顏小兵

【設(shè)計(jì)理念】

本節(jié)課的內(nèi)容是中考復(fù)習(xí)專題中的折疊問題，通過智慧課堂教學(xué)形式，揭示了“借助圖形思考和解決問題”的思維過程，闡明了圖形運(yùn)動(dòng)變化過程中的基本性質(zhì)，分享了逐步建立并不斷發(fā)展學(xué)生直觀想象能力、邏輯推理能力及信息化培養(yǎng)等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。

一、創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣

數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐，應(yīng)用于實(shí)踐。生活中許多實(shí)踐活動(dòng)與數(shù)學(xué)有關(guān)。譬如，圖形的折疊就蘊(yùn)含著許多數(shù)學(xué)知識。這節(jié)課我們將以矩形的折疊為例，一起來研究圖形的折疊問題。

二、實(shí)踐探究，合作交流

問題1已知一個(gè)矩形，如圖1，把它沿中線對折，如果得到的矩形與原矩形相似，你能求出什么？

師：同學(xué)們看自己平板中的題目，這是我們生活中常見的圖形，長方形白紙的對折，折疊之后的矩形與原矩形滿足相似關(guān)系，能求出什么？

（學(xué)生小組內(nèi)討論、發(fā)言。）

師：雖然題目沒有告訴我們具體的數(shù)據(jù)，但是同學(xué)們是否能找出各邊、角之間的關(guān)系？比如折疊后的兩個(gè)圖形是全等形，它們的形狀、大小不變。你能求出什么？

（學(xué)生繼續(xù)分組討論，有的在折紙，有的在平板上演算，有的在記錄，也有的在平板上畫圖，積極思考折疊前后矩形之間的各種關(guān)系。）

生1：題目中雖然沒有具體的數(shù)據(jù)，但我們可以根據(jù)剛才得到的關(guān)系，假設(shè)DE=x，AD=y，則DC=2x，由題意可得x：y=y：2x，從而x：y=1：[2]，也就是原矩形的寬與長的比為1：[2]。

生2：我們小組能直接求出長與寬的比例。因?yàn)閷φ酆蟮木匦闻c原矩形相似，所以我們可以利用相似多邊形的面積比等于相似比的平方直接求得DE：AD=1：[2]。

……

【設(shè)計(jì)意圖】教師利用學(xué)生已有的知識結(jié)構(gòu)，從簡單的中線對折出發(fā)，提出問題“你能求出什么”，結(jié)論開放，激發(fā)學(xué)生求知的熱情和探索的欲望，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生讀取已知條件信息和識別圖像信息的素養(yǎng)，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的建模過程。

問題2 如圖2，如果把矩形沿EF折疊，四邊形ADEF為正方形，矩形EFBC與原矩形相似，那么原矩形的長與寬的比又是多少呢？

（學(xué)生分組討論，拿出準(zhǔn)備好的矩形紙片按要求折疊，研究折疊后如何使矩形EFBC與原矩形相似，并觀察計(jì)算各個(gè)線段之間的關(guān)系。）

師：我們在平時(shí)生活中會(huì)將長方形白紙折疊成一個(gè)正方形嗎？

生（齊）：會(huì)，只要點(diǎn)A折疊到DC邊上就行了。

師：而要使矩形EFBC與原矩形相似，關(guān)鍵是兩個(gè)矩形的所有的邊對應(yīng)成比例。怎樣去求原矩形的長與寬的比呢？

（經(jīng)過一番討論后，大部分學(xué)生都能夠得到以下結(jié)果：設(shè)原矩形的長為a，寬為b，則折疊后得到的小矩形長為b，寬為a-b，由兩個(gè)矩形相似可得[a-bb]=[ba]，化簡得a2-ab-b2=0。）

師：這個(gè)方程我們暫時(shí)無法求出a、b的具體值，但題目中是求原矩形的長與寬的比，也就是 [ab]的值，能否運(yùn)用整體的思想方法得到呢？

生3：能。方程兩邊同時(shí)除以b2，得[a2b2]-[ab]-1=0，把[ab]看成一個(gè)整體，運(yùn)用換元的思想方法解方程，便可求得[ab]=[5+12]（負(fù)值舍去）。

師：說得對，這個(gè)比值正好符合黃金分割比例啊！

【設(shè)計(jì)意圖】動(dòng)手能使課堂更加生動(dòng)活潑、主動(dòng)和富有個(gè)性。學(xué)生憑著動(dòng)手操作，抓住正方形的性質(zhì)和兩個(gè)相似矩形的特征得出方程，并運(yùn)用換元的思想方法求出相似比，這樣就能夠更加直觀地進(jìn)行觀察、猜測、推理、交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)。

三、抓住本質(zhì)，開放探索

問題3 如圖3，在矩形ABCD中，如果把矩形沿對角線折疊，你能求出什么？

師：剛才我們是研究最簡單的矩形折疊，下面讓我們來探討沿著某直線折疊后構(gòu)成全等三角形或相似三角形的情形。請看問題3，這是一道開放題，將矩形沿著它的對角線折疊，你能求出什么？

生4：我能求出△DFB為等腰三角形。

師：為什么？

生4：因?yàn)榫匦窝刂鴮蔷€折疊之后，∠EBD=∠ABD，由DC[∥]AB，得到∠CDB=∠ABD，從而∠EBD=∠CDB，所以DF=BF，因此△DFB為等腰三角形。

師：很好。還有嗎？

生5：我能證明△DEF≌△BCF。

師：嗯，證證看。

生5：將矩形折疊后，得DE=DA=BC，∠E和∠C是對應(yīng)角，再加上一組對頂角，根據(jù)全等三角形的知識能夠得到△DEF≌△BCF。

師：很好。還有嗎？

生6：那么根據(jù)△DEF≌△BCF，能夠推出DF=BF，也可以說明△DFB為等腰三角形。

師：非常好。還有嗎？

生7：我發(fā)現(xiàn)折疊后整個(gè)圖形中的△ABD與△EBD關(guān)于BD成軸對稱，△ABD與△CBD成中心對稱，因此這3個(gè)三角形都是全等三角形。

師：大家說得都很好，思維很活躍。如果我給出矩形的長AB=5，寬AD=3 ，你能求出什么？

生8：在Rt△ABD中，我可以根據(jù)勾股定理求得BD=[34]。由剛才兩位同學(xué)的全等三角形或者等腰三角形結(jié)論都能求出CF和BF的長度。設(shè)BF= x，則DF=x，CF=5-x，在Rt△BCF中，根據(jù)勾股定理列方程計(jì)算即可得到。

師：求出線段BF的長度，那么其他線段的長度也就迎刃而解了。因此，同學(xué)們在解題過程中要勇于動(dòng)腦思考，挖掘題目中的隱含條件。

【設(shè)計(jì)意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考問題，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖像信息的能力。

四、實(shí)踐探究，拓展提升

問題4 如圖4，已知矩形ABCD中，長AB=5，寬AD=3 ，如果沿BE折疊，使A點(diǎn)落到CD上，你能求出什么？

師：將矩形沿著BE折疊，使A點(diǎn)正好落到CD上，你們能求出什么？

生9：我可以解Rt[△]BCF。

師：好的，說說看。

生9：因?yàn)榫匦窝刂鳥E折疊后，點(diǎn)A與點(diǎn)F對稱，那么△ABE≌△FBE，所以BF=AB=5，在Rt△BCF中，利用勾股定理可求得CF=4。

師：很好，那能不能求出線段DE的長度呢？

生10：由CF=4，我可以繼續(xù)求出DF=1。設(shè)DE=x，則EA=3-x，EF=3-x，在Rt△DEF中，根據(jù)勾股定理，得DF2+DE2=EF2，即12+x2=（3-x）2，解得x=[43]，即DE=[43] 。

生11：我可以直接由△DEF∽△CFB，得[DECF]=[DFBC]，即[x4]=[13]，解得x=[43]。

師：大家說得都不錯(cuò)，學(xué)數(shù)學(xué)就得大膽地思考，這樣思維才能更加靈活，解題的方法才會(huì)不斷增多。

生12：老師，我還有一種特殊方法可求AE。

師 （驚喜地）：請講。

生12：連接AF，由A、F對稱很容易證明△AEB∽△DFA，得[AEDF]=[ABAD]，則[AE1]=[53]，解得AE=[53]，所以DE=3-[53]= [43]。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生在自主學(xué)習(xí)中，自由地在本組內(nèi)充分交流，既有了表現(xiàn)的機(jī)會(huì)，又增強(qiáng)了合作意識。

五、課堂小結(jié)，暢談收獲

師：很高興和大家一起探討、研究矩形的折疊問題，由最基本的沿著中線折疊，到沿著對角線折疊，再到復(fù)雜的有條件限制的折疊，同學(xué)們都能夠積極思考，通過小組合作的形式掌握矩形折疊的實(shí)質(zhì)和解題的方法。那么通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，大家有哪些收獲呢？

生13：我認(rèn)為矩形折疊后會(huì)得到直角三角形，可以運(yùn)用勾股定理求相應(yīng)的邊長。

生14：矩形折疊后可以得到全等三角形或相似三角形。

生15：有時(shí)遇到特殊邊、特殊角，還可以運(yùn)用銳角三角函數(shù)的知識去解直角三角形。

生16：我發(fā)現(xiàn)在折疊后的圖形中，對稱點(diǎn)的連線垂直平分折痕。

生17：我認(rèn)為這節(jié)課我們學(xué)到了折疊問題中的各種解題方法和技巧。今后，我們不管是遇到四邊形的折疊，還是其他圖形的折疊，都可以用這些思想方法去解決。

師：同學(xué)們說得非常好。這節(jié)課我們主要研究矩形折疊中的邊角關(guān)系，始終抓住“折痕的位置”變化這條主線，對各種形式的折疊進(jìn)行了探討。希望同學(xué)們在今后的學(xué)習(xí)中多動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦，就能用我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決生活中的許多實(shí)際問題。

【教學(xué)反思】矩形的折疊，主要是通過折疊圖形構(gòu)造圖形的軸對稱性來解決問題。由于折疊前后折疊部分圖形的形狀、大小不變，因此利用軸對稱性，可以轉(zhuǎn)化相等的線段、相等的角等關(guān)系。本節(jié)課筆者通過折疊問題的設(shè)置，不斷加大問題難度，有梯度地慢慢引入，通過層層引導(dǎo)，達(dá)到問題解決的目的。這種設(shè)計(jì)符合學(xué)生的認(rèn)知水平，調(diào)動(dòng)了學(xué)生探索的積極性，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，并獲得研究問題的方法和經(jīng)驗(yàn)，較完整地對圖形的折疊問題進(jìn)行了梳理和總結(jié)。

初中數(shù)學(xué)折疊問題不管形式如何變化，解決的關(guān)鍵都在于把握圖形折疊后“變”與“不變”的因素。因此，教師在教學(xué)時(shí)，應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生提煉基本模型的能力，把握問題本質(zhì)，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)）

本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2016年度課題“基于‘?dāng)?shù)字學(xué)習(xí)場域建構(gòu)的初中教學(xué)質(zhì)態(tài)研究”（課題編號：C-c/2016/02/77）階段性研究成果。