魯 拓，唐亞明，李喜安，任永彪，任宏玉

(1.長(zhǎng)安大學(xué)地質(zhì)工程與測(cè)繪學(xué)院, 西安 710064; 2.中國(guó)地質(zhì)調(diào)查局西安地質(zhì)調(diào)查中心, 西安 710054)

黃土是干旱與半干旱地區(qū)第四紀(jì)歷史時(shí)期的風(fēng)積沉積物，由于其特定的沉積環(huán)境和沉積時(shí)期，往往使其具有特殊的柱狀節(jié)理和大孔隙架空結(jié)構(gòu),而這種疏松多孔的特質(zhì)為水在土體中的運(yùn)移提供了便利。隨著黃土地區(qū)的工程建設(shè)日益擴(kuò)大，其滲透性對(duì)工程穩(wěn)定性影響愈發(fā)突出，如土壩壩基的滲透問題、土坡坡面的滲流問題、地下水運(yùn)移問題等等。而孔隙空間則是作為滲透作用發(fā)生的主要場(chǎng)所，是影響滲透性的客觀基礎(chǔ)，其結(jié)構(gòu)組成也往往與滲透性密切相關(guān)。

目前研究多孔介質(zhì)孔隙結(jié)構(gòu)組成的方法較多，間接方法如壓汞法、低溫氮吸附法、小角度X射線散射法等。直接方法如掃描電鏡、CT掃描、核磁共振等。其中壓汞法最為常用且已廣泛應(yīng)用于多孔介質(zhì)的孔隙分析中。由于復(fù)雜的多孔介質(zhì)孔隙結(jié)構(gòu)很難依據(jù)傳統(tǒng)幾何方法準(zhǔn)確量化其幾何特征，而分形理論為解決多孔介質(zhì)微觀孔隙復(fù)雜程度提供了一種新的方法思路[1-2]。Pfeifer等[1]則在用分子吸附技術(shù)研究巖石孔隙結(jié)構(gòu)后提出多孔介質(zhì)具有分形結(jié)構(gòu)的概念。隨后，Rieu等[2]基于“Sierpinski”地毯模型建立了孔隙分形模型。由此，眾多學(xué)者紛紛基于這種可間接測(cè)得孔隙分布含量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，運(yùn)用各種分形模型計(jì)算了多種多孔介質(zhì)的分形維數(shù)。Zhang等[3]基于壓汞試驗(yàn)和熱力學(xué)理論建立了孔隙表面分形維數(shù)計(jì)算模型。郁伯銘等[4]在研究大量分形多孔介質(zhì)輸運(yùn)的特征后提出了基于孔隙率的孔隙質(zhì)量分形模型及迂曲度分形模型，此模型對(duì)于評(píng)價(jià)多孔介質(zhì)滲透率有著重要參考。郝兆棟等[5]基于幾何模型利用壓汞試驗(yàn)及低溫氮吸附試驗(yàn)對(duì)腐泥煤多孔介質(zhì)計(jì)算了綜合分形維數(shù)。王聰樂等[6]基于三維球模型、三維毛管模型、幾何模型、體積分形維數(shù)模型等利用壓汞試驗(yàn)討論了油氣儲(chǔ)層巖石各種分維數(shù)的關(guān)系及與滲透系數(shù)、孔隙率的關(guān)系。王艷艷等[7]綜述了孔隙和顆粒分形方法對(duì)量化研究土壤結(jié)構(gòu)及其水力性質(zhì)具備可行性。Huang等[8]利用低溫N2吸附數(shù)據(jù)對(duì)貴州龍?zhí)督M海陸過渡頁(yè)巖的孔隙結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分形表征，并討論了其與滲透率的關(guān)系。Kong等[9]基于孔隙分形特征對(duì)多孔巖土材料建立了一種孔徑分布的特征分形模型，以此來研究其水理性質(zhì)。白耀文等[10]基于體積分形維數(shù)模型利用壓汞試驗(yàn)對(duì)延長(zhǎng)組致密砂巖油氣儲(chǔ)層巖樣進(jìn)行了分維計(jì)算，并探討了與滲透率關(guān)系。Dou等[11]基于壓汞試驗(yàn)及圖像分析等技術(shù)討論了孔隙不同分形模型對(duì)評(píng)價(jià)砂巖滲透率的影響，發(fā)現(xiàn)不同模型計(jì)算的分形維數(shù)不同，且分形維數(shù)越大，滲透系數(shù)越低。不僅如此，郁伯銘等[4]還認(rèn)為孔隙分形的自相似區(qū)間最小值與最大值應(yīng)至少相差兩個(gè)數(shù)量級(jí)才有綜合反應(yīng)結(jié)構(gòu)的意義。

綜上，利用間接測(cè)量多孔介質(zhì)孔隙分布含量，或者說得到其孔隙分布函數(shù)，并以此來計(jì)算孔隙分形維數(shù)，并用分形維數(shù)表征孔隙結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，屢見不鮮。但是，基于各種分形模型利用壓汞試驗(yàn)主要對(duì)馬蘭黃土孔隙分形維數(shù)的探討及其與滲透性的關(guān)系方面的研究鮮有報(bào)道，以及哪一種模型在什么樣的尺度范圍內(nèi)更加適用于表征馬蘭黃土孔隙結(jié)構(gòu)特征都值得討論。用滲透系數(shù)表征滲透性大小，基于各種分形模型利用壓汞試驗(yàn)探討馬蘭黃土分形維數(shù)特征與滲透性關(guān)系，這對(duì)馬蘭黃土孔隙結(jié)構(gòu)量化研究及其對(duì)滲透性的影響具有理論參考價(jià)值，對(duì)實(shí)際黃土工程地區(qū)滲流破壞及其防治有實(shí)際參考意義。

1 試驗(yàn)材料和方法

1.1 試樣基本物理指標(biāo)

試樣選自呂梁地區(qū)柳林縣、隰縣、大寧縣、吉縣、鄉(xiāng)寧縣、汾西縣、孝義市、汾陽(yáng)市、交城縣、嵐縣10個(gè)地區(qū)的典型原狀Q3馬蘭黃土(圖1)，采取深挖取樣方式獲得原狀黃土試樣，表1為試樣基本物理指標(biāo)及采用室內(nèi)變水頭滲透試驗(yàn)測(cè)試的滲透系數(shù)。

圖1 Q3馬蘭黃土取樣地點(diǎn)及現(xiàn)場(chǎng)

表1 基本物理指標(biāo)及滲透系數(shù)

1.2 孔隙分布特征與滲透系數(shù)關(guān)系

孔隙分析采用美國(guó)麥克儀器AutoPore IV 9500高性能全自動(dòng)壓汞儀測(cè)試，測(cè)試壓力范圍0.03～419 MPa，汞表面張力485 mN/m，汞接觸角 130°。顆粒平均粒徑采用Bettersize 2000激光粒度儀測(cè)試然后再求取平均粒徑，為后文用Kozeny-Carman方程計(jì)算理論滲透率提供試驗(yàn)參數(shù)。

通過壓汞法所測(cè)孔隙結(jié)構(gòu)參數(shù)排驅(qū)壓力Pcd的定義為進(jìn)汞曲線中平緩處的拐點(diǎn)[圖2(a)，試樣11]，若進(jìn)汞曲線拐點(diǎn)不明顯則將第i次與i+1次進(jìn)汞的飽和度SHg差值首次大于3%的點(diǎn)作為排驅(qū)壓力點(diǎn)[圖2(a)，試樣9]。雷祥義[12]首次應(yīng)用壓汞法定量揭示了黃土中不同大小孔隙的分布，并按照所測(cè)孔隙直徑d的大小將孔隙劃分為微孔隙n1(2 μm≥d)、小孔隙n2(8 μm≥d>2 μm)、中孔隙n3(32 μm≥d>8 μm)、大孔隙n4(32 μm

P為進(jìn)汞壓力，MPa；SHg為進(jìn)汞飽和度，%；n1、n2、n3、n4分別為微孔隙、小孔隙、中孔隙、大孔隙的百分含量

2 分形特征

2.1 分形模型及計(jì)算結(jié)果

分形理論的一個(gè)最基本關(guān)系式就是分形物體的度量M(ε)與測(cè)量尺度ε服從標(biāo)度關(guān)系[1,5]

M(ε)∝εD

(1)

式(1)中：D為分形維數(shù)；M(ε)為一個(gè)物體的質(zhì)量、體積、面積、長(zhǎng)度等參數(shù)；ε為測(cè)量尺度。

當(dāng)測(cè)量尺度ε在自相似區(qū)間范圍內(nèi)改變時(shí)，分形物體度量M(ε)也隨之改變，但分形維數(shù)D基本不變，對(duì)式(1)兩邊取對(duì)數(shù)則得到一條直線，其斜率為分形維數(shù)。雖然分形理論已廣泛應(yīng)用于多孔介質(zhì)的孔隙量化分析中，但是不同的多孔介質(zhì)在什么樣的自相似區(qū)間內(nèi)應(yīng)用何種模型仍值得探究。由“Sierpinski”地毯模型和基于實(shí)測(cè)孔隙分布含量衍生的計(jì)算孔隙分形維數(shù)模型有:三維球模型[9]、三維毛管模型[9]、幾何模型[9]、體積分形模型(潤(rùn)濕相模型)[4,9]、質(zhì)量分形(面積分形)模型[4]，由熱力學(xué)理論和實(shí)測(cè)孔隙分布函數(shù)衍生建立的分形模型有孔隙表面分形模型[3]，值得一提的是質(zhì)量分形模型強(qiáng)調(diào)孔隙率，體積分形模型強(qiáng)調(diào)孔徑搭配。本文中整理了這些計(jì)算模型的表達(dá)函數(shù)，如表2所示。并且，尺度范圍、模型類型、參數(shù)選取更是分形理論正確應(yīng)用的前提。尺度范圍問題，即孔徑上下限選取問題(自相似區(qū)間問題)以及選取該區(qū)間是否具有綜合代表性問題。

表2 分形模型

但是，由于實(shí)際測(cè)量試驗(yàn)的誤差，上下限還受控于測(cè)試手段的缺陷，如當(dāng)壓力超過10 MPa時(shí)會(huì)使得疏松多孔介質(zhì)發(fā)生壓縮甚至破裂從而改變?cè)紫断到y(tǒng)[13]，故經(jīng)過篩選選取孔徑大于0.2 μm以上的孔隙參與分形計(jì)算[圖3(a)]。依據(jù)分形理論，分形自相似區(qū)間應(yīng)該至少相差兩個(gè)數(shù)量級(jí)dmin/dmax≤10-2才具有分形計(jì)算意義[14]，所算維數(shù)才具有一定的代表性，區(qū)間數(shù)量級(jí)往往記為dmin/dmax≤10-2和dmin/dmax≤10-3，d為所測(cè)直徑。結(jié)合本文壓汞試驗(yàn)實(shí)際，試樣最大孔徑為429.59 μm，故選取的尺度范圍為三種：范圍Ⅰ：430～2 μm；范圍Ⅱ：32～0.2 μm；范圍Ⅲ：430～0.2 μm。Ⅰ、Ⅱ區(qū)間數(shù)量級(jí)為dmin/dmax≤10-2，Ⅰ區(qū)間涵蓋大、中、小孔隙，Ⅱ區(qū)間涵蓋中、小、部分微孔隙。Ⅲ區(qū)間數(shù)量級(jí)為dmin/dmax≤10-3，涵蓋大、中、小、部分微孔隙。模型選取問題，考慮該尺度范圍內(nèi)采取該模型計(jì)算時(shí)是否具有線性回歸的特征。我們采用線性回歸的擬合度R2(>0.75)來判定是否具有線性特征，再者通過模型計(jì)算的分形維數(shù)值理應(yīng)介于2～3，最后通過該模型計(jì)算的分形維數(shù)與滲透系數(shù)是否具有相關(guān)性來決定是否選取該模型。參數(shù)選取問題，主要為各模型的因變量與自變量特征及進(jìn)一步的選取孔徑數(shù)值d的問題。第i次進(jìn)汞和第i+1次進(jìn)汞區(qū)間內(nèi)，代表此孔隙體積區(qū)間的孔徑一般為調(diào)和平均數(shù)dh、幾何平均數(shù)dg、算術(shù)平均數(shù)da、平方平均數(shù)ds這四種，四種孔徑平均數(shù)對(duì)計(jì)算分形維數(shù)是否有影響及影響多大值得探討。

因此，對(duì)于Q3馬蘭黃土的分形模型也主要基于滲透系數(shù)并從尺度范圍、模型類型、參數(shù)選取三個(gè)方面進(jìn)行討論(表2、圖3)。選取的參與分形維數(shù)計(jì)算的孔徑范圍下限(0.2 μm)為大于10 MPa所對(duì)應(yīng)的孔徑，此范圍的進(jìn)汞過程中，土樣未發(fā)生壓縮，故具有合理性[圖3(a)]。由圖3(b)知通過四種孔徑平均數(shù)計(jì)算的分形維數(shù)相差甚小，并應(yīng)用其他模型計(jì)算得到類似結(jié)果，故涉及孔徑參與的分形維數(shù)的計(jì)算本文采用算術(shù)平均數(shù)da代表d。由圖3(c)知，相同試樣的相同尺度范圍內(nèi)不同模型計(jì)算的分形維數(shù)相差很大，其中三維球模型計(jì)算的分形維數(shù)最大(>3)。相同試樣不同尺度范圍內(nèi)的分形維數(shù)相差很大，其中范圍Ⅰ與范圍Ⅱ相差較近，范圍Ⅰ計(jì)算的分形維數(shù)普遍大于范圍Ⅱ、Ⅲ[圖3(b)、圖3(c)]，這說明孔徑越大，孔隙的空間展布越是復(fù)雜，分形維數(shù)越大。通過圖3(c)，篩選出合理的分形維數(shù)，分別是：范圍Ⅰ質(zhì)量分形模型計(jì)算的Ⅰ-D5、孔隙表面分形模型計(jì)算的Ⅰ-D6，范圍Ⅱ內(nèi)質(zhì)量分形模型計(jì)算的Ⅱ-D5、孔隙表面分形模型計(jì)算的Ⅱ-D6；范圍Ⅲ三維毛管模型計(jì)算的Ⅲ-D2、體積分形模型計(jì)算的Ⅲ-D4、質(zhì)量分形模型計(jì)算的Ⅲ-D5、孔隙表面分形模型計(jì)算的Ⅲ-D6，部分計(jì)算過程如圖3(d)所示。

圖3 Q3馬蘭黃土分形維數(shù)計(jì)算

2.2 分形與滲透系數(shù)關(guān)系

理論滲透率，亦稱固有滲透率，采用半經(jīng)驗(yàn)Kozeny-Carman方程計(jì)算，記為k′，表達(dá)式為

(2)

式(2)中：平均粒徑采用幾何平均粒徑來等效[15]。假定室內(nèi)試驗(yàn)的滲流過程符合達(dá)西定律，得

(3)

(4)

式中:φ為孔隙率；CKC為K-C常數(shù)，通常通過試驗(yàn)測(cè)定；ρw為水的密度，kg/m3；g為重力加速度，m/s2；μw為水的動(dòng)力黏滯系數(shù)，Pa·s；C為常數(shù)，經(jīng)過與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行校正，取C=1.592×10-6，由式(4)可得理論滲透系數(shù)。

將擬合程度大于0.7以上的分形維數(shù)認(rèn)為是與滲透系數(shù)K具有相關(guān)性的，由圖4知，基于孔隙率的質(zhì)量分形模型計(jì)算的分形維數(shù)在三個(gè)尺度范圍內(nèi)均與滲透系數(shù)呈正相關(guān)，相關(guān)性均達(dá)到了0.79以上，這說明，隨著質(zhì)量分形維數(shù)增大滲透性在增強(qiáng)。并且無論是大、中、小孔隙組合，或中、小、部分微孔隙組合、還是大、中、小、部分微孔隙組合，其孔隙率始終是滲透性的主要影響因素?；诳讖酱钆涞捏w積分形模型計(jì)算的分形維數(shù)只在尺度范圍Ⅲ:430～0.2 μm內(nèi)與滲透系數(shù)呈負(fù)相關(guān)，相關(guān)性為0.70以上，這意味著隨著體積分形維數(shù)增大滲透性在下降。并且僅當(dāng)大、中、小、部分微孔隙組合時(shí)才能綜合反映孔隙的搭配復(fù)雜程度，且這種搭配結(jié)構(gòu)復(fù)雜性對(duì)滲透性有重要影響。

圖4 Q3馬蘭黃土孔隙分形維數(shù)與滲透系數(shù)相關(guān)性分析

孔隙結(jié)構(gòu)迂曲程度對(duì)滲透作用的發(fā)生同樣影響深遠(yuǎn)，且迂曲度已作為滲透性評(píng)價(jià)的重要指標(biāo)[4]，而迂曲度分形維數(shù)則是刻畫這種迂曲程度的度量。郁伯銘等[4]基于孔隙分形維數(shù)對(duì)迂曲度分形維數(shù)進(jìn)行了一般表達(dá)，即

(5)

(6)

式中：DT為迂曲度分形維數(shù)；τav為孔隙平均迂曲度；D為孔隙三維分形維數(shù)減去1，或者為孔隙二維分形維數(shù)。

圖5為通過質(zhì)量分形維數(shù)D5、體積分形維數(shù)D4計(jì)算的迂曲度分形維數(shù)，即將其減去1認(rèn)為是式(6)中的D。結(jié)果表明，通過此兩者分形維數(shù)計(jì)算的迂曲度分形維數(shù)均與滲透系數(shù)呈良好的負(fù)相關(guān)，相關(guān)性均大于0.79。這說明隨著迂曲度分形維數(shù)的增加，孔隙迂曲程度也在增加，Q3馬蘭黃土的滲透能力則在減小，同時(shí)也說明所篩選的分形維數(shù)具有合理性。

圖5 Q3馬蘭黃土孔隙迂曲度分形維數(shù)與滲透系數(shù)相關(guān)性分析

圖6為質(zhì)量分形維數(shù)和體積分形維數(shù)與其他參數(shù)的相關(guān)性分析。排驅(qū)壓力Pcd、微孔隙含量n1與質(zhì)量分形維數(shù)呈負(fù)相關(guān)，相關(guān)性均大于0.70，從孔隙演化的角度看，隨著沉積環(huán)境、顆粒組分、密度等的改變，大的孔隙在被壓縮轉(zhuǎn)化成較小孔隙的過程中，總孔隙率在減小的同時(shí)而較小孔隙含量卻在增加。故微孔隙含量會(huì)影響孔隙率再而影響質(zhì)量分形維數(shù)。中值孔徑與質(zhì)量分形維數(shù)呈指數(shù)正相關(guān)，相關(guān)性0.74以上，甚至高達(dá)0.90以上，孔徑越大孔隙率就越大，導(dǎo)致質(zhì)量分形維數(shù)越大。而前述變化規(guī)律與體積分形維數(shù)則恰好相反，微孔隙含量增加導(dǎo)致排驅(qū)壓力增大，中值孔徑也會(huì)增大，進(jìn)而增加孔隙搭配結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，導(dǎo)致體積分形維數(shù)增大。

We為退汞效率，%;Sp為分選系數(shù)；Dr為變異系數(shù)；dg為中值粒徑，μm

綜上，質(zhì)量分形維數(shù)強(qiáng)調(diào)的是尺度范圍內(nèi)的孔隙率，孔隙率越大，其值也越大。而體積分形維數(shù)強(qiáng)調(diào)的是孔徑搭配，其值越大表示孔徑搭配結(jié)構(gòu)越是復(fù)雜且較小孔隙含量越多。兩者均作為影響Q3馬蘭黃土滲透性的重要因素。

3 結(jié)論

基于壓汞試驗(yàn)和分形理論,在不同尺度范圍應(yīng)用多種模型計(jì)算分形維數(shù)并與實(shí)測(cè)及理論滲透系數(shù)進(jìn)行相關(guān)性分析，取得如下認(rèn)識(shí)。

(1)基于滲透性的Q3馬蘭黃土孔隙適用的分形模型為質(zhì)量分形模型和體積分形模型，質(zhì)量分形維數(shù)在尺度范圍430～2 μm、32～0.2 μm、430～0.2 μm內(nèi)均與滲透系數(shù)呈正相關(guān)，相關(guān)性0.79以上，說明孔隙率始終是左右滲透性的關(guān)鍵因素。在尺度范圍430～0.2 μm體積分形維數(shù)與滲透系數(shù)呈負(fù)相關(guān)，相關(guān)性0.70以上，說明大、中、小、部分微孔隙組合時(shí)才能綜合反映孔隙的搭配復(fù)雜程度。同時(shí)通過它們計(jì)算的迂曲度分形維數(shù)均有滲透系數(shù)呈負(fù)相關(guān)，相關(guān)性0.79以上，說明了這兩種模型計(jì)算的分形維數(shù)具有合理性。

(2)排驅(qū)壓力、微孔隙含量與質(zhì)量分形維數(shù)呈負(fù)相關(guān)、中值孔徑與其呈正相關(guān)，相關(guān)性0.74以上，而這種變化規(guī)律與體積分形維數(shù)恰好相反。大的孔隙在轉(zhuǎn)化成較小孔隙的過程中，總孔隙率在減小的同時(shí)而較小孔隙含量卻在增加，增加孔隙搭配結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，進(jìn)而影響滲透性，造成質(zhì)量分形維數(shù)減小的同時(shí)體積分形維數(shù)增大。因此基于孔隙率的質(zhì)量分形維數(shù)與基于孔徑搭配的體積分形維數(shù)對(duì)馬蘭黃土孔隙結(jié)構(gòu)量化有理論參考價(jià)值。對(duì)黃土工程地區(qū)滲流破壞及其預(yù)防有實(shí)際參考意義。