龍鑫林，嚴(yán)康為，魯軍勇，柳應(yīng)全，周 仁

(海軍工程大學(xué) 艦船綜合電力技術(shù)國防科技重點實驗室， 湖北 武漢 430033)

電磁發(fā)射技術(shù)作為一種利用電磁力加速物體的先進(jìn)發(fā)射技術(shù)，因具備發(fā)射動能大、發(fā)射速度快、發(fā)射效率高、可控性強(qiáng)等優(yōu)勢，廣泛應(yīng)用于飛機(jī)彈射、武器發(fā)射、火箭推射等領(lǐng)域[1-2]。為保障發(fā)射裝置工作時的頻繁大功率脈沖電能供應(yīng)，常在電網(wǎng)與用電設(shè)備之間增加鋰離子電池儲能環(huán)節(jié)，發(fā)揮能量緩沖以及功率放大的作用[3-4]。

用于電磁發(fā)射的電池儲能系統(tǒng)需要數(shù)千節(jié)電池的串并聯(lián)使用，以滿足發(fā)射裝置的電壓、電流需求。在大量連接件以及電池自身寄生參數(shù)的作用下，電池組在充放電瞬態(tài)過程中會呈現(xiàn)出明顯的電感特性。如果在系統(tǒng)設(shè)計時對該雜散電感的取值不當(dāng)，會影響電池組放電時的能量傳輸速率[5]，并造成絕緣柵雙極型晶體管(Insulated Gate Bipolar Transistor, IGBT)關(guān)斷過程中電壓應(yīng)力過大[6]、保護(hù)裝置的分?jǐn)鄷r間過長[7]等問題，進(jìn)而影響發(fā)射指標(biāo)和裝置壽命，嚴(yán)重時甚至導(dǎo)致器件失效以及火災(zāi)的發(fā)生。因此，準(zhǔn)確提取電池組雜散電感，對電磁發(fā)射電池儲能系統(tǒng)的精確設(shè)計具有非常重要的意義。

近年來關(guān)于雜散電感的提取方法已有相關(guān)的研究，多集中于電力電子領(lǐng)域的母排及換流回路雜散電感上，根據(jù)提取的方式可分為計算法、信號分析法及瞬態(tài)波形分析法三類。計算法通過構(gòu)造解析式[8]、三維有限元[9-10]、部分單元等效電路[11-12]等途徑對待測物體完成精細(xì)化建模和電感估算，難以運用于結(jié)構(gòu)龐大、材料組成復(fù)雜的電池組。信號分析法需要對待測對象施加時域[13]或頻域[14-15]信號，適合測量無源或電壓較低的小型有源設(shè)備，對端電壓數(shù)百伏甚至數(shù)千伏的大容量電池組并不適用。瞬態(tài)波形分析法利用電感的伏安特性，通過分析包含待測對象的電路在開通與關(guān)斷的瞬態(tài)過程中的電壓、電流波形，從中得到所需的電感值[16]，是目前針對電池組的參數(shù)提取非常有效的方式。

文獻(xiàn)[17]利用回路導(dǎo)通瞬間的電壓跌落除以電流變化率，實現(xiàn)了鉛酸電池組的雜散電感提取，但其分析過程中需要求解瞬態(tài)電流變化率這一微分量，數(shù)值計算時受噪聲信號影響難免帶來較大的誤差。文獻(xiàn)[18]運用電感的伏安關(guān)系積分式，從而避免了微分運算，提高了參數(shù)提取的準(zhǔn)確性。文獻(xiàn)[19]在積分法的基礎(chǔ)上引入了雜散電阻和測量偏置兩個影響因素，進(jìn)一步提高了積分法的準(zhǔn)確程度。文獻(xiàn)[20]提出了一種開關(guān)振蕩頻率法，該方法需要在測試電路特定位置插入分立電容，具有一定的局限性。

本文針對電磁發(fā)射電池組雜散電感需要精確提取的要求，首先建模分析了電池組脈沖放電的過程，尋找到適合雜散電感提取的階段，隨后提出采用滑動離散傅里葉變換(Sliding Discrete Fourier Transform, SDFT)微分算法結(jié)合多新息最小二乘(Multi-Innovation recursive Least Squares, MILS)算法的方式提取雜散電感。最后，利用電池組的脈沖放電測試波形對該方法完成驗證，并與傳統(tǒng)方法進(jìn)行比較，證明了該方法的有效性與準(zhǔn)確性。

1 電池組脈沖放電過程的建模與分析

大容量鋰離子電池組的電池數(shù)目龐大，且每節(jié)電池的端電壓與放電電流呈現(xiàn)出復(fù)雜的時變非線性關(guān)系，難以實現(xiàn)每塊電池的精細(xì)建模。在僅需了解電池組整體電路特性的前提下，可借鑒單體電池分析常用的電路模型思路，并針對電池成組后的狀態(tài)變化進(jìn)行擴(kuò)展。圖1為包含了電池組電路模型的脈沖放電測試電路示意圖，由鋰離子電池組、放電開關(guān)及測試負(fù)載三部分組成，其中電池組模型采用傳統(tǒng)的二階RC電路模型[21-22]與電感Lo串聯(lián)的形式。

圖1 測試電路示意圖Fig.1 Schematic circuit of testing

圖1中：Uocv為鋰離子電池組的開路電壓(Open Circuit Voltage, OCV)，隨各節(jié)電池荷電狀態(tài)(State Of Charge, SOC)的改變而變化；Ro為歐姆內(nèi)阻，表征電池組端電壓U的變化量與放電電流I呈現(xiàn)歐姆線性相關(guān)的成分；Lo為電池組雜散電感，用于表示電池組輸出呈現(xiàn)出的電感特性；Rp、Cp并聯(lián)組成電化學(xué)極化項，對應(yīng)的電池組端電壓受每節(jié)電池電荷轉(zhuǎn)移步驟的影響，Rd、Cd并聯(lián)組成濃差極化項，對應(yīng)的電池組端電壓受每節(jié)電池的鋰離子液相及固相擴(kuò)散過程的影響；Re、Le、D均為測試負(fù)載參數(shù)，Rs、Cs為開關(guān)S緩沖電路的吸收電阻和吸收電容。

開關(guān)S閉合后電池組端電壓U及放電電流I的波形示意圖如圖2所示。其中，U0-、U0+分別為U在t0時刻之前及之后的值，U1、U2分別為U在t1、t2時刻的值，I0、I1、I2分別為I在t0、t1、t2時刻的值。

圖2 脈沖放電波形示意圖Fig.2 Sketch of pulse discharge waveforms

根據(jù)圖2波形的特點，可將電池組脈沖放電過程分為三個階段：階段Ⅰ(t0～t1)期間，電池內(nèi)部的極化過程還未開始，此時電池組等效電路可視為如圖3(a)所示的電壓源、電阻、電感串聯(lián)的形式，放電電流從I0逐漸上升至I1，端電壓在內(nèi)外電感的分壓作用下先跌落至U0+后逐漸回升到U1。階段Ⅱ(t1～t2)期間，受電極反應(yīng)速率的限制，電池負(fù)極的電子逐漸流失、正極的電子不斷集聚，導(dǎo)致端電壓逐漸下降，各節(jié)電池進(jìn)入電化學(xué)極化狀態(tài)，此時電池組等效電路如圖3(b)所示，由于放電電流下降緩慢，此階段電感分壓可忽略不計。階段Ⅲ(t2之后)期間，鋰離子在電解液及電極材料內(nèi)部的緩慢擴(kuò)散過程成為遏制電池放電的控制步驟，端電壓從U2開始進(jìn)一步下降，電池處于濃差極化狀態(tài)，此時電池組等效電路如圖3(c)所示，此階段放電電流同樣下降緩慢，電感分壓可忽略不計。

(a) 階段Ⅰ(a) Phase Ⅰ

(b) 階段Ⅱ(b) Phase Ⅱ

(c) 階段Ⅲ(c) Phase Ⅲ圖3 脈沖放電過程等效電路Fig.3 Equivalent circuit of pulse discharge process

從以上三個階段的分析中可看出，階段Ⅰ的電池組放電電流變化明顯且端電壓不受電池極化作用的影響，適合從中提取雜散電感。此外，由于階段Ⅰ的持續(xù)時間為百微秒至毫秒量級，在此期間各節(jié)電池的SOC幾乎未發(fā)生變化，因此開路電壓Uocv可視為恒定值，根據(jù)U0-確定。由此，可得階段Ⅰ的電池組端電壓U與放電電流I的關(guān)系式：

(1)

2 基于瞬態(tài)波形分析的雜散電感提取

2.1 傳統(tǒng)雜散電感提取方法

2.1.1 變分法

開關(guān)S閉合瞬間，電池組初始放電電流I0可近似為0，歐姆內(nèi)阻Ro幾乎不分壓，但初始電流變化率dI0/dt很大，因此電池組端電壓的瞬間跌落完全由雜散電感Lo引起，可據(jù)此得到Lo的微分計算公式：

(2)

由于該公式存在微分量dI0/dt，實際計算過程中針對離散數(shù)據(jù)需要將其近似為差分運算ΔI0/Δt，并選擇合適的Δt，以降低高頻噪聲對計算結(jié)果的影響。由于過長或過短的Δt均會嚴(yán)重影響計算結(jié)果，因此該方法往往需要多次迭代才能得到較為理想的電感值。

2.1.2 積分法

為避免高頻噪聲的影響，積分法利用電感的伏安關(guān)系積分式，對式(1)在整個階段Ⅰ進(jìn)行積分，從而得到雜散電感Lo的積分計算公式：

(3)

由于t1時刻放電電流的變化率dI1/dt較小，此時電感Lo的分壓可忽略不計，因此式(3)中的歐姆內(nèi)阻Ro可近似為：

(4)

積分法相比變分法更加充分地運用了階段Ⅰ的電壓、電流數(shù)據(jù)，積分過程部分消除了高頻紋波的干擾，但計算過程仍然需要借助I0、I1、U1這些瞬態(tài)值，因此當(dāng)電路噪聲情況較為復(fù)雜時，參數(shù)提取結(jié)果依然會受到較大的影響。

2.2 SDFT微分結(jié)合MILS的雜散電感提取

從以上兩種分析方法中可看出，瞬態(tài)波形分析法的難點在于如何充分地運用波形數(shù)據(jù)以及如何避免微分量擴(kuò)大噪聲干擾。針對波形數(shù)據(jù)的充分運用，可引入遞推最小二乘(Recursive Least Squares, RLS)算法，基于最小二乘原理從而降低噪聲信號對求解結(jié)果的影響。MILS算法作為RLS算法的優(yōu)化形式，具有更快的收斂速度[23]，可以保證當(dāng)階段Ⅰ采集的數(shù)據(jù)量較少時仍能實現(xiàn)辨識結(jié)果的充分收斂，因此更適合用于雜散電感的提取。

2.2.1 SDFT微分算法

DFT求解數(shù)值微分的基本思想是利用離散傅里葉變換將測量得到的時域信號轉(zhuǎn)換為頻域信號，在頻域下完成微分和濾波的操作，再將微分結(jié)果反變換回時域，從而有效降低噪聲信號對微分結(jié)果的干擾[24-25]。由于DFT求解數(shù)值微分的過程涉及傅里葉變換及其逆變換，時間復(fù)雜度高達(dá)o(N3)，直接計算耗時極長，因此本文通過添加滑動窗[26-27]以及固化過濾時間常數(shù)的途徑，將這一過程更改為遞推運算，大大降低了運算量。

給定一段采樣間隔為T的離散信號序列{xm}，以第m位置處的數(shù)據(jù)為中心添加寬度D= 2N+1的矩形窗，即提取{xm-N,xm-N+1, … ,xm, … ,xm+N-1,xm+N}共D個數(shù)據(jù)作為第m位置的樣本序列，則通過離散傅里葉變換可將該時域序列轉(zhuǎn)換為頻域形式Xk(k= 0, … ,D-1)：

(5)

其中，W=exp(-j2πD-1)。

(6)

(7)

其中：

τ為過濾時間常數(shù)。

從前期各地的實踐看，對PPP項目流程執(zhí)行各不相同，存在許多不按照規(guī)范要求執(zhí)行的情況。自2017年以來，相關(guān)部門相繼出臺各項政策，對PPP項目進(jìn)一步規(guī)范，5大環(huán)節(jié)、19個節(jié)點仍為判斷PPP項目是否合規(guī)的重要依據(jù)。

(8)

整理式(5)～(8)，得到利用DFT微分算法求解信號xm數(shù)值微分的公式：

(9)

觀察式(9)可知，DFT微分算法需要二重求和才能計算離散信號在第m位置的數(shù)值微分，為提高計算速度，需要對其進(jìn)行簡化，并且更改為遞推形式。

由式(6)及DFT的共軛對稱性可知:

(10)

其中，k= 1, … ,D-1。

令τ=D，結(jié)合式(7)、式(10)可得：

(11)

根據(jù)式(8)、式(11)以及DFT的隱含周期性可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)信號的最高有效頻率分量fmax≤1/(20DT)，即D≤1/(20fmaxT)時，信號xm的數(shù)值微分近似滿足：

(12)

考慮到

(13)

因而，式(12)可簡化為：

(14)

其中，Re表示實部σ=D-1W-N。

(15)

(16)

(17)

其中：α=W-1，β1=T-1WD(W-1-1)，β2=T-1(W-1-1)。

整理以上推導(dǎo)結(jié)果，可總結(jié)SDFT微分算法求解長度為L、采樣間隔為T的離散信號序列{xm}的數(shù)值微分的具體流程如圖4所示。

圖4 SDFT微分算法流程圖Fig.4 Flow chart of SDFT differential algorithm

2.2.2 MILS提取雜散電感

傳統(tǒng)RLS算法的遞推過程如下：

(18)

其中，Kk為增益向量，Pk為協(xié)方差矩陣，λ為遺忘因子，I為單位矩陣。

MILS算法是基于多新息理論，在傳統(tǒng)的RLS算法的基礎(chǔ)上將單一新息ek擴(kuò)展為包含歷史數(shù)據(jù)的多新息Ek，從而更充分地利用新息數(shù)據(jù)，提高了收斂速度，進(jìn)而在數(shù)據(jù)量不充分的情況下仍能保證較高的參數(shù)提取精度。

MILS算法求取多新息的公式為：

(19)

其中，p為新息長度。

將式(18)中的單一新息ek替換為多新息Ek，即可得MILS算法的遞推過程為：

(20)

針對雜散電感的提取，將式(1)離散化，即：

(21)

3 測試過程及提取結(jié)果

3.1 電池組脈沖放電測試

為驗證雜散電感提取方法的準(zhǔn)確性，搭建如圖1所示的電池組脈沖放電測試電路。其中，鋰離子電池組由額定容量50 Ah、開路電壓約3.3 V、最大安全放電電流250 A的單節(jié)電池以8并100串的方式連接而成，成組后的端電壓約330 V，最大安全放電電流2 000 A。測試負(fù)載為1 MW水冷電阻反并聯(lián)續(xù)流二極管，雜散電感Le小于30 μH，可通過增加內(nèi)部并聯(lián)數(shù)的方式改變電阻值，從而實現(xiàn)電池組的放電電流調(diào)節(jié)。放電開關(guān)采用2個3 300 V/1 200 A的IGBT模塊并聯(lián)，吸收阻容Rs、Cs分別為10 Ω、15 μF。電壓測量采用高壓差分探頭(HVD3605)，帶寬為100 MHz，精度為±1%；電流測量采用鉗形傳感器(CT7642)，帶寬為10 kHz，精度為±0.5%；由于電流測量相比電壓測量有較大延遲，因此需要將電流波形前移固定時長(50 μs)，以確保電壓、電流波形變化的起始點基本一致。

在最大安全放電電流(2 000 A)以下對電池組進(jìn)行脈沖放電測試，圖5為200～2 000 A共10個放電等級下階段Ⅰ的端電壓、放電電流測試波形，可看出，隨著放電等級的依次提升，端電壓跌落最低值U0+依次下降，其原因是為滿足較高電流等級的放電輸出，測試負(fù)載內(nèi)部并聯(lián)數(shù)逐漸增多，負(fù)載的等效雜散電感Le因此逐漸減少，在端電壓跌落過程中相比電池組內(nèi)部電感Lo的分壓減小，最終造成了U0+的下降。

(a) 端電壓(a) Terminal voltage

(b) 放電電流(b) Discharge current圖5 階段Ⅰ的測試波形Fig.5 Testing waveforms of stage Ⅰ

3.2 雜散電感提取過程及結(jié)果

圖6 不同滑動窗寬度下的電流變化率曲線Fig.6 Curves of current change rate under different sliding window width

利用SDFT微分算法計算放電電流變化率，以2 000 A放電等級為例，圖6所示為不同滑動窗寬度D下的求解結(jié)果，其中采樣間隔T=0.1 μs。當(dāng)D較小時，由SDFT得到的頻譜較為稀疏，部分干擾噪聲存在于基波頻率以下，造成求解的電流變化率曲線仍有較大波動。隨著D的增大，頻譜變得密集，大部分噪聲被有效地濾除，最終求解結(jié)果也變得更加平滑。由于D的提高會造成初始中心位置N向后移動，也即0～N位置處的電流變化率無法有效地求解，綜合考慮后選取D=501。圖7為運用SDFT微分算法求解的10個放電等級下的電流變化率曲線，可看出，由于負(fù)載電感值的降低，大電流下的初始電流變化率也會明顯增大。

圖7 不同放電電流等級下的電流變化率曲線Fig.7 Curves of current change rate under different discharge current levels

將電流變化率曲線與端電壓、放電電流波形代入MILS算法中提取電池組雜散電感，以階段Ⅰ持續(xù)時間最短的200 A放電等級為例(階段Ⅰ持續(xù)時間384.5 μs，共采樣3 845個數(shù)據(jù)點)，圖8為不同新息長度p下的雜散電感參數(shù)收斂曲線。當(dāng)p=1，即采用傳統(tǒng)的RLS算法時，由于收斂速度較慢，因此直到階段Ⅰ的末期參數(shù)仍未充分收斂。隨著p的增加，階段Ⅰ的收斂速度明顯加快。考慮到過長的新息長度p會增加較多的運算時間，此處選擇p=10。

圖8 雜散電感參數(shù)收斂曲線Fig.8 Parameter convergence curves of the stray inductance

針對200～2 000 A共10個放電等級的電池組脈沖放電波形，分別運用變分法、積分法、SDFT微分結(jié)合RLS以及SDFT微分結(jié)合MILS四種方法計算雜散電感，計算結(jié)果如表1所示。

表1 雜散電感計算結(jié)果

3.3 計算結(jié)果分析

圖9為根據(jù)表1繪制的不同放電電流下雜散電感的提取結(jié)果，可看出，傳統(tǒng)方法在不同放電電流下提取的雜散電感值波動較大，即使去除明顯異常的200 A、400 A數(shù)據(jù)，變分法和積分法的剩余8次計算結(jié)果仍分別有8.9%、3.0%的相對標(biāo)準(zhǔn)偏差。通過SDFT微分結(jié)合RLS的方式可得到較為一致的雜散電感值，但由于低電流下階段Ⅰ的持續(xù)時間較短，波形數(shù)據(jù)量較少(<5 000點)，因此參數(shù)收斂不夠充分，依然有2.7%的偏差。而SDFT微分結(jié)合MILS由于參數(shù)收斂充分，因此提取結(jié)果在不同放電電流下呈現(xiàn)出很好的一致性，10次計算結(jié)果的算術(shù)平均值為4.90 μH，相對標(biāo)準(zhǔn)偏差為1.6%。

圖9 雜散電感變化曲線Fig.9 Variation curves of stray inductance

圖10為對應(yīng)的歐姆內(nèi)阻提取情況。其中，積分法10次提取結(jié)果的算數(shù)平均值為18.93 mΩ，相對標(biāo)準(zhǔn)偏差為1.0%；SDFT微分結(jié)合RLS的提取結(jié)果由于參數(shù)收斂不充分，因此相對積分法的提取結(jié)果整體偏大，且10次提取結(jié)果有3.0%的偏差；而SDFT微分結(jié)合MILS的10次提取結(jié)果算數(shù)平均值為18.99 mΩ，與積分法相當(dāng)，相對標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.76%，略好于積分法。

圖10 歐姆內(nèi)阻變化曲線Fig.10 Variation curves of Ohmic resistance

對于傳統(tǒng)方法在低電流下有很大偏差的原因，經(jīng)分析，是電池組的脈沖放電受外部電路雜散參數(shù)的影響，在開關(guān)導(dǎo)通時會出現(xiàn)如圖11所示的波動，從而造成變分法計算所需的初始電流變化率dI0/dt以及積分法計算所需的初始放電電流值I0受到較大干擾。

圖11 低電流下階段Ⅰ的放電電流波形Fig.11 Discharge current waveform of stage Ⅰ at low current

4 結(jié)論

本文以電磁發(fā)射電池組為研究對象，對鋰離子電池組的脈沖放電過程進(jìn)行建模分析，采用SDFT微分算法結(jié)合MILS算法的方式實現(xiàn)了電池組雜散電感的提取，并得出以下結(jié)論：

1)本文方法能充分地利用瞬態(tài)波形數(shù)據(jù)，從而有效地避免了受噪聲干擾的瞬態(tài)值對提取結(jié)果造成影響。實驗結(jié)果證明，本文方法在不同放電電流下的雜散電感提取結(jié)果呈現(xiàn)出很好的一致性，即使在電流較低時仍能保證雜散電感的準(zhǔn)確提取。

2)在電池組脈沖放電的初期，放電電流快速上升，伴隨著端電壓的瞬間跌落和回升，由于該階段電感特性明顯且電池極化作用還未顯現(xiàn)，因此適合雜散電感的提取。