龔光軍

（安徽職業(yè)技術(shù)學(xué)院 教務(wù)處，安徽 合肥 230011）

計算機圖形學(xué)中的曲面相關(guān)知識由于其難度較大、涉及到的數(shù)學(xué)知識點多等特點，使其相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)變得非?？菰锓ξ叮谀壳暗拇蟛糠纸滩闹薪榻B得比較少，有些教材對此部分內(nèi)容一筆帶過，甚至只字不提。但是，作為計算機圖形學(xué)的組成部分，曲面相關(guān)知識不可或缺。目前，在曲面的相關(guān)教學(xué)過程中，也正是由于其難度大、抽象等特點，授課教師大多只是對其泛泛而談，或者只是講解其中的數(shù)學(xué)矩陣并輔之以幾張靜態(tài)的圖片來說明，無法深入解釋不同的控制參數(shù)對曲面生成形狀的影響，而學(xué)習(xí)者更是一頭霧水，不知所云。

在計算機圖形學(xué)其它內(nèi)容的講授過程中，已經(jīng)有較多院校做出了可視化的輔助軟件，大部分都是將計算機圖形學(xué)中的很多算法（直線算法，圓的算法，橢圓的算法等）通過VC++編程的方式，做出了一套算法可視化的效果，將理論和繪圖的實踐相互結(jié)合，提高算法的可視化程度，使教學(xué)質(zhì)量得到了很大程度的提高。不過，在曲面的算法方面，實現(xiàn)可視化的CAI軟件卻不常見?；诖?，本文對曲面產(chǎn)生原理進(jìn)行了深入細(xì)致的研究，以貝塞爾（Bezier）曲面及B樣條曲面為例，建立了可視化的三維坐標(biāo)系，完成了曲面的參數(shù)化輸入與控制，通過生成不同參數(shù)下的網(wǎng)格曲面，使學(xué)習(xí)者可以根據(jù)自己的理解需求，改變不同參數(shù)，觀察生成的不同曲面之間的差異，增強對曲面生成原理的深入理解，最終實現(xiàn)曲面算法可視化的目標(biāo)。

1 曲面的生成算法原理分析

1.1 貝塞爾曲面（Bezier）

Bezier張量積曲面是通過貝塞爾曲線得到的，一般來說，在空間中找到（m+1）行、（n+1）列個點，我們就稱下面公式所表達(dá)的張量積參數(shù)曲面是n×m次的貝塞爾曲面［1］-［2］。

在常見的應(yīng)用過程中，n與m的數(shù)值一般不大于4，本文在可視化演示的過程中，取值為：n＝m＝3。

1.2 B樣條曲面

類似于貝塞爾曲面，B樣條曲面也是由B樣條曲線推導(dǎo)而來的，一般來說，我們把下面張量積樣式所表達(dá)的參數(shù)曲面稱之為：m×n階的B樣條曲面［3］-［4］。

同時，還能夠用矩陣形式來表示雙三次B樣條曲面片為：

在式（5）中，

與貝塞爾（Bezier）曲面比較起來，B樣條曲面有保凸性、凸包性和易交互性這些優(yōu)點，最重要的是它還有局部性的優(yōu)點，也就是假如變化樣條曲面中的任意一個控制頂點，整個曲面中僅有和該頂點關(guān)聯(lián)的區(qū)域會出現(xiàn)改變，但是其他的部分不變，這樣以來，在設(shè)計曲面的過程中，就可以很方便的修改曲面中的任意一個局部形狀。

2 三維曲面可視化的原理

2.1 建立坐標(biāo)系

在建立曲面的坐標(biāo)系時，本文使用了正等軸測坐標(biāo)系。建立好的曲面坐標(biāo)系如下圖所示，可視化區(qū)域的背景是白色，正等軸側(cè)坐標(biāo)系中的x軸、y軸和z軸分別相交成120度，如圖1所示。

圖1 坐標(biāo)系

在圖1中，x、y、z軸的軸向變形系數(shù)是相同的。即：

其中，ηx、ηy、ηz是X、Y、Z軸的軸向變形系數(shù)。因此，根據(jù)斜軸測投影變換的矩陣，可以知道：

解得：

取

然后，能夠算出投影的轉(zhuǎn)換矩陣是：

假設(shè)在空間中的任意一個點，其坐標(biāo)為（x，y，z），通過上述轉(zhuǎn)換矩陣轉(zhuǎn)換以后（X，Y，Z），就得到了這個點在平面中的坐標(biāo)，其變換的計算公式如下：

經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn)，所有的Y坐標(biāo)值為0，這是由于平面中僅有兩個坐標(biāo)方向。計算出X和Z的坐標(biāo)以后，還需要將它們轉(zhuǎn)換成計算機中設(shè)備坐標(biāo)系里面的坐標(biāo)值。這里假設(shè)在設(shè)備坐標(biāo)系里面的坐標(biāo)為（xx，yy），曲面的演示坐標(biāo)系中的原點在設(shè)備坐標(biāo)系里面有一個相對坐標(biāo)，這個相對坐標(biāo)值設(shè)為（x X，y Y），則，這些坐標(biāo)值之間的相互轉(zhuǎn)換公式為：

2.2 動態(tài)演示

為了完成曲面動態(tài)演示，本文將其分為算法動態(tài)演示、曲面形成過程動態(tài)演示與數(shù)據(jù)和參數(shù)反饋的動態(tài)演示。算法動態(tài)演示時，通過指定一個存放程序語句的數(shù)組，然后將其根據(jù)不同的曲線類型輸出到演示窗口，在演示過程中，根據(jù)當(dāng)前演示的步數(shù)調(diào)整算法文字的顯示演示，從而達(dá)到算法的動態(tài)演示效果和目的。曲面形成過程動態(tài)演示與數(shù)據(jù)和參數(shù)的動態(tài)演示以Bezier曲面為例來說明。

根據(jù)貝塞爾曲面的生成原理可以知道，貝塞爾曲面實際上是參數(shù)為u和v的Bezier曲線相互交錯而來的。如果將u固定不變，然后將v的取值范圍設(shè)定在數(shù)字0和1之間，這樣就可以得到一組曲線，謂之v線，同理，如果將v固定不變，然后將u的取值范圍設(shè)定在數(shù)字0和1之間，這樣就可以得到一組u線，這兩組曲線組合在一塊稱之為參數(shù)曲線網(wǎng)。本文通過選取適合的u和v變化量，獲得了一張Bezier參數(shù)曲面網(wǎng)，然后通過程序控制，讓這些曲線逐條緩慢的出現(xiàn)，同時將這些曲線出現(xiàn)的順序與其算法文字同步，這樣便達(dá)到了曲面形成過程的可視化。如圖2所示為Bezier參數(shù)曲面網(wǎng)。

圖2 Bezier曲面圖

依據(jù)Bezier曲面的生成原理可知，一個雙三次Bezier曲面需要控制頂點的數(shù)量為16個，其中有4個是角點。而Bezier曲面肯定會經(jīng)過這4個角點，但是卻不確定是否經(jīng)過剩下的12個控制點。因此本文在實現(xiàn)曲面數(shù)據(jù)與參數(shù)演示時，只選擇顯示其中的角點坐標(biāo)，如圖3所示。

圖3 Bezier曲面的數(shù)據(jù)反饋

從圖3中可以看出，除了角點的坐標(biāo)以外，還實時顯示了參數(shù)u和v的值。在動態(tài)演示時，參數(shù)u和v每次變化0.05，在從0到1的變化過程中，就會生成20條v線與20條u線，最終組合成Bezier參數(shù)曲面網(wǎng)，同時，參數(shù)u和v值的變化過程也隨著曲線的變化一起實時顯示，從而實現(xiàn)曲面和參數(shù)的動態(tài)演示。

3 曲面控制點更改

曲面的動態(tài)演示過程中，可以交互式更改曲面控制點數(shù)值，進(jìn)而根據(jù)不同控制點生成的不同曲面去感受參數(shù)對曲面的作用和意義。

本文通過對話框模式來實現(xiàn)曲面參數(shù)的修改。對話框交互模式是編程中最常見也是最重要的一個功能，它能夠根據(jù)不同學(xué)習(xí)者的不同想法來準(zhǔn)確變換和更改相關(guān)的參數(shù)值。因此對話框技術(shù)非常適合用來控制曲面，精確、細(xì)微的參數(shù)變動而發(fā)生的曲面形狀改變，可以直觀地表達(dá)曲面生成的原理。曲面控制點設(shè)置對話框如圖4所示。

圖4 曲面的參數(shù)修改

通過圖4可以看到，列表框中列出了Bezier曲面所有的16個控制點在坐標(biāo)系里的地方及坐標(biāo)值［5］，如：P00，P30，P03和P33就顯示了曲面中四個角點坐標(biāo)。在需要進(jìn)行坐標(biāo)修改時，只需要單擊對應(yīng)的點所在的行，此時，該點的坐標(biāo)值便出現(xiàn)在旁邊的編輯框中，通過更改編輯框中的值并點擊確定按鈕，則會修改成功。同時，為了表現(xiàn)出兩個特殊的曲面形狀，本文還設(shè)置了兩個默認(rèn)選項，只需點擊默認(rèn)選項按鈕便可顯示其對應(yīng)的16個控制點，并生成特殊的曲面，比如其中一種為平面。

4 結(jié)語

本文實現(xiàn)了B樣條曲面與貝塞爾曲面的算法可視化，圖2和圖5分別為B樣條曲面與貝塞爾曲面。該教學(xué)CAI軟件實現(xiàn)了“參數(shù)輸入—曲面生成—參數(shù)更改—曲面變化—觀察對比—理解曲面生成原理”的循環(huán)演示。以直觀的曲面生成與變換效果，滿足了不同學(xué)習(xí)者的不同理解需求，大大增加了學(xué)習(xí)效率與學(xué)習(xí)質(zhì)量。

圖5 B樣條曲面圖