童俊輝，彭 劍,2，符 翔，孫洪鑫,2

(1.湖南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 湘潭 411201；2.湖南科技大學(xué) 結(jié)構(gòu)抗風(fēng)與振動(dòng)控制湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 湘潭 411201)

懸浮隧道(submerged floating tunnel,SFT)，又稱Archimeders橋[1],是一種跨越長(zhǎng)水道和深海峽潛在的交通結(jié)構(gòu)物，主要依靠自身結(jié)構(gòu)的浮力和支持系統(tǒng)保證其在固定位置，較傳統(tǒng)隧道和橋梁有其特有的優(yōu)勢(shì)，具有廣泛應(yīng)用前景。但由于海洋環(huán)境復(fù)雜，懸浮隧道的振動(dòng)和穩(wěn)定性問(wèn)題亟需解決。近年來(lái)，水下懸浮隧道及懸浮隧道張力腿引起學(xué)者大量關(guān)注。為了解決懸浮隧道在水流作用下的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題，項(xiàng)貽強(qiáng)等[2]對(duì)管體和錨索系統(tǒng)的參數(shù)振動(dòng)和渦激振動(dòng)進(jìn)行了研究，結(jié)果表明，管體的初始擾動(dòng)對(duì)錨索瞬態(tài)振幅有很大影響；易壯鵬等[3]對(duì)張力腿懸浮隧道的動(dòng)力學(xué)模型和自振特性進(jìn)行了研究；閆宏生等[4]研究了海流作用下懸浮隧道纜索的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)；孫勝男等[5-6]對(duì)錨索-隧道耦合非線性參數(shù)振動(dòng)進(jìn)行了研究，并對(duì)不同參數(shù)激勵(lì)下隧道張力腿的振動(dòng)進(jìn)行了分析；李焱等[7]研究了畸形波作用下張力腿平臺(tái)的動(dòng)力響應(yīng)，考慮張力腿平臺(tái)的六自由度運(yùn)動(dòng)與張力腿非線性恢復(fù)剛度，建立非線性耦合運(yùn)動(dòng)方程；常爽等[8]通過(guò)波浪聚焦和波列疊加模型模擬生成了畸形波，結(jié)果表明畸形波和二階波浪力會(huì)引起張力腿平臺(tái)縱蕩和垂蕩的大幅運(yùn)動(dòng)；劉宇等[9]研究了錨索傾角對(duì)不同截面懸浮隧道運(yùn)動(dòng)響應(yīng)影響；黃磊等[10]總結(jié)并分析了近些年水中懸浮隧道的研究進(jìn)展。

此外，為了抑制張力腿的大幅振動(dòng)，振動(dòng)控制研究顯得尤為重要。主動(dòng)控制在土木工程結(jié)構(gòu)的抗風(fēng)、抗振和自適應(yīng)修復(fù)等問(wèn)題上有了大量的研究和應(yīng)用，提高了結(jié)構(gòu)穩(wěn)定及性能[11]。但在主動(dòng)控制系統(tǒng)中，時(shí)滯問(wèn)題是不可避免的，其中包括本身自有的時(shí)滯以及外部引入的時(shí)滯。胡海巖等[12]從時(shí)滯動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的特點(diǎn)、研究方法、動(dòng)力學(xué)等問(wèn)題出發(fā)，對(duì)時(shí)滯動(dòng)力學(xué)研究進(jìn)展作了綜述；Masoud等[13-15]研究了結(jié)構(gòu)振動(dòng)的時(shí)滯輸出反饋控制器設(shè)計(jì)，并利用時(shí)滯狀態(tài)反饋控制起重機(jī)的振動(dòng)問(wèn)題，有很好的控制效果；陳龍祥等[16]研究了時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，指出主動(dòng)控制系統(tǒng)的時(shí)滯存在可利用的價(jià)值；Peng等[17]對(duì)壓電彈性梁非線性共振響應(yīng)的時(shí)滯反饋振動(dòng)控制進(jìn)行了研究;Sandip等[18]對(duì)時(shí)滯非線性反饋振蕩器的參數(shù)激勵(lì)和Hopf分岔進(jìn)行了分析。

水下懸浮隧道是一種未來(lái)的新型交通結(jié)構(gòu)，目前懸浮隧道的預(yù)想設(shè)計(jì)有浮筒式、墩柱式以及錨索(張力腿)式，其中張力腿式根據(jù)張力腿的傾斜角度不同，分為垂直式、傾斜式和混合式等。本文采用時(shí)滯減振技術(shù)對(duì)垂直式張力腿懸浮隧道進(jìn)行振動(dòng)控制研究，將隧道管體假設(shè)成質(zhì)量點(diǎn)，根據(jù)Euler-Bernoulli梁理論和時(shí)滯反饋控制策略，考慮高階非線性影響，建立了張力腿的參激振動(dòng)模型，將隧道管體的豎向和橫向運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化成簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并著重分析張力腿的運(yùn)動(dòng)特性及時(shí)滯減振效果。通過(guò)實(shí)際算例，調(diào)整不同的控制增益和時(shí)滯量，驗(yàn)證了時(shí)滯反饋控制對(duì)張力腿振動(dòng)的抑制效果，為未來(lái)水下懸浮隧道的實(shí)際應(yīng)用及穩(wěn)定控制提供參考意見(jiàn)。

1 數(shù)學(xué)模型

圖1是基于張力腿豎直錨定的水下懸浮隧道示意圖及其力學(xué)簡(jiǎn)圖，考慮軸向和橫向耦合，將張力腿簡(jiǎn)化成一根下端固定鉸支，上端可移動(dòng)鉸支的非線性梁模型。

(a)水下懸浮隧道示意圖

由于大長(zhǎng)徑比，忽略轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和彎曲剛度的影響,并考慮材料的阻尼，根據(jù)Hamilton變分原理，得到張力腿振動(dòng)控制方程[19]：

(1)

fy+Fcδ(x-xd)

(2)

式中：“·”為對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，“′”為對(duì)坐標(biāo)x求導(dǎo);ρ為材料的密度;A為橫截面面積;c為線性阻尼系數(shù);E為材料彈性模量;I為張力腿橫截面的慣性矩;u和v分別為軸向和橫向的位移;Fc為控制力;δ是Dirac delta函數(shù);xd表示控制點(diǎn)的位置。

邊界條件為：

(3)

式中：Ua(t)、Va(t)分別為隧道管體豎向和橫向運(yùn)動(dòng)形式，為便于理論分析，本文將張力型懸浮隧道管體的豎向和橫向振動(dòng)簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并將豎向和橫向諧振的位移記為[20]：

(4)

式中：fx和fy分別為軸向和橫向單位長(zhǎng)度的分布力，fx為單位長(zhǎng)度的浮力與重力的差值：

fx=ρfAg-ρAg

(5)

fy為張力腿橫向運(yùn)動(dòng)所引起的流體阻尼力，根據(jù)Morison方程進(jìn)行計(jì)算[21]:

(6)

式中：ρf為海水密度;A為張力腿的橫截面積;g為重力加速度;D為張力腿直徑;Ca、Cd分別為附加質(zhì)量系數(shù)和黏性力系數(shù);UL0、VL0分別為隧道管體垂蕩和縱蕩的幅值;ωa為其振動(dòng)的圓頻率。

因?yàn)閺埩ν乳L(zhǎng)徑比較大，忽略方程(1)～(2)中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，考慮上端隧道管體的橫向和豎向振動(dòng)，以及預(yù)張力所引起的變形，運(yùn)用Galerkin法，將軸向位移和橫向位移的時(shí)間變量和空間變量分離，將其表示為振動(dòng)函數(shù)和振型函數(shù)的乘積疊加，即：

(7)

(8)

(9)

(10)

由于張力腿的橫向波速遠(yuǎn)小于其縱向波速，故假設(shè)張力腿以擬靜態(tài)方式進(jìn)行軸向變形[22],忽略方程式(9)中的慣性力、外激勵(lì)則有：

(11)

將方程式(11)代入方程式(10)，有：

(12)

本文采用速度時(shí)滯反饋策略，記為如下形式：

(13)

(14)

其中：

μn=2ωnξ，

2 線性穩(wěn)定性分析

本節(jié)研究了系統(tǒng)線性穩(wěn)定性,并得到了系統(tǒng)穩(wěn)定性圖，以此為依據(jù)，得到系統(tǒng)的穩(wěn)定域，為第3節(jié)的實(shí)例分析中參數(shù)的選取提供指導(dǎo)意義。

將方程(14)線性化，并令f=0，可得：

(15)

式中：ωn為張力腿固有頻率，方程(15)的解形式如下：

qvn=Ane(ξn+iλn)t

(16)

式中：An是振幅;ξn是阻尼系數(shù);λn為響應(yīng)頻率，將方程(16)代入方程(15)，分離實(shí)虛部，并令其分別等于零，得到：

sin(2πλnγ)+2ξnλncos(2πλnγ)]=0

(17)

cos(2πξnγ)-2ξnλnsin(2πξnγ)]=0

(18)

式中：γ=τ/2π，通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)的線性穩(wěn)定性由阻尼系數(shù)ξn決定，當(dāng)ξn>0時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，而當(dāng)ξn<0時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定，因此為了得到線性穩(wěn)定性邊界條件，令ξn=0，求解方程(17)～(18)，得到：

通過(guò)方程(19)～(20)，得到穩(wěn)定性區(qū)域(見(jiàn)圖2)。如圖2所示，在(τ,k1)平面內(nèi)，隨著τ的增大，穩(wěn)定性范圍逐漸減??；當(dāng)確定時(shí)滯τ為某一值時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)定隨著k1的變化而發(fā)生改變，即由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定或者由不穩(wěn)定變?yōu)榉€(wěn)定。因此，可以通過(guò)調(diào)節(jié)時(shí)滯和增益來(lái)改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖2 系統(tǒng)穩(wěn)定性圖(n=1，μ1=0.008 8)

3 數(shù)值分析與討論

本節(jié)以某擬建懸浮隧道參數(shù)進(jìn)行算例分析，結(jié)構(gòu)基本參數(shù)見(jiàn)表1[23]。其中，增益值和時(shí)滯量根據(jù)圖2系統(tǒng)的穩(wěn)定性圖，選取了穩(wěn)定域中的幾個(gè)參數(shù)，進(jìn)行比較分析。

表1 張力腿基本參數(shù)

不考慮海流及波浪力對(duì)張力腿的作用，通過(guò)激勵(lì)隧道管體間接施加給張力腿，隧道管體的振動(dòng)頻率ωa等于張力腿的第一階振動(dòng)頻率ω1。圖3為張力腿橫向前三階模態(tài)位移響應(yīng)圖，圖4為張力腿在不同的時(shí)間點(diǎn)沿高度變化各點(diǎn)的橫向位移變形圖。從圖中可以看出，張力腿橫向運(yùn)動(dòng)呈周期性，一階模態(tài)峰值約為0.75 m，且振動(dòng)響應(yīng)以第一階模態(tài)為主，取前三階基本滿足計(jì)算結(jié)果的精度要求。

圖3 張力腿橫向前三階模態(tài)響應(yīng)

圖4 張力腿橫向位移變形圖

圖第一階模態(tài)響應(yīng)時(shí)程曲線和相圖

圖第一階模態(tài)響應(yīng)時(shí)程曲線和相圖

圖第一階模態(tài)響應(yīng)時(shí)程曲線和相圖

圖第一階模態(tài)響應(yīng)時(shí)程曲線和相圖

圖9為當(dāng)τ=0.1，xd=L/2時(shí)，不同增益下結(jié)構(gòu)的第一階模態(tài)響應(yīng)時(shí)程曲線，如圖所示，當(dāng)時(shí)滯量τ為一確定值時(shí)，在穩(wěn)定域內(nèi)，隨著增益量k1值越大，響應(yīng)幅值越小，故對(duì)于某一確定時(shí)滯值，通過(guò)調(diào)節(jié)不同的控制增益，可以有效的抑制張力腿的大幅振動(dòng)越小。圖10為當(dāng)時(shí)滯值和增益量固定時(shí)，在張力腿的高度分別為L(zhǎng)/6、L/4、L/2、5L/8處施加控制力時(shí)結(jié)構(gòu)的第一階模態(tài)響應(yīng)時(shí)程曲線，從圖可得出，在張力腿中間位置施加控制力時(shí)振動(dòng)抑制效果最好。

圖9 τ=0.1時(shí)不同控制增益下結(jié)構(gòu)的時(shí)程曲線

圖時(shí)在不同位置施加控制下結(jié)構(gòu)的時(shí)程曲線

4 結(jié) 論

本文將隧道管體假設(shè)成質(zhì)量點(diǎn)，采用Euler-Be-rnoulli梁理論，分析了時(shí)滯速度反饋控制對(duì)水下懸浮隧道張力腿的大幅橫向振動(dòng)控制的影響。結(jié)果表明，時(shí)滯反饋控制能大幅降低張力腿的橫向大幅振動(dòng)，提高結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，減少其疲勞損壞。并且通過(guò)確定穩(wěn)定域，調(diào)節(jié)時(shí)滯值和增益量為合適值，將控制設(shè)置在張力腿中間位置，能使減振效果達(dá)到最佳，最高抑制效果可達(dá)90%以上；但若時(shí)滯和增益量選取不合適，不但達(dá)不到控制效果，反而加劇張力腿的振動(dòng)，并可能出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)。然而理論模型與實(shí)際工程有一定的差距，以后的工作將進(jìn)一步結(jié)合并改進(jìn)懸浮隧道張力腿設(shè)計(jì)模型，同時(shí)開(kāi)展相關(guān)試驗(yàn)研究，最終將該減振技術(shù)在懸浮隧道張力腿中將其實(shí)現(xiàn)。