夏積德, 叢佩娟, 李俊鋒
(1.楊凌職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 陜西 楊凌 712100; 2.水利部 水土保持監(jiān)測(cè)中心, 北京 100053; 3.陜西測(cè)繪地理信息局, 陜西 西安 710054)
地形因子是水土流失、水文過程模擬的參數(shù),科學(xué)量化地形因子對(duì)于水土流失這一地理界面過程的研究具有極為重要的意義。大量研究發(fā)現(xiàn),自然界中大部分區(qū)域的地表形態(tài)復(fù)雜多變,呈現(xiàn)出明顯的不均勻性和分形特征,即具有以非整數(shù)維形式充填空間的形態(tài)特征。若僅采用普通分形維數(shù)的方法并不能詳細(xì)且全面地反映不同區(qū)域條件、不同尺度下的地形因子特征。在多重分形理論被提出后,由于其采用廣義維數(shù)和多重分形譜來(lái)描述分形客體,考慮了對(duì)象屬性在幾何支集的空間奇異性分布這一特點(diǎn)[1],即能考慮到復(fù)雜分形體內(nèi)部不同區(qū)域呈現(xiàn)出不同分形特征,因而逐漸被用于包括地形地貌學(xué)在內(nèi)的各種地理學(xué)相關(guān)研究。沈中原等[2]借助多重分形理論構(gòu)建了海拔信息空間分布概率計(jì)算模型;張建興等[3]探討了黃土高原若干流域的河網(wǎng)分形特征并基于此建立起產(chǎn)沙模數(shù)模型;王民等[4-5]運(yùn)用多重分形理論及其實(shí)現(xiàn)方法分析了大理河流域地表形態(tài)的多重分形特征。這些研究多運(yùn)用分形理論表征區(qū)域地貌形態(tài)的綜合特征[6],但對(duì)于黃土高原地區(qū)地形因子(如坡度)的多重分形研究還很少涉及。因此,本文運(yùn)用多重分形理論來(lái)研究黃土高原地區(qū)地形因子的特點(diǎn),旨在為黃土高原地區(qū)開展地形因子方面的研究提供參考。本研究對(duì)區(qū)域水文過程、水土流失預(yù)報(bào)模型的建立具有積極意義。
黃土高原地處中國(guó)中北部地區(qū),轄內(nèi)蒙古、山西、陜西、寧夏、甘肅、青海、河南7個(gè)省區(qū),東西跨越1 000 km多,南北跨越近750 km,總面積約為6.40×104km2,海拔高度介于1 000~3 000 m,是中國(guó)4大高原之一。黃土高原整體表現(xiàn)出西北高東南低的特點(diǎn),寧夏西南方的六盤山和山西西部的呂梁山將整個(gè)黃土高原劃分為3個(gè)部分,在此劃分基礎(chǔ)上進(jìn)一步按照地形地貌特點(diǎn)將黃土高原劃分為山地區(qū)、黃土丘陵區(qū)、黃土塬區(qū)以及河谷平原區(qū)4種類型。山地區(qū)主要包括馬銜山地區(qū)、拉脊山地區(qū)、六盤山地區(qū)、子午嶺地區(qū)、太行山地區(qū)和呂梁山地區(qū),海拔跨度大、地形地貌差異較大,由于長(zhǎng)期受重力、流水以及風(fēng)力等侵蝕因素的影響,山地區(qū)的地貌侵蝕現(xiàn)象嚴(yán)重,溝壑明顯,坡度較大;丘陵區(qū)作為黃土高原地區(qū)較為典型的地形地貌區(qū)域有著十分廣闊的分布區(qū)域,其占據(jù)了超過黃土高原地區(qū)一半的面積。丘陵區(qū)在黃土高原分布范圍遼闊,不同區(qū)域的丘陵區(qū)之間還存在不小的差異;黃土塬區(qū)中分布著大量塬面,塬面頂部十分平坦,地形復(fù)雜程度較低。與之形成強(qiáng)烈對(duì)比的是塬面周圍陡峭的溝壑,這些溝壑分布在一個(gè)又一個(gè)塬面之間,使得黃土塬區(qū)內(nèi)部的地形地貌形成了十分大的反差,地形復(fù)雜度對(duì)比強(qiáng)烈;河谷平原區(qū)以關(guān)中平原最具代表性,關(guān)中平原位于陜西省中部,呈東西帶狀分布,地形較為單一,多為平原,在長(zhǎng)期的沖擊下形成了平坦開闊的地貌景觀。
在黃土高原不同地貌類型區(qū)內(nèi)選擇合適的研究區(qū),獲取各子研究區(qū)的DEM(來(lái)源于地理空間數(shù)據(jù)云(http:∥www.gscloud.cn/,空間分辨率為30 m×30 m,并在GIS中提取得到坡度因子的柵格數(shù)據(jù);隨后,采用盒維數(shù)的計(jì)算方法,計(jì)算得到坡度因子的多重分形譜并對(duì)其主要參數(shù)及圖像特征進(jìn)行對(duì)比分析。
盒維數(shù)方法是一種基于統(tǒng)計(jì)學(xué)原理的計(jì)算多重分形的方法,具有簡(jiǎn)便且易于理解的特點(diǎn),經(jīng)常被用于地形地貌多重分形的計(jì)算[7]。盒維數(shù)是用一系列緊密相連的正方形盒子去覆蓋分形體,即將研究對(duì)象分為很多個(gè)(假設(shè)有i行j列總計(jì)N個(gè))尺度大小為r的正方形網(wǎng)格單元[8],然后計(jì)算每個(gè)網(wǎng)格單元內(nèi)的概率測(cè)度。對(duì)于坡度因子來(lái)說(shuō),概率測(cè)度的大小可以用坡度概率函數(shù)表示,每個(gè)小網(wǎng)格單元的坡度概率函數(shù)的計(jì)算公式為:
(1)
式中:Pij(r) 表示位于第i行第j列的網(wǎng)格的坡度概率函數(shù);Air(r)表示位于第i行第j列的網(wǎng)格內(nèi)的坡度統(tǒng)計(jì)值;N表示網(wǎng)格單元的總個(gè)數(shù),其在數(shù)值上滿足:N=i×j。
根據(jù)公式(1)并結(jié)合多重分形理論[9-10]可知,坡度概率函數(shù)可以粗略衡量一個(gè)網(wǎng)格單元區(qū)域的地形特點(diǎn),數(shù)值越小表示該網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)坡度越小,具有越平坦的地形特點(diǎn),如塬面、平原等;反之,坡度概率函數(shù)的數(shù)值越大表示網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)的坡度越大,地形起伏程度越大,如峁、坡面等。
在盒維數(shù)方法中,檢驗(yàn)一個(gè)研究對(duì)象是否具有多重分形特征,有一個(gè)配分函數(shù)的概念[11],配分函數(shù)的計(jì)算公式如下:
(2)
式中:Xq(r)表示分形體的配分函數(shù);Pij(r)表示位于第i行第j列的網(wǎng)格的坡度概率函數(shù);q表示階矩,可以取任意實(shí)數(shù),配分函數(shù)中q的取值直接影響著不同的概率測(cè)度在整個(gè)配分函數(shù)上所占比重的大小。
對(duì)于給定的一對(duì)r和q,都可以通過公式(1)和公式(2)計(jì)算得到一個(gè)配分函數(shù)。在盒維數(shù)方法中,如果研究對(duì)象具有多重分形特征,那么配分函數(shù)Xq(r)和r之間應(yīng)該滿足以下的關(guān)系[12]:
Xq(r)∝rτ(q)
(3)
式中:τ(q)是關(guān)于q的一個(gè)表達(dá)式,在探討研究對(duì)象是否具有多重分形特征的過程中無(wú)關(guān)緊要。
根據(jù)上述關(guān)系可知,對(duì)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù),lnXq(r)和lnr滿足線性關(guān)系。因此繪制以lnr為橫軸,lnXq(r)為縱軸的散點(diǎn)分布圖,對(duì)其擬合,如果lnXq(r)—lnr圖像為一系列斜率不等的直線,則表明研究對(duì)象具有多重分形特征[13],可以進(jìn)一步計(jì)算其多重分形譜及其特征參數(shù)。
本研究利用Chhabra等[14]提出的一種建立在盒維數(shù)方法基礎(chǔ)上的通過擬合參數(shù)計(jì)算多重分形譜的方法來(lái)計(jì)算多重分形譜。這種方法需要設(shè)立一個(gè)經(jīng)過歸一化處理的測(cè)度集μij(q,r),其計(jì)算公式如下:
(4)
在這個(gè)測(cè)度集的基礎(chǔ)上結(jié)合多重分形的概念,可以通過下面的公式來(lái)計(jì)算多重分形中的奇異指數(shù)α和分形維數(shù)f(α):
(5)
(6)
奇異指數(shù)α是一個(gè)標(biāo)度指數(shù),它是反映分形體內(nèi)各個(gè)小區(qū)間的奇異程度的一個(gè)量,α的數(shù)值與其所在的位置有關(guān)。將分形上具有相同α值的小區(qū)間數(shù)記為f(α),基于此可以得到α—f(α)的函數(shù)圖像,稱為奇異譜。橫坐標(biāo)的范圍是多重分形譜奇異指數(shù)α的分布范圍,α的大小反映該部分的奇異程度。
在計(jì)算時(shí),常常按照公式(5)和公式(6)的數(shù)學(xué)幾何意義借助擬合的方法來(lái)得到α和f(α)的值。將公式(5)處理可得:
(7)
公式(7)根據(jù)一次函數(shù)相關(guān)概念及其圖像性質(zhì)可知α為∑μij(q,r)·lnPij(r)—lnr圖像的斜率,類似地,f(α)為∑〔μij(q,r)·lnμij(q,r)〕—lnr圖像的斜率。
首先確定一個(gè)q值,保持階矩q不變而改變尺度r,每選取一個(gè)r進(jìn)行計(jì)算,按照公式(1),(2),(4)就可以得到一個(gè)對(duì)應(yīng)的∑μij(q,r)·lnPij(r)—lnr和∑〔μij(q,r)·lnμij(q,r)〕,通過在二維坐標(biāo)系中進(jìn)行擬合便可得到每個(gè)q對(duì)應(yīng)的奇異指數(shù)α和分形維數(shù)f(α)。改變階矩q的值,便能得到一系列的α和f(α),而多重分形譜就是以α為橫坐標(biāo),f(α)為縱坐標(biāo)的圖像。
(1) 格網(wǎng)大小(尺度)r的選取。根據(jù)多重分形理論,格網(wǎng)的大小直接影響到格網(wǎng)的總數(shù)量和每個(gè)格網(wǎng)的概率測(cè)度,這兩個(gè)因素決定著多重分形計(jì)算過程中的效率和準(zhǔn)確性,因此從簡(jiǎn)便、可實(shí)施的角度出發(fā),需選取大小為30 m整數(shù)倍的格網(wǎng)來(lái)覆蓋研究區(qū)。結(jié)合所選4個(gè)研究區(qū)坡度數(shù)據(jù)的實(shí)際情況,規(guī)定一個(gè)柵格大小即30 m為一個(gè)單位,通過反復(fù)試驗(yàn)最終選取格網(wǎng)尺度大小為20,30, 40,…,190,200個(gè)單位,亦即600,900,1 200,…,5 700,6 000 m,共19種。
(2) 階距q取值范圍的確定。公式(3)配分函數(shù)中q的取值直接影響著不同的概率測(cè)度在整個(gè)配分函數(shù)上所占比重的大小[15],當(dāng)q取正值且取值越大,配分函數(shù)越能反映具有較大坡度概率函數(shù)的那些網(wǎng)格單元的特征和性質(zhì);當(dāng)q取負(fù)值且取值越小,則配分函數(shù)越能反映具有較小坡度概率函數(shù)的那些網(wǎng)格單元的特征和性質(zhì)。因而q的取值對(duì)配分函數(shù)的計(jì)算結(jié)果影響很大,不同區(qū)域坡度的位置分布和大小范圍不同,各研究區(qū)q的取值范圍也不同,研究表明,在地形地貌多重分形的計(jì)算中,q值分布在0左右且通常介于±30之間[4]。
本研究對(duì)每一個(gè)子研究區(qū)在-50~50之間等間距選取不同的q值,通過盒維數(shù)計(jì)算多重分形譜的方法驗(yàn)證q是否在合適的區(qū)間。在初步確定q的合適區(qū)間后繼續(xù)加密q的取值,最終得到每個(gè)研究區(qū)階矩q的最佳取值范圍見表1。
表1 研究區(qū)q最佳取值范圍
為更詳細(xì)、系統(tǒng)地了解各研究區(qū)坡度大小的分布情況,對(duì)4個(gè)研究區(qū)的坡度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)(圖1)。可以看出,山地區(qū)、黃土丘陵區(qū)、黃土塬區(qū)、河谷平原區(qū)的坡度介于0°~10°之間的柵格占比分別為35.80%,35.50%,60.75%,>99.99%;介于10°~20°之間的柵格占比分別為24.23%,40.59%,16.94%,<0.01%;介于20°~30°之間的柵格占比分別為20.48%,20.92%,13.74%,0%;介于30°~40°之間的柵格占比分別為15.76%,2.89%,7.54%,0%;介于40°~50°之間的柵格占比分別為3.63%,0.10%,1.02%,0%;介于50°~60°之間的柵格占比分別為0.1%,0%,0.01%,0%。
圖1 研究區(qū)不同地形坡度統(tǒng)計(jì)
由統(tǒng)計(jì)結(jié)果得知:①山地區(qū)的坡度分布區(qū)間最大,大部分柵格處于0°~20°這一中小坡度區(qū)間,坡度大于40°的區(qū)間在4個(gè)研究區(qū)中占比最高;②黃土丘陵區(qū)坡度介于0°~10°區(qū)間內(nèi)的占比最少,坡度大部分位于10°~20°這一坡度范圍內(nèi)。同時(shí),大于30°的坡度占比較小,因此在黃土丘陵研究區(qū)內(nèi)大坡度的地形較少,地形特點(diǎn)較為均一;③黃土塬區(qū)有大面積的平坦塬面,坡度大部分介于0°~10°之間,因此坡度值往往很小,由于所選研究區(qū)面積固定為30 km×30 km,在這樣一個(gè)較大的范圍內(nèi)不可避免地包括了塬面周圍的切溝、坡面等非塬面地形,因此也存在少量坡度大于20°的非塬面特征柵格;④河谷平原區(qū)的坡度統(tǒng)計(jì)圖特征十分明顯,幾乎所有柵格的坡度均介于0°~10°之間,在4個(gè)研究區(qū)中地形最為平坦。
在計(jì)算坡度信息多重分形譜前需要先驗(yàn)證研究對(duì)象是否具有多重分形特征。為此,在平面坐標(biāo)系中,以lnr為橫坐標(biāo),lnXq(r)為縱坐標(biāo),繪制出每個(gè)研究區(qū)的lnXq(r)曲線,4個(gè)研究區(qū)坡度地形因子繪制的lnXq(r)—lnr曲線見圖2。
從圖2中可以看出,每個(gè)研究區(qū)在各自合適的q范圍內(nèi),當(dāng)尺度對(duì)數(shù)滿足3.0≤lnr≤5.3時(shí),配分函數(shù)對(duì)數(shù)與尺度對(duì)數(shù)之間存在很好的線性關(guān)系,表明黃土高原區(qū)域上述4個(gè)研究區(qū)的坡度信息具有明顯的多重分形特征,可以進(jìn)行多重分形譜的計(jì)算。
圖2 研究區(qū)不同地形lnXq(r)-lnr特征
以坡度數(shù)據(jù)為基礎(chǔ),利用多重分形理論原理和計(jì)算方法得到研究區(qū)坡度信息多重分形譜散點(diǎn)分布圖(圖3)及其參數(shù)結(jié)果(表2)。由圖3的多重分形譜可以看出,不同研究區(qū)的多重分形譜均為凸函數(shù)。在一個(gè)研究區(qū)內(nèi),多重分形譜函數(shù)值隨著坡度奇異指數(shù)的增加均呈現(xiàn)出先遞增后遞減的變化特征。而在各研究區(qū)之間,坡度多重分形譜的對(duì)稱性、圖像分布范圍均有不同,這是由于各研究區(qū)多重分形譜參數(shù)的差異導(dǎo)致的。通過對(duì)多重分形譜圖的二維坐標(biāo)系進(jìn)行擬合,得到各研究區(qū)詳細(xì)的多重分形譜參數(shù)信息見表2。
圖3 研究區(qū)不同地形多重分形譜特征
表2 研究區(qū)多重分形特征參數(shù)
從多重分形譜參數(shù)統(tǒng)計(jì)表中可以看出,最小坡度奇異指數(shù)的最大值為1.94,出現(xiàn)在黃土丘陵區(qū),最小值為1.82,出現(xiàn)在黃土塬區(qū),說(shuō)明在4個(gè)研究區(qū)中,坡度最大的地貌單元出現(xiàn)在黃土塬區(qū)(奇異指數(shù)最小值對(duì)應(yīng)的是坡度最大地貌單元的性質(zhì));最小坡度奇異指數(shù)相應(yīng)的多重分形譜值的最大值為1.78,出現(xiàn)在黃土塬區(qū),最小值為1.45,出現(xiàn)在黃土丘陵區(qū),這說(shuō)明最小坡度奇異指數(shù)對(duì)應(yīng)的地貌類型單元在黃土塬區(qū)所占比例最大,這與魯克新等[16]的研究結(jié)果相一致,在黃土丘陵區(qū)所占比例最小,即坡度最大的子區(qū)域在黃土塬區(qū)占比最高,而在黃土丘陵區(qū)占比最低;最大坡度奇異指數(shù)的最大值為2.90,出現(xiàn)在黃土塬區(qū),最小值為2.07,出現(xiàn)在黃土丘陵區(qū),說(shuō)明地形特征最簡(jiǎn)單的地貌單元出現(xiàn)在黃土塬區(qū);最大坡度奇異指數(shù)所對(duì)應(yīng)的多重分形譜值最大值為1.63,出現(xiàn)在河谷平原區(qū),最小值為1.56,出現(xiàn)在黃土塬區(qū),說(shuō)明最大坡度奇異指數(shù)對(duì)應(yīng)的地貌類型單元在河谷平原區(qū)所占比例最大,在黃土塬區(qū)所占比例最小。黃土塬區(qū)對(duì)應(yīng)的坡度奇異指數(shù)的極值最大,為1.08,山地區(qū)次之,為0.50,然后是河谷平原區(qū)的0.35,而黃土丘陵區(qū)為0.13。
在多重分形譜左端點(diǎn)值與右端點(diǎn)值之差這個(gè)參數(shù)上,從絕對(duì)值的大小來(lái)看,黃土塬區(qū)最大,數(shù)值為0.22,說(shuō)明該研究區(qū)最小坡度奇異指數(shù)對(duì)應(yīng)的地貌單元所占比例與最大坡度奇異指數(shù)對(duì)應(yīng)的地貌單元所占比例的差異性最大,黃土丘陵區(qū)次之,差異性最小的是河谷平原區(qū)。從正負(fù)的角度來(lái)看,黃土丘陵區(qū)和河谷平原區(qū)為負(fù)值,山地區(qū)、黃土塬區(qū)為正值,說(shuō)明前兩個(gè)研究區(qū)的大坡度地貌單元所占比重較后兩個(gè)研究區(qū)要小。
目前,已有大量研究者采用簡(jiǎn)單分形維數(shù)、多重分形譜和聯(lián)合多重分形等方法來(lái)表征復(fù)雜地貌的形態(tài)及其特征[17],但對(duì)于坡度因子的多重分形研究還很少涉及。本研究在DEM數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上,將黃土高原按照不同地形地貌劃分為山地區(qū)、黃土丘陵區(qū)、黃土塬區(qū)、河谷平原區(qū),并對(duì)坡度因子的多重分形譜圖像和多重分形特征參數(shù)進(jìn)行了對(duì)比分析,總結(jié)出各自區(qū)域的多重分形譜特點(diǎn),為后續(xù)開展黃土高原地形因子方面的研究打下了基礎(chǔ),對(duì)區(qū)域水文過程、水土流失預(yù)報(bào)模型的建立具有積極意義。
像元尺度的選取是地形因子分形維數(shù)計(jì)算的關(guān)鍵,像元尺度在范圍之外時(shí),地形因子的分形計(jì)算沒有意義。本研究對(duì)研究區(qū)的多重分形特征進(jìn)行驗(yàn)證,結(jié)果表明尺度對(duì)數(shù)滿足3.0≤lnr≤5.3時(shí),黃土高原地區(qū)坡度地形因子的配分函數(shù)對(duì)數(shù)與尺度對(duì)數(shù)之間的線性關(guān)系良好,表明黃土高原區(qū)域上述4個(gè)研究區(qū)的坡度信息具有明顯的多重分形特征,可以進(jìn)行多重分形譜的計(jì)算。
不同地形的多重分形譜圖以及特征參數(shù)都有著明顯的差異,其橫坐標(biāo)奇異指數(shù)α的大小反映該區(qū)域的奇異程度,這一參數(shù)的數(shù)值越大,表明分形體坡度特征的分異現(xiàn)象越大,其內(nèi)部越不均勻、越復(fù)雜,兩極化趨勢(shì)越明顯,α最小值、最大值所對(duì)應(yīng)的多重分形譜值記為f(αmin),f(αmax),描述了小坡度單元區(qū)域和大坡度單元區(qū)域在整個(gè)研究區(qū)域內(nèi)所占的比例高低。通過多重分形譜的研究可以發(fā)現(xiàn),最小坡度奇異指數(shù)的最小值為1.82,相應(yīng)的多重分形譜值的最大值為1.78,最大坡度奇異指數(shù)在4個(gè)研究區(qū)內(nèi)最大,所對(duì)應(yīng)的多重分形譜在4個(gè)研究區(qū)最小為1.57,說(shuō)明坡度最小地貌單元在黃土塬區(qū)所占比例最小,坡度最大的地貌單元出現(xiàn)在黃土塬區(qū)且占比最高。黃土丘陵區(qū)、河谷平原區(qū)則表現(xiàn)出較小的奇異指數(shù)變化范圍,黃土丘陵區(qū)最小坡度奇異指數(shù)的最小值為1.94,最大值為2.07,河谷平原區(qū)最小坡度奇異指數(shù)的最小值為1.85,最大值為2.19,相比之下地形較為均一。
通過多重分形譜與統(tǒng)計(jì)直方圖對(duì)照研究可以發(fā)現(xiàn),在4個(gè)研究區(qū)中,黃土塬區(qū)有不少坡度達(dá)到了40°,且坡度最大的地貌單元出現(xiàn)在黃土塬區(qū)且占比最高,在地勢(shì)平坦的塬面出現(xiàn)這種情況是由于所選研究區(qū)面積固定為30 km×30 km,而單個(gè)塬面通常面積有限,在這樣一個(gè)較大且規(guī)則的范圍內(nèi)不可避免地包括了塬面周圍的切溝、坡面等非塬面地形,因此其坡度統(tǒng)計(jì)中也存在少量坡度大于20°的非塬面特征柵格,這也是黃土塬區(qū)的多重分形譜中奇異指數(shù)最小、對(duì)應(yīng)的多重分形譜值在4個(gè)研究區(qū)中最大的原因,同時(shí)也反映了研究區(qū)地形復(fù)雜的特點(diǎn)。結(jié)合多重分形理論的相關(guān)知識(shí)發(fā)現(xiàn),本研究結(jié)果與實(shí)際情況有著較好的對(duì)應(yīng),表明基于多重分形理論與方法對(duì)黃土高原地區(qū)的地形因子進(jìn)行量化研究是可行的,為黃土高原地區(qū)開展地形因子方面的研究提供了參考,對(duì)區(qū)域水文過程模擬、水土流失預(yù)報(bào)模型的建立具有積極意義。可為黃土高原的地貌學(xué)研究、土壤侵蝕研究和水土保持規(guī)劃工作的開展提供技術(shù)支持和幫助。