許凌燕

雖然數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基石，但是數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)思想和解決數(shù)學(xué)問題的能力更能反映一個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。而數(shù)學(xué)問題是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，開啟學(xué)生數(shù)學(xué)思維，培植學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的平臺(tái)和載體，在一個(gè)個(gè)精心設(shè)計(jì)的問題教學(xué)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力才能不斷提升和優(yōu)化。下面筆者以蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)下冊(cè)“矩形、菱形、正方形”第一課時(shí)為例，闡述問題教學(xué)在數(shù)學(xué)課堂上的應(yīng)用。

一、教學(xué)實(shí)錄與分析

1.基于情境引入的問題教學(xué)。

師：前幾節(jié)課學(xué)習(xí)了平行四邊形，哪位同學(xué)說說我們是從哪些角度來研究平行四邊形的？

生1：平行四邊形的概念、性質(zhì)、判定、應(yīng)用。

師：請(qǐng)同學(xué)們拿出事先準(zhǔn)備好的 Rt[△ABC]紙片（[∠B]=90[°]）、圖釘和白紙，在白紙上描出Rt[△ABC]的形狀，再繞斜邊AC的中點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180[°]后描下旋轉(zhuǎn)后三角形的形狀。以小組為單位討論并回答下列問題：

問題1 前后圖形拼成的形狀是平行四邊形嗎？

問題2 如果是，它與我們之前所學(xué)的平行四邊形有什么不同的地方？

生2：請(qǐng)大家看圖1，我們由[∠BAC]=[∠DCA]，[∠BCA]=[∠DAC]（或AB=CD，AD=CB）可證得這個(gè)四邊形是平行四邊形。

生3：它與我們之前所學(xué)的平行四邊形不同的地方是一個(gè)內(nèi)角為直角，其他三個(gè)內(nèi)角也為直角，可以利用平行四邊形的性質(zhì)證明。

問題3 通過剛才的分析，你能用一句話描述一下這個(gè)圖形嗎？

生4：有一個(gè)角是直角的平行四邊形。

（教師板書矩形定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫作矩形。矩形通常也叫長(zhǎng)方形。）

【設(shè)計(jì)意圖】筆者設(shè)計(jì)的操作活動(dòng)，讓學(xué)生回顧了平行四邊形的相關(guān)知識(shí)，認(rèn)識(shí)到平行四邊形和矩形的聯(lián)系，進(jìn)而得到矩形的定義。學(xué)生通過操作活動(dòng)，體驗(yàn)從舊知到新知的過程，讓新知生長(zhǎng)在已有知識(shí)點(diǎn)之上。

2.基于知識(shí)類比的問題教學(xué)。

師：從定義可以看出，矩形是特殊的平行四邊形，其肯定具有平行四邊形的性質(zhì)。那么我們研究平行四邊形的性質(zhì)時(shí)，是從哪些方面研究的呢？具體是什么呢？

生：邊、角、對(duì)角線、對(duì)稱性……

師：通過類比思想，我們也可以從對(duì)邊、對(duì)角、對(duì)角線、對(duì)稱性來研究矩形。請(qǐng)同學(xué)來分析一下。

生5：對(duì)邊——平行且相等，角——相等且全都是90[°]，對(duì)角線——互相平分且相等。

師：為什么對(duì)角線相等？

生5：只要證[△ABC]≌[△DCB]，即可得AC=BD。

生6：對(duì)稱性——中心對(duì)稱、軸對(duì)稱性。矩形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形中心對(duì)稱的性質(zhì)。同時(shí)，我們沿著上下對(duì)邊的中點(diǎn)連線所在直線折疊，發(fā)現(xiàn)左右兩邊重合，說明矩形是軸對(duì)稱圖形，而且有兩條對(duì)稱軸。

師：我們一起來歸納提煉。

【設(shè)計(jì)意圖】通過類比思想，學(xué)生明確研究方向，從而對(duì)矩形的性質(zhì)有了更深層次的理解和認(rèn)知。同時(shí)，這樣的數(shù)學(xué)問題教學(xué)為學(xué)生研究數(shù)學(xué)提供了途徑和方法，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的有效內(nèi)化。

3.基于例題深化的問題教學(xué)。

教材上本課時(shí)內(nèi)容只有一個(gè)例題，如何用好此例題是關(guān)鍵。為此，筆者設(shè)計(jì)了問題串，旨在激發(fā)學(xué)生的課堂思維，發(fā)展學(xué)生自主探究的能力。

例 如圖2，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于O。

問題4 在此題設(shè)條件下，[△AOB]是等腰三角形嗎？

生7：由矩形對(duì)角線互相平分可得AO=[12]AC，BO=[12]BD，且AC=BD，則AO=BO，所以[△AOB]是等腰三角形。

問題5 增加條件AC=2AB，則[△AOB]是什么三角形？（此問源于教材。）

生8：[∵]AC=2AB，[∴]AB=[12]AC。[∵]AO=[12]AC，BO=[12]BD，AC=BD，[∴]AO=BO=AB，[∴][△ABC]是等邊三角形。

問題6 圖中被對(duì)角線分割而成的三角形中還有等腰三角形嗎？

生9：只要將上面的證明調(diào)整一下，由矩形可得AO=CO=BO=DO=[12]AC=[12]BD。因此，[△AOB]、[△DOC]、[△AOD]、[△BOC]都是等腰三角形。

問題7 對(duì)圖中被對(duì)角線分割的三角形，你還有什么認(rèn)識(shí)嗎？

生10：我們通過邊角邊可以證得[△ABC?][△DCB][?][△BAD?][△CDA]，且每個(gè)三角形面積為矩形的一半，即[S△ABC]=[S△DCB]=[S△BAD]=[S△CDA]=[12][S矩形ABCD]。

生11： [∵]AO為[△ABD]的中線，[∴][S△ABO]=[S△ADO]=[12][S△ABD]=[14][S矩形ABCD]，[∴][S△AOB]=[S△COD]=[S△AOD]=[S△BOC]=[14][S矩形ABCD]。

師：哪位同學(xué)能將剛才的知識(shí)總結(jié)一下？

生12：每條對(duì)角線將矩形分成兩個(gè)直角三角形，共計(jì)4個(gè)直角三角形，它們?nèi)?，每個(gè)直角三角形的面積為矩形面積的二分之一;兩條對(duì)角線把矩形分成4個(gè)等腰三角形，且每個(gè)三角形面積相等，都是矩形面積的四分之一。

問題8 通過剛才的研究，請(qǐng)同學(xué)們觀察等式AO=CO=BO=DO=[12]AC=[12]BD，還能發(fā)現(xiàn)什么？

生13：從這個(gè)等式中首尾兩項(xiàng)得AO=[12]BD，背景是在矩形中，各個(gè)內(nèi)角都是直角，所以可得直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半。

【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)的教學(xué)問題都是圍繞著教材例題展開的，旨在引導(dǎo)學(xué)生明確研究的方向，分析在一定條件下，問題發(fā)生、發(fā)展和變化的規(guī)律，探索解決數(shù)學(xué)問題的規(guī)律，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法。圍繞例題深化的數(shù)學(xué)問題按照一定順序揭示規(guī)律，逐步推進(jìn)深入，使得學(xué)生能夠在主動(dòng)構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)優(yōu)化數(shù)學(xué)思維，歸納數(shù)學(xué)思想方法。

4.基于新知運(yùn)用的問題教學(xué)。

問題9 再看圖2，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，請(qǐng)?jiān)黾右粋€(gè)條件，使得[△AOB]是等邊三角形。

……

師：同學(xué)們回答得都很好，現(xiàn)將同學(xué)們提出的這些條件整理為“角”“邊”兩類。

（教師板書。角： [∠ABO]=60[°]，[∠BOC]=120[°]，[∠BCA]=30[°]。

邊：AB=[12]AC，AB=OA，AB=OB;CD=[12]BD，CD=OD，CD=OC。）

師：我們找其中一個(gè)條件如[∠BCA]=30[°]，請(qǐng)一名同學(xué)加以證明。

生14：由上可知[△AOB]是等腰三角形，又[∵] [∠BCA]=30[°]， [∴][∠BAC]=60[°]，[∴][△AOB]是等邊三角形。

師：由[∠BCA]=30[°]可得[△AOB]是等邊三角形，所以AB=AO=[12]AC，這是我們學(xué)過的什么知識(shí)呢？

生15：直角三角形中30[°]角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半。

問題10 再看圖2，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，若[∠AOD]=120[°]，AB=4cm，求矩形對(duì)角線的長(zhǎng)。

生16：由剛才的結(jié)論[△AOB]為等邊三角形，[∴]AB=AO=[12]AC=4，[∴]AC=8。

生17：由[∠AOD]=120[°]，得到[∠ACB]=30[°]，直角三角形中30[°]角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，[∴]AC=2AB=8。

【設(shè)計(jì)意圖】新知運(yùn)用的問題教學(xué)有助于學(xué)生更加深刻地理解新知，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)。學(xué)生通過這兩個(gè)問題，對(duì)圖中[△AOB]是等邊三角形有了本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，并且通過一個(gè)開放性的問題收集素材，順利實(shí)現(xiàn)了對(duì)已有知識(shí)“直角三角形中30[°] 角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”的再認(rèn)識(shí)，同時(shí)也對(duì)相關(guān)問題的解決明確了思路和方向。

二、基于問題教學(xué)的思考

課堂教學(xué)中的問題設(shè)計(jì)和教學(xué)設(shè)計(jì)是問題教學(xué)的前提和基礎(chǔ)。因此，數(shù)學(xué)的問題教學(xué)需要教師對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行深刻解讀，明確本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。教師應(yīng)以數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程、內(nèi)涵特點(diǎn)等方面為問題教學(xué)的切入點(diǎn)，精心設(shè)計(jì)一些具有一定目的性、層次性，符合學(xué)生已有基礎(chǔ)知識(shí)、學(xué)習(xí)水平和已有探索經(jīng)驗(yàn)的問題，讓問題教學(xué)成為學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)能力不斷增長(zhǎng)的根基。以數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)、數(shù)學(xué)思維的啟發(fā)、數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的增長(zhǎng)為基礎(chǔ)的高質(zhì)量問題，一定能激發(fā)學(xué)生深度的參與興趣。

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)問題教學(xué)的根，問題教學(xué)實(shí)現(xiàn)“知識(shí)構(gòu)建”到“思想引領(lǐng)”的轉(zhuǎn)變。問題是問題教學(xué)的心臟，是學(xué)生思維活動(dòng)的發(fā)源地。基于數(shù)學(xué)思想的問題教學(xué)，將知識(shí)、方法問題化，通過問題教學(xué)喚醒學(xué)生的探究意識(shí)，引發(fā)思考，將學(xué)生從知識(shí)學(xué)習(xí)引入方法積累并走向思想升華，以此領(lǐng)悟知識(shí)構(gòu)建的本質(zhì)。

教師將數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想進(jìn)行問題化教學(xué)，能將需要教授的內(nèi)容連續(xù)化、變式化為有實(shí)質(zhì)意義的數(shù)學(xué)問題，引發(fā)學(xué)生持續(xù)地辨析、思考，激發(fā)學(xué)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)動(dòng)力，引導(dǎo)學(xué)生從多維度理解數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，將學(xué)生引入深度學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科精神，為后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供可持續(xù)的學(xué)習(xí)力。

（作者單位：江蘇省張家港市梁豐初級(jí)中學(xué)）