胡 超，毛寬民，張東峰，周嘉誠

(1.寧夏大學(xué)，寧夏銀川 750021；2.華中科技大學(xué)，湖北武漢 430074)

0 引言

隨著現(xiàn)代機(jī)械工業(yè)的發(fā)展，很多領(lǐng)域迫切需要位移測(cè)試技術(shù)不斷更新。利用加速度傳感器采集的加速度信號(hào)通過二次積分的方法，理論上能夠得到真實(shí)的位移信號(hào)。然而，在加速度傳感器收集振動(dòng)信號(hào)的過程中，會(huì)受到自身設(shè)備及工況環(huán)境的影響，使得采集到的加速度信號(hào)包含噪聲。與此同時(shí)，設(shè)備的溫度變化等原因也會(huì)引入一定程度的低頻噪聲。使得加速度信號(hào)兩次積分后的位移信號(hào)漂移嚴(yán)重，信號(hào)毛刺較多。因此，為得到完整可用的位移信號(hào)，對(duì)加速度積分位移信號(hào)算法的研究很重要。

積分方式分為時(shí)域積分和頻域積分兩種。誤差趨勢(shì)項(xiàng)及直流分量是影響時(shí)域積分效果的主要因素，普遍的處理方式是先對(duì)加速度信號(hào)進(jìn)行去除均值處理，而后運(yùn)用梯形法、Simpson法等積分規(guī)則進(jìn)行一次積分得到速度信號(hào)，上述過程重復(fù)一次后即可得到位移信號(hào)，同時(shí)利用最小二乘法對(duì)趨勢(shì)項(xiàng)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，以達(dá)到減小信號(hào)漂移的目的。除了應(yīng)用最小二乘法多項(xiàng)式擬合外，使用差分法、低通濾波法、最小均方法[1]等也可減小誤差。

陸凡東等[2]利用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EMD)法對(duì)加速度信號(hào)的低頻和高頻部分分別進(jìn)行了處理，實(shí)現(xiàn)降噪去趨勢(shì)項(xiàng)的目的。同時(shí)，對(duì)有明顯漂移的分量采用分段最小二乘法(SLS)進(jìn)行處理。陳海龍等[3]提出一種基于EMD分解理論的積分誤差分離方法，可以有效處理積分誤差。仲志丹等[4]提出將自適應(yīng)噪聲的完備集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(CEEMDAN)自適應(yīng)降噪和極點(diǎn)對(duì)稱模態(tài)分解(ESMD)去趨勢(shì)項(xiàng)相結(jié)合，有效區(qū)分了噪聲分量與有效分量的分界點(diǎn)，為去除信號(hào)趨勢(shì)項(xiàng)及噪聲誤差提供了新的方法。

在頻域積分的過程中，低頻信號(hào)的幅值誤差將被放大，高頻信號(hào)的幅值誤差將衰減。要保證頻域積分的效果，關(guān)鍵在于控制低頻誤差的影響。許多學(xué)者對(duì)頻域積分算法進(jìn)行研究。Brandt等[5]對(duì)多種積分算法進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)設(shè)計(jì)的低頻截止算法對(duì)于低頻噪聲過濾效果較好，同時(shí)操作簡(jiǎn)單。Yun等[6-7]運(yùn)用誤差最小化方法，通過推算加速度位移積分控制方程，得到傳遞函數(shù)的頻響表達(dá)式，引入趨勢(shì)項(xiàng)控制因子實(shí)現(xiàn)低頻衰減積分算法，從而對(duì)位移趨勢(shì)項(xiàng)進(jìn)行誤差控制。該算法對(duì)積分過程控制精度較高，但計(jì)算量偏大。胡玉梅[8]等在低頻衰減算法的基礎(chǔ)上，對(duì)積分精度誤差控制方程進(jìn)行了優(yōu)化處理，并研究了積分參數(shù)的選擇對(duì)該算法積分效果的影響。

本文提出一種基于CEEMDAN與小波閾值去噪的混合積分算法，對(duì)實(shí)測(cè)信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理。通過先時(shí)域積分后頻域積分的方式，降低高低頻噪聲及漂移誤差對(duì)積分效果的影響。利用仿真方法分析了該算法的可行性，并搭建振動(dòng)篩試驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行測(cè)試分析，采集加速度與位移信號(hào)，驗(yàn)證了本算法的有效性。

1 自適應(yīng)噪聲的完備集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解與小波閾值去噪

1.1 自適應(yīng)噪聲的完備集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解

經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EMD)是一種利用三次樣條曲線擬合局部極值，將信號(hào)通過包絡(luò)線算法分解，提取其局部特征即本征模態(tài)分量(IMF)的方法，廣泛應(yīng)用于處理非線性、非平穩(wěn)信號(hào)。由于算法存在局限性，EMD分解易出現(xiàn)模態(tài)混疊及端點(diǎn)效應(yīng)[9]。集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EEMD)則是基于EMD分解的基礎(chǔ)上，添加均勻分布的白噪聲用于抵消模態(tài)混疊現(xiàn)象?；谧赃m應(yīng)噪聲的完備集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(CEEMDAN)在保留EMD、EEMD的完備性、分量調(diào)制性的同時(shí)，解決了EEMD加入白噪聲后引入的重構(gòu)誤差問題。CEEMDAN同時(shí)還具有一定的自適應(yīng)性[10-12]，輸入?yún)?shù)簡(jiǎn)單，能夠控制迭代時(shí)間，具體算法步驟如下：

(1)向周期為T的原始信號(hào)a(t)中加入高斯白噪聲ωi(t)，構(gòu)造出新信號(hào)a′(t)=a(t)+βiωi(t)，其中βi為噪聲控制系數(shù)。利用EMD方法將新信號(hào)分解出I個(gè)IMF分量并求平均值，得到：

(1)

及一階殘差分量：

r1(t)=a(t)-IMF1(t)

(2)

(2)假設(shè)EMD分解后的第j個(gè)模態(tài)函數(shù)的算子為Ej(·)。則對(duì)信號(hào)r1(t)+β1E1(ωi(t))繼續(xù)進(jìn)行分解，經(jīng)I次重復(fù)后，得到：

(3)

(3)由步驟(1)和(2)的計(jì)算過程，可推得第K階的殘差分量為rk(t)=rk+1(t)-IMFk(t)，定義得到第K+1個(gè)模態(tài)分量為

(4)

(4)重復(fù)步驟(3)，直到殘差信號(hào)不能再繼續(xù)分解，最終即可得到K個(gè)模態(tài)函數(shù)分量IMFk(t)，最終的殘差分量為

(5)

原始信號(hào)為

(6)

1.2 小波閾值去噪

小波變換是非平穩(wěn)信號(hào)處理的常用方法之一。通過選擇小波基，在尺度上進(jìn)行伸縮、平移，能夠從信號(hào)的全貌中看到細(xì)節(jié)。小波閾值去噪是運(yùn)用小波變換，在選擇合適的小波基和分解層數(shù)的基礎(chǔ)上，設(shè)置閾值函數(shù)及臨界閾值進(jìn)行去噪，隨后進(jìn)行重構(gòu)得到去噪后的信號(hào)。小波基及閾值函數(shù)可依據(jù)信號(hào)本身特點(diǎn)擇優(yōu)選取。

使用本文算法對(duì)試驗(yàn)采集的信號(hào)處理后發(fā)現(xiàn)，選用sym6小波進(jìn)行5層分解，采用固定軟閾值效果較理想。固定軟閾值函數(shù)為：

(7)

2 基于CEEMDAN和小波閾值去噪的混合積分位移算法

2.1 預(yù)處理部分

CEEMDAN及小波閾值去噪能夠?qū)厔?shì)項(xiàng)及噪聲進(jìn)行很好的區(qū)分篩選。CEEMDAN算法將復(fù)雜的非平穩(wěn)信號(hào)分解為多個(gè)本征模態(tài)函數(shù)IMF及殘余信號(hào)，同時(shí)能夠?qū)MF分量按照頻率高低進(jìn)行排列,如式(6)中：IMFk(t)為K個(gè)本征模態(tài)函數(shù)；R(t)為殘余信號(hào)，即原信號(hào)中的趨勢(shì)項(xiàng)。

在時(shí)域積分之前，先對(duì)各個(gè)IMF分量去除趨勢(shì)項(xiàng)R(t)處理，然后去除信號(hào)的直流成分，即去均值化處理：

(8)

對(duì)分解得到的各個(gè)IMF分量進(jìn)行去均值化及去趨勢(shì)項(xiàng)的低頻處理后，還需進(jìn)行高頻去噪處理。此時(shí)，需對(duì)IMF分量進(jìn)行篩選，篩選IMF分量的方法有很多，可以通過自相關(guān)系數(shù)法、相關(guān)系數(shù)法等來判斷IMF與原信號(hào)的相關(guān)性。一般計(jì)算出相關(guān)系數(shù)圖后，對(duì)于相關(guān)系數(shù)小于0.1的分量即判斷為偽分量。相關(guān)系數(shù)大于0.1的IMF分量中，當(dāng)出現(xiàn)第1個(gè)局部極大值前的IMF分量為噪聲主導(dǎo)的分量，然后對(duì)噪聲主導(dǎo)的IMF分量進(jìn)行小波閾值去噪[13-14]。上述分解去趨勢(shì)項(xiàng)、去均值及去噪過程完成之后，將IMF分量進(jìn)行重構(gòu)即可得到預(yù)處理后的加速度信號(hào)。

2.2 混合積分部分

本文采用Simpson法對(duì)處理后的加速度信號(hào)x(i)進(jìn)行一次時(shí)域積分得到速度信號(hào)y(k)，N為采樣點(diǎn)數(shù)，積分規(guī)則如式(9)所示：

(9)

在進(jìn)行頻域積分之前，需要利用最小二乘法對(duì)時(shí)域一次積分得到的速度信號(hào)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，降低頻域積分造成的影響。所使用的多項(xiàng)式擬合公式如下：

(10)

采用低頻截止法對(duì)擬合后的速度信號(hào)進(jìn)行二次積分。低頻截止法是在頻域積分過程中對(duì)信號(hào)的低頻誤差部分加以控制，即在頻域積分過程中引入函數(shù)φ(ω)：

(11)

頻域積分過程可表示為

(12)

式中:fT為低頻截止頻率；F(·)為傅里葉變換；F-1(·)為傅里葉逆變換。

低頻截止法頻域積分的關(guān)鍵在于對(duì)低頻截止頻率的選擇上。φ(ω)函數(shù)能夠?qū)⑿盘?hào)的低頻部分置為零，以保證積分過程中低頻信號(hào)誤差不會(huì)影響到積分效果。同時(shí)，低頻信號(hào)所包含的信息也將被清零。低頻截止頻率的選擇需要根據(jù)信號(hào)特點(diǎn)進(jìn)行分析選取，一般要小于被測(cè)信號(hào)的第1個(gè)峰值。

混合積分完整流程，如圖1所示。

圖1 混合積分算法流程圖

3 仿真分析與試驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 仿真分析

為驗(yàn)證本文混合算法的可行性，以Matlab為仿真軟件，采用諧波加速度信號(hào)進(jìn)行仿真分析。選取信號(hào)的采樣頻率為1 000 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為1 000，組合諧波加速度信號(hào)為

a(t)=8sin(20πt)+25sin(50πt)+30sin(90πt)

對(duì)上式兩次積分后即可得到對(duì)應(yīng)的位移信號(hào)為

利用Matlab為加速度信號(hào)加入一定程度均勻分布的隨機(jī)高斯白噪聲，原加速度信號(hào)及加入高斯白噪聲的加速度信號(hào)對(duì)比如圖2所示。

(a)未加入隨機(jī)白噪聲

(b)加入隨機(jī)白噪聲圖2 加噪前后加速度信號(hào)對(duì)比

對(duì)加入高斯白噪聲的加速度信號(hào)進(jìn)行CEEMDAN分解，得到IMF分量及趨勢(shì)項(xiàng)。部分IMF分量如圖3、圖4所示。CEEMDAN分解所得到的趨勢(shì)項(xiàng)分量如圖5所示。

圖3 IMF1分量

圖4 IMF6分量

圖5 IMF8分量

利用式(13)計(jì)算各個(gè)分量的相關(guān)系數(shù)，得到的相關(guān)系數(shù)如圖6所示。

圖6 相關(guān)系數(shù)圖1

(13)

式中：x(n)、y(n)為時(shí)間序列相同的信號(hào)。

由于CEEMDAN的自適應(yīng)性，能夠?qū)MF分量從高頻到低頻進(jìn)行排列。從相關(guān)系數(shù)圖可以看出，相關(guān)系數(shù)先升高后降低，IMF1、IMF7和IMF8為偽分量，包含的有效原始信號(hào)分量較少。IMF3處有一局部最大值，即出現(xiàn)局部最大值前的IMF1和IMF2分量包含有高頻噪聲。對(duì)含高頻噪聲分量的IMF進(jìn)行小波閾值去噪后與剩余分量重構(gòu)，并剔除趨勢(shì)項(xiàng)和均值，即可得到去噪后的加速度信號(hào)。

對(duì)去噪后的加速度信號(hào)采用Simpson積分公式進(jìn)行一次時(shí)域積分，從而能夠得到速度信號(hào)。此時(shí)，時(shí)域積分算法將會(huì)產(chǎn)生誤差，導(dǎo)致速度信號(hào)端點(diǎn)部分基線發(fā)生漂移。利用最小二乘法進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，擬合過程中發(fā)現(xiàn)選取多項(xiàng)式階數(shù)為6時(shí)得到的速度信號(hào)效果最佳。如圖7所示，速度信號(hào)中不存在明顯的噪聲毛刺和漂移。

(a)時(shí)域一次積分后的速度信號(hào)

(b)多項(xiàng)式擬合后的速度信號(hào)圖7 速度信號(hào)對(duì)比

對(duì)一次時(shí)域積分所得到速度信號(hào)，利用低頻截止法進(jìn)行一次頻域積分后，即可得到原加速度信號(hào)所對(duì)應(yīng)的位移信號(hào)。將混合積分所得到的位移信號(hào)與原位移信號(hào)進(jìn)行對(duì)比，如圖8所示。

圖8 混合積分前后位移信號(hào)對(duì)比

從圖8可以看出，位移信號(hào)的開始部分和結(jié)束部分有一定程度的積分處理所產(chǎn)生的端點(diǎn)效應(yīng)。但總體上，位移吻合度較高。采用平均絕對(duì)誤差(MAE)和均方根誤差(RMSE)對(duì)該混合積分算法所得到的位移信號(hào)進(jìn)行評(píng)價(jià)，平均絕對(duì)誤差和均方根誤差越低，表明信號(hào)還原度越好。計(jì)算公式如下：

(14)

(15)

通過計(jì)算得到的平均絕對(duì)誤差為0.000 114，均方根誤差為0.000 159。本文設(shè)計(jì)的混合積分算法積分仿真可行，位移信號(hào)還原度高。

3.2 試驗(yàn)驗(yàn)證

本文利用搭建的卷簧振動(dòng)篩試驗(yàn)臺(tái)，通過仿真及錘擊模態(tài)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)其做垂直振動(dòng)的模態(tài)頻率為8.2 Hz。通過在振動(dòng)臺(tái)頂部安裝電機(jī)驅(qū)動(dòng)偏心質(zhì)塊，使偏心質(zhì)塊在492 r/min的轉(zhuǎn)速下做圓周運(yùn)動(dòng)。在偏心質(zhì)塊離心力的作用下，不斷給予振動(dòng)篩激勵(lì)，振動(dòng)臺(tái)則在垂直模態(tài)下不斷在豎直方向上振動(dòng)。通過安裝激光位移傳感器、加速度傳感器以及LMS信號(hào)采集系統(tǒng)，實(shí)測(cè)加速度及位移信號(hào)，驗(yàn)證本算法。試驗(yàn)場(chǎng)地搭建如圖9所示。

圖9 試驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)

加速度傳感器的采樣點(diǎn)數(shù)為6 144，采樣頻率為1 024 Hz；位移傳感器的采樣點(diǎn)數(shù)為6 144，采樣頻率為1 024 Hz。所測(cè)得的加速度信號(hào)如圖10所示。

圖10 加速度原始信號(hào)

對(duì)采集得到的加速度信號(hào)進(jìn)行CEEMDAN分解，得到的15個(gè)IMF分量如圖11所示。由圖11明顯看出，IMF分量包含很明顯的高頻噪聲，IMF7分量處顯現(xiàn)出原始信號(hào)的波形。

圖11 CEEMDAN分解得到的模態(tài)分量

利用式(13)，計(jì)算前14個(gè)IMF分量與加速度信號(hào)的相關(guān)系數(shù)圖，如圖12所示。

圖12 相關(guān)系數(shù)圖2

由圖12可知，前5階和后5階IMF分量為偽分量。有效分量中第1個(gè)局部最大值拐點(diǎn)出現(xiàn)在分量IMF7處，即前6階IMF分量是含有噪聲的。

對(duì)含有噪聲的IMF分量進(jìn)行小波閾值去噪后與其余分量進(jìn)行重構(gòu)，并去除趨勢(shì)項(xiàng)IMF15和均值，即得到預(yù)處理去噪后的加速度信號(hào)。去噪前后加速度信號(hào)的頻譜對(duì)比，如圖13所示，主頻能量基本沒有損耗。

(a)原加速度信號(hào)

(b)去噪后的加速度信號(hào)圖13 加速度信號(hào)去噪前后頻譜對(duì)比

CEEMDAN和小波閾值能在一定程度上有效的剔除度加速度信號(hào)中的高低頻噪聲，防止后續(xù)由噪聲引起的積分誤差擴(kuò)大。對(duì)上述去噪后的加速度信號(hào)，采用本文混合積分算法進(jìn)行運(yùn)算。同時(shí)，將本積分算法處理結(jié)果與EMD結(jié)合SLS時(shí)域積分算法結(jié)果和文獻(xiàn)[15]的算法結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，利用式(14)和式(15)建立評(píng)價(jià)方式。積分后的結(jié)果如圖14所示,局部放大如圖15、圖16所示。誤差評(píng)價(jià)計(jì)算結(jié)果如表1所示。

圖14 積分位移算法對(duì)比

圖15 局部放大圖1

圖16 局部放大圖2

由圖14可知，EMD結(jié)合SLS時(shí)域積分后的位移信號(hào)存在較嚴(yán)重的漂移誤差，峰值誤差較大，信號(hào)還原度最差。文獻(xiàn)[15]的算法較兩次時(shí)域積分效果好，但仍存在較高的峰值誤差。本文提出的混合積分算法不存在漂移，峰值誤差較小，信號(hào)擬合程度較高。

由表1可知，本文提出的基于CEEMDAN和小波閾值去噪的混合積分算法的MAE、RMSE均最小，能夠在一定程度上解決位移信號(hào)漂移、誤差嚴(yán)重的問題。

表1 誤差計(jì)算結(jié)果

4 結(jié)論

設(shè)計(jì)的基于CEEMDAN和小波軟閾值去噪的加速度混合積分算法，從仿真分析及試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果可以看出，利用CEEMDAN算法的自適應(yīng)性及模態(tài)分解的高辨識(shí)度局部特征，可以有效分辨噪聲分布情況。同時(shí)，結(jié)合小波閾值去噪進(jìn)行預(yù)處理的方法，能夠避免采集的加速度信號(hào)中存在的高低頻噪聲干擾，影響積分信號(hào)的還原效果。先進(jìn)行一次時(shí)域積分，避開兩次時(shí)域積分造成的誤差項(xiàng)放大現(xiàn)象，并與采用低頻截止算法的頻域積分相結(jié)合，能有效避免低頻誤差對(duì)積分效果的影響。但是，本文算法在計(jì)算速度及去噪范圍上仍存在一定的局限性，處理的信號(hào)須具有一定長(zhǎng)度的帶寬。頻域算法對(duì)于頻率較低的信號(hào)處理效果不是很好，信號(hào)能量有一定損失。本文設(shè)計(jì)的混合積分算法為后續(xù)工程應(yīng)用提供了參考。