魏文震，王 欣，李 垚，呂 健，孫 磊

（國(guó)網(wǎng)山東省電力公司淄博供電公司，山東 淄博 255032）

0 引言

配電網(wǎng)三相不平衡現(xiàn)象嚴(yán)重，重載負(fù)荷情況時(shí)有發(fā)生，非線(xiàn)性負(fù)荷使得配電網(wǎng)諧波存在情況加重。因此，面對(duì)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，情況多變的配電網(wǎng)，應(yīng)用于輸電網(wǎng)的傳統(tǒng)同步相量測(cè)量單元（Phasor Measurement Unit，PMU）技術(shù)已無(wú)法滿(mǎn)足相量測(cè)量精度的要求。針對(duì)配電網(wǎng)的特點(diǎn)，研制了一種適用于配電網(wǎng)的微型同步相量測(cè)量單元（Micro Phasor Measurement Unit，μPMU）與故障錄波裝置，該裝置相對(duì)PMU 來(lái)說(shuō)體積小、成本低、安裝方便，能滿(mǎn)足智能電網(wǎng)大面積配置的需求［1-3］。由于該裝置采用的相量測(cè)量算法的動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)性能和測(cè)量精度有限，急需要一種適合配電網(wǎng)的同步相量測(cè)量算法［4-8］。

傳統(tǒng)的PMU 測(cè)量算法通常采用靜態(tài)相量模型。配電網(wǎng)由于非線(xiàn)性負(fù)載和分布式電源的接入，使得電網(wǎng)結(jié)構(gòu)變得復(fù)雜，頻率波動(dòng)和諧波干擾等更明顯，為了更好地對(duì)幅值、相角、功率波形和頻率的動(dòng)態(tài)變化進(jìn)行精確測(cè)量和跟蹤，需要在傳統(tǒng)的相量測(cè)量算法基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，研究適合配電網(wǎng)的同步相量測(cè)量算法［9-10］。文獻(xiàn)［11］利用泰勒級(jí)數(shù)對(duì)時(shí)變相量進(jìn)行建模，通過(guò)相量導(dǎo)數(shù)來(lái)修正系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性對(duì)相量測(cè)量精度的影響，但計(jì)算量大，實(shí)用性不高。文獻(xiàn)［12］提出一種利用時(shí)域和頻域信息的動(dòng)態(tài)同步相量測(cè)量算法，在低頻振蕩等動(dòng)態(tài)條件下，該算法能有效降低信號(hào)動(dòng)態(tài)特性對(duì)測(cè)量精度的影響。文獻(xiàn)［13］在相量動(dòng)態(tài)模型的基礎(chǔ)上對(duì)傳統(tǒng)的離散傅里葉變化法（Discrete Fourier Transform，DFT）進(jìn)行改進(jìn)，提出了一種插值離散傅里葉變化法（Interpolation Discrete Fourier Transform Method，IpDFT）。文獻(xiàn)［14］中按照使用性能將PMU 分為P 類(lèi)和M 類(lèi)，前者的測(cè)量速度快，精度較差，致力于電網(wǎng)的保護(hù)操作；后者測(cè)量速度慢，需要擁有更高的穩(wěn)態(tài)測(cè)量精度，適合測(cè)量應(yīng)用。文獻(xiàn)［15］提出了一種同時(shí)適用于P 類(lèi)和M 類(lèi)的相量和頻率測(cè)量算法。該算法在對(duì)相量波動(dòng)進(jìn)行跟蹤時(shí)，要求測(cè)量不確定性要小，其測(cè)量結(jié)果很難滿(mǎn)足IEEE c37.118.1—2011 標(biāo)準(zhǔn)的要求。綜上所述，現(xiàn)有的同步相量測(cè)量算法是無(wú)法直接應(yīng)用于配電網(wǎng)的。

在所研制的配電網(wǎng)μPMU 與故障錄波裝置的基礎(chǔ)上［2］，提出了一種適合配電網(wǎng)動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)的同步測(cè)量算法。首先，建立動(dòng)態(tài)電力信號(hào)模型，利用漢寧窗對(duì)信號(hào)模型進(jìn)行加窗處理，通過(guò)IpDFT 計(jì)算出加窗信號(hào)的頻率值及二次諧波的幅值和相角，從加窗信號(hào)中去除二次諧波；然后利用所提的泰勒加權(quán)最小二乘算法（Taylor Weighted Least Square Algorithm，TWLS）對(duì)處理后的動(dòng)態(tài)信號(hào)進(jìn)行相量和頻率的估計(jì)，最后通過(guò)MATLAB 仿真分析驗(yàn)證所提算法的動(dòng)態(tài)測(cè)量性能。

1 理論分析

1.1 信號(hào)的建模

對(duì)于含噪聲干擾的動(dòng)態(tài)電力信號(hào)波形模型可以表示為：

式中：?(t)為初相角；a(t)和φ(t)分別為相量的幅值和相位；Re{·}為實(shí)部的求取；b（t）為均值為0、方差為δ2的高斯白噪聲；p（t）為動(dòng)態(tài)相量；f0為參考頻率。其中，φ（t）為

式中：F為瞬時(shí)頻率f和參考頻率f0間的差值，即F=(f-f0)。

在動(dòng)態(tài)條件下，相量是個(gè)時(shí)變量。由于泰勒級(jí)數(shù)是表征信號(hào)動(dòng)態(tài)特性的有力工具，可以將其引入到電力信號(hào)動(dòng)態(tài)相量的表示中。通常情況下，信號(hào)的基波分量變化相對(duì)緩慢，對(duì)于tn時(shí)刻的動(dòng)態(tài)相量p（tn）可以通過(guò)K階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式來(lái)近似求解。

式中：n為不同采樣點(diǎn)；Nh為最后一次采樣；T為泰勒時(shí)間間隔；Δ為泰勒級(jí)數(shù)誤差；K為動(dòng)態(tài)信號(hào)用泰勒級(jí)數(shù)表示的最高階次，K取值越大，p（tn）越接近于真實(shí)值。但K越大，運(yùn)算量越大，算法所需時(shí)間越長(zhǎng)，會(huì)加大噪聲對(duì)算法的影響。

將式（4）代入式（1），借助歐拉公式可以得到泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)后的電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)信號(hào)模型為

式中：(·)*為共軛。

1.2 基于動(dòng)態(tài)模型的同步相量測(cè)量算法

考慮到計(jì)算速度和存儲(chǔ)容量等方面的限制，對(duì)于連續(xù)信號(hào)只能從中截取有限時(shí)長(zhǎng)的樣本加以處理。信號(hào)截短由于不能完全反映原信號(hào)的頻率特性必然會(huì)對(duì)數(shù)據(jù)處理結(jié)果造成影響。因此窗函數(shù)的選取對(duì)于改善頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)對(duì)離散頻譜分析的影響非常重要。

假設(shè)信號(hào)在采樣周期T0=1/f0內(nèi)的采樣數(shù)為N0，則在泰勒時(shí)間間隔T內(nèi)的采樣數(shù)N=[(T/T0)N0]，[·]表示就近取奇。如果t=0 時(shí)也進(jìn)行采樣，則N=2Nh+1。令第l 次采樣窗的中心位置作為參考時(shí)刻，以采樣頻率（fs=Nf0）對(duì)式（4）進(jìn)行離散化處理，可得信號(hào)的離散序列為

式中：ω0=2π/T0為參考角頻率；p為動(dòng)態(tài)偏差因子；pk與動(dòng)態(tài)相量的導(dǎo)數(shù)有關(guān)，為

此時(shí)，信號(hào)誤差和相量估計(jì)值誤差分別為

式中：σ為信號(hào)誤差為相量的估計(jì)偏差；y為y（n）構(gòu)成的列矩陣，為

由于式（8）得到的誤差較大，考慮到泰勒誤差與Δt的取值有關(guān)，Δt越小，泰勒誤差越小。因此，可以通過(guò)對(duì)采樣區(qū)間進(jìn)行加窗處理來(lái)有效減小測(cè)量誤差，則式（9）可以寫(xiě)為：

式中：w(n)為所加窗的時(shí)域表示形式；W為時(shí)域窗的連續(xù)頻譜。選取的窗函數(shù)為漢寧窗，漢寧窗的時(shí)域函數(shù)表達(dá)式為

加窗后的信號(hào)為

經(jīng)加窗處理后，利用TWLS法得到tn時(shí)刻的動(dòng)態(tài)相量估計(jì)值為

通過(guò)上述方法可以進(jìn)一步計(jì)算出與相量相關(guān)的參數(shù)，如頻偏（Frequency Deviation，F(xiàn)D）FD和頻率變化率（Rate of Change of Frequency，ROCOF）ROCOF，性能評(píng)價(jià)指標(biāo)：相量總誤差（Total Vector Error，TVE）TVE、頻率誤差（Frequency Error，F(xiàn)E）FE和頻率變化率誤差（Rate of Change of Frequency Error，RFE）RFE。

1.3 動(dòng)態(tài)算法的實(shí)現(xiàn)

在IpDFT 的基礎(chǔ)上提出一種TWLS 動(dòng)態(tài)相量測(cè)量算法，提高了動(dòng)態(tài)測(cè)量精度，并結(jié)合同步相量測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)分析了算法的性能，TWLS 算法的流程如圖1所示。

圖1 TWLS算法的實(shí)現(xiàn)流程

利用TWLS 進(jìn)行相量的動(dòng)態(tài)估計(jì)可分為兩步：首先，通過(guò)IpDFT 對(duì)信號(hào)頻率進(jìn)行初始估計(jì)，其值作為T(mén)WLS 中的參考頻率；最后，利用TWLS 法消除動(dòng)態(tài)信號(hào)和相量中的干擾，達(dá)到提高測(cè)量精度的目的。對(duì)頻率估計(jì)時(shí)，對(duì)頻率進(jìn)行四舍五入取整。以上算法稱(chēng)為T(mén)WLS-IpDFT法。

1.4 算法的具體步驟

TWLS-IpDFT算法的具體步驟為：

1）對(duì)信號(hào)y(n)的J個(gè)波形周期進(jìn)行N次采樣，n=0，1，…，N-1，其中N=Jfs/50+1。

2）對(duì)信號(hào)進(jìn)行加窗處理yw(n)=y(n)w(n)，其中w(n)為漢寧窗。

4）去除二次諧波后，確定新的信號(hào)y1(n)。

采用漢寧采樣時(shí)，數(shù)據(jù)窗J至少等于3 才能保證IpDFT 對(duì)頻率的估計(jì)足夠精確。此條件在實(shí)際工程中并不影響估計(jì)性能，因?yàn)樵撍惴l率變化的魯棒性要比相量變化的魯棒性差。

2 仿真分析

2.1 窗函數(shù)的選取

頻譜泄漏現(xiàn)象與窗函數(shù)譜的旁瓣有關(guān)，如果旁瓣的幅度趨于零，使能量相對(duì)集中在主瓣，就能得到與真實(shí)值較為接近的頻譜。工程中常用的窗函數(shù)有：矩形窗、海明窗、布萊克窗和漢寧窗等［19-20］。窗函數(shù)為100時(shí)，漢寧窗的頻域仿真分析如圖2所示。

圖2 窗函數(shù)為100時(shí)漢寧窗的頻域分析

窗函數(shù)的選取原則是：窗譜主瓣要窄而高，從而提高分辨率；旁瓣幅度要小，從而減小頻譜的泄露。

考慮到旁瓣的衰減程度越大能量泄露越小，且主瓣和旁瓣、旁瓣與旁瓣間的干涉影響越小，再結(jié)合電力信號(hào)帶寬窄、干擾強(qiáng)的特點(diǎn)，選用旁瓣幅度較小、衰減程度較大的漢寧窗采樣較為合適。

2.2 性能評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

IEEE C37.118.1—2011 中規(guī)定了同步相量測(cè)量的測(cè)試標(biāo)準(zhǔn)：TVE、FE、RFE。通過(guò)以上標(biāo)準(zhǔn)檢查相量測(cè)量算法的時(shí)間同步性和相量計(jì)算誤差［14］。TVE、FE、RFE的定義分別為

式中：Xr(n)、Xi(n)分別為相量真實(shí)值的實(shí)部和虛部；Xr和Xi分別為相量測(cè)量值的實(shí)部和虛部；ftrue為頻率真實(shí)值；fmeasured為測(cè)量值；Δfmeasured為頻偏的測(cè)量值；Δftrue為頻偏的真實(shí)值。

2.3 仿真條件

利用MATLAB 對(duì)算法的性能進(jìn)行全面測(cè)試分析，通過(guò)仿真數(shù)據(jù)對(duì)上述算法進(jìn)行驗(yàn)證，并利用相量測(cè)量裝置驗(yàn)證算法在實(shí)際系統(tǒng)中應(yīng)用的可行性。與傳統(tǒng)DFT 法進(jìn)行比較，分別對(duì)幅值調(diào)制、諧波影響、信號(hào)突變3 個(gè)重要指標(biāo)下的穩(wěn)態(tài)性能和階躍響應(yīng)下的動(dòng)態(tài)性能作重點(diǎn)分析。仿真中，采樣頻率為10 kHz，漢寧采樣數(shù)據(jù)窗為兩個(gè)波形周期（在工頻下每個(gè)數(shù)據(jù)窗的采樣數(shù)為400）。

通過(guò)選取合適的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)項(xiàng)K，在保證測(cè)量速度的同時(shí)增加了測(cè)量精度，由表1 仿真結(jié)果可見(jiàn)，當(dāng)K=8時(shí)，測(cè)量結(jié)果的精度可滿(mǎn)足要求。

表1 K=8時(shí)，TWLS-IpDFT法的同步相量測(cè)量精度

2.4 TWLS-IpDFT算法的性能分析

2.4.1 突變等動(dòng)態(tài)過(guò)程的仿真分析

為測(cè)試TWLS-IpDFT 算法對(duì)突變等動(dòng)態(tài)過(guò)程的響應(yīng)性能，在t=20 ms時(shí)對(duì)輸入信號(hào)施加90°的相角階躍信號(hào)，并與傳統(tǒng)的DFT 法進(jìn)行比較，各算法的階躍相應(yīng)仿真曲線(xiàn)如圖3 所示。測(cè)試信號(hào)為

圖3 動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線(xiàn)

信號(hào)的初始相角?(t)為π6，參考頻率f0取IpDFT 中計(jì)算得到的加窗信號(hào)頻率值。由圖3可知，TWLS-IpDFT 算法的動(dòng)態(tài)響應(yīng)效果較好，比傳統(tǒng)的DFT 算法有著更好的相角測(cè)量精度，且跟蹤效果較好。這是由于傳統(tǒng)的算法把工頻作為參考頻率對(duì)相量進(jìn)行測(cè)量，其動(dòng)態(tài)測(cè)量效果不佳；TWLS-IpDFT 法通過(guò)IpDFT 對(duì)信號(hào)頻率進(jìn)行初始估計(jì)，將估計(jì)值作為參考頻率，并選取漢寧窗作為窗函數(shù)，使得該算法動(dòng)態(tài)測(cè)量效果較好。

2.4.2 幅值和相位調(diào)制對(duì)算法精度的影響

1）幅值調(diào)制。

系統(tǒng)正常運(yùn)行時(shí)頻偏為0.1～0.2 Hz，且規(guī)定系統(tǒng)故障時(shí)頻偏應(yīng)盡快恢復(fù)到±0.5 Hz 以?xún)?nèi)。因此，信號(hào)的參考頻率f0分別取49.5 Hz、50.5 Hz。調(diào)制頻率ft在0.1～3 Hz 內(nèi)連續(xù)變化，調(diào)制幅值為10%的基波幅值。對(duì)頻率振蕩時(shí)波峰、波谷時(shí)刻的基波幅值誤差和全時(shí)段的最大相角誤差進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖4所示。被測(cè)信號(hào)為

圖4 幅值調(diào)制下TWLS-IpDFT法的幅值和相角誤差

由圖4 可知，結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)IEEE StdC37.118.1—2011：波峰幅值誤差＜0.2%，波谷幅值誤差＜0.2%，最大相角誤差＜0.5°，最大TVE＜1%［14］，當(dāng)信號(hào)發(fā)生低頻振蕩時(shí)，TWLS-IpDFT法對(duì)同步相量仍能進(jìn)行精確的計(jì)算，當(dāng)調(diào)制頻率增加時(shí)，測(cè)量誤差有所增加，但仍保持在標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定范圍以?xún)?nèi)。表2 為T(mén)WLS-IpDFT 法在信號(hào)幅值調(diào)制下的最大測(cè)量誤差。

表2 TWLS-IpDFT法在幅值調(diào)制下的最大誤差

2）相位調(diào)制。

相位調(diào)制情況下的被測(cè)信號(hào)設(shè)為

式中：ω為角速度；h為同步采樣數(shù)；φ為初相位。

相位調(diào)制幅值為0.1 rad，調(diào)制頻率為0.1～3 Hz，采樣頻率為5 400 Hz，初始相位設(shè)為π/3，h取1 024。對(duì)參考頻率分別為49.5 Hz，50 Hz，50.5 Hz 的3 種信號(hào)進(jìn)行仿真測(cè)試，測(cè)量誤差如圖5 所示。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的TVE應(yīng)在1%以?xún)?nèi)，最大FE為0.3 Hz，最大RFE為10 Hz/s，結(jié)合圖5 可知，TWLS-IpDFT 的測(cè)量誤差隨調(diào)制頻率的增加而顯著增加，但誤差比較小，能夠滿(mǎn)足上述標(biāo)準(zhǔn)的要求。

圖5 相位調(diào)制下TWLS-IpDFT 法的最大TVE、FE、RFE

2.4.3 諧波和噪聲抑制分析

1）諧波分析。

對(duì)電壓、電流信號(hào)注入諧波，被測(cè)信號(hào)為

對(duì)信號(hào)的相量幅值、相角誤差和頻率誤差進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 諧波干擾下TWLS-IpDFT法的幅值、相角和頻率誤差仿真

由圖6 可知，TWLS-IpDFT 法和DFT 法都受諧波的影響較大，且DFT 法不能很好地滿(mǎn)足TVE誤差要求，而TWLS-IpDFT 法測(cè)量精度更高，在保持跟蹤速度的同時(shí)對(duì)信號(hào)的跟蹤精度也比較高。通過(guò)對(duì)比可知，所提方法在諧波影響方面要優(yōu)于傳統(tǒng)方法。表3為諧波影響下的最大誤差分析。

表3 諧波影響下的最大誤差

2）噪聲分析。

考慮白噪聲對(duì)TWLS-IpDFT 法的影響。當(dāng)式（27）中的信號(hào)加入白噪聲b(t)時(shí)，其分布特性為N（0，0.0012），同樣使用上述兩種算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行測(cè)量，得到的TVE值如圖7所示。

圖7 噪聲干擾下的TVE誤差

2.4.4 頻率偏移仿真分析

在動(dòng)態(tài)模型（1）中取幅值為1，參考頻率f0=50 Hz 的信號(hào)進(jìn)行頻偏對(duì)算法測(cè)量精度的仿真分析，頻偏的范圍為-3～3Hz，信號(hào)表達(dá)式為

式中：p(t)為待測(cè)相量。頻偏(f-f0)分別取不同值時(shí)，對(duì)DFT 法和TWLS-IpDFT 法的相量測(cè)量結(jié)果進(jìn)行比較，包括幅值、相角誤差及TVE值，仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8 頻率偏移下的幅值、相角誤差及TVE值

由圖8 可知，隨頻偏的增加，兩種算法的測(cè)量誤差也隨之增大，但TWLS-IpDFT法的測(cè)量誤差相對(duì)較小，而DFT法的誤差增加較明顯。TWLS-IpDFT法幅值、相角及TVE誤差的波動(dòng)性及總量都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于DFT法，雖然隨著頻率偏移的增大，算法的測(cè)量精度有所降低，但仍在標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定范圍內(nèi)。

3 結(jié)語(yǔ)

提出了一種配電網(wǎng)μPMU 相量和頻率測(cè)量的動(dòng)態(tài)測(cè)量方法，利用漢寧窗對(duì)動(dòng)態(tài)信號(hào)進(jìn)行加窗處理，并對(duì)J個(gè)波形周期進(jìn)行采樣，提高了算法的動(dòng)態(tài)特性，減少了運(yùn)算量。

將IpDFT 法計(jì)算出加窗信號(hào)的頻率值作為算法的參考頻率，計(jì)算出二次諧波的幅值和相角，得到去除二次諧波后的加窗信號(hào)，從而提高相量和頻率的測(cè)量精度。

利用TWLS-IpDFT 法對(duì)相量的幅值、相位，相量總誤差、頻率誤差和頻率變化率誤差進(jìn)行估計(jì)，通過(guò)對(duì)突變狀態(tài)、調(diào)制、頻率偏移、諧波影響方面的仿真分析，結(jié)合同步測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)，并與傳統(tǒng)的DFT 法進(jìn)行對(duì)比，表明該算法對(duì)相量、頻率的測(cè)量精度和計(jì)算速度有一定的提高，能滿(mǎn)足在線(xiàn)計(jì)算的要求，具有一定的實(shí)用性。

綜合以上分析，所提出的TWLS-IpDFT法能夠基本滿(mǎn)足配電網(wǎng)動(dòng)態(tài)同步相量測(cè)量的要求。該算法的測(cè)量精度高，運(yùn)算量小，對(duì)之前μPMU 裝置的改進(jìn)具有指導(dǎo)作用，對(duì)配電網(wǎng)的實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)具有重要意義。后續(xù)將對(duì)原有裝置進(jìn)行改進(jìn)，研制一種成熟的適合配電網(wǎng)的高精度μPMU。