徐娜 周佳泉

【導(dǎo)讀】

復(fù)習(xí)課是小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)常見的課型之一。上好復(fù)習(xí)課，能有效幫助學(xué)生梳理已學(xué)的知識，形成系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡(luò)，加深知識間的縱向和橫向聯(lián)系，有助于提高學(xué)生自主構(gòu)建知識框架的能力。豐富知識的表現(xiàn)形式，給學(xué)過的數(shù)學(xué)知識穿上新的“外衣”，不但能給學(xué)生帶來新奇感，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的深入理解。

本案例中，來自昆明市盤龍區(qū)盤龍小學(xué)的徐娜老師以“平面圖形面積的整理和復(fù)習(xí)”為例，生動詮釋了在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中豐富數(shù)學(xué)知識表現(xiàn)形式的教學(xué)策略，收到了良好的教學(xué)效果。希望能與各位同仁互相切磋，共同提高。

【案例】

課堂實錄：

一、談話導(dǎo)入

師：子曰：溫故而知新……

生：（齊背）可以為師矣。

……

（板書課題：平面圖形面積的整理和復(fù)習(xí)）

二、溫故知新

（一）面積和面積單位

師：什么是面積呢？

生：物體的表面或封閉圖形的大小叫做面積。

師：說得非常準確！你知道哪些關(guān)于面積的知識點？

……

師：我們是怎樣測量平面圖形的面積的呢？

……

（二）復(fù)習(xí)面積公式

……

師：你還想到了哪種平面圖形的面積推導(dǎo)過程？

（學(xué)生紛紛回憶）

生1：用兩個完全相同的三角形拼成一個平行四邊形，其中一個三角形的面積就是平行四邊形面積的一半，所以三角形的面積=底×高÷2。

生2：用兩個完全相同的梯形拼在一起變成一個平行四邊形，其中一個梯形的面積就是平行四邊形面積的一半，所以梯形的面積=（上底+下底）×高÷2。

生3：將圓分成若干個扇形，拼成的圖形接近于長方形，近似長方形的長相當于圓周長的一半（2πr÷2也就是πr），長方形的寬相當于半徑（r），長方形的面積=長×寬，即2πr×r=2πr2。

……

師：這些平面圖形的面積還有其他推導(dǎo)方式嗎？（停頓幾秒，學(xué)生疑惑）老師這里還有兩種關(guān)于三角形面積的推導(dǎo)過程想介紹給大家。

（出示三角形面積公式的另類推導(dǎo)一）

……

生：將三角形轉(zhuǎn)化成長方形，面積不變，三角形的底就是長方形的長，長方形的寬等于三角形的高除以2，長方形面積等于長乘寬，也就等于底乘高的一半，S=a（h÷2）。它和S=ah÷2計算結(jié)果完全相同。

（出示三角形面積公式的另類推導(dǎo)二）

……

師：誰能具體說一說自己的想法？

生：將三角形轉(zhuǎn)化成長方形過程中，兩個圖形面積不變，三角形的高就是長方形的寬，長方形的長是三角形底的一半，長乘寬就是底的一半乘高，S=a÷2×h。它和S=ah÷2計算結(jié)果完全相同。

師：梯形面積公式的推導(dǎo)過程方法可就更多了。

……

生：原來梯形的上下底之和轉(zhuǎn)換成了平行四邊形的底，平行四邊形的高是梯形高的一半，平行四邊形面積等于底（梯形上下底之和）乘高（梯形高除以2），所以梯形的面積就是S=（a+b）×（h÷2）。它和S=（a+b）×h÷2計算結(jié)果完全相同。

……

生：轉(zhuǎn)化成長方形，長方形的長是原來梯形的上下底之和除以2，高（寬）不變，長方形面積就是上下底之和的一半乘高，所以梯形的面積就是S=（a+b）÷2×h。它和S=（a+b）×h÷2計算結(jié)果完全相同。

……

生：拼成一個大三角形，原來梯形的上下底之和轉(zhuǎn)換成了三角形的底，高不變，三角形面積就是上下底之和乘高再除以2，剛好就是梯形面積的計算公式S=（a+b）×h÷2。

三、平面圖形面積公式的本質(zhì)

師：表達清楚完整，通過以上這些平面圖形面積公式的推導(dǎo)過程，你有什么想法？

……

生1：都是將未知圖形轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的圖形進行面積公式的推導(dǎo)。

生2：我發(fā)現(xiàn)三角形、梯形面積公式的另類推導(dǎo)其實還是幾個平面圖形的相互轉(zhuǎn)換。

……

師：因此，它們的面積公式其實源于？

生：長乘寬。

……

三、鞏固拓展

1.師：圓的面積公式的推導(dǎo)除了轉(zhuǎn)化成平行四邊形或長方形，想一想能不能轉(zhuǎn)化成其他圖形呢？

……

2.把一個底為8 cm的平行四邊形沿高剪開拼成一個長方形后，現(xiàn)在長方形的周長是24 cm。原來平行四邊形的面積是多少？

3.把一個底為8 cm的平行四邊形沿高剪開拼成一個長方形后，現(xiàn)在長方形的周長是24 cm。原來平行四邊形的周長最少是多少？（取整厘米數(shù)）

四、小結(jié)

這節(jié)復(fù)習(xí)課帶給你哪些啟發(fā)？

【思考】

本節(jié)課，徐娜老師巧妙構(gòu)思，精心設(shè)計，給舊知識穿上了新的“外衣”，打破傳統(tǒng)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上簡單、重復(fù)、枯燥的復(fù)習(xí)方式，既有效激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又給學(xué)生的思維發(fā)展帶來了新的挑戰(zhàn)。具體體現(xiàn)在以下方面：

1.多種推導(dǎo)，深入本質(zhì)。長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓等平面圖形的面積計算公式，絕大部分學(xué)生都已經(jīng)倒背如流。但是他們真的理解這些公式的來源嗎？未必。本節(jié)課中，徐娜老師通過對三角形和梯形面積計算公式的多種推導(dǎo)方法，打破了學(xué)生的定式思維，讓他們感覺眼前一亮。在教師引導(dǎo)下，大家發(fā)現(xiàn)在變化的形態(tài)下面有著不變的本質(zhì)——都是要弄清楚這個圖形內(nèi)部包含多少個面積單位——變形的目的無非是讓它內(nèi)部的面積單位排列更整齊一些，便于計算而已。這樣的教學(xué)，既能激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，又加深了學(xué)生對面積計算公式本質(zhì)的理解——公式就是面積單位累加過程當中的簡便方法，僅此而已。

2.數(shù)形結(jié)合，殊途同歸。在期末考試閱卷中，我們經(jīng)常會對這些算式發(fā)生爭執(zhí)：（1）“求上底為7厘米、下底為8厘米、高16厘米的梯形面積?！睂W(xué)生列式為“（7+8）×（16÷2）”，究竟對不對？（2）同樣的題目學(xué)生計算過程為“（7+8）×16÷2=15×8=120（cm2）”，是否存在運算順序錯誤？通過徐娜老師這節(jié)課上多種面積計算公式的推導(dǎo)方式，我們不難發(fā)現(xiàn)：以上兩個問題，學(xué)生的列式或計算過程其實都是對的。甚至還可以這樣計算“（7+8）÷2×16”，這不就是初中學(xué)習(xí)的“梯形面積=中位線×高”嗎？像這樣在復(fù)習(xí)幾何知識的過程當中，順便把代數(shù)知識也給復(fù)習(xí)了。真可謂一舉兩得，何樂而不為呢？“數(shù)形結(jié)合”是小學(xué)階段重要的數(shù)學(xué)思想，我們對數(shù)學(xué)思想的滲透就應(yīng)該這樣潤物無聲，不著痕跡。

3.知識“變臉”，尋覓“真身”。面積公式的推導(dǎo)過程，其價值不僅限于得到“公式”本身，更是促進學(xué)生思維發(fā)展的良機。平時教學(xué)中，常見某些教師非常嚴格地要求學(xué)生“復(fù)述”（甚至背誦）面積公式的“推導(dǎo)過程”，卻忽視了推導(dǎo)過程中所蘊含的重要數(shù)學(xué)思想。在鞏固練習(xí)部分，徐娜老師巧妙設(shè)計的第2道習(xí)題是一塊很好的“試金石”——看似不著邊際的“神題”，其實只要想通了平行四邊形變形前后的對應(yīng)關(guān)系——面積不變、長與底相等、寬與高相等，再通過長方形的周長求出長方形的寬，就輕易地解決了這個問題——“當今”長方形的面積，就是“過去”平行四邊形的面積。如果我們在平時教學(xué)中多一些這樣的問題設(shè)計，必將促進學(xué)生對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的深入理解更加深刻、透徹。

4.逆向思維，跳出圈外。數(shù)學(xué)知識的顯性應(yīng)用對學(xué)生來說并不難，但是隱性應(yīng)用形態(tài)對一部分學(xué)生來說就感到比較陌生了。徐娜老師設(shè)計的第3道鞏固練習(xí)題就取得了這樣的良好效果。乍一看，這道題似乎太難了。但仔細分析，它還是考查學(xué)生對平行四邊形變形前后的對應(yīng)關(guān)系的理解程度——面積不變、底與長相等、高與寬相等，通過長方形的周長求出長方形的寬，再加上一個舊知識——平行四邊形的斜邊總比它的高要長一些（從直線外一點到直線上的所有連線中，垂線段最短），取整數(shù)就求出了原來平行四邊形的最短周長。

我們常常感覺復(fù)習(xí)課難上，學(xué)生不感興趣。其實，只要我們“挖空心思”，豐富數(shù)學(xué)知識的表現(xiàn)形式，給舊知識穿上新“外衣”，就能把復(fù)習(xí)課上得既生動有趣又有思維深度。