葉興梅， 陳景東， 方玉宏

(閩南師范大學(xué) 物理與信息工程學(xué)院， 福建 漳州 363000)

1 不可逆斯特林熱機(jī)循環(huán)模型

以氣體為工質(zhì)的斯特林循環(huán)是由兩個(gè)等溫過(guò)程和兩個(gè)等容過(guò)程組成，如圖1所示。圖中1S—2—3S—4為內(nèi)可逆斯特林熱機(jī)循環(huán)，而1—2—3—4為內(nèi)不可逆斯特林熱機(jī)循環(huán)。圖中1→2為工質(zhì)溫度為T1的等溫過(guò)程，在這過(guò)程中，工質(zhì)從高溫?zé)嵩次諢崃縌1，使得有限熱容量的高溫?zé)嵩礈囟葟腡H1下降到TH2；3→4為工質(zhì)溫度為T2的等溫過(guò)程，在這過(guò)程中，工質(zhì)向低溫?zé)嵩捶懦鰺崃縌2，致使有限熱容量的低溫?zé)嵩礈囟葟腡L1上升到TL2；2→3和4→1分別為兩個(gè)回?zé)徇^(guò)程。

圖1 不可逆斯特林熱機(jī)循環(huán)T-S圖

基于熱力學(xué)理論，工質(zhì)從高溫?zé)嵩次盏臒崃縌1和放給低溫?zé)嵩吹臒崃縌2可分別表示為

Q1=T1(s2-s1)=nRT1ln(V2/V1),

(1)

Q2=T2(s3-s4)=nRT2ln(V3/V4),

(2)

式中si和Vi(i=1,2,3,4)分別為不可逆斯特林熱機(jī)循環(huán)相關(guān)狀態(tài)點(diǎn)的熵和體積，n為工質(zhì)的摩爾數(shù)，R為普適氣體常數(shù)。

另一方面，根據(jù)有限熱容量熱源熱交換理論，Q1、Q2分別正比于對(duì)數(shù)平均溫差(LMTD)[10-11]，即

Q1=UHAH(LMTD)Ht1=CH(TH1-TH2)t1=CHεH(TH1-T1)t1,

(3)

Q2=ULAL(LMTD)Lt2=CL(TL2-TL1)t2=CLεL(T2-TL1)t2,

(4)

對(duì)于實(shí)際斯特林熱機(jī)，不可避免地存在熱損，設(shè)從高溫?zé)嵩吹降蜏責(zé)嵩吹臒釗p正比于兩熱源間的溫差及循環(huán)周期[8]，即有

QL=k0(THM-TLM)τ,

(5)

式中k0為熱漏系數(shù)，而THM=(TH1+TH2)/2和TLM=(TL1+TL2)/2分別為高溫?zé)嵩春偷蜏責(zé)嵩吹钠骄鶞囟龋訛檠h(huán)周期。

結(jié)合式(3)—(5)，可得

QL=[k01+k02(εHT1-εLT2)]τ,

(6)

式中k01=k0[(2-εH)TH1-(2-εL)TL1]/2，k02=k0/2。

注意到回?zé)崞饕啻嬖诨責(zé)釗p失，設(shè)回?zé)崞鞯男蕿棣臨，則每循環(huán)兩回?zé)徇^(guò)程的回?zé)釗p失為[6]

ΔQR=nC(1-εR)(T1-T2),

(7)

式中C為循環(huán)工質(zhì)的摩爾熱容。

此外，由于循環(huán)工質(zhì)與回?zé)崞髦g存在有限速率熱交換，回?zé)徇^(guò)程也需要一定的時(shí)間，設(shè)回?zé)徇^(guò)程的總時(shí)間與兩個(gè)等溫過(guò)程的總時(shí)間成正比，則循環(huán)周期為

τ=(1+γ)(t1+t2),

(8)

式中γ為與時(shí)間無(wú)關(guān)的比例常數(shù)。

進(jìn)一步地，不容忽視工質(zhì)在循環(huán)過(guò)程中其自身存在的不可逆性。例如，由于循環(huán)工質(zhì)的渦流和摩擦等，這些不可逆因素定將有新的熵產(chǎn)。由熱力學(xué)第二定律，對(duì)于內(nèi)不可逆循環(huán)，有

Q1/T1-Q2/T2≤0。

(9)

引入內(nèi)不可逆因子來(lái)定量描述工質(zhì)內(nèi)部不可逆性，即

(10)

其中I≥1，當(dāng)內(nèi)不可逆因子I=1時(shí)，所考慮的循環(huán)為內(nèi)可逆斯特林熱機(jī)循環(huán)。

綜合考慮上述不可逆性后，工質(zhì)每循環(huán)從高溫?zé)嵩次蘸头沤o低溫?zé)嵩吹臒崃繛?/p>

QH=Q1+ΔQR+QL,

(11)

QC=Q2+ΔQR+QL。

(12)

2 輸出功率與效率的數(shù)學(xué)表達(dá)式

輸出功率和效率是熱機(jī)的兩個(gè)重要性能參數(shù)，根據(jù)(1)—(12)式，可得不可逆斯特林熱機(jī)循環(huán)的輸出功率和效率表達(dá)式分別為

(13)

η=W/QH=

(14)

式中x=T1/T2為兩等溫過(guò)程的溫度比，kH=CHεH，kL=CLεL，a=C(1-εR)/[Rln(V3/V4)]。

應(yīng)用(13)式和極值條件?P/?T2=0，可得當(dāng)

(15)

時(shí)，輸出功率達(dá)極大值。

將(15)式代入(13)和(14)式，可以得到輸出功率和效率的優(yōu)化數(shù)學(xué)表達(dá)式分別為

P=K(x-I)(TH1-TL1x)[(1+γ)x]-1,

(16)

(17)

基于(16)和(17)式，可詳細(xì)分析和討論不可逆斯特林熱機(jī)的主要熱力學(xué)性能參數(shù)隨回?zé)嵝?、熱漏損失系數(shù)、內(nèi)不可逆因子及高、低溫端熱交換有效因子等的定量變化。

3 討論

3.1 輸出功率和效率的界限

取εH=εL，CH=CL=1 kW/K，TH1=1200 K，TL1=300 K，C/R=2.5，γ=0.9，V3/V4=2，由(16)和(17)式可得輸出功率隨溫度比P-x、效率隨溫度比η-x、輸出功率和效率P-η曲線如圖2—圖7所示。從圖2和圖3可看出，隨著x的變化，輸出功率和效率都存在一極大值。例如，當(dāng)εH=εL=0.9，εR=0.95，k0=0.002 5 kW/K和I=1.05時(shí)，最大輸出功率Pmax位于x=xP=2.05，而最大效率ηmax位于x=xη=3.34。可見(jiàn)，輸出功率和效率達(dá)到最大值時(shí)的溫度比x不同，即最大輸出功率和最大效率分別位于熱機(jī)循環(huán)的兩個(gè)不同狀態(tài)點(diǎn)。圖4—圖7中的Pmax、ηm、ηmax和Pm是不可逆斯特林熱機(jī)的4個(gè)重要的性能參數(shù)界限，Pmax和ηmax分別確定了不可逆斯特林熱機(jī)輸出功率和效率的高限，而Pm和ηm分別確定了優(yōu)化輸出功率和優(yōu)化效率所允許的低限值。這是因?yàn)楫?dāng)輸出功率低于Pm或效率低于ηm時(shí)，從圖4—圖7可發(fā)現(xiàn)輸出功率隨著效率的增大而增大，它們均未達(dá)到最優(yōu)值，這樣的工作狀態(tài)不理想。因此，不可逆斯特林熱機(jī)的最優(yōu)工作區(qū)域應(yīng)滿足Pm≤P≤Pmax和ηm≤η≤ηmax，即位于圖4—圖7中曲線的負(fù)斜率部分。

εH=εL=0.9，εR=0.95，k0=0.002 5 kW/K εH=εL=0.9，εR=0.95，k0=0.002 5 kW/K圖2 P-x曲線 圖3 η-x曲線

εH=εL=0.9，εR=0.95，k0=0.002 5 kW/K I=1.05，εH=εL=0.9,k0=0.002 5 kW/K 圖4 內(nèi)不可逆因子對(duì)P-η曲線的影響 圖5 回?zé)崞餍蕦?duì)P-η曲線的影響

I=1.05，εH=εL=0.9,εR=0.95 I=1.05，εR=0.95,k0=0.002 5 kW/K 圖6 熱漏系數(shù)對(duì)P-η曲線的影響 圖7 高、低溫端熱交換有效因子 對(duì)P-η曲線的影響

3.2 內(nèi)不可逆因子對(duì)輸出功率和效率的影響

從圖4可以看出，內(nèi)不可逆因子對(duì)輸出功率和效率有顯著影響，隨著內(nèi)不可逆因子的增大，輸出功率和效率都明顯減小。表1給出了內(nèi)不可逆因子I對(duì)熱機(jī)4個(gè)重要性能參數(shù)的影響。

表1 內(nèi)不可逆因子對(duì)熱機(jī)4個(gè)重要性能參數(shù)的影響

由表1可知，隨著內(nèi)不可逆因子I的增大，4個(gè)重要性能參數(shù)Pmax、ηm、ηmax和Pm皆隨之減小。表1中的數(shù)據(jù)定量地表明了內(nèi)不可逆因子I對(duì)不可逆斯特林熱機(jī)循環(huán)性能的影響程度。例如，當(dāng)εH=εL=0.9，εR=0.95和k0=0.002 5 kW/K時(shí)，內(nèi)不可逆因子I從1.05增大到1.1，最大輸出功率Pmax從32.97 kW減小到30.63 kW，相應(yīng)的效率ηm從0.434 2減小到0.420 4；而最大效率ηmax則從0.559 8減小到0.543 8，最大效率所對(duì)應(yīng)的功率Pm從15.62 kW減小到14.61 kW。

3.3 回?zé)崞餍蕦?duì)輸出功率和效率的影響

回?zé)崞餍师臨是影響不可逆斯特林熱機(jī)循環(huán)性能的另一個(gè)重要參數(shù)，有必要對(duì)它加以分析討論。從圖5可知，當(dāng)回?zé)崞餍师臨增大，即回?zé)釗p失減少時(shí)，最大輸出功率Pmax保持不變，而最大輸出功率所對(duì)應(yīng)的效率ηm則增大，最大效率ηmax增大，相應(yīng)的輸出功率Pm也略微增大。表2給出回?zé)崞餍师臨對(duì)熱機(jī)4個(gè)重要性能參數(shù)的影響。

表2 回?zé)崞餍蕦?duì)熱機(jī)4個(gè)重要性能參數(shù)的影響

表2的數(shù)據(jù)表明，當(dāng)回?zé)崞餍师臨從0.9增大到0.95時(shí)，Pmax恒等于32.97 kW，ηm、ηmax、Pm則有不同程度的增大，增加幅度分別為8.63%、10.83%、0.28%，從這些數(shù)據(jù)可知，回?zé)崞餍师臨對(duì)效率的影響要大于對(duì)輸出功率的影響?；?zé)崞魇撬固亓譄釞C(jī)中的重要組成部分，其效率的高低不同程度地直接影響熱機(jī)的性能，可見(jiàn)，工程師在設(shè)計(jì)斯特林熱機(jī)時(shí)，應(yīng)盡可能在提高回?zé)崞鞯男史矫嫱诰驖摿Α?/p>

3.4 熱漏對(duì)輸出功率和效率的影響

圖6清楚地表明了熱漏對(duì)熱機(jī)輸出功率和效率的影響。當(dāng)熱漏系數(shù)不為零時(shí)，輸出功率與效率間的優(yōu)化關(guān)系曲線是扭葉形的曲線，存在一個(gè)輸出功率的極大值和一個(gè)效率的極大值。隨著高、低溫?zé)嵩撮g熱漏系數(shù)k0的增大，最大輸出功率Pmax不變，其對(duì)應(yīng)的效率ηm減小，最大效率ηmax減小，相應(yīng)的輸出功率Pm增大。例如，在I=1.05、εH=εL=0.9、εR=0.95的條件下，當(dāng)k0=0.002 5 kW/K時(shí)，Pmax=32.97 kW，ηm=0.434 2，ηmax=0.559 8，Pm=15.62 kW；而當(dāng)k0=0.005 kW/K時(shí)，Pmax=32.97 kW，ηm=0.424 3，ηmax=0.543 8，Pm=19.58 kW。特別是當(dāng)熱漏系數(shù)趨于零時(shí)，輸出功率與效率間的優(yōu)化關(guān)系曲線為類似拋物線的曲線，如圖6中虛線所示。它明顯不同于熱漏系數(shù)不為零時(shí)的優(yōu)化關(guān)系曲線，只存在一個(gè)輸出功率的極大值，不存在效率的極大值。在其他參數(shù)相同的情況下，這時(shí)的最大輸出功率也為32.97 kW，相應(yīng)的效率為0.444 5。進(jìn)一步分析可知，熱漏系數(shù)的增大不僅使熱機(jī)性能下降，而且使熱機(jī)的優(yōu)化工作區(qū)域變窄。例如，當(dāng)k0=0.002 5 kW/K時(shí)，Pmax-Pm= 17.35 kW，ηmax-ηm=0.125 6；而當(dāng)k0=0.005 kW/K時(shí)，Pmax-Pm=13.39 kW，ηmax-ηm=0.101 0。

3.5 高、低溫端熱交換有效因子對(duì)輸出功率和效率的影響

從圖7可明顯看出，高、低溫端熱交換有效因子εH、εL對(duì)輸出功率和效率的定量影響。在其他參數(shù)相同的情況下，隨著εH和εL的增大，輸出功率和效率也不同程度地增大，表3數(shù)值描述了這種變化。從表3可知，在I=1.05，εR=0.95和k0=0.002 5 kW/K的條件下，當(dāng)εH和εL從0.8增大到0.9 時(shí)，Pmax、ηm、ηmax、Pm這4個(gè)重要性能參數(shù)的增長(zhǎng)幅度分別為12.50%、0.37%、0.97%、8.03%?？梢?jiàn)，高、低溫端熱交換有效因子εH、εL對(duì)輸出功率的影響明顯大于對(duì)效率的影響。

表3 高、低溫端熱交換有效因子對(duì)熱機(jī)4個(gè)重要性能參數(shù)的影響

3.6 特例

當(dāng)CH,CL→∞，I=1，k0=0時(shí)，(16)和(17)式可分別簡(jiǎn)化為

P=K1(x-1)(TH1-TL1x)[(1+γ)x]-1,

(18)

(19)

(20)

上式即為工作在兩恒溫?zé)嵩撮g的斯特林熱機(jī)循環(huán)的基本優(yōu)化關(guān)系,此時(shí)循環(huán)中僅考慮熱阻和回?zé)釗p失這兩個(gè)不可逆因素，由(20)式所得的結(jié)論與文獻(xiàn)[5]的主要結(jié)論一致。

4 結(jié)語(yǔ)

本文建立不可逆斯特林熱機(jī)新模型，模型不僅考慮了高、低溫有限熱容量熱源、工質(zhì)與兩熱源間的熱阻、回?zé)崞鞯幕責(zé)釗p失和工質(zhì)內(nèi)部不可逆性，而且還考慮了兩熱源間的熱漏。所得的數(shù)學(xué)表達(dá)式、性能曲線和具體數(shù)值揭示了工質(zhì)內(nèi)不可逆性、回?zé)崞鞯幕責(zé)釗p失、兩有限熱源間熱漏及高、低溫端熱交換有效因子對(duì)斯特林熱機(jī)循環(huán)輸出功率和效率的定量影響。結(jié)果表明，熱機(jī)輸出功率和效率隨內(nèi)不可逆因子的增大而減?。粺崧┎粸榱銜r(shí)，輸出功率與效率間的特性曲線為通過(guò)零點(diǎn)的閉合曲線，熱漏越大，熱機(jī)的優(yōu)化工作區(qū)域越窄；隨著回?zé)崞餍实脑龃?，最大輸出功率不變，而其?個(gè)性能參數(shù)界限值隨之增大；高、低溫端熱交換有效因子越大，輸出功率和效率不同程度地增大；回?zé)釗p失對(duì)效率影響大，而高、低溫端熱交換有效因子對(duì)輸出功率影響大。綜上所述，盡可能減小內(nèi)不可逆因子、熱漏和回?zé)釗p失，提高高、低溫端熱交換有效因子對(duì)不可逆斯特林熱機(jī)循環(huán)性能是大有益處的。