李 根

(武漢理工大學 機電工程學院，湖北 武漢 430070)

鉛酸蓄電池是化學電池中市場份額最大，使用范圍最廣泛的電池[1]。事實上，超過80%的鉛蓄電池只有一到三年的壽命[2]。據不完全統計，國內每年有大約300到400萬噸的鉛酸蓄電池報廢，并且每年增長率維持在15%左右[3-4]。通常，廢舊鉛蓄電池包含大約70%的鉛板、20%的酸液，其余的是塑料[5]。通過對鉛酸蓄電池的回收處理，可以延長電池的生命周期，提高鉛等資源的利用率，提高電池企業(yè)經濟效益，保護環(huán)境。庫存管理是廢舊電池回收處理過程中的重要環(huán)節(jié)，優(yōu)秀的庫存管理策略既可以保障廢舊電池正?；厥?，還能降低處理成本。

國內外很多學者針對逆向物流的庫存管理問題進行了大量的研究。Alamri[6]統一考慮新產品和再制造產品庫存，建立了包含3種庫存的庫存模型。Corum等[7]針對混合制造和再制造庫存系統進行研究，對比4種不同庫存控制策略情況下庫存成本的變化。ZHU等[8]研究逆向物流選擇不同時需求出現不同的定值情境下的庫存管理模型。劉志峰等[9]，針對廢舊家電產品，建立基于PULL策略的逆向物流庫存控制模型。

在鉛蓄電池逆向物流回收方面，國內外學者大多數研究回收網絡的規(guī)劃構建。Subulan等[10]基于模糊條件，建立了一個多目標，多層次和針對多個產品的MINLP(mixed-integer nonilinear programming)模型。Garg等[11]依據不同的分配方法，建立了模擬印度北部地區(qū)的廢舊鉛蓄電池的回收正逆雙向物流模型。郭雄[12]根據鉛蓄電池回收流程和回收模式，構建鉛蓄電池回收網絡，建立逆向物流回收中心選址模型。

綜上所述，國內外學者在鉛蓄電池回收問題上多是研究電池回收網絡布局，較少研究電池回收企業(yè)的庫存問題。筆者以獲得最小平均總成本為目標，根據PULL策略，以市場需求率為主要因素，建立多種因素影響的廢舊鉛酸電池逆向物流庫存模型，具體研究具有再生鉛功能的鉛酸電池生產企業(yè)回收處理過程中的庫存問題。結合具體案例，求解模型的最小平均成本和周期，同時分析主要參數對目標函數的影響。

1 模型建立

1.1 PULL策略概述

依據逆向物流再利用方式的分類方式，把廢舊鉛蓄電池的回收處理過程分為再利用和再生處理過程。根據回收的電池來源，分為廢棄回收和其他方式(退貨等)。再利用處理過程指回收的小部分電池經過簡單修復就能夠恢復電池功能，重新進入市場，修復工藝相對簡單，耗時比較短；再生過程是指為了獲得再生鉛和塑料等材料，并對硫酸合理處理進行的拆解和制造新電池過程。在工廠建立3個庫存點：電池回收品庫存、再生材料庫存和鉛酸電池成品庫存。電池回收到工廠后，首先進行質量檢驗，然后分為不同種類進入電池回收庫存，等待再利用和再生處理。經過處理并且通過檢驗的電池進入鉛酸電池成品庫存，準備進入市場。圖1廢舊鉛酸蓄電池再利用/再生工藝流程。

圖1 廢舊鉛酸蓄電池再利用/再生工藝流程

根據PULL策略，分析廢舊鉛蓄電池到達工廠后存儲、再利用和再生過程。把工廠回收的電池數量作為數據輸入。市場對成品鉛蓄電池的周期性需求來推動模型的運行。工廠接收到市場周期性訂貨指令后，分類處理回收的電池，并且電池的回收數量和市場需求量相關。圖2為再利用/再生PULL控制策略模型。

圖2 再利用/再生PULL控制策略模型

1.2 模型設計

模型中變量和參數說明如下:

再利用/再生的PULL策略庫存模型如圖3所示，電池市場每隔周期T發(fā)出需求量為D的訂貨指令。接到指令后，工廠第一步檢查成品庫中電池數量，如果超過D，則立即出貨；否則，工廠對回收的電池進行再利用或再生處理。

圖3 再利用/再生的PULL策略庫存模型

在T′i時間內，工廠以v的速率拆解電池，以r的速率制造成品電池，其中v>r。并且這段時間內一直回收廢舊電池，回收品庫存電池數量以λa+λb-r的速率增加，成品電池的數量以r的速率增加。在T′i結束時刻，成品電池數量達到D，結束再利用和再生處理。對此時的回收品庫電池數量進行檢查，如果需求量大于廢舊電池數量，則繼續(xù)回收；反之，立即停止回收，直到下一周期重新恢復回收，并且不停止處理，一直到回收品庫電池數量變?yōu)?。

工廠會優(yōu)先進行再利用處理，再利用處理的電池全部轉變成成品后，如果成品數量小于D，剩下的需求量由再生處理來滿足。經過Ti′再生處理過程全部完成后，以D為單位統一出貨。依據PULL策略建立鉛酸電池逆向物流庫存模型，需要進行以下假設：

(1)電池通過廢棄回收和其他方式(退貨等)回收，兩種方式相互獨立;

(2)回收速率λ服從泊松分布，回收速率與市場需求速率相互獨立；

(3)可回收電池數量很大，能滿足市場需求；

(4)再利用處理電池，可以獲得和再生處理相同的品質；不考慮再利用處理時間，在周期開始時瞬間完成，電池進入成品庫；

(5)電池的處理符合“先進先出”原則；

(6)成品電池數量達到D，立即出貨；

(7)主要考慮3種庫存的固定成本和可變成本，兩種處理成本；

(8)拆解過程中酸液無害處理后會運至下游企業(yè)處理。因此，只考慮再生電池可回收比例部分的處理費用；

(9)周期性盤點3種庫存數量；

(10)接到市場訂貨指令開始計算周期。

1.3 模型建立

設第一個周期回收品庫初始庫存為：

E1=Q=(λa+λb)T

(1)

第一個周期T完成可再利用電池數量為：

(2)

第一個周期T可再生電池數量為：

(3)

第一個周期開始時再生材料庫存為0。

第一個周期T需要制造電池的數量為：

(4)

第一個周期需要制造處理的時間為：

T′1=S1/r

(5)

第一個周期需要拆解處理的時間為：

t′1=S1/v

(6)

第一個周期經過T′1剩余可再生數量為：

(7)

B′1=(λa+λb)T′1

(8)

M′1=L′1+B′1

(9)

B″1=(λa+λb)T″1

(10)

第二個周期回收品庫初始庫存量為：

E2=M′1+B″1

(11)

那么，可以推導出第n個周期回收品庫初始庫存量為：

En=M′n-1+B″n-1

(12)

t′n1=[L′n+(naλa+nbλb)T′n]/v

(13)

需要制造處理的時間為：

t′n2=[L′n+(naλa+nbλb)T′n]/r

(14)

(15)

第n個周期結束后，回收品和再生材料庫存數量為0。n+1個周期組成一個循環(huán)總周期。第n+1個周期繼續(xù)回收電池，但不處理新回收的電池，結束時回收品庫存為：

En+1=(λa+λb)T

(16)

前n-1個周期內，0～t′i時間段內，再生材料庫存隨時間變化關系為：

G′i=(v-r)t

(17)

t′i-T′i時間內，再生材料庫存變化為：

G″i=(v-r)t′i-r(t-t′i)

(18)

T′i時刻后到周期結束庫存為0。

第n個周期0～t′n1時間，再生材料庫存變化與公式(17)相同。t′n1～t′n2時間內，再生材料庫存變化與公式(18)相似，將t′i換成t′n1即可。t′n2時刻到周期結束庫存為0。

第i個周期T′i時間內回收品庫存成本為：

(19)

T″i時間內回收品庫存成本為：

(20)

前n-1個周期T回收品庫存成本為：

(21)

第n個周期T回收品庫存成本為：

(22)

第n+1個周期T回收品庫存成本為：

(23)

前n個周期T再利用處理總成本為：

(24)

前n個周期T制造處理總成本為：

(25)

前n個周期T拆解處理總成本為：

(26)

前n-1個周期T成品庫存總成本為：

(27)

第n個周期T成品庫存成本為：

(28)

前n-1個周期T再生材料庫存總成本為：

(29)

第n個周期T再生材料庫存成本為：

(30)

將n+1個周期的處理成本，以及3個庫存產生的庫存成本相加得到總成本。n+1個周期后，回收品和再生材料庫存回到初始狀態(tài)，求出平均總成本。通過建立模型，將研究鉛酸電池逆向物流庫存問題轉化成平均總成本的優(yōu)化問題。在符合下面5個約束條件的基礎上，求得最優(yōu)解，得到最佳庫存控制策略。目標函數為：

(31)

1.4 模型求解

圖4 優(yōu)化方法流程圖

(1)給定初始解T=T0，n=n0，確定T、n的步長分別為δ1和δ2(大于0)；

(3)判斷n+δ2是否滿足約束，滿足則n=n+δ2返回第二步；否則T=T+δ1,n=n0，返回第二步；

(4)當滿足終止條件時，輸出最優(yōu)解。

2 算例和參數分析

以襄陽某家廢舊鉛酸電池處理企業(yè)為例，使用模型和優(yōu)化方法求解。企業(yè)給出參考數據如表1所示。通過計算，得到T=3.5，n=4時模型最優(yōu)，平均總成本最小為36 721元。在第4個周期結束處理時，回收品庫電池數量超過市場需求量，停止回收。5個單位周期組成一個總周期，共17.5天。總周期內共回收18 375臺電池，通過再利用處理得到2 450臺，再生處理獲得12 382臺。

表1 PULL策略下的基本參數

模型中參數n不僅與T有關，也與電池回收數量、處理能力、可再利用/再生比例有關。下面以周期最優(yōu)解T=3.5來研究其他幾個參數變化對平均總成本影響。

(1)再生過程中制造新電池速率r和電池拆解速率v對平均總成本的影響。r會改變制造處理時間T′n的大小，影響3個庫存點單位周期成本，導致平均總成本變化。v會直接影響拆解時間t′n的大小，影響回收品庫存和再生材料庫存成本大小，導致平均總成本變化。如圖5所示，r在0～8 000臺/天之間下降非常迅速，在8 000臺/天之后下降趨于平緩，說明r對平均總成本影響變小。v對平均總成本影響開始時有一個上升過程，后面一直下降，但影響范圍很小。

圖5 平均總成本隨r和v的變化

(2)回收的電池中，廢棄回收的電池占大部分，因此主要分析廢棄回收的電池中可再利用比例ma和可回收比例na的變化對平均總成本的影響。圖6為4種再生電池可回收比例下，隨著ma增大，平均總成本的變化趨勢大致相似，都是開始下降平緩，然后快速下降，然后又趨于平緩?？傮w來說，na越大，平均總成本越大。圖7為4種可再利用比例下，隨著na變大，平均總成本先上升，到達峰值后下降，之后又再上升?？傮w來說，ma越大，平均總成本越小。

圖6 平均總成本隨ma的變化

圖7 平均總成本隨na的變化

取不同可再利用比例ma和再生電池可回收比例na下20組數據，進行方差分析，結果如表2所示。由F分布表可查F0.05(3,12)=3.49，F0.05(4,12)=3.26。因為Fma=15.71>3.49，所以廢棄回收中可再利用比例ma對平均總成本有顯著影響；因為Fna=2.28<3.26，所以再生電池的可回收比例na對平均總成本沒有顯著影響。

表2 ma和na方差分析表

3 總結

(1)根據PULL策略，以市場對電池需求為主導因素，針對廢舊鉛蓄電池回收企業(yè)設計了庫存模型，并通過算例驗證了模型的可行性，為鉛蓄電池回收處理的庫存控制提出了一種可行方案。

(2)廢舊電池的再生過程中制造速率逐漸增大時，平均總成本先快速下降，超過一定速率后下降趨于平緩，再提高制造速率(產能)對降低平均總成本效果不明顯；電池拆解速率對平均總成本影響有限。

(3)對廢棄回收電池的兩種比例進行顯著性分析，發(fā)現可再利用比例ma是影響平均總成本的關鍵因素，再生電池的可回收比例na對平均總成本影響不顯著。