吳慶良，吳夢(mèng)軍，鄧小華，胡學(xué)兵，曹 鵬

(1. 招商局重慶交通科研設(shè)計(jì)院有限公司，重慶 400067；2. 西南大學(xué) 工程技術(shù)學(xué)院，重慶 400716；3. 公路隧道建設(shè)技術(shù)國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室，重慶 400067；4. 廣東省交通集團(tuán)有限公司，廣東 廣州 510000)

0 引言

沉管隧道由于其地質(zhì)適應(yīng)能力強(qiáng)、通行能力強(qiáng)、對(duì)周邊生態(tài)環(huán)境影響小且具有不占航道等優(yōu)勢(shì)，不僅成為修建跨江越海通道的重要工法，而且在城市水下隧道工程中也得到了廣泛應(yīng)用[1-2]。自19世紀(jì)末美國(guó)第1次采用沉管法修建水下隧道以來(lái)，至今世界上已建成的沉管隧道超過(guò)150座[3]。近40 a時(shí)間內(nèi)，我國(guó)已建成沉管隧道近20座，包括早期的廈門翔安海底隧道及近期的港珠澳沉管隧道等[4-5]。

在海底沉管隧道給人們生產(chǎn)、生活帶來(lái)便利的同時(shí)，作為主要災(zāi)害的火災(zāi)也頻繁發(fā)生，不僅會(huì)造成嚴(yán)重的人員傷亡，而且火災(zāi)高溫還會(huì)導(dǎo)致混凝土爆裂和力學(xué)性能的劣化，對(duì)襯砌結(jié)構(gòu)產(chǎn)生不同程度的損壞，大大降低結(jié)構(gòu)的承載力和安全性。因此，研究隧道火災(zāi)發(fā)生后隧道襯砌結(jié)構(gòu)厚度方向的溫度場(chǎng)分布具有重要意義。

目前已有較多學(xué)者針對(duì)這一問(wèn)題開展了大量研究，如蔣樹屏等[6]為了解沉管隧道火災(zāi)發(fā)生時(shí)其周圍溫度場(chǎng)的分布規(guī)律及其影響因素，建造沉管隧道試驗(yàn)平臺(tái)，采用1∶1足尺火災(zāi)試驗(yàn)和FDS數(shù)值仿真計(jì)算相結(jié)合的方法，對(duì)沉管隧道火災(zāi)發(fā)生時(shí)隧道內(nèi)溫度場(chǎng)的分布規(guī)律進(jìn)行了系統(tǒng)研究。Guo等[7]、張祝永等[8]依托港珠澳大橋沉管隧道工程，利用ANSYS軟件分析了火災(zāi)下沉管隧道的溫度場(chǎng)和應(yīng)力分布特點(diǎn)。趙志斌[9]以長(zhǎng)江隧道為依托，模擬了不同火荷載作用下襯砌結(jié)構(gòu)溫度應(yīng)力的分布規(guī)律，并找出了最易破壞的部位。張孟喜等[10]用有限元程序模擬了火荷載作用下沉管隧道結(jié)構(gòu)溫度場(chǎng)及應(yīng)力場(chǎng)，并根據(jù)計(jì)算結(jié)果，結(jié)合大量的隧道火災(zāi)資料總結(jié)了火災(zāi)時(shí)隧道內(nèi)部的溫度場(chǎng)及應(yīng)力場(chǎng)的危險(xiǎn)區(qū)域。Yan等[11]、朱合華等[12]針對(duì)特長(zhǎng)公路隧道發(fā)生火災(zāi)特點(diǎn)，借助大比例火災(zāi)模型試驗(yàn)，系統(tǒng)研究了火災(zāi)時(shí)隧道內(nèi)溫度隨時(shí)間的變化和最高溫度與通風(fēng)風(fēng)速、火災(zāi)規(guī)模的關(guān)系。

通過(guò)文獻(xiàn)調(diào)研可知，目前有關(guān)隧道火災(zāi)溫度場(chǎng)分布規(guī)律方面的研究主要是采用火災(zāi)試驗(yàn)和數(shù)值模擬2種方法進(jìn)行，有關(guān)隧道在火災(zāi)時(shí)瞬態(tài)溫度場(chǎng)演化的解析研究成果相對(duì)較少，相對(duì)而言，解析解更具備通用性，便于一般規(guī)律的探討，因此，本研究結(jié)合沉管隧道遭受火災(zāi)時(shí)的實(shí)際工況建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并基于已有初始條件和邊界條件，采用2次分離變量法求得RABT火災(zāi)曲線的沉管隧道管壁厚度方向的溫度場(chǎng)解析解，最后采用廣東某沉管隧道參數(shù)對(duì)管壁不同位置和不同時(shí)間的溫度場(chǎng)分布規(guī)律進(jìn)行探討。

1 求解的基本方程

1.1 火災(zāi)曲線

為了定量評(píng)定隧道襯砌結(jié)構(gòu)的耐火性能，國(guó)內(nèi)外相關(guān)單位及學(xué)者基于開展的大量足尺火災(zāi)試驗(yàn)成果，建立了一系列不同類型的火災(zāi)曲線，用來(lái)反映隧道火災(zāi)時(shí)溫度隨時(shí)間的變化歷程。國(guó)外比較常用的如國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織制定的 ISO834曲線[13]、美國(guó)和加拿大采用的 ASTM-E119曲線[14]，HC曲線和HCint曲線[15]等。

上述各類火災(zāi)曲線都體現(xiàn)了隧道內(nèi)火災(zāi)升溫速度快這一顯著特點(diǎn)，但由于各標(biāo)準(zhǔn)曲線是在不同火災(zāi)試驗(yàn)基礎(chǔ)上建立起來(lái)的，各自的升溫過(guò)程及達(dá)到的最高溫度有所差異。我國(guó)現(xiàn)行《建筑設(shè)計(jì)防火規(guī)范》(GB50016—2014)[16]在綜合考慮上述標(biāo)準(zhǔn)火災(zāi)曲線及火災(zāi)場(chǎng)景的基礎(chǔ)上，對(duì)城市隧道承重結(jié)構(gòu)體耐火極限測(cè)試時(shí)選用的標(biāo)準(zhǔn)升溫曲線做出了相應(yīng)規(guī)定，本研究相關(guān)內(nèi)容均是基于該規(guī)范中的RABT火災(zāi)曲線，函數(shù)表達(dá)式如下：

(1)

式中，T(t)和T0分別為RABT火災(zāi)曲線函數(shù)和結(jié)構(gòu)初始溫度;t為火災(zāi)持續(xù)時(shí)間。該曲線可以表現(xiàn)汽車在隧道內(nèi)發(fā)生火災(zāi)時(shí)的燃燒特性，其火災(zāi)溫度的發(fā)展趨勢(shì)為：火災(zāi)時(shí)隧道內(nèi)溫度在 5 min 時(shí)從常溫T0升到最高的 1 200 ℃；最高溫度持續(xù)了90 min后開始下降；降溫過(guò)程為30 min，到第125 min時(shí)溫度將到常溫T0。

1.2 數(shù)學(xué)模型與初始、邊界條件

考慮管節(jié)的施工制作工藝及空間利用率等方面，目前沉管隧道主要采用矩形截面形狀，如港珠澳沉管隧道標(biāo)準(zhǔn)管節(jié)的橫斷面寬度達(dá)到37.95 m×11.4 m (寬×高)。在求解沉管隧道沿壁厚方向的溫度場(chǎng)分布時(shí)，可將研究問(wèn)題近似簡(jiǎn)化為如下一維瞬態(tài)熱傳導(dǎo)模型，將襯砌結(jié)構(gòu)混凝土視為均質(zhì)、連續(xù)的介質(zhì)，且不考慮鋼筋、鋼纖維的影響。沉管隧道在實(shí)際火災(zāi)情況下，管節(jié)內(nèi)壁為受火表面，熱流溫度及沉管結(jié)構(gòu)內(nèi)表面與熱煙氣流間的對(duì)流換熱系數(shù)均可測(cè)定，屬于第3類邊界條件。管節(jié)外壁處由于被回填土體包圍，并且混凝土材料具有熱惰性，結(jié)構(gòu)厚度大(一般都超過(guò)1.4 m)，其外側(cè)界面溫度一般不會(huì)太高，與回填土體溫差不大，可假定沉管隧道結(jié)構(gòu)混凝土與回填土體之間為理想接觸，即不考慮二者之間的接觸熱阻。

本研究的最終數(shù)學(xué)模型及初始、邊界條件如下。

瞬態(tài)熱傳導(dǎo)微分方程：

(2)

邊界條件：

(3)

初始條件：

T(y, 0)=T0(y)，

(4)

式中，T(y,t)為管節(jié)結(jié)構(gòu)中任意時(shí)刻t任意位置y的溫度；相應(yīng)的T(0,t)為管壁靠海水側(cè)任意時(shí)刻的溫度；T(d,t)為管壁受火側(cè)任意時(shí)刻的溫度；T(y,0)為管節(jié)任意位置初始時(shí)刻的溫度；ac為混凝土的導(dǎo)溫系數(shù)，且ac=λ/cρ，λ，c，ρ分別為混凝土的導(dǎo)熱系數(shù)、比熱容和密度；d為沉管隧道承受火災(zāi)處管壁厚度；Tw為隧道外海水和覆土的溫度；hf為管節(jié)結(jié)構(gòu)內(nèi)表面與熱煙氣流間的綜合換熱系數(shù)，即對(duì)流換熱系數(shù)與等效輻射換熱系數(shù)之和，Tf(t)為管節(jié)內(nèi)壁附近的熱流溫度，并假定溫度分布服從RABT曲線；T0(y)為隧道管壁混凝土的初始溫度場(chǎng)分布，火災(zāi)常發(fā)生在運(yùn)營(yíng)隧道，故而可取為常溫，即環(huán)境的溫度Ta。

本研究問(wèn)題相應(yīng)的計(jì)算模型見圖1。為說(shuō)明一般規(guī)律性問(wèn)題并簡(jiǎn)化計(jì)算，本研究中混凝土的熱工參數(shù)均取為常數(shù)，即不隨溫度的升高而改變。

圖1 計(jì)算模型示意圖

2 求解的基本方程

工程中由于邊界條件的復(fù)雜性及方程中物理參數(shù)的非線性，造成大多數(shù)偏微分方程的解析解求解過(guò)程十分困難，并且也僅限于幾類特定的數(shù)學(xué)方法，如分離變量法、拉普拉斯變換、格林函數(shù)法等[17]。對(duì)于本研究的問(wèn)題，基于已有初始條件和邊界條件，可采用2次分離變量進(jìn)行求解。

首先對(duì)求解問(wèn)題的邊界條件齊次化，令：

T(y,t)=v(y,t)+w(y,t)，

(5)

則求解的數(shù)學(xué)問(wèn)題變?yōu)橄旅?個(gè)問(wèn)題。

問(wèn)題1：v(y,t)是滿足基本方程及邊界條件的1組特解，通過(guò)分離變量法和觀察法可構(gòu)造如下解[18]：

v(y,t)=φ+(η-φ)y/d,

(6)

式中η，φ為待定系數(shù)，可代入邊界條件求解得：

φ=Tw，

(7)

(8)

式中Tf(t)為RABT曲線方程，函數(shù)表達(dá)式即式(1)。

問(wèn)題2：w(y,t)是滿足基本方程和齊次邊界條件的1組通解，此時(shí)初始條件也進(jìn)行了相應(yīng)變化，

微分方程：

(9)

邊界條件：

(10)

初始條件：

w(y,0)=Ta-v(y,0)，

(11)

式中χ，ω為待定系數(shù)，同樣根據(jù)邊界條件求解得：

(12)

(13)

問(wèn)題2為熱傳導(dǎo)問(wèn)題的定解問(wèn)題，可進(jìn)一步采用分離變量法和常數(shù)變易法進(jìn)行求解[18]。

下面先采用分離變量法來(lái)求解滿足邊界條件的固有函數(shù)系。

令w(y,t)=ξ(y)·ζ(t)，其中ξ(y)，ζ(t)為待定函數(shù)，代入方程(10)中有：

ξ(y)·ζ′(t)=ac·ξ″(y)·ζ(t)。

(14)

由于w(y,t)≠0，即ξ(y)≠0,ζ(t)≠0，則上式可變?yōu)椋?/p>

(15)

上式成立，則其必等于同一非正常數(shù)(設(shè)為-ζ2)，可得：

ξ″(y)+ζ2·ξ(y)=0，

(16)

ζ′(t)+ζ2·ac·ζ(t)=0。

(17)

根據(jù)式(16)及相應(yīng)的邊界條件可獲得固有函數(shù)如下：

ξn(y)=Cn·sin(ζy)，n=1, 2,…,m，

(18)

根據(jù)常數(shù)變易法，假定問(wèn)題2的特解有如下的形式：

(19)

式中Bn(t)是待定函數(shù)；ζn為超越方程λ·ζ+hwtan(ζd)=0的根。為了確定Bn(t)，現(xiàn)按照固有函數(shù)系展開成如下級(jí)數(shù)形式：

(20)

根據(jù)正弦函數(shù)正交性，可求得：

(21)

式中ψn為系數(shù)，可通過(guò)下式求解：

(22)

將式(19)和式(21)代入非齊次微分方程(9)，得到：

(23)

由此可得：

(24)

可求得：

(25)

式中Dn為待定系數(shù)，代入初值條件進(jìn)而可求得：

(n=1, 2,…,m)。

(26)

綜上可知，本研究問(wèn)題中海底沉管隧道的一維瞬態(tài)溫度場(chǎng)的通解為：

sin(ζny)，

(27)

式中，

(28)

(29)

式中，Tf(t)為RABT曲線方程，ζn為超越方程λ·ζ+hwtan(ζd)=0的根。

3 算例驗(yàn)證及分析

以廣東某沉管隧道為例，該隧道管節(jié)結(jié)構(gòu)采用C50混凝土材料，管壁厚度為1 500 mm。為說(shuō)明一般規(guī)律性問(wèn)題，本研究取混凝土的熱工參數(shù)為常數(shù)，即導(dǎo)熱系數(shù)λc=1 W/(m·K)，比熱容Cc=1 000 J/(kg·℃)，密度為ρc=2 400 kg/m3，對(duì)流換熱系數(shù)為hc=25 W/(m2·℃)。隧道火災(zāi)發(fā)生時(shí)一般為運(yùn)營(yíng)階段，此時(shí)隧道外側(cè)被常溫(Tw=20 ℃)的海水和回填土體包圍，并假定管節(jié)內(nèi)部已無(wú)水化熱產(chǎn)生，初始溫度場(chǎng)也為常溫Ta=20 ℃。

3.1 不同時(shí)間的溫度分布及解析過(guò)程的驗(yàn)證

為驗(yàn)證上述解析解的正確性，采用COMSOL軟件建立數(shù)值模型，模型尺寸設(shè)定為1個(gè)混凝土澆注倉(cāng)大小(3 500 mm×1 500 mm)，模型左右邊界設(shè)置為熱絕緣屬性，上邊界設(shè)置為海水溫度Tw=20 ℃，下邊界設(shè)置為對(duì)流熱通量，對(duì)流換熱系數(shù)為hc=25 W/(m2·℃)，外部火源溫度設(shè)置為RABT曲線，其余模型參數(shù)與上述算例中一致，完整網(wǎng)格包含10 706 個(gè)域單元和286 個(gè)邊界元，采用瞬態(tài)求解器求解，相對(duì)容差取0.01。計(jì)算模型與125 min結(jié)果如圖2所示。

圖2 COMSOL計(jì)算模型與125 min的計(jì)算結(jié)果

沿管壁厚度方向取5個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)(數(shù)值模型中y軸正負(fù)號(hào)對(duì)計(jì)算結(jié)果沒(méi)有影響，只是坐標(biāo)系標(biāo)注不同而已，分別取值y1=1.50 m,y2=1.49 m,y3=1.45 m,y4=1.40 m,y5=1.30 m)。圖3為各監(jiān)測(cè)點(diǎn)在125 min的時(shí)間域內(nèi)的溫度變化曲線，散點(diǎn)值表示COMSOL模擬計(jì)算的結(jié)果，曲線值表示解析解的結(jié)果?？梢钥闯觯煌恢锰帞?shù)值計(jì)算結(jié)果的散點(diǎn)值均與解析解計(jì)算的曲線值重合，說(shuō)明上述解析解的計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果是吻合的，由此驗(yàn)證了解析解的正確性。

從圖3可以看出，管壁靠受火面位置y1=1.50 m,y2=1.49 m這2處的溫度在關(guān)鍵時(shí)間節(jié)點(diǎn)處有突變，如在t=5 min之前，曲線斜率較大，而之后斜率逐漸變小，即溫度增長(zhǎng)速度變緩；而在t=95 min之后曲線斜率變?yōu)樨?fù)值，曲線開始下降，進(jìn)入降溫階段，且更靠近管壁受火面位置y1=1.50 m處的降溫速度更快。

在沉管管壁上各測(cè)點(diǎn)的時(shí)間-溫度曲線和RABT曲線并不是嚴(yán)格一致，原因主要是由于混凝土材料的比熱容造成了溫度傳遞的滯后。受此滯后效應(yīng)影響，在火災(zāi)恒溫階段時(shí)(5 min

從圖3還可以看出，在火災(zāi)升溫、恒溫和降溫全過(guò)程中，位置y5=1.30 m處的溫度變化都很小，即火災(zāi)高溫對(duì)沉管管壁的影響深度在20 cm左右，這與參考文獻(xiàn)[11]中的相關(guān)結(jié)論也較為吻合。

圖3 管壁不同深度處溫度場(chǎng)隨時(shí)間的分布規(guī)律

3.2 沿管壁厚度方向的溫度分布規(guī)律

圖4給出了管壁30 cm范圍內(nèi)的Ti=5，10，30，60，95，125 min,i=1,…,6共6個(gè)具有代表性的時(shí)間點(diǎn)的深度-溫度曲線。可以看出，除T6=125 min 時(shí)間點(diǎn)外，其他5條曲線呈現(xiàn)明顯的單調(diào)遞減規(guī)律，即溫度從外到內(nèi)依次降低；而在T6=125 min 時(shí)刻，管壁內(nèi)部某些區(qū)域的溫度高于外側(cè)，即有較高的殘余溫度，主要原因仍是由于混凝土材料熱惰性造成溫度傳遞滯后的影響。

圖4 不同時(shí)間點(diǎn)的管壁溫度場(chǎng)隨深度的分布規(guī)律

管壁溫度內(nèi)高外低現(xiàn)象主要發(fā)生在降溫階段(95 min

圖5 降溫階段不同時(shí)間點(diǎn)的管壁溫度場(chǎng)隨深度的分布規(guī)律

從圖5可以看出，降溫過(guò)程中，在T5=119 min，T6=125 min這2個(gè)時(shí)刻，管壁內(nèi)部某些區(qū)域溫度高于外部，分析原因主要有2方面：一方面是由于3.1節(jié)所提到的混凝土材料的熱惰性影響，內(nèi)部溫度持續(xù)增長(zhǎng)，另一方面因?yàn)楣芄?jié)腔體內(nèi)火源溫度被降下來(lái)之后(119 min時(shí)為256 ℃，125 min時(shí)為常溫20 ℃)，而管壁對(duì)應(yīng)時(shí)間的溫度分別為663.21 ℃和563.23 ℃，會(huì)反向散熱，對(duì)隧道腔體產(chǎn)生熱輻射和熱對(duì)流，溫度下降較快。

4 結(jié)論

(1) 采用2次分離變量法求得RABT火災(zāi)曲線的沉管隧道管壁厚度方向的溫度場(chǎng)解析解，并運(yùn)用COMSOL軟件對(duì)算例進(jìn)行了數(shù)值模擬計(jì)算。不同位置處數(shù)值計(jì)算結(jié)果的散點(diǎn)值均與解析解計(jì)算的曲線值重合，驗(yàn)證了前述解析過(guò)程的正確性。

(2) 由于混凝土材料的熱惰性造成了溫度傳遞的滯后，從而使得沉管管壁上各測(cè)點(diǎn)的時(shí)間-溫度曲線和RABT曲線并不是嚴(yán)格一致，但在關(guān)鍵時(shí)間節(jié)點(diǎn)處仍有突變效應(yīng)，且更靠近管壁受火面位置處的降溫速度更快。火災(zāi)高溫對(duì)沉管管壁的影響深度在20 cm左右。

(3) 由于管壁溫度傳遞滯后效應(yīng)的影響，在火災(zāi)恒溫階段時(shí)，管壁靠受火面位置處的溫度仍然在增長(zhǎng)，并在t=95 min時(shí)達(dá)到最大值,甚至在火災(zāi)降溫過(guò)程中，管壁靠?jī)?nèi)部位置的溫度也一直在增長(zhǎng)，并在t=125 min時(shí)達(dá)到最大值。

(4) 降溫過(guò)程中，由于混凝土材料的熱惰性及隧道腔體溫度較低，管壁會(huì)反向散熱，在T5=119 min和T6=125 min這2個(gè)時(shí)刻，管壁內(nèi)部某些區(qū)域溫度內(nèi)高外低，即降溫結(jié)束后管節(jié)內(nèi)部仍有較高的殘余溫度，后續(xù)仍有可能會(huì)對(duì)管節(jié)造成進(jìn)一步的損傷。