潘曉，徐明

1. 上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109 2. 上海市空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201109 3. 北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100191

1 引言

現(xiàn)代航天學(xué)與火箭理論奠基人齊奧爾科夫斯基有一句名言：“地球是人類的搖籃，但是人類不會(huì)永遠(yuǎn)被限制在搖籃里”。自1957年蘇聯(lián)發(fā)射第1顆人造衛(wèi)星以來，人類已經(jīng)開展了近地、月球以及太陽系內(nèi)各行星的探測(cè)任務(wù)，宇宙航行與探索是人類在其發(fā)展中合乎規(guī)劃且不可阻擋的歷史進(jìn)程。隨著深空探測(cè)任務(wù)日益復(fù)雜化，傳統(tǒng)的化學(xué)推進(jìn)方式將無法勝任某些任務(wù)，以連續(xù)小推力為代表的一些新型推進(jìn)方式[1]應(yīng)運(yùn)而生。在新型推進(jìn)系統(tǒng)提供的外部動(dòng)力作用下，航天器會(huì)偏離自然軌跡，形成多種類型的非開普勒軌道(NKO)[2]，具體包括連續(xù)推力軌道、多體問題軌道、太陽帆軌道以及繩系衛(wèi)星軌道。上述軌道分類之間彼此也存在交叉，不是嚴(yán)格的并列關(guān)系。

本文所探討的連續(xù)小推力懸浮軌道是非開普勒軌道中討論較多的一種，其受力特征為除中心天體引力之外，還受到連續(xù)小推力作用；軌道特征是軌道平面不通過中心天體，而是懸浮在中心引力源的上空或下方。根據(jù)引力源的不同，懸浮軌道又可進(jìn)一步分為日心懸浮軌道[3]、地心懸浮軌道[4]及其他行星懸浮軌道[5-7]。日心懸浮軌道，顧名思義位于太陽上方區(qū)域，憑借此特殊的空間位置，成為太陽物理研究、空間天氣監(jiān)測(cè)、深空通信中繼等深空探測(cè)任務(wù)[8]的理想平臺(tái)。地心懸浮軌道可實(shí)現(xiàn)航天器長期駐留地球極區(qū)上空，有效彌補(bǔ)太陽同步軌道在高緯度地區(qū)觀測(cè)與通信導(dǎo)航任務(wù)中的不足，助力北極航運(yùn)路線拓展，也利于探索極地蘊(yùn)藏的油氣資源。

2 連續(xù)小推力技術(shù)發(fā)展史

連續(xù)小推力是相對(duì)常規(guī)化學(xué)推進(jìn)器所能產(chǎn)生的脈沖式推力而言，不同于脈沖機(jī)動(dòng)對(duì)軌道的松散控制，連續(xù)小推力推進(jìn)可以實(shí)施全過程、高精度的軌控?；瘜W(xué)燃料推進(jìn)與連續(xù)小推力推進(jìn)方式的優(yōu)缺點(diǎn)如表1所示。

表1 不同推進(jìn)方式的優(yōu)缺點(diǎn)

根據(jù)工作原理的不同，連續(xù)小推力可以劃分為4類：電推進(jìn)、太陽帆推進(jìn)、束能推進(jìn)和微推進(jìn)[9-10]。其中電推進(jìn)[11]和太陽帆推進(jìn)[8]是目前比較成熟和應(yīng)用最多的連續(xù)小推力推進(jìn)系統(tǒng)。

2.1 電推進(jìn)技術(shù)

電推進(jìn)器的工程研究始于20世紀(jì)50年代末[12]。1962年，靜態(tài)等離子體推力器(SPT)[13]被發(fā)明，它屬于霍爾推進(jìn)器的一種，其中以SPT-70和SPT-100在衛(wèi)星中的應(yīng)用最為廣泛。這種推力器由于結(jié)構(gòu)簡單、可靠性高以及比沖大的優(yōu)點(diǎn)在航天器中大受歡迎，也成為迄今在空間用得最多的電推進(jìn)器之一。

根據(jù)功率的不同，電推進(jìn)可粗略的分為功率小于1kW的小功率電推進(jìn)，廣泛應(yīng)用于軍事和民用領(lǐng)域中的微小衛(wèi)星[14-19]；功率在1～10 kW的中等功率電推進(jìn)，應(yīng)用于地球靜止軌道(GEO)衛(wèi)星位置保持、高軌遙感衛(wèi)星、高軌通信衛(wèi)星任務(wù)以及中小型深空探測(cè)器主推進(jìn)任務(wù)等，并逐步發(fā)展成為國際上主要GEO衛(wèi)星平臺(tái)的標(biāo)準(zhǔn)配置[11,20]；以及功率大于10 kW的大功率電推進(jìn)，可實(shí)現(xiàn)復(fù)雜空間操作，未來有望應(yīng)用于國際空間站任務(wù)[21-24]。

電推進(jìn)系統(tǒng)在航天任務(wù)中比較典型應(yīng)用的有美國的“深空一號(hào)”探測(cè)航天器(Deep Space-1)[25]、“黎明”號(hào)(Dawn)[26]，日本的“隼鳥號(hào)”(Hayabusa)小行星探測(cè)器[27]，歐空局的“智能一號(hào)”月球探測(cè)器(Smart-1)[28]以及地球重力場(chǎng)和海洋環(huán)流探測(cè)衛(wèi)星(GOCE)[29]。Deep Space-1于1998年發(fā)射，是電推進(jìn)首次作為主推進(jìn)系統(tǒng)在深空探測(cè)中的應(yīng)用。Hayabusa于2003年5月9日發(fā)射，在兩年多的飛行期間，一直使用氙離子發(fā)動(dòng)機(jī)航行，接近小行星時(shí)該離子發(fā)動(dòng)機(jī)已經(jīng)累計(jì)工作了25 800 h，產(chǎn)生了1400m/s的速度增量。Dawn于2007年9月27日發(fā)射，配備了先進(jìn)的等離子推進(jìn)系統(tǒng)，旨在訪問小行星帶最大的兩顆小行星：Vesta和Ceres。GOCE于2009年3月17日發(fā)射，啟用了先進(jìn)的氙離子推進(jìn)器系統(tǒng)，是第一顆使用電離子推進(jìn)器持續(xù)抵消大氣阻力的衛(wèi)星。電離子推進(jìn)器系統(tǒng)由兩個(gè)冗余的推進(jìn)器單元組成，可以產(chǎn)生1～20 mN穩(wěn)定的平滑推力。GOCE超靈敏重力測(cè)量的成功取決于對(duì)衛(wèi)星軌道和速度的細(xì)微控制，常規(guī)噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)不能抵償在GOCE軌道高度由氣壓產(chǎn)生的微小阻力，但電離子推進(jìn)器系統(tǒng)可以。

中國的電推進(jìn)技術(shù)最早始于1967年，但隨后由于各種原因，研究斷斷續(xù)續(xù)，直到2014年才開始有了重大進(jìn)展[21]。目前中國中等功率霍爾電推進(jìn)技術(shù)已處于成熟階段，正式投入工程應(yīng)用。其中，40 mN霍爾推力器已經(jīng)通過空間飛行驗(yàn)證并在國際上首次完成2 500 h的地面1∶1長壽命試驗(yàn)驗(yàn)證[30]；截至2016年7月，80 mN霍爾推力器地面1∶1長壽命試驗(yàn)已經(jīng)超過8 000 h；為其配套的發(fā)射電流2.5 A的空心陰極，成功通過28 000 h/15 000次地面長壽命試驗(yàn)驗(yàn)證[30]，已具備在軌可靠穩(wěn)定運(yùn)行15年以上的能力，達(dá)到國際先進(jìn)水平；2016年12月，北京控制工程研究所研制的“磁聚焦霍爾電推進(jìn)系統(tǒng)”完成了全部在軌飛行驗(yàn)證工作，這是世界上第一套完成在軌飛行驗(yàn)證的磁聚焦霍爾電推進(jìn)系統(tǒng)。在大功率霍爾電推進(jìn)技術(shù)研究方面，針對(duì)未來載人空間任務(wù)動(dòng)力需求，上?？臻g推進(jìn)研究所通過國際合作，完成了10 kW級(jí)大功率霍爾推力器的研制，測(cè)試推力達(dá)到511.5 mN，比沖2 625 s，效率為63.6%，并通過500 h有限壽命試驗(yàn)預(yù)估，預(yù)估壽命超過10 000 h[30]。2020年1月，中國第一款20 kW大功率霍爾推力器于成功完成點(diǎn)火試驗(yàn)，點(diǎn)火時(shí)間累計(jì)達(dá)8 h，點(diǎn)火次數(shù)超過30次，總計(jì)在軌點(diǎn)火時(shí)間長達(dá)50 h。在試驗(yàn)過程中，這款霍爾推力器點(diǎn)火可靠，運(yùn)行平穩(wěn)，工作參數(shù)穩(wěn)定，實(shí)測(cè)推力1 N，比沖3 068 s，效率大于70%，性能指標(biāo)達(dá)到國際先進(jìn)水平，推力從小功率的“毫牛級(jí)”成功邁進(jìn)了“牛級(jí)”時(shí)代。目前100 kW級(jí)的霍爾推力器也已經(jīng)驗(yàn)證，霍爾推力器投入實(shí)用指日可待。

2.2 太陽帆推進(jìn)技術(shù)

太陽帆是一種利用太陽光子與大面質(zhì)比薄膜帆面的交互作用，反射光壓產(chǎn)生推動(dòng)力實(shí)現(xiàn)加速航行的新型航天器[31]。其優(yōu)點(diǎn)包括質(zhì)量小、收展比大、發(fā)射成本低、功耗低、無需燃料、能獲得持續(xù)小推力和航程長等。雖然太陽光壓力的量級(jí)較小，僅是毫牛量級(jí)，但連續(xù)的無能耗的光壓加速使其非常適用于太陽極地探測(cè)、小行星探測(cè)、地磁暴預(yù)報(bào)、平動(dòng)點(diǎn)探測(cè)、星際航行等航天任務(wù)。

20世紀(jì)20年代，蘇聯(lián)科學(xué)家Tsiolkovs首次提出太陽光照射帆面，可產(chǎn)生光壓力以作為航天器的推動(dòng)力[8]?？上У氖?，他們提出的新概念沒有引起重視。直到1958年，Garwin[32]發(fā)表了世界上首篇研究太陽帆的文獻(xiàn)。1960年，NASA發(fā)射了“回聲1號(hào)”(Echo-1)探測(cè)氣球，首次對(duì)太陽光產(chǎn)生的光壓力進(jìn)行了測(cè)量[33]。之后美國和俄羅斯對(duì)太陽帆項(xiàng)目展開了研究，但或因太陽帆理論基礎(chǔ)還顯不足、太陽帆薄膜材料的性能不確定、研究項(xiàng)目資金缺乏等一系列外在因素計(jì)劃擱淺，或因帆面展開試驗(yàn)失敗而終止任務(wù)。直到2010年5月21日，日本宇宙航空研究開發(fā)機(jī)構(gòu)(JAXA)成功發(fā)射了世界上第一個(gè)太陽帆航天器“IKAROS”號(hào)，首次完成了太陽帆的在軌展開、在軌光壓加速航行以及加速飛掠金星任務(wù)[34]。圖1為IKAROS號(hào)航天器在軌實(shí)物。帆面展開后規(guī)格約為14 m×14 m，厚度僅為7.5 μm，在軌獲得了1.12 mN的光壓力。IKAROS的成功極大地推動(dòng)了太陽帆在深空探測(cè)領(lǐng)域的工程應(yīng)用，也進(jìn)一步掀起了太陽帆的研究熱潮。同年11月19日由NASA研制的小型太陽帆“NanoSail-D2”[35]成功發(fā)射，并在隨后的階段順利完成地球軌道任務(wù)?！癗anoSail-D2”是一種很小的新型納米帆，是一個(gè)3單位的立方星，展開面積不到10 m2，總質(zhì)量大約為4 kg。類似地,“CubeSail”[36]也是一種納米帆，展開面積約為25 m2，但是帆體的總質(zhì)量卻減小到3 kg，可以投放到軌道半徑為700～800km的太陽同步軌道上。由歐盟出資資助的“DeorbitSail”[37]旨在演示驗(yàn)證使用低成本超輕太陽帆作為拖曳帆使衛(wèi)星離軌再入大氣層。在展開前被打包封裝在體積為(11×11×34) cm3的立方體平臺(tái)里，展開后通過三軸姿態(tài)控制。2015年7月10日，DeorbitSail順利發(fā)射并成功入軌，但入軌后衛(wèi)星發(fā)生故障，任務(wù)失敗。2015年5月20日，由美國行星協(xié)會(huì)資助的“LightSail-1”[38]發(fā)射成功且太陽帆成功展開，但由于該軌道部署太低，導(dǎo)致LightSail-1無法正常航行，不能驗(yàn)證其太陽帆作用。2019年6月25日，美國行星協(xié)會(huì)又主導(dǎo)發(fā)射了“LightSail-2”[39]，其軌道高度為距地720 km，大氣阻力較小，帆面總面積為32 m2，質(zhì)量為5 kg，加速度值可達(dá)到IKAROS的10倍左右。LightSail-2發(fā)射與展開過程順利，首次成功演示了太陽驅(qū)動(dòng)飛行，抬升軌道，LightSail-2開啟了一個(gè)新的行星際航行模式。太陽帆無質(zhì)損、無限比沖的本質(zhì)特征使其成為深空探測(cè)領(lǐng)域，尤其是非開普勒軌道任務(wù)領(lǐng)域的研究焦點(diǎn)。

圖1 太陽帆航天器IKAROS號(hào)Fig.1 Solar sail spacecraft “IKAROS”

除了太陽帆以外，2004年，芬蘭研究員Janhunen提出了另一種具有無限比沖的推進(jìn)方式——電動(dòng)太陽風(fēng)帆(E-sail)[40]推進(jìn)，通過利用與太陽風(fēng)中高速運(yùn)動(dòng)的帶電粒子動(dòng)量交換產(chǎn)生推力，從而推動(dòng)航天飛行器完成空間飛行任務(wù)。不同于太陽帆，E-sail在結(jié)構(gòu)上并不存在真正的“帆”結(jié)構(gòu)，只是由處于同一平面的帶電金屬細(xì)鏈形成概念上的帆面，如圖2所示，而金屬細(xì)鏈的在軌展開比起超大面積柔性結(jié)構(gòu)則要易于實(shí)現(xiàn)得多。另外，目前萬平米級(jí)的高性能太陽帆在距太陽1AU處所能產(chǎn)生的光壓力僅在0.1N量級(jí)，而E-sail則能產(chǎn)生接近1N的連續(xù)推力，進(jìn)一步拓展了非開普勒軌道的任務(wù)類型。自概念提出以來，多位研究學(xué)者對(duì)其可能的任務(wù)應(yīng)用進(jìn)行了深入的探討，包括日心懸浮軌道，太陽系外探測(cè)、近地小行星采樣返回、人造拉格朗日點(diǎn)、引力拖車任務(wù)等[41-46]。以上研究說明了E-sail作為一種新興推進(jìn)形式具有良好的應(yīng)用前景。

圖2 電動(dòng)太陽風(fēng)帆概念Fig.2 The concept of electric solar wind sail

3 懸浮軌道動(dòng)力學(xué)與控制

最早在20世紀(jì)60年代，Dusek[47]提出了利用推進(jìn)力平衡引力可實(shí)現(xiàn)航天器的懸浮，生成軌道面不包含中心天體的周期軌道，這就是最早時(shí)期的懸浮軌道概念。20世紀(jì)70年代末，NASA開展了利用太陽帆實(shí)現(xiàn)與哈雷彗星交會(huì)的任務(wù)研究[48]，太陽帆迅速進(jìn)入航天界的視野。1984年，F(xiàn)orward[49]提出太陽帆在太陽光輻射壓力的作用下可懸浮于黃道平面的上方或下方，圍繞太陽作周期運(yùn)動(dòng)，該軌道被稱之為日心懸浮軌道。之后，F(xiàn)orward提出了“Statite”[50]這一新概念航天器，該航天器的運(yùn)動(dòng)軌道并不是一種常規(guī)的彈道軌道，它靠近地球卻不占用擁擠的地球靜止軌道空間，并通過平衡太陽光壓力和地球引力的作用，可長期觀測(cè)地球的南北兩極區(qū)域。對(duì)Statite的研究也逐漸引起了學(xué)者們對(duì)地心懸浮軌道的重視。

懸浮軌道作為一種典型的非開普勒軌道，主要是在二體和三體模型下得到的結(jié)論。二體模型中存在中心天體，且航天器除受中心天體的引力外，還受到其他的作用力。如研究地心懸浮軌道時(shí)，中心天體為地球，對(duì)電推進(jìn)航天器只考慮地球的引力與連續(xù)電推力；對(duì)于太陽帆航天器，太陽的引力提供太陽帆繞太陽旋轉(zhuǎn)所需的向心力，在特定旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下，只考慮地球引力與太陽光壓力。在某些特殊情況下，航天器在太陽和地球的引力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，太陽和地球的引力相當(dāng)，而由于航天器質(zhì)量遠(yuǎn)小于太陽或地球質(zhì)量，所以僅忽略航天器對(duì)太陽和地球的影響，這種問題稱為限制性三體問題。在太陽-地球-普通航天器組成的限制性三體問題當(dāng)中，存在5個(gè)平衡點(diǎn)，稱為經(jīng)典拉格朗日點(diǎn)；而當(dāng)航天器為太陽帆時(shí)，太陽帆能夠在經(jīng)典拉格朗日點(diǎn)以外的點(diǎn)平衡，該平衡點(diǎn)稱為人工拉格朗日點(diǎn)。由于太陽帆的特殊性，大大拓展了平動(dòng)點(diǎn)的存在范圍。在經(jīng)典以及人工拉格朗日點(diǎn)附近的軌道可統(tǒng)稱為平動(dòng)點(diǎn)軌道[51]，其中后者與二體模型下懸浮軌道的受力特征與軌道特征相似，因此人工平動(dòng)點(diǎn)軌道也在本文的討論范疇之內(nèi)。

3.1 日心懸浮軌道

英國工程院院士McInnes教授在日心懸浮軌道的動(dòng)力學(xué)與控制方面做了大量的理論研究。他在文獻(xiàn)[3]中建立了太陽帆日心懸浮軌道動(dòng)力學(xué)方程，指出了日心圓形周期懸浮軌道本質(zhì)上是軌道動(dòng)力學(xué)方程的平衡點(diǎn)，且可由軌道半徑、懸浮高度和軌道角速度3個(gè)參數(shù)描述，繼而可計(jì)算出維持該軌道所需的推力加速度大小和方向。文獻(xiàn)[52-53]依據(jù)軌道角速度的不同，首次定義了3種特殊的日心懸浮軌道，并分析了不同類型軌道的存在性、穩(wěn)定性及可控性。具體來說，第一類特殊懸浮軌道的角速度等于同地心距的開普勒軌道角速度；第二類軌道角速度等于地球繞太陽公轉(zhuǎn)的角速度，這類軌道又被稱為地球同步懸浮軌道，應(yīng)用最為廣泛；第三類軌道為最優(yōu)懸浮軌道，在給定懸浮軌道半徑和懸浮高度的情況下，通過選擇角速度，使得太陽帆的光壓因子最小。受太陽光壓力方向限制，太陽帆生成任一條懸浮軌道都應(yīng)滿足太陽光壓力方向與太陽光夾角小于90°。除了連續(xù)推力外，文獻(xiàn)[54]還提出了多脈沖推進(jìn)下的開普勒弧序列構(gòu)成的懸浮軌道，以35km的懸浮高度為例，10脈沖推進(jìn)維持地球懸浮靜止軌道比連續(xù)推力維持消耗的燃料更多。McInnes教授還研究了非開普勒懸浮軌道與開普勒軌道的拼接方法；探討了懸浮軌道在空間天氣監(jiān)測(cè)、月球遠(yuǎn)端通信和太陽物理觀測(cè)中的應(yīng)用[55]等。Bookless等[56]研究了具有常值加速度的太陽帆懸浮軌道動(dòng)力學(xué)問題，他在二體、三體系統(tǒng)軌道動(dòng)力學(xué)模型下分析太陽輻射加速度對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)的影響，發(fā)現(xiàn)太陽帆推進(jìn)模式下系統(tǒng)存在人工拉格朗日平衡點(diǎn)，且適當(dāng)?shù)能壍揽刂瓶梢援a(chǎn)生周期性懸浮軌道族。McKay等[57]針對(duì)一種特殊的非開普勒懸浮軌道發(fā)表了非常完整和詳盡的綜述，該軌道的特征為航天器所受的推力加速度大小與重力加速度大小近似相等，在中繼通信、地球監(jiān)測(cè)以及行星科學(xué)探索任務(wù)中有廣泛的應(yīng)用。Niccolai等[58]討論了E-sail日心懸浮軌道的保持策略，用以探測(cè)太陽極地活動(dòng)。

國內(nèi)以清華大學(xué)李俊峰教授與寶音賀西教授為代表的許多高校學(xué)者也對(duì)日心懸浮軌道進(jìn)行了大量基礎(chǔ)性的研究，完成了不同任務(wù)下的懸浮軌道的動(dòng)力學(xué)分析與設(shè)計(jì)。李俊峰[2]討論了非開普勒軌道與傳統(tǒng)開普勒軌道的異同點(diǎn)，并通過分析非開普勒軌道的特點(diǎn)，從設(shè)計(jì)的角度出發(fā)，給出了非開普勒軌道的定義。寶音賀西[59]研究了在日地系統(tǒng)圓型限制性三體問題上新類型的太陽帆軌道。他指出這種類型的軌道是一種周期性軌道，和人工拉格朗日點(diǎn)有關(guān)系，并可以懸浮在黃道面之上，但是這種懸浮軌道穩(wěn)定性極差，需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖藨B(tài)控制。緊接著，龔勝平[60-64]對(duì)太陽帆懸浮軌道的編隊(duì)以及控制問題展開了一系列研究。中科院空間科學(xué)與應(yīng)用研究中心錢航[65-66]等主要研究了日心懸浮軌道的保持和穩(wěn)定控制等問題，他采用特殊形式的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，結(jié)合最優(yōu)控制方法對(duì)太陽帆日心懸浮軌道進(jìn)行主動(dòng)控制與仿真計(jì)算。國內(nèi)對(duì)于E-sail的研究起步較晚，目前主要在研的團(tuán)隊(duì)包括哈爾濱工業(yè)大學(xué)齊乃明教授團(tuán)隊(duì)、西北工業(yè)大學(xué)袁建平教授團(tuán)隊(duì)以及北京控制工程研究所。文獻(xiàn)[67]在Janhunen等[68]研究工作的基礎(chǔ)上，建立了E-sail姿軌耦合動(dòng)力學(xué)模型，研究了E-sail日心懸浮軌道保持任務(wù)中所涉及到的軌跡優(yōu)化問題和大角度機(jī)動(dòng)姿態(tài)跟蹤控制問題。

此外，上述關(guān)于非開普勒懸浮軌道的研究都致力于動(dòng)力學(xué)分析和軌道設(shè)計(jì)，未關(guān)注非開普勒軌道族研究中的另一個(gè)關(guān)鍵問題：從NKO動(dòng)力學(xué)參數(shù)到相應(yīng)軌道要素之間的解析推導(dǎo)，而其實(shí)后者對(duì)于支持未來的航天任務(wù)探索和軌道理論發(fā)展具有非常重要的意義。懸浮軌道受小推力作用懸浮于地球上方，針對(duì)于開普勒軌道的經(jīng)典攝動(dòng)理論[69]不再適用，這使得非開普勒軌道的動(dòng)力學(xué)特性研究、控制與實(shí)際應(yīng)用大多局限于數(shù)值分析，無法解析推演出航天器運(yùn)動(dòng)軌道的變化規(guī)律。解決該問題的思路之一是類比Kepler軌道，推導(dǎo)懸浮軌道的密切根數(shù)(OKE)解析解。Peloni等[70]在強(qiáng)非開普勒軌道和經(jīng)典軌道元素之間建立了閉合的解析映射關(guān)系，但是他們研究的軌道局限于圓形周期懸浮軌道，即軌道半徑和高度都保持恒定。之后潘曉等[71]通過建立“虛擬地球”模型，利用衛(wèi)星攝動(dòng)理論[69]，解析推導(dǎo)了一般(周期和擬周期)非開普勒懸浮軌道的密切根數(shù)，與數(shù)值積分結(jié)果的對(duì)比表明該解析推導(dǎo)精度良好。懸浮軌道解析解除了應(yīng)用于任務(wù)設(shè)計(jì)初步階段的快速計(jì)算，更重要的意義是提供了一種類似于軌道根數(shù)的語言來直觀描述非開普勒懸浮軌道的全局演化規(guī)律。

值得注意得是，文獻(xiàn)[72]表明，大多數(shù)日心懸浮軌道都是不穩(wěn)定的，在攝動(dòng)力或初始擾動(dòng)下，懸浮高度與軌道半徑均會(huì)隨時(shí)間衰減，因此必須對(duì)日心懸浮軌道任務(wù)采取有效的軌道保持策略。在軌道保持方面，將系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)方程在標(biāo)稱軌道附近線性化后再進(jìn)行分析研究是目前設(shè)計(jì)懸浮軌道保持控制器的常用思路。McInnes[73]基于標(biāo)稱軌道附近的線性化動(dòng)力學(xué)方程提出了軌道保持被動(dòng)控制策略，指出在太陽帆帆面法線方向和太陽光夾角保持不變時(shí)懸浮軌道穩(wěn)定。Bookless等[74]提出了圍繞拉格朗日點(diǎn)的擬周期軌道的狀態(tài)控制方法，他發(fā)現(xiàn)調(diào)節(jié)帆面面積，改變太陽帆螺旋角和偏航角可以起到穩(wěn)定軌道的作用。錢航等[65-66]針對(duì)太陽帆日心懸浮軌道線性動(dòng)力學(xué)模型，采用線性二次型調(diào)節(jié)器方法設(shè)計(jì)了相應(yīng)的軌道保持控制律。Waters等[75-76]基于最優(yōu)控制理論構(gòu)造出太陽帆平動(dòng)點(diǎn)及其附近Halo和Lyapunov軌道的維持策略，并分別給出各自的控制器收斂域；同時(shí)，Waters基于所構(gòu)造的控制器實(shí)現(xiàn)了不同族周期軌道以及平動(dòng)點(diǎn)之間的同異宿轉(zhuǎn)移。霍明英等[77]采用線性二次型最優(yōu)控制對(duì)E-sail日心懸浮軌道穩(wěn)定保持進(jìn)行主動(dòng)穩(wěn)定控制，結(jié)果表明只需很小的力矩就能實(shí)現(xiàn)E-sail姿軌耦合系統(tǒng)的穩(wěn)定。徐明等[78]注意到非共線型平動(dòng)點(diǎn)的1維穩(wěn)定流形、1維不穩(wěn)定流形和2維中心流形可用于構(gòu)造保Hamiltonian結(jié)構(gòu)控制器(HSP)，不僅改變平衡點(diǎn)的拓?fù)湫再|(zhì)，還可在非共線平動(dòng)點(diǎn)附近生成新型穩(wěn)定的擬周期軌道族。潘曉等[79]建立了僅使用Coriolis加速度和速度反饋的弱HSP控制器，系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)、Hill區(qū)域和平衡點(diǎn)均保持不變。通過改變Coriolis加速度因子即可有效改變部分軌道的走向，避免觸發(fā)不穩(wěn)定條件。

3.2 行星懸浮軌道

McInnes和Simmons[4]將日心懸浮軌道族擴(kuò)展至行星懸浮軌道。該軌道族要求太陽行星連線垂直于太陽帆的軌道平面，同樣，新的閉合軌道族以軌道半徑高度和周期為參數(shù)。如果太陽帆的指向和太陽光線均固定，繞行星中心的太陽帆軌道問題可以簡化為Stark問題[80]。與日心懸浮軌道類似，文獻(xiàn)[4]也定義了兩種特殊的太陽帆行星懸浮軌道：地球同步懸浮軌道與最優(yōu)懸浮軌道。Bookless[81]在文獻(xiàn)[4，52]的動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)上，研究了平衡點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性與控制策略。根據(jù)線性動(dòng)力系統(tǒng)的特征值，將平衡點(diǎn)分為穩(wěn)定的橢圓型平衡點(diǎn)(中心)與不穩(wěn)定的雙曲型平衡點(diǎn)(鞍點(diǎn))。Bookless定義了平衡點(diǎn)附近軌道的可行域，發(fā)現(xiàn)了橢圓平衡點(diǎn)附近的穩(wěn)定軌道與雙曲平衡點(diǎn)附近的不穩(wěn)定軌道，后者可到達(dá)無窮遠(yuǎn)處，可應(yīng)用于星際轉(zhuǎn)移任務(wù)。之后，徐明[82]進(jìn)一步對(duì)該模型進(jìn)行了深入的分析和總結(jié)：利用Birkhoff正則形式，研究了非共振情況下平衡點(diǎn)附近的運(yùn)動(dòng)；給出了判斷太陽帆行星懸浮軌道穩(wěn)定的充分必要條件及該判據(jù)的二階近似形式；證明了臨界破裂的KAM環(huán)被Lyapunov軌道的(1,1)-同宿軌道充滿，且該同宿軌道由Lyapunov軌道的穩(wěn)定和不穩(wěn)定流形構(gòu)成。由于太陽帆懸浮軌道受太陽光壓力方向限制，上述文獻(xiàn)中的動(dòng)力學(xué)模型都是考慮常值推力且推力方向恒定(太陽帆法向與太陽光方向平行)?；诖讼拗?，潘曉等[83]考慮連續(xù)電推力驅(qū)動(dòng)下的行星懸浮軌道，在動(dòng)力學(xué)模型中引入推力俯仰角，集中研究推力方向?qū)腋≤壍婪蔷€性動(dòng)力學(xué)特性的影響機(jī)理，并提出了基于推力俯仰角控制的懸浮軌道拼接與鎮(zhèn)定策略。

在行星懸浮軌道中，還有一種特殊的軌道，稱為極地探測(cè)軌道(pole-sitter orbit)。通過將航天器始終布置在極軸上空并與極地保持相對(duì)靜止，憑借單星即可實(shí)現(xiàn)對(duì)極區(qū)不間斷、實(shí)時(shí)觀測(cè)，既提高了航天器的時(shí)間分辨率，也降低了地面站的跟蹤難度，如圖3所示?！皹O地探測(cè)器”(pole-sitter)的概念最早誕生于1980年[84]，Driver首次提出使用電推進(jìn)(SEP)生成Pole-sitter軌道，并計(jì)算了恒定懸浮高度下所需的推力加速度。當(dāng)懸浮高度為2.5×106km時(shí)，維持極地觀測(cè)所需的推力加速度最小，若高度繼續(xù)下降，推力加速度會(huì)急劇增加，無法實(shí)現(xiàn)。即使SEP比沖高，極地觀測(cè)任務(wù)的長期性也對(duì)星上電推進(jìn)系統(tǒng)的質(zhì)量提出了很高的要求，僅使用SEP很難實(shí)現(xiàn)觀測(cè)任務(wù)。之后1991年，F(xiàn)orward[50]基于太陽帆人工平衡點(diǎn)[85]啟發(fā)，提出將太陽帆懸浮于圓型限制性三體問題的經(jīng)典拉格朗日點(diǎn)之上(或之下)，應(yīng)用于極地通信的設(shè)想。對(duì)純太陽帆推進(jìn)航天器而言，太陽光壓力取之不竭，任務(wù)周期理論上可以無限長；但是人工平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的，在長周期任務(wù)中，仍要采用鎮(zhèn)定策略穩(wěn)定軌道。于是Waters等[86]在“statite”(static satellite)概念基礎(chǔ)上，做了一些拓展工作。他們沒有選擇人工拉格朗日點(diǎn)，而是在L1點(diǎn)上方人工拉格朗日點(diǎn)附近的周期軌道族中，選擇運(yùn)動(dòng)角速度與地球同步的周期軌道作為觀測(cè)位置。雖然考慮到現(xiàn)實(shí)可行的太陽帆面質(zhì)比，Waters和McInnes提出的方案對(duì)極地的覆蓋率不佳，但相對(duì)于Forward所提出的靜態(tài)觀測(cè)情況，在相同的面質(zhì)比下，觀測(cè)性能有很大提升。

圖3 不同坐標(biāo)系下的極地探測(cè)軌道概念[94]Fig.3 Pole-sitter concept in different frames[94]

上述研究揭示了純太陽帆推進(jìn)航天器在極地觀測(cè)任務(wù)中的局限性：一是實(shí)際工程生產(chǎn)中太陽帆面積有限，導(dǎo)致面質(zhì)比不大；二是當(dāng)太陽帆靠近地球極地遠(yuǎn)離太陽時(shí)，太陽帆推力加速度很小，不足以支撐任務(wù)。為解決上述問題，2008年Baig等[87]又在“statite”概念中引入融合太陽光壓推進(jìn)(SRP)與電動(dòng)推進(jìn)的混合型航天器，SEP與SRP推進(jìn)互補(bǔ)，既可一定程度上降低懸浮高度，也可減少電能消耗，緩解航天器質(zhì)量壓力，延長任務(wù)壽命。之后以Ceriotti和Heiligers為代表的年輕學(xué)者深入探討了混合推進(jìn)航天器實(shí)現(xiàn)極地觀測(cè)任務(wù)的方法思路[88-95]。Ceriotti等[88-90]在圓型限制性三體問題下研究混合推進(jìn)航天器地球最優(yōu)極地軌道，通過優(yōu)化方法可調(diào)整太陽光壓輻射加速度以減少軌道維持所需的電推進(jìn)燃料消耗。需要說明的是，僅僅依靠太陽帆光壓推進(jìn)是無法實(shí)現(xiàn)Pole-sitter軌道的，必然要消耗電推進(jìn)燃料。此外，Ceriotti還仿真了航天器從地球轉(zhuǎn)移至極軸上空、南北極軸上空區(qū)域轉(zhuǎn)換以及極地監(jiān)測(cè)軌道的保持控制[94]。Heiligers[93]同樣使用混合推進(jìn)器設(shè)計(jì)了赤道平面內(nèi)與平面外的地心懸浮軌道，該軌道角速度與GEO相同，航天器對(duì)地保持靜止。結(jié)果表明懸浮于赤道平面上空/下方的地球同步懸浮軌道，相較于赤道平面內(nèi)軌道，所需的推力加速度更小。

3.3 人工拉格朗日點(diǎn)

圓型限制性三體問題(CR3BP)中只有5個(gè)固定的平動(dòng)點(diǎn)，然而引入太陽帆或者電推進(jìn)等連續(xù)小推力可以得到一系列人工平動(dòng)點(diǎn)。人工平動(dòng)點(diǎn)的存在大大擴(kuò)展了CR3BP中的平動(dòng)點(diǎn)軌道資源，可以使任務(wù)設(shè)計(jì)更加靈活，選擇更為廣泛。McInnes在文獻(xiàn)[85]中首次提出了太陽帆人工拉格朗日點(diǎn)的概念，完整給出了太陽帆人工平衡點(diǎn)的存在區(qū)域與維持平衡所需的太陽帆性能參數(shù)，并分析了人工平衡點(diǎn)的線性穩(wěn)定性。根據(jù)文獻(xiàn)[85]中的人工平衡點(diǎn)的定義、約束以及太陽帆面質(zhì)比的計(jì)算公式，圖4給出了太陽帆-日地三體系統(tǒng)人工平衡點(diǎn)處光壓因子分布。文獻(xiàn)[96]還將上述研究拓展到非理想太陽帆的情況，結(jié)果表明人工平衡點(diǎn)的可行域?qū)μ柗姆瓷渎屎苊舾?。Baig等[87]研究了混合推進(jìn)航天器在CR3BP引力模型中生成的人工平衡點(diǎn)，使用電推與光壓混合推進(jìn)的模式既可突破太陽帆平衡區(qū)域的局限性，也可最大限度減少新增平衡區(qū)域的電推消耗。Aliasi等[97]在橢圓型限制性三體模型下，在太陽帆中引入電致變色材料板，通過僅改變太陽帆面質(zhì)比，從而實(shí)現(xiàn)人工L1點(diǎn)的鎮(zhèn)定。類似的問題，Niccolai等[98]利用E-sail航天器維持太陽-地月系CR3BP中L1型人工拉格朗日點(diǎn)的穩(wěn)定，通過調(diào)節(jié)E-sail的電網(wǎng)電壓來提供反饋控制。Ishimura等[99]考慮通過繩索連接錨與太陽帆，以給太陽帆增加配重。結(jié)構(gòu)更改后的航天器其人工平衡點(diǎn)位置由錨重和繩長決定，在不改變太陽帆姿態(tài)與面質(zhì)比的情況下，新平衡點(diǎn)較原人工平衡點(diǎn)遠(yuǎn)離太陽，更靠近L2點(diǎn)。除了往新型航天器方向拓展，近年來針對(duì)人工平衡點(diǎn)的研究也逐漸延伸到小行星上。文獻(xiàn)[100]利用連續(xù)推力補(bǔ)償，求解了不規(guī)則小行星附近的人工平衡點(diǎn)，以擴(kuò)大小行星上空懸停飛行任務(wù)的可行區(qū)域。

圖4 太陽帆-日地三體系統(tǒng)人工平衡點(diǎn)處光壓因子分布Fig.4 The lightness number required by artificial Lagrangian points in solar sail-CR3BP

在人工拉格朗日點(diǎn)附近也存在著周期軌道[101]，其求解方法與halo軌道類似。Baoyin在文獻(xiàn)[102]中研究了橢圓限制性三體模型下的人工平衡點(diǎn)，證明了在歸一化長度隨時(shí)間變化的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中，存在平面人工拉格朗日點(diǎn)。應(yīng)用攝動(dòng)法，他還得到了日地連線上人工平衡點(diǎn)附近太陽帆halo軌道的三階解析近似解[103]。Waters在文獻(xiàn)[86]中進(jìn)一步拓展，研究了任意人工平衡點(diǎn)附近的周期軌道近似解。Simo等[104]探究了太陽帆在地-月限制性三體模型中共線平衡點(diǎn)附近的周期軌道的近似求解方法，該軌道可確保月球背面和地球赤道地區(qū)的可視性，并能以新的方式實(shí)現(xiàn)月球通信。姚闖等[105]考慮了太陽帆的光學(xué)退化與變形，利用HSP控制器，生成非理想太陽帆在人工平衡點(diǎn)附近的有界擬周期軌道。

學(xué)者針對(duì)人工拉格朗日點(diǎn)以及其附近的有界軌道的潛在應(yīng)用做了大量的研究。經(jīng)典的拉格朗日點(diǎn)L1點(diǎn)與地球的距離約為0.01 AU，在該位置上，衛(wèi)星能提前1 h進(jìn)行地磁暴預(yù)報(bào)。為了獲得更早的預(yù)報(bào)時(shí)間，可將航天器置于離地球更遠(yuǎn)的點(diǎn)進(jìn)行觀測(cè)。NASA提出將太陽帆置于距離太陽0.974 AU處平衡，該方案的預(yù)報(bào)時(shí)間相比于經(jīng)典L1處衛(wèi)星，提前量增加了3倍。此外，人工平衡點(diǎn)由于其出黃道面的優(yōu)勢(shì)，在導(dǎo)航方面也有著重要的應(yīng)用。文獻(xiàn)[106]提出基于人工拉格朗日點(diǎn)太陽帆的導(dǎo)航衛(wèi)星自主定軌方案，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)仿真。太陽帆提供的實(shí)時(shí)位置信息能使導(dǎo)航衛(wèi)星的定軌精度得到提高，但文獻(xiàn)[106]并未設(shè)計(jì)太陽帆星座構(gòu)型，且太陽帆是受被動(dòng)控制穩(wěn)定在人工拉格朗日點(diǎn)處，其所需的面質(zhì)比變化范圍比穩(wěn)定在人工平衡點(diǎn)附近的情況更大。文獻(xiàn)[107-108]利用太陽帆CR3BP系統(tǒng)中的人工拉格朗日點(diǎn)部署服務(wù)于地月空間的立體導(dǎo)航星座。由于該任務(wù)中月球攝動(dòng)不可忽略，太陽帆無法在人工拉格朗日點(diǎn)處保持自然靜止?fàn)顟B(tài)。通過構(gòu)造HSP控制器，可在人工平衡點(diǎn)附近生成有界擬周期軌道，代替人工平衡點(diǎn)作為星座選址，可有效降低保持太陽帆星座構(gòu)型所需的控制力。文獻(xiàn)[109]概述性地討論了利用人工拉格朗日軌道在極地氣象學(xué)、環(huán)境遙感、通信和空間氣象應(yīng)用的可能性。

4 懸浮軌道編隊(duì)飛行

航天器編隊(duì)飛行[110-111]通過利用多個(gè)航天器星間通信、分布式協(xié)同工作，可拓展單個(gè)航天器無法實(shí)現(xiàn)的功能，形成一個(gè)功能齊全、規(guī)模較大的航天器系統(tǒng)。并且由于多平臺(tái)的冗余設(shè)計(jì)，可通過對(duì)故障模塊的補(bǔ)發(fā)以及編隊(duì)構(gòu)型的重新設(shè)計(jì)，避免任務(wù)失敗，具備可維護(hù)性和高可靠性。目前隨著非開普勒軌道的發(fā)展，以及對(duì)南北極開發(fā)和深空探測(cè)的需要，懸浮編隊(duì)飛行具有重要的研究和應(yīng)用價(jià)值。另外，小推力懸浮軌道編隊(duì)問題與自然構(gòu)型下的編隊(duì)，其動(dòng)力學(xué)模型有諸多相似之處，因此許多針對(duì)自然構(gòu)形編隊(duì)的研究方法都可以借鑒，用于探索小推力相對(duì)軌道。

在相對(duì)運(yùn)動(dòng)的描述上，航天器編隊(duì)飛行的本質(zhì)是相對(duì)運(yùn)動(dòng)控制問題，因此相對(duì)運(yùn)動(dòng)特性分析是構(gòu)型設(shè)計(jì)與控制的前提。目前編隊(duì)飛行的運(yùn)動(dòng)描述方法可以分為兩大類：一是動(dòng)力學(xué)方法，即以位置、速度作為描述變量，典型的有著名的CW(或HCW)方程和TH方程[112]；二是運(yùn)動(dòng)學(xué)方法，即以軌道根數(shù)作為描述變量[113]，刻畫航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。龔勝平在文獻(xiàn)[60]中第一次提出了太陽帆編隊(duì)的概念，旨在利用多個(gè)小而輕型太陽帆實(shí)現(xiàn)大太陽帆的功能，緩解太陽帆技術(shù)與任務(wù)需求之間的矛盾。他利用軌道動(dòng)力學(xué)理論，研究了日心懸浮軌道[60]、行星懸浮軌道[114]，以及人工拉格朗日點(diǎn)[115]附近太陽帆編隊(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性和控制問題。與傳統(tǒng)編隊(duì)的研究方法類似，通過將相對(duì)運(yùn)動(dòng)在主星懸浮軌道附近線性化，利用特征值分解等方法，分析相對(duì)運(yùn)動(dòng)的線性穩(wěn)定性。針對(duì)不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)，基于線性二次型和輸入反饋線性化等方法，建立控制器，實(shí)現(xiàn)任意參考相對(duì)軌道的跟蹤。特別地，太陽帆航天器維持懸浮編隊(duì)所需的控制力，可通過調(diào)整帆面姿態(tài)和面質(zhì)比來提供，不需要額外的燃料消耗。Biggs和McInnes[116]考慮了太陽帆橢圓形三體限制問題中的編隊(duì)，并確定了一個(gè)為期一年的周期性軌道族，通過數(shù)值連續(xù)方法，每個(gè)軌道都對(duì)應(yīng)于唯一的太陽帆方向。但是，他們沒有解決懸浮軌道的相對(duì)動(dòng)力學(xué)問題。潘曉等[117]研究了電推力懸浮軌道的線性相對(duì)運(yùn)動(dòng)問題，重點(diǎn)關(guān)注了地球同步懸浮軌道編隊(duì)，探究了線性相對(duì)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性、解析解與控制策略，并闡述了懸浮軌道編隊(duì)在地球表面成像和中繼通信等對(duì)地靜止軌道任務(wù)中的應(yīng)用。利用運(yùn)動(dòng)學(xué)方法，文獻(xiàn)[62]進(jìn)一步提出了相對(duì)軌道根數(shù)的概念，并提出了基于相對(duì)軌道根數(shù)的相對(duì)軌道設(shè)計(jì)方法。王偉等類比開普勒軌道，定義了非開普勒軌道的軌道根數(shù)，通過懸浮軌道根數(shù)對(duì)懸浮編隊(duì)做了大量的研究[118-120]，研究了日心圓形懸浮軌道之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)并獲得了相對(duì)距離范圍的半解析近似結(jié)果。之后，他們還將理論和方法推廣到文獻(xiàn)[119]中的橢圓軌道，并在文獻(xiàn)[120]中進(jìn)一步消除了經(jīng)典軌道元素的奇異性以避免原方法失效。

由于相對(duì)運(yùn)動(dòng)難以直接求解，以上大多數(shù)研究都是建立在線性動(dòng)力學(xué)模型上或是獲得了近似解。即使這些相對(duì)運(yùn)動(dòng)是解析性的，但由于動(dòng)力學(xué)的近似，其模型存在對(duì)航天器軌道動(dòng)力學(xué)模型精確性過度依賴的問題，無法在長距離和長期任務(wù)中保持編隊(duì)構(gòu)型。這在對(duì)J2不變相對(duì)軌道[121]的研究中，也有相同的問題。為了確保精度問題，眾多學(xué)者紛紛尋求數(shù)值的方法來研究非線性編隊(duì)飛行。Koon等[122]采用Poincaré截面和Routhian變換等技巧分析編隊(duì)相對(duì)動(dòng)力學(xué)，給出一種J2不變軌道的構(gòu)造思路：將編隊(duì)主從星分別放置于Poincaré截面的不動(dòng)點(diǎn)及其閉軌，可以將相對(duì)構(gòu)型保持在較長時(shí)間內(nèi)。不過，由Poincaré截面得到的偽圓和偽橢圓軌道具有不同的交點(diǎn)周期和升交點(diǎn)漂移率，因此僅在Poincaré截面上選取編隊(duì)的初始條件并不能保證編隊(duì)構(gòu)型的長期穩(wěn)定。為了克服該方法的缺陷，徐明等[123-125]在該方法的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)地研究了J2不變相對(duì)軌道的存在性、生成算法及控制維持等問題。他在文獻(xiàn)[125]中研究了從(E,Hz, Δr)到(Td,Ωd)的映射，其中E為軌道的Jacobi能量，Hz為角動(dòng)量沿極軸的分量，Δr為偽圓軌道與偽橢圓軌道的距離測(cè)度，Td為節(jié)點(diǎn)周期，Ωd為角度漂移量。通過數(shù)值搜索發(fā)現(xiàn)，當(dāng)Δr≠0時(shí)，相同的像(Td,Ωd)對(duì)應(yīng)于不唯一的原像(E,Hz)，從而說明了有界相對(duì)軌道的存在性。同理，J2不變相對(duì)軌道數(shù)值編隊(duì)的方法可延拓到懸浮編隊(duì)[126]上使用，通過Poincaré截面和Routhian變換技巧，建立懸浮軌道五維動(dòng)力學(xué)參數(shù)(κ,α,E,Hz, Δr)到(Td,Ωd)的映射(其中κ和α分別為推力加速度的大小和俯仰角)，由于映射是單射而非滿射，很容易找到兩條不同的懸浮軌道構(gòu)成穩(wěn)定有界編隊(duì)。采用數(shù)值方法得到的結(jié)果直接滿足有界條件約束而無任何簡化，因此可直接采用所得到的初值初始化相對(duì)軌道，得到任意尺寸和極長時(shí)間內(nèi)(或者理論上無限長)的有界相對(duì)運(yùn)動(dòng)。

5 結(jié)論

連續(xù)小推力非開普勒懸浮軌道經(jīng)過30多年的發(fā)展已經(jīng)取得了不錯(cuò)的理論成果，但目前的研究普遍沒有考慮其他天體攝動(dòng)，建立的動(dòng)力學(xué)模型與真實(shí)天體模型還有差距；且受限于柔性太陽帆的工藝問題與電推技術(shù)發(fā)展的不足，懸浮軌道在近幾年內(nèi)還是很難應(yīng)用于工程實(shí)踐。

針對(duì)現(xiàn)有研究的不足，還需在已有的基礎(chǔ)上進(jìn)一步開展懸浮軌道的研究與探索，如考慮地心懸浮軌道的帶諧項(xiàng)和田諧項(xiàng)攝動(dòng)，求解攝動(dòng)下的非開普勒懸浮周期軌道；探究在推力器非理想工作情況下關(guān)于懸浮軌道的重要結(jié)論是否還成立等。非開普勒懸浮軌道理論研究極大豐富了非線性動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域的研究內(nèi)容，擴(kuò)展了軌道動(dòng)力學(xué)學(xué)科的研究范疇，可為航天器軌道設(shè)計(jì)和任務(wù)規(guī)劃提供新的思路。隨著小推力技術(shù)的發(fā)展，非開普勒懸浮軌道還可應(yīng)用于地球?qū)Ш皆鰪?qiáng)任務(wù)、小行星探測(cè)等，為近地與深空探測(cè)任務(wù)提供新的平臺(tái)。