī)械能大小的問(wèn)題，是高考中的高頻考點(diǎn)，各省考查的主要是單顆衛(wèi)星變軌時(shí)機(jī)械能大小的變化。對(duì)于多個(gè)衛(wèi)星機(jī)械能大小的比較雖然暫時(shí)還沒(méi)考過(guò)，但是，選擇無(wú)窮遠(yuǎn)處為零勢(shì)能平面的高考題已經(jīng)多次出現(xiàn)。通過(guò)本文對(duì)重力勢(shì)能的深度分析，可以得出重要結(jié)論，那就是若比較兩顆衛(wèi)星勢(shì)能大小關(guān)系，根據(jù)衛(wèi)星實(shí)際飛行的高度，只有選擇無(wú)窮遠(yuǎn)處為參考平面才是正確的分析方法。希望本文給還有困惑的一線教師提供一個(gè)思路，提高自己對(duì)動(dòng)能、勢(shì)能和機(jī)械能的認(rèn)識(shí)，真正做到用物理思維去探究物理難題，真正做到對(duì)學(xué)科的深度學(xué)習(xí)。

參考文獻(xiàn)：

[1]李書.分析衛(wèi)星速度變化的兩條途徑[J].物理教師，2000，21（05）：42.

[2]王文.淺談-G（Mm）/r和mgh的區(qū)別及聯(lián)系[J].中學(xué)物理教學(xué)參考，2014，43（05）：16-17.

（欄目編輯? ? 羅琬華）