二連桿機(jī)械臂的重復(fù)性滑?？刂?/h1>
2021-08-03 09:17:58趙逸吉
科技創(chuàng)新與應(yīng)用 2021年20期
趙逸吉
（延鋒安道拓座椅有限公司，上海201315）
1 項(xiàng)目概述
本文的控制對象是一個二連桿機(jī)器人，如圖1所示，目標(biāo)是使其末端器（end effector）跟蹤一條周期性的期望路徑，誤差盡可能小。
圖1 控制對象的實(shí)物圖與示意圖
兩個Maxon EC電機(jī)用于分別控制兩桿，正交編碼器記錄脈沖數(shù)，同時計(jì)算轉(zhuǎn)動的角度。由于存在摩擦、重力力矩變化，尤其還有因齒隙（backlash）等裝配誤差，該控制對象是一個非線性較強(qiáng)的二階系統(tǒng)。為使其精確受控，擬采用重復(fù)控制（RC）。
重復(fù)控制最初在20世紀(jì)80年代被提出[1]，是基于內(nèi)模原理的控制方法，能有效抑制周期性干擾并達(dá)到高精度控制，因此受到廣泛的關(guān)注。近期仍有許多學(xué)者對此進(jìn)行研究，如LinLin Li等人將其應(yīng)用在納米定位器上[2]；Lennart Blanken等人設(shè)計(jì)組合了多個重復(fù)控制器以達(dá)到更高精度且快速收斂的目的[3]；Hassan Farokhi Moghadam等人使用自適應(yīng)快速傅里葉變換（AFFT）來輔助重復(fù)控制得到干擾的精準(zhǔn)周期[4]。
然而，應(yīng)用重復(fù)控制需要上個周期的系統(tǒng)信息。故控制伊始，先采用滑模控制（SMC），幾個周期后，采用基于SMC修改的重復(fù)控制律。
2 相關(guān)假設(shè)
2.1 齒隙干擾
電機(jī)的轉(zhuǎn)角為編碼器計(jì)數(shù)而得，但由于齒隙的存在，實(shí)際情況會有誤差。為消除此誤差，一般會建立反向齒隙模型，如Chunyi Su等人提出的連續(xù)時間動態(tài)模型[5]。
然而，由于難以構(gòu)筑精確的反向齒隙模型，將其應(yīng)用在控制算法里容易導(dǎo)致失穩(wěn)。這是因?yàn)樵跈C(jī)械臂改向時，電機(jī)的轉(zhuǎn)角大小會有一個跳變。故本文將齒隙歸為了干擾的一部分，試圖通過控制算法來盡可能降低齒隙的影響，同時也成為了衡量控制方法抗干擾性的一條指標(biāo)。
2.2 摩擦識別
根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，本文選取所應(yīng)用電機(jī)的摩擦模型，為庫侖及粘性摩擦的組合。摩擦識別如圖2所示。
圖2 電機(jī)摩擦模型
由此，電機(jī)電流與角速度的關(guān)系被擬合，并將其轉(zhuǎn)化為摩擦力矩與角速度的關(guān)系，總結(jié)成如下的關(guān)系式：
式（2）是應(yīng)用本文所述控制方法的前提，允許摩擦力矩估計(jì)值與真實(shí)值有一定程度的偏差，此偏差上限F需根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)合理設(shè)置。
3 控制方法
本節(jié)介紹控制方法的具體內(nèi)容?？傮w步驟為：（1）建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。（2）根據(jù)模型求取系統(tǒng)總動能與總勢能。（3）解拉格朗日方程得到運(yùn)動方程。（4）在一種適合于非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)魯棒控制律的基礎(chǔ)上，融入重復(fù)控制思想，形成本文所提議的控制律。
由于控制對象的幾何參數(shù)一定，末端器的位置可由兩桿轉(zhuǎn)角確定。故末端器的周期性期望路徑，亦可轉(zhuǎn)化為兩個轉(zhuǎn)角的周期性期望路徑。
如圖3建立坐標(biāo)系，設(shè)桿長是l1和l2，質(zhì)量是m1和m2。兩桿質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離為r1和r2，而兩質(zhì)心坐標(biāo)為：（正余弦簡寫，如sinθ1與cosθ2簡寫為s1與c2）
圖3 建模示意圖
對式（3）求一階導(dǎo)后得：
由上式所得速度求取系統(tǒng)總動能得：
其中Iz1與Iz2為兩桿在質(zhì)心處的轉(zhuǎn)動慣量。將式（3）和（4）代入（5）經(jīng)化簡得：
其中：
注意到α、β、γ皆為常數(shù)，故系統(tǒng)總動能僅由其姿態(tài)（兩轉(zhuǎn)角之差）及轉(zhuǎn)速決定。而系統(tǒng)總勢能為：
得到總動能與總勢能后，即可計(jì)算拉格朗日函數(shù)：
將其代入拉格朗日方程：
由式（10）可導(dǎo)出系統(tǒng)的運(yùn)動方程，經(jīng)整理即可寫成如下形式：
其中q=[θ1θ2]T，τ=[τ1τ2]T，且H、C、g三個矩陣分別為：
注意到式（11）一開始是不含有摩擦項(xiàng)f（q˙）的，而是在推出運(yùn)動方程后補(bǔ)加進(jìn)去的。事實(shí)上，從式（6）可以直接導(dǎo)出H（q），因?yàn)閯幽懿⑶遥珻（q，q˙）中的每一項(xiàng)，也就是Ckj，皆可用H（q）經(jīng)由克氏符（Christoffel symbols）計(jì)算而得：
針對式（11）形式的運(yùn)動方程，如Slotine教授所述[6]，一種自適應(yīng)魯棒控制律（滑模控制）如下：
通過構(gòu)筑合適的李雅普諾夫函數(shù)（Lyapunov function）可證明式（14）的穩(wěn)定性及魯棒性[6]。K的取值也在此過程中確定，其涵蓋了式（2）中的摩擦力矩偏差上限F。針對本文中的系統(tǒng)，Y與a如下：
在應(yīng)用式（14）所示的自適應(yīng)魯棒控制律控制系統(tǒng)幾個周期后，即可應(yīng)用本文所提議的重復(fù)控制律：
重復(fù)控制有多種形式，比如可以配合擾動觀測器（Disturbance observer）使用，而上式是其中一種經(jīng)嘗試簡明有效的控制律。其中，i代表每個迭代（iteration），N為一周期內(nèi)迭代次數(shù)，Q是一個低通濾波器，C是需要被調(diào)試的常數(shù)（正值）對角矩陣。濾波器在重復(fù)控制中是極其必要的，否則擾動將使系統(tǒng)不可控，在每個周期都發(fā)生疊加，愈演愈烈。
4 實(shí)驗(yàn)設(shè)置
如圖4所示，MaxonEC電機(jī)驅(qū)動模塊、NImyRIO開發(fā)板、電源發(fā)生器，是實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂控制的主要設(shè)備。在此基礎(chǔ)上，編寫LabVIEW FPGA代碼來實(shí)施前述的控制方法。
圖4 重復(fù)性滑?？刂茖?shí)驗(yàn)結(jié)果
首先在軟件中建模，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可由輸入輸出的測試數(shù)據(jù)建立。接著是控制仿真，在此過程中，調(diào)試λ、C等參數(shù)，使跟蹤精度更高。成功后，就將其應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)。
5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果
為提供重復(fù)控制所需的過往周期數(shù)據(jù)，并直觀地進(jìn)行對比，滑?？刂疲⊿MC）首先應(yīng)用于兩關(guān)節(jié)（joint），過50秒（5個周期）、100秒（10個周期）后，先后在兩關(guān)節(jié)上應(yīng)用本文提議的控制律。
所用各參數(shù)為λ1=λ2=2，C1=2，C2=1.5，轉(zhuǎn)角跟蹤曲線皆為tanh（2sin（0.2πkT））的拉伸與平移，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。
圖5 重復(fù)性滑?？刂茖?shí)驗(yàn)結(jié)果
5個周期后，提議的控制律應(yīng)用在關(guān)節(jié)1處，可看到θ1的跟蹤表現(xiàn)有所提高，幾個周期內(nèi)的誤差絕對值平均為0.007rad。雖然某時會有相對較大的誤差，但整體表現(xiàn)證明了它的有效性。
10個周期后，提議的控制律應(yīng)用在關(guān)節(jié)2處，很明顯θ2的誤差等級大大下降，幾個周期內(nèi)的誤差絕對值平均僅為0.00205rad。并且，s的值非常接近0（誤差及誤差導(dǎo)數(shù)?。?。
更仔細(xì)地調(diào)試參數(shù)后，實(shí)驗(yàn)表現(xiàn)應(yīng)可進(jìn)一步提高。然而，本文所側(cè)重的是證明所提議控制律的可行性及實(shí)用性，目前的實(shí)驗(yàn)結(jié)果也已達(dá)此目的。
6 結(jié)論
本文提議的重復(fù)性滑?？刂疲兄∽灾貜?fù)控制及滑?？刂频膬?yōu)勢：非線性系統(tǒng)的控制器易于設(shè)計(jì)，也不需知曉精確的系統(tǒng)參數(shù)；重復(fù)控制律進(jìn)一步提高跟蹤精度。實(shí)驗(yàn)中的表現(xiàn)也十分良好，且系統(tǒng)參數(shù)的不確定性、摩擦、齒隙等干擾所帶來的影響被大大減弱。故其具有較強(qiáng)的實(shí)用性。
有關(guān)所提議控制方法的局限性，主要是以下幾點(diǎn)：如其他大多數(shù)控制方法一樣，普適性會有欠缺，且此控制律是基于重復(fù)控制的思想，故也僅適用于跟蹤周期性期望路徑；在高階或其他有著更強(qiáng)非線性的系統(tǒng)前，可能作用有限。
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圖1 控制對象的實(shí)物圖與示意圖
兩個Maxon EC電機(jī)用于分別控制兩桿，正交編碼器記錄脈沖數(shù)，同時計(jì)算轉(zhuǎn)動的角度。由于存在摩擦、重力力矩變化，尤其還有因齒隙（backlash）等裝配誤差，該控制對象是一個非線性較強(qiáng)的二階系統(tǒng)。為使其精確受控，擬采用重復(fù)控制（RC）。
重復(fù)控制最初在20世紀(jì)80年代被提出[1]，是基于內(nèi)模原理的控制方法，能有效抑制周期性干擾并達(dá)到高精度控制，因此受到廣泛的關(guān)注。近期仍有許多學(xué)者對此進(jìn)行研究，如LinLin Li等人將其應(yīng)用在納米定位器上[2]；Lennart Blanken等人設(shè)計(jì)組合了多個重復(fù)控制器以達(dá)到更高精度且快速收斂的目的[3]；Hassan Farokhi Moghadam等人使用自適應(yīng)快速傅里葉變換（AFFT）來輔助重復(fù)控制得到干擾的精準(zhǔn)周期[4]。
然而，應(yīng)用重復(fù)控制需要上個周期的系統(tǒng)信息。故控制伊始，先采用滑模控制（SMC），幾個周期后，采用基于SMC修改的重復(fù)控制律。
2 相關(guān)假設(shè)
2.1 齒隙干擾
電機(jī)的轉(zhuǎn)角為編碼器計(jì)數(shù)而得，但由于齒隙的存在，實(shí)際情況會有誤差。為消除此誤差，一般會建立反向齒隙模型，如Chunyi Su等人提出的連續(xù)時間動態(tài)模型[5]。
然而，由于難以構(gòu)筑精確的反向齒隙模型，將其應(yīng)用在控制算法里容易導(dǎo)致失穩(wěn)。這是因?yàn)樵跈C(jī)械臂改向時，電機(jī)的轉(zhuǎn)角大小會有一個跳變。故本文將齒隙歸為了干擾的一部分，試圖通過控制算法來盡可能降低齒隙的影響，同時也成為了衡量控制方法抗干擾性的一條指標(biāo)。
2.2 摩擦識別
根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，本文選取所應(yīng)用電機(jī)的摩擦模型，為庫侖及粘性摩擦的組合。摩擦識別如圖2所示。
圖2 電機(jī)摩擦模型
由此，電機(jī)電流與角速度的關(guān)系被擬合，并將其轉(zhuǎn)化為摩擦力矩與角速度的關(guān)系，總結(jié)成如下的關(guān)系式：
式（2）是應(yīng)用本文所述控制方法的前提，允許摩擦力矩估計(jì)值與真實(shí)值有一定程度的偏差，此偏差上限F需根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)合理設(shè)置。
3 控制方法
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由于控制對象的幾何參數(shù)一定，末端器的位置可由兩桿轉(zhuǎn)角確定。故末端器的周期性期望路徑，亦可轉(zhuǎn)化為兩個轉(zhuǎn)角的周期性期望路徑。
如圖3建立坐標(biāo)系，設(shè)桿長是l1和l2，質(zhì)量是m1和m2。兩桿質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離為r1和r2，而兩質(zhì)心坐標(biāo)為：（正余弦簡寫，如sinθ1與cosθ2簡寫為s1與c2）
圖3 建模示意圖
對式（3）求一階導(dǎo)后得：
由上式所得速度求取系統(tǒng)總動能得：
其中Iz1與Iz2為兩桿在質(zhì)心處的轉(zhuǎn)動慣量。將式（3）和（4）代入（5）經(jīng)化簡得：
其中：
注意到α、β、γ皆為常數(shù)，故系統(tǒng)總動能僅由其姿態(tài)（兩轉(zhuǎn)角之差）及轉(zhuǎn)速決定。而系統(tǒng)總勢能為：
得到總動能與總勢能后，即可計(jì)算拉格朗日函數(shù)：
將其代入拉格朗日方程：
由式（10）可導(dǎo)出系統(tǒng)的運(yùn)動方程，經(jīng)整理即可寫成如下形式：
其中q=[θ1θ2]T，τ=[τ1τ2]T，且H、C、g三個矩陣分別為：
注意到式（11）一開始是不含有摩擦項(xiàng)f（q˙）的，而是在推出運(yùn)動方程后補(bǔ)加進(jìn)去的。事實(shí)上，從式（6）可以直接導(dǎo)出H（q），因?yàn)閯幽懿⑶遥珻（q，q˙）中的每一項(xiàng)，也就是Ckj，皆可用H（q）經(jīng)由克氏符（Christoffel symbols）計(jì)算而得：
針對式（11）形式的運(yùn)動方程，如Slotine教授所述[6]，一種自適應(yīng)魯棒控制律（滑模控制）如下：
通過構(gòu)筑合適的李雅普諾夫函數(shù)（Lyapunov function）可證明式（14）的穩(wěn)定性及魯棒性[6]。K的取值也在此過程中確定，其涵蓋了式（2）中的摩擦力矩偏差上限F。針對本文中的系統(tǒng)，Y與a如下：
在應(yīng)用式（14）所示的自適應(yīng)魯棒控制律控制系統(tǒng)幾個周期后，即可應(yīng)用本文所提議的重復(fù)控制律：
重復(fù)控制有多種形式，比如可以配合擾動觀測器（Disturbance observer）使用，而上式是其中一種經(jīng)嘗試簡明有效的控制律。其中，i代表每個迭代（iteration），N為一周期內(nèi)迭代次數(shù)，Q是一個低通濾波器，C是需要被調(diào)試的常數(shù)（正值）對角矩陣。濾波器在重復(fù)控制中是極其必要的，否則擾動將使系統(tǒng)不可控，在每個周期都發(fā)生疊加，愈演愈烈。
4 實(shí)驗(yàn)設(shè)置
如圖4所示，MaxonEC電機(jī)驅(qū)動模塊、NImyRIO開發(fā)板、電源發(fā)生器，是實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂控制的主要設(shè)備。在此基礎(chǔ)上，編寫LabVIEW FPGA代碼來實(shí)施前述的控制方法。
圖4 重復(fù)性滑?？刂茖?shí)驗(yàn)結(jié)果
首先在軟件中建模，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可由輸入輸出的測試數(shù)據(jù)建立。接著是控制仿真，在此過程中，調(diào)試λ、C等參數(shù)，使跟蹤精度更高。成功后，就將其應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)。
5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果
為提供重復(fù)控制所需的過往周期數(shù)據(jù)，并直觀地進(jìn)行對比，滑?？刂疲⊿MC）首先應(yīng)用于兩關(guān)節(jié)（joint），過50秒（5個周期）、100秒（10個周期）后，先后在兩關(guān)節(jié)上應(yīng)用本文提議的控制律。
所用各參數(shù)為λ1=λ2=2，C1=2，C2=1.5，轉(zhuǎn)角跟蹤曲線皆為tanh（2sin（0.2πkT））的拉伸與平移，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。
圖5 重復(fù)性滑?？刂茖?shí)驗(yàn)結(jié)果
5個周期后，提議的控制律應(yīng)用在關(guān)節(jié)1處，可看到θ1的跟蹤表現(xiàn)有所提高，幾個周期內(nèi)的誤差絕對值平均為0.007rad。雖然某時會有相對較大的誤差，但整體表現(xiàn)證明了它的有效性。
10個周期后，提議的控制律應(yīng)用在關(guān)節(jié)2處，很明顯θ2的誤差等級大大下降，幾個周期內(nèi)的誤差絕對值平均僅為0.00205rad。并且，s的值非常接近0（誤差及誤差導(dǎo)數(shù)?。?。
更仔細(xì)地調(diào)試參數(shù)后，實(shí)驗(yàn)表現(xiàn)應(yīng)可進(jìn)一步提高。然而，本文所側(cè)重的是證明所提議控制律的可行性及實(shí)用性，目前的實(shí)驗(yàn)結(jié)果也已達(dá)此目的。
6 結(jié)論
本文提議的重復(fù)性滑?？刂疲兄∽灾貜?fù)控制及滑?？刂频膬?yōu)勢：非線性系統(tǒng)的控制器易于設(shè)計(jì)，也不需知曉精確的系統(tǒng)參數(shù)；重復(fù)控制律進(jìn)一步提高跟蹤精度。實(shí)驗(yàn)中的表現(xiàn)也十分良好，且系統(tǒng)參數(shù)的不確定性、摩擦、齒隙等干擾所帶來的影響被大大減弱。故其具有較強(qiáng)的實(shí)用性。
有關(guān)所提議控制方法的局限性，主要是以下幾點(diǎn)：如其他大多數(shù)控制方法一樣，普適性會有欠缺，且此控制律是基于重復(fù)控制的思想，故也僅適用于跟蹤周期性期望路徑；在高階或其他有著更強(qiáng)非線性的系統(tǒng)前，可能作用有限。
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