閆 鵬，方 秦，張錦華，張亞棟，陳 力，范俊余

（1.中國人民解放軍陸軍工程大學(xué)，江蘇 南京 210007；2.東南大學(xué)爆炸安全防護(hù)教育部工程研究中心，江蘇 南京，211189；3.東南大學(xué)土木工程學(xué)院，江蘇 南京 211189）

落石具有難預(yù)測、大質(zhì)量和強(qiáng)沖擊的特點(diǎn)，因而落石災(zāi)害成為山區(qū)常見的極具威脅的自然災(zāi)害之一。工程技術(shù)人員經(jīng)常采用攔石墻、明洞或棚洞等剛性結(jié)構(gòu)對重要目標(biāo)和地段進(jìn)行防護(hù)。此類結(jié)構(gòu)抗力較高，常覆有墊層作為落石沖擊的緩沖層，能夠抵抗能量較大的落石沖擊。墊層一般就地取材，由覆土、沙礫、碎石等材料構(gòu)成，是重要的耗能結(jié)構(gòu)，可以將落石巨大的動能部分轉(zhuǎn)化為墊層組成顆粒的變形能、顆粒之間的摩擦耗能以及部分飛散顆粒的動能[1]。因此，落石沖擊墊層模型是落石防護(hù)研究中最常見的模型之一。

一般地，落石沖擊力、侵入深度和沖擊作用時(shí)間常作為研究落石沖擊效應(yīng)的重要物理量，同時(shí)也是防護(hù)結(jié)構(gòu)抗力設(shè)計(jì)的參考依據(jù)。落石沖擊力一般指落石施加于墊層上的作用力，決定了防護(hù)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)承載力的大小；侵入深度一般指落石侵入墊層的深度，由于落石可能會穿透墊層對結(jié)構(gòu)造成較嚴(yán)重的局部破壞，因此落石侵入深度決定了墊層的最小設(shè)計(jì)厚度；沖擊作用時(shí)間一般指落石沖擊作用的總時(shí)長，與落石沖擊力共同決定了落石沖量的大小，此外，落石沖擊力到達(dá)峰值的時(shí)間也需要重點(diǎn)關(guān)注。學(xué)者們針對落石沖擊墊層的影響因素，開展了大量的試驗(yàn)和數(shù)值模擬研究工作，主要包括落石的質(zhì)量、形狀、沖擊速度和姿態(tài)以及墊層密度、強(qiáng)度等，這些因素如何共同決定落石的沖擊力、侵入深度和沖擊作用時(shí)間是研究的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

首先，大多數(shù)研究中考慮的首要影響因素是落石的質(zhì)量和沖擊速度，或者直接考慮落石動能（或沖擊能量）的影響。山口悟等[2]通過落石沖擊碎石墊層原型試驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，沖擊能量相同但是質(zhì)量不同的落石，其最大沖擊力幾乎相同。而Calvetti 等[3]的落石沖擊墊層離散元模擬結(jié)果表明，落石質(zhì)量的增加會同時(shí)增大落石沖擊力、延長沖擊作用時(shí)間；而沖擊速度的增加僅增大沖擊力，對沖擊作用時(shí)間的影響很小。Gerber 等[4]通過試驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，落石的沖擊力波形特征主要受落石質(zhì)量的影響，受沖擊速度的影響很小。

其次，多數(shù)情況下，落石沖擊速度方向與墊層法向方向存在一定的角度（可定義為入射角），而落石與墊層的正沖擊只是一種特例，因此，針對落石斜沖擊的問題，可以將落石沖擊速度分解成法向速度和切向速度。而袁進(jìn)科等[5]、Yu 等[6]、何思明等[7]通過大量落石斜沖擊墊層試驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，法向沖擊力僅與分解后的法向速度有關(guān)，而切向沖擊力僅與切向速度有關(guān)，兩者的影響可以解耦后再分別進(jìn)行研究。

此外，落石形狀的隨機(jī)變化也十分顯著，F(xiàn)ityus等[8]對澳大利亞New South Wales山區(qū)落石形狀特征進(jìn)行了詳細(xì)的統(tǒng)計(jì)和分析，將落石形狀分成球形、圓盤形、圓柱形、圓錐形和多棱角形5大類，這5大類又可以進(jìn)一步細(xì)分為21小類。當(dāng)不同形狀的落石沖擊墊層表面時(shí)，其沖擊端形狀的隨機(jī)變化又會產(chǎn)生不同的沖擊效果，因此，研究落石形狀對落石沖擊效應(yīng)的影響十分必要。然而多數(shù)研究者在落石沖擊試驗(yàn)研究中僅對落石采用某一種特定形狀假設(shè)，如將落石假定為球形[9-14]、圓錐形[15]、立方體[4,16-18]或圓柱體[13,19]。Perera 等[20]采用隨機(jī)形狀的石塊設(shè)計(jì)了落石沖擊試驗(yàn)，結(jié)果表明落石沖擊力出現(xiàn)了較強(qiáng)的隨機(jī)性，但是尚無結(jié)論證明哪種形狀的落石會引起更大的沖擊力。唐建輝[21]通過數(shù)值模擬方法比較了立方形和球形落石的沖擊力，結(jié)果發(fā)現(xiàn)球形落石的沖擊力更高；而陳馳等[22]開展了相似的試驗(yàn)，卻得出了完全相反的結(jié)論。Shen 等[23]采用離散元方法模擬了Calvetti 等[24]開展的球形落石沖擊砂土墊層試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)落石的沖擊力隨著球度的增加而增大，但是Shen 等未保證不同球度的落石應(yīng)具有相同的體積，結(jié)果導(dǎo)致落石模型的密度變化范圍為2 650～10 986 kg/m3，遠(yuǎn)超實(shí)際的落石密度。Yan 等[25]通過落石沖擊鋼筋混凝土板有限元模型，研究了質(zhì)量和密度相同但球度和沖擊姿態(tài)不同的落石對沖擊力的影響，結(jié)果表明，落石球度越小，不同沖擊姿態(tài)下的沖擊力離散性越大。因此，落石形狀影響的重要性不容忽視，但是當(dāng)前相關(guān)研究較少，結(jié)論相互矛盾且不可靠。

最后，墊層的材料特性是工程技術(shù)人員最關(guān)心的設(shè)計(jì)參數(shù)。Kawahara 等[26]、唐紅梅等[27]和Calvetti等[3]的試驗(yàn)研究均表明，隨著墊層密度增加，落石沖擊力逐漸增大，侵入深度逐漸減小，因此，墊層密度的影響也不可忽視。

綜上所述，落石沖擊墊層的主要影響因素包括落石的質(zhì)量、形狀、沖擊速度以及墊層的強(qiáng)度、密度等，但是目前大多數(shù)試驗(yàn)研究通常采用控制變量法逐一分析各因素的影響規(guī)律，這樣只能根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果得到一些具有定性規(guī)律的結(jié)論，對理解各因素間的相關(guān)性、提出落石沖擊的理論分析模型幫助甚微。而且一般僅針對落石質(zhì)量、速度等主要影響因素開展相關(guān)研究，忽略了落石形狀這一重要的影響因素。

針對以上不足，開展了不同典型形狀落石撞擊墊層的試驗(yàn)研究，根據(jù)當(dāng)前落石沖擊試驗(yàn)總結(jié)發(fā)現(xiàn)，落石的典型形狀包括球形、錐形和平頭3種。因此，本文中首先設(shè)計(jì)這3種典型形狀落石沖擊砂墊層的試驗(yàn)，獲得落石的侵入深度和沖擊力時(shí)程曲線，分析不同典型形狀落石對試驗(yàn)結(jié)果的影響；然后采用量綱分析方法[28]和π相似理論[29]將影響因素轉(zhuǎn)換成無量綱的形式，對無量綱沖擊因子及侵入深度之間的相關(guān)性進(jìn)行分析；最后研究各沖擊因子對落石沖擊結(jié)果的影響規(guī)律。

1 試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)

1.1 試驗(yàn)裝置和試驗(yàn)方法

落石沖擊墊層試驗(yàn)系統(tǒng)分為起吊裝置、落石和砂墊層3部分，見圖1。起吊裝置通過吊車懸臂和繩索對落石進(jìn)行抬升，最大起吊高度約20 m。起吊時(shí)，落石由墊層中心位置逐漸向上拉升，可以保證落石落點(diǎn)位置位于墊層中心，起吊高度通過激光測距儀和吊車進(jìn)行控制。

圖1 落石沖擊試驗(yàn)系統(tǒng)Fig.1 Rockfall impact test system

如圖2(a)所示，每次落石升到指定下落高度H并不再晃動以后，即通過遙控脫鉤裝置釋放落石。落石首先在重力作用下作自由落體運(yùn)動，然后以一定速度撞擊砂墊層，侵入到一定深度后，速度降為零，沖擊過程結(jié)束，在整個(gè)下落和沖擊過程中，通過固定在落石上的三軸加速度傳感器采集其質(zhì)心加速度隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)a(t)。根據(jù)牛頓第二定律可知：

式中：m為落石的質(zhì)量，F(xiàn)R為落石受到來自墊層的阻力，G為落石自身的重力。

根據(jù)牛頓第三定律可知，落石對墊層沖擊力F與落石受到墊層的阻力FR的大小相等，方向相反，即F=–FR，代入式(1)可得：

Pichler 等[15]的研究表明，考慮重力與不考慮重力所得到的落石沖擊力之間的誤差不超過10.6%，因而本文中假定落石沖擊力的大小近似等于落石質(zhì)量與加速度之積，即F(t)≈?m a(t)。另外，通過對加速度時(shí)程曲線a(t)隨時(shí)間積分，可以得到落石的速度時(shí)程曲線v(t)或侵入深度時(shí)程曲線z(t)，最后通過觀察落石表面縱向刻度，也可以測量落石沖擊墊層的最終侵入深度zm，如圖2(b)～(c)所示。

圖2 落石沖擊試驗(yàn)數(shù)據(jù)測量方法Fig.2 Measurement method of rockfall impact test data

向鋼桶內(nèi)裝填砂子并在重力作用下自然密實(shí)得到試驗(yàn)所用的砂墊層，然后從中預(yù)留試樣，用于開展砂子的物理特性和力學(xué)性能測試。試驗(yàn)準(zhǔn)備了直徑分別為1和2 m 的兩種鋼桶，鋼桶壁厚均為0.05 m，桶高均為1 m。墊層底部為0.05 m 厚的鋼板，平鋪于地面上，因此本文中假設(shè)鋼桶和鋼板的變形可以忽略不計(jì)，底部和側(cè)向邊界視為剛性邊界條件。為了防止砂墊層因沖擊密實(shí)而發(fā)生材料強(qiáng)度和密度的變化，每次落石沖擊后都將墊層上方約1/2厚度的砂子換填并重新進(jìn)行自然密實(shí)，以盡量消除對下次沖擊結(jié)果的影響。

1.2 試驗(yàn)方案和材料參數(shù)

根據(jù)研究目的不同，將試驗(yàn)分為兩組。第1組試驗(yàn)研究落石形狀對落石侵入深度和沖擊力時(shí)程曲線的影響，落石質(zhì)量m均為5.41 kg，頭部特征尺寸（一般用落石沖擊端部等效直徑表示）d均為0.12 m，頭部形狀分別為球形、錐形和平頭，如圖3所示。落石的下落高度（H）范圍為1.0～2.5 m，對應(yīng)的初始沖擊速度（v0）范圍為4.43～7.00 m/s。墊層厚度（h）為0.4 m，鋼桶直徑（D）為1 m，因此，筒徑D與落石直徑d的比值D/d=8.3，Seguin 等[30]的研究表明，當(dāng)D/d超過5.0時(shí)，墊層側(cè)向邊界約束的影響可以忽略不計(jì)。試驗(yàn)結(jié)果分析見第3節(jié)。

第2組試驗(yàn)分析影響因素與沖擊結(jié)果之間的相關(guān)性和影響規(guī)律，試驗(yàn)設(shè)計(jì)落石質(zhì)量m變化范圍為10～100 kg，頭部形狀包括球形、錐形和平頭，所有落石的質(zhì)量、形狀和設(shè)計(jì)尺寸如圖3所示。落石的下落高度范圍為0.3～15.0 m，對應(yīng)的初始沖擊速度為2.40～17.10 m/s。墊層厚度為1.0 m，其中，10 kg 的落石沖擊筒徑為1 m 的墊層，50～100 kg 的落石沖擊筒徑為2 m 的墊層，因此，筒徑與落石直徑的比值D/d的變化范圍為5.6～8.3，墊層側(cè)向邊界約束的影響同樣可以忽略不計(jì)。具體的試驗(yàn)工況和結(jié)果分析見第4節(jié)。

兩組試驗(yàn)所用落石材料均為花崗巖，經(jīng)試驗(yàn)測定：落石密度為2 475 kg/m3，彈性模量約為80 GPa，泊松比為0.24；砂土墊層自然密實(shí)的密度為1 108 kg/m3，含水率為3.3%。砂土墊層強(qiáng)度fc通過對墊層樣本進(jìn)行室內(nèi)靜力載荷試驗(yàn)確定，試驗(yàn)裝置及示意圖如圖4(a)所示，通過對砂墊層進(jìn)行擬靜力加載，同時(shí)記錄施加的載荷p和侵入深度zm，直至砂土墊層完全失去承載力為止。根據(jù)載荷p和加載面積S可以獲得桿端的平均壓應(yīng)力σn：

從試驗(yàn)墊層中取3組樣本，得到平均應(yīng)力σn與無量綱侵入深度zm/d之間的關(guān)系曲線如圖4(b)所示，可以估算墊層平均強(qiáng)度fc=0.065 MPa。

圖4 砂土墊層強(qiáng)度靜力載荷試驗(yàn)及結(jié)果Fig.4 Static load test and results of strength of sand cushion

2 試驗(yàn)結(jié)果分析及討論

根據(jù)第1組試驗(yàn)獲得的不同形狀落石沖擊墊層的試驗(yàn)結(jié)果，重點(diǎn)分析和討論落石形狀對侵入深度和沖擊力的影響。為了提高試驗(yàn)結(jié)果的可靠度，每條試驗(yàn)曲線均為在重復(fù)條件下3次沖擊結(jié)果的平均值。

2.1 侵入深度

圖5(a)～(c)分別給出了球形、錐形和平頭落石在4.4、5.4、6.3、7.0 m/s沖擊速度下的侵入深度時(shí)程曲線，可以發(fā)現(xiàn)落石侵入墊層的深度z均隨時(shí)間的延長而逐漸增加，增加的速率逐漸減緩，最終停止，幾乎沒有發(fā)生落石的反彈，此時(shí)落石的侵入深度即為落石的最終侵入深度zm。落石的沖擊速度越大，zm越大。圖5(d)給出了以球形落石最終侵入深度zs為基準(zhǔn)，錐形和平頭落石的侵入深度的相對值，記為zm/zs。試驗(yàn)結(jié)果表明，在相同沖擊速度下，錐形落石的最終侵入深度zm最大、球形次之、平頭最小，其中錐形落石最終侵入深度的平均值約為球形落石的1.35倍，球形落石約為平頭落石的2.27倍，此倍數(shù)關(guān)系在沖擊速度為4.4～7.0 m/s 范圍內(nèi)幾乎保持不變，說明落石形狀對侵入深度的影響顯著，且具有一定的規(guī)律性。

圖5 不同形狀落石侵入深度對比Fig.5 Comparison of the penetration depth of falling rocks with different shapes

2.2 沖擊力

圖6(a)～(c)分別給出了球形、錐形和平頭落石在不同沖擊速度下的落石沖擊力時(shí)程曲線，可以發(fā)現(xiàn)不同形狀落石的時(shí)程曲線變化的共同特點(diǎn)是，沖擊速度越大，落石沖擊力越大，第1峰值出現(xiàn)時(shí)間越早，且均出現(xiàn)了第2峰值。雙峰特征在當(dāng)前很多落石沖擊試驗(yàn)結(jié)果中均有出現(xiàn)[3-4]，已有研究表明，雙峰出現(xiàn)的原因是正在侵入的落石與墊層底部反射的壓縮波相互作用引起的，第2峰值大小和出現(xiàn)時(shí)間與墊層厚度和壓縮波在墊層中的傳播速度等因素有關(guān)[3]。

圖6 不同形狀下落石沖擊力時(shí)程曲線Fig.6 Time history curves of impact force for falling rocks with different shapes

相同沖擊速度下，不同形狀落石的最大沖擊力記為Fm。圖7分別為在4組不同速度下以球形落石的最大沖擊力Fs為基準(zhǔn)，得到的錐形和平頭落石的相對沖擊力時(shí)程曲線，記為Fm/Fs，結(jié)果表明，在沖擊速度為4.4～7.0 m/s范圍內(nèi)，相同沖擊速度下，平頭、球形、錐形落石的最大沖擊力Fm依次減小，而錐形、球形、平頭落石的第一峰值出現(xiàn)的時(shí)間（簡稱峰值時(shí)間）t1依次縮短。球形落石的沖擊力峰值平均值約為錐形落石的1.35 倍，平頭落石約為球形落石的2.52倍（見圖8(a)）。錐形落石的峰值時(shí)間平均值約為球形落石的1.46倍，球形落石約為平頭落石的2.73倍（見圖8(b)）。上述結(jié)果同樣說明：在試驗(yàn)沖擊速度范圍內(nèi)，落石形狀對落石的沖擊力和峰值時(shí)間的影響十分明顯，且具有一定的規(guī)律性；而在相同沖擊速度下，不同形狀的落石對墊層的沖量Im幾乎相同（見圖8(c)），說明落石形狀對沖量的影響可以忽略不計(jì)。

圖7 不同形狀落石相對沖擊力時(shí)程曲線Fig.7 Time history curvesof relative impact forcefor falling rocks with different shapes

圖8 落石形狀對沖擊力、峰值時(shí)間和沖量的影響Fig.8 Effects of falling rock’s shapeon impact force, peak time and impulse

2.3 沖擊成坑現(xiàn)象

圖9為3種典型的落石沖擊成坑形狀，經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)，球形、錐形和平頭落石沖擊砂墊層最終成坑的形狀分別為球形、錐形和平底坑，與落石沖擊端的形狀幾乎完全相同（部分差異是由于移除落石后，沖擊坑邊緣散落的砂子造成的）。試驗(yàn)現(xiàn)象表明，在落石低速沖擊松軟砂土墊層的前提下，墊層會發(fā)生很大的塑性變形，而落石的變形可以忽略不計(jì)，因此，落石與墊層之間接觸面的形狀可以近似認(rèn)為等于落石侵入墊層部分的落石表面形狀，沖擊過程中接觸面形狀和面積的變化等同于落石侵入部分的表面形狀和面積的變化。假設(shè)接觸面上單位面積所受阻力相同，則落石所受墊層總阻力主要是由接觸面的形狀和面積的變化決定的，平頭落石初始接觸面積最大，沖擊力峰值最高；錐形落石初始接觸面積最小，沖擊力緩慢增加，沖擊力峰值最?。欢蛐温涫佑|面積和沖擊力峰值介于兩者之間。

圖9 不同典型形狀落石沖擊成坑形狀Fig.9 Different impact cratersformed by different typical falling rocks

以上試驗(yàn)結(jié)果均表明，落石形狀對侵入深度和沖擊力的影響很大。沖擊端形狀越鈍，落石的沖擊力越大，峰值時(shí)間越小，沖擊時(shí)程曲線越陡峭；反之，沖擊端形狀越尖，落石的沖擊力越小，峰值時(shí)間越大，沖擊時(shí)程曲線越平緩，這一特點(diǎn)符合實(shí)際的經(jīng)驗(yàn)判斷。另外，圖5(d)和圖8(a)～(b)試驗(yàn)結(jié)果表明，盡管沖擊速度不同，但錐形、球形和平頭落石之間的侵入深度、沖擊力和峰值時(shí)間總是保持近似不變的比例，這證明落石形狀與沖擊速度對沖擊結(jié)果的影響可能是相對獨(dú)立的、相互影響很小。

3 侵入深度的無量綱化分析

參考彈體沖擊土體或混凝土研究中被廣泛采用的物理假設(shè)[31-33]，落石的侵入深度z、沖擊力F和沖擊力峰值時(shí)間t作為落石防護(hù)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)直接參考的依據(jù)，可用于表征和分析落石的沖擊結(jié)果。而影響落石沖擊結(jié)果的主要因素有：落石的質(zhì)量m、沖擊速度v0、沖擊頭部的特征尺寸d、形狀影響因子（一般根據(jù)落石形狀量化的方法定義）ψ 以及墊層的密度ρg、墊層強(qiáng)度fc等。一般地，這些物理量之間的關(guān)系可以表示為：

式中：物理量(m,v0,d,ψ;ρg,fc)表示函數(shù)關(guān)系中的自變量，物理量(z,F,t)表示因變量。由于落石的影響參數(shù)較多，所以通過控制變量法對每個(gè)單一變量的影響進(jìn)行研究會導(dǎo)致試驗(yàn)工況過多。因此，本節(jié)擬采用量綱分析法[28]，將上述有量綱的物理量轉(zhuǎn)化為無量綱的沖擊因子，以達(dá)到減少影響參數(shù)和簡化模型的目的。然后，通過第2組試驗(yàn)進(jìn)一步擴(kuò)大落石質(zhì)量和沖擊速度的研究范圍，以探究落石的無量綱沖擊因子之間以及與沖擊結(jié)果之間的相關(guān)性和影響規(guī)律。

3.1 無量綱沖擊因子

根據(jù)量綱分析方法[28]和π相似理論[29]，任意物理量的量綱都可以表示成基本量綱的冪次之積：

式中：L、M 和T分別表示長度、質(zhì)量和時(shí)間的基本量綱；由于ψ 為表征落石形狀的物理量，一般用落石頭部形狀的等效錐角表示[15]。

以侵入深度z的關(guān)系式為例，式(4)可改寫為：

將式(7)中的量綱代入式(8)后可得：

根據(jù)量綱齊次原則，描述物理規(guī)律的等式兩端的量綱必須相同，因此可得方程組：

無量綱化分析的另一個(gè)優(yōu)勢在于將式(4)中涉及的6 個(gè)自變量（m、v0、d、ψ、ρg和fc）縮減為3個(gè)無量綱沖擊因子（I、λ 和ψ）。以邊長為d（頭部特征尺寸）的立方體落石為例，討論各沖擊因子I、λ 和ψ 的物理意義。

式中：Et為落石的沖擊動能，F(xiàn)c為由墊層強(qiáng)度fc引起的靜阻抗力，Et/Fc表示靜阻力Fc對落石做負(fù)功直至落石動能Et降為零時(shí)的運(yùn)動距離。因此，對于給定的落石沖擊動能Et和特征尺寸d，墊層的強(qiáng)度fc越小，靜阻抗力Fc越小，運(yùn)動距離（即落石侵入深度）越大，沖擊因子I越大，因此I反映了由墊層強(qiáng)度fc決定的落石侵入墊層的能力，I越大，落石侵入能力越強(qiáng)，可稱I為強(qiáng)度沖擊因子。

其次，λ =m/(ρgb3)可表示為：

式中：ρr表示邊長為d的立方體落石密度，ρg表示墊層密度，因此，λ 可視為落石與墊層之間的密度比，一般情況下，落石密度ρr變化不大，而墊層密度ρg越小，λ 越大，因此可稱λ 為密度沖擊因子。根據(jù)墊層密度影響的落石沖擊試驗(yàn)結(jié)果[3,26-27]可知，相同條件下，墊層密度越小，落石侵入深度越大，因此，密度沖擊因子λ 反映了由墊層與落石相對密度ρr/ρg決定的落石侵入墊層的能力，λ 越大，落石侵入能力越強(qiáng)。

最后，落石形狀沖擊因子ψ 的提出借鑒了彈體沖擊動力學(xué)中表征錐頭、平頭、尖卵形等不同彈頭形狀影響的無量綱形狀系數(shù)的概念[31]，目的是反映落石形狀的影響，但是由于落石形狀的任意性和復(fù)雜性，本文中僅分別討論球形、錐形和平頭3種典型落石形狀的影響規(guī)律。

3.2 沖擊因子的影響規(guī)律

第3.1節(jié)將落石的主要影響因素?zé)o量綱化，得到了無量綱沖擊因子I、λ 和ψ，并分析了其所具有的物理意義，下面將根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，進(jìn)一步分析沖擊因子與落石沖擊結(jié)果之間的相關(guān)程度，研究沖擊因子對落石沖擊結(jié)果的影響規(guī)律。

3.2.1沖擊因子的變化范圍

在試驗(yàn)設(shè)計(jì)之前，本節(jié)首先根據(jù)山區(qū)落石質(zhì)量、形狀、沖擊速度的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，對沖擊因子的變化范圍進(jìn)行初步估算，沖擊因子I和λ 可拆寫為：

因此，m/d3、v0、fc和ρg的變化范圍決定了沖擊因子I和λ 的變化范圍。

首先，分析m/d3的變化范圍。m/d3是與落石密度ρr和整體形狀有關(guān)的變量，對于標(biāo)準(zhǔn)的球形落石有：

式中：R為球形落石半徑，R=d/2（圖10(a)）。一般地，巖石密度的變化范圍較小，因此可以參考本試驗(yàn)中測得的花崗巖材料落石密度，ρr=2 475 kg/m3，可得m/d3=1 296 kg/m3。若考慮到落石整體形狀變化的影響，對于橢球形落石有：

式中：c為橢球體z軸半徑，R為橢球體x和y軸半徑（圖10(b)～(c)），因此，m/d3與c/R有關(guān)。根據(jù)山區(qū)常見落石的形狀統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)[8]，c/R的取值范圍一般為0.25～4.00，因此，實(shí)際山區(qū)落石m/d3的估計(jì)變化范圍為324～5 184 kg/m3。

圖10 橢球形落石的整體形狀變化范圍Fig.10 Variation of the overall shape of the ellipsoid falling rocks

其次，根據(jù)文獻(xiàn)[34]，山區(qū)落石沖擊速度v0估計(jì)范圍為4～40 m/s；根據(jù)我國公路和鐵路設(shè)計(jì)規(guī)范[9,10,35]可知棚洞墊層強(qiáng)度fc的變化范圍，對于一般黏性土、砂性土，fc=0.05～0.55 MPa，對于一般卵、礫、碎石層，fc=0.2～1.2 MPa；根據(jù)Calvetti等[24]的落石沖擊棚洞原型試驗(yàn)和本試驗(yàn)，一般墊層密度ρg的變化范圍為1 000～2 000 kg/m3。綜上所述，將上述影響因素的變化范圍代入式(17)～(18)后，得到實(shí)際落石沖擊因子估計(jì)范圍：0.01＜I＜165.89，0.16＜λ＜5.18。

因此，參考實(shí)際沖擊因子的變化范圍，設(shè)計(jì)了球形、錐形和平頭落石沖擊砂墊層試驗(yàn)，落石沖擊試驗(yàn)的結(jié)果以落石侵入墊層深度為代表，根據(jù)Pichler 等[15]的試驗(yàn)研究和理論假設(shè)發(fā)現(xiàn)，無量綱因變量（無量綱侵入深度πz，沖擊力πF和沖擊力峰值時(shí)間πt）之間存在如下近似關(guān)系：

根據(jù)式(12)～(14)有：

無量綱沖擊因子與3種無量綱因變量之間的相關(guān)性必然是相似的，因?yàn)樵囼?yàn)中侵入深度是最便于準(zhǔn)確測量的物理量，所以本節(jié)選取并根據(jù)第2組落石沖擊試驗(yàn)結(jié)果中的最終無量綱侵入深度zm/d，分別分析球形、錐形和平頭落石無量綱沖擊因子（I和λ）與無量綱侵入深度zm/d之間的相關(guān)性和影響規(guī)律。

根據(jù)正交試驗(yàn)法設(shè)計(jì)的試驗(yàn)工況分別如表1～3所示，表中記錄了不同質(zhì)量、沖擊速度和特征尺寸下的2個(gè)無量綱沖擊因子以及試驗(yàn)測得的無量綱侵入深度zm/d。試驗(yàn)設(shè)計(jì)沖擊因子的變化范圍為：0.29＜I＜15.60，1.67＜λ＜5.22。

表1 球形落石沖擊砂墊層試驗(yàn)工況Table1 Conditions of impact test by spherical falling rocks

3.2.2沖擊因子相關(guān)性分析

根據(jù)沖擊因子I和λ 的物理意義分析可知，I和λ 分別反映了墊層強(qiáng)度和密度影響的落石侵入墊層的能力，因此與無量綱侵入深度zm/d之間必然具有一定的關(guān)聯(lián)程度。相關(guān)性分析是統(tǒng)計(jì)學(xué)中用于研究變量之間線性相關(guān)程度的一種分析方法，通常用皮爾森相關(guān)系數(shù)來表征兩個(gè)變量之間的相關(guān)程度，計(jì)算公式為：

表2 錐形落石沖擊砂墊層試驗(yàn)工況Table 2 Conditionsof impact test by conical falling rocks

表3 平頭落石沖擊砂墊層試驗(yàn)工況Table 3 Conditions of impact test by flat falling rocks

式中：ρ為變量x和y之間的相關(guān)系數(shù)，C(x,y)為變量x和y的協(xié)方差，σ2(x)和σ2(y)分別表示變量x和y的方差。根據(jù)定義有，|ρ|≤1，|ρ |越接近零，表示兩個(gè)變量之間相關(guān)度越弱；|ρ |越接近1，表示兩個(gè)變量之間相關(guān)度越強(qiáng)。圖11(a)～(b)表示了所有落石侵入深度試驗(yàn)數(shù)據(jù)zm/d分別與沖擊因子I和λ 的相關(guān)性，侵入深度與沖擊因子之間呈正相關(guān)，根據(jù)I和λ 的定義可知，墊層的強(qiáng)度或密度越小，落石的侵入深度越大，這條規(guī)律符合經(jīng)驗(yàn)性定性判斷。zm/d與I和λ 的相關(guān)系數(shù)分別為0.71和0.77，表現(xiàn)出較強(qiáng)的正相關(guān)性。相關(guān)系數(shù)結(jié)果表明，I和λ 可能在決定最終侵入深度zm/d中所起的作用較相近。

圖11 無量綱沖擊因子與無量綱侵入深度之間的相關(guān)性Fig.11 Correlation between dimensionless impact factorsand penetration depths

表4 無量綱沖擊因子之間及與侵入深度的相關(guān)性Table4 Correlation between dimensionlessimpact factorsand penetration depths

相關(guān)性分析結(jié)果只能反映沖擊因子與侵入深度之間的相關(guān)程度，因此，還需要在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析無量綱沖擊因子對侵入深度的影響規(guī)律，即沖擊因子與侵入深度之間的函數(shù)關(guān)系：

式中：方程F1以強(qiáng)度與密度沖擊因子（I和λ）為自變量，下面將分別在球形、錐形和平頭3種典型形狀落石沖擊條件下，研究沖擊因子對試驗(yàn)結(jié)果的影響規(guī)律。

圖12(a)～(c)分別為球形、錐形和平頭落石無量綱侵入深度zm/d與強(qiáng)度沖擊因子I和密度沖擊因子λ 的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，結(jié)果表明，I和λ 是相對獨(dú)立的影響因素，在不同的λ 下，zm/d隨I的增加而增加的規(guī)律是基本一致的。

圖12 不同形狀落石無量綱侵入深度的擬合曲線Fig.12 Fitting curves of the dimensionless penetration depths of the blocks

通過對試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合的方法可以分別得到球形、錐形和平頭落石的擬合公式：

由式(25)～(27)可以看出，擬合曲線與試驗(yàn)數(shù)據(jù)具有良好的一致性。

表5比較了上述不同形狀落石的擬合公式的擬合參數(shù)，對于相同函數(shù)形式的擬合公式，不同形狀落石的擬合參數(shù)之間存在差異。這說明，如果不考慮落石形狀的影響，只根據(jù)不同的落石形狀假設(shè)，提出的擬合公式適用范圍十分有限。因此，當(dāng)前落石沖擊試驗(yàn)研究中基于不同落石形狀假設(shè)而獲得的試驗(yàn)規(guī)律和理論計(jì)算公式的適用范圍也是有限的，且相互之間難以進(jìn)行比較和驗(yàn)證。目前仍然缺少對落石形狀影響的量化分析方法，以及考慮形狀影響因子ψ 的統(tǒng)一的理論計(jì)算公式。

表5 不同形狀落石3種擬合公式的擬合參數(shù)比較Table 5 Comparison of parameters of three fitting formulas for falling rocks with different shapes

4 結(jié) 論

開展了不同典型形狀落石沖擊墊層的侵入深度和沖擊力的試驗(yàn)研究，首先根據(jù)第1組試驗(yàn)研究了落石形狀對侵入深度和沖擊力時(shí)程曲線波形的影響，然后根據(jù)第2組試驗(yàn)對落石沖擊影響因素（包括落石的質(zhì)量、速度、形狀、特征尺寸以及墊層的強(qiáng)度、密度）進(jìn)行了無量綱化分析，并得到了無量綱沖擊因子與侵入深度之間的相關(guān)性和影響規(guī)律，主要結(jié)論如下。

（1）落石形狀對侵入深度和沖擊力的影響很大。沖擊端形狀越鈍，落石的沖擊力越大，峰值時(shí)間越小，沖擊時(shí)程曲線越陡峭；反之，沖擊端形狀越尖，落石的沖擊力越小，峰值時(shí)間越大，沖擊時(shí)程曲線越平緩，這一特點(diǎn)且符合經(jīng)驗(yàn)性的定性判斷。另外，盡管沖擊速度不同，但錐形、球形和平頭落石之間的侵入深度、沖擊力和峰值時(shí)間總是保持近似不變的比例，證明落石形狀與沖擊速度對侵入深度的影響可能是相對獨(dú)立的、相互影響很小。

（3）無量綱沖擊因子與侵入深度試驗(yàn)結(jié)果之間的相關(guān)性分析研究表明，zm/d均隨著I和λ 的增加而增大，這意味著墊層的強(qiáng)度越小密度越小，落石的侵入深度越大。I和λ 與zm/d的相關(guān)系數(shù)分別為0.71和0.77，說明I和λ 可能在決定最終侵入深度zm/d中所起到的作用比較相近，而I和λ 的相對獨(dú)立性較強(qiáng)、相互影響較小。

（4）為了確定沖擊因子與侵入深度之間的函數(shù)關(guān)系，在無量綱沖擊因子相關(guān)性分析結(jié)果的基礎(chǔ)上，提出了考慮強(qiáng)度與密度的擬合公式zm/d=Aλln(1+CI/λ)。結(jié)果表明，在不同的λ 值下，zm/d隨I的增加而增加的規(guī)律是基本一致的。而對于相同函數(shù)形式的擬合公式，不同形狀落石的擬合參數(shù)之間存在差異，說明未引入形狀影響因子ψ 的擬合公式適用范圍十分有限，因此進(jìn)一步提出考慮落石形狀影響的沖擊力及侵入深度的統(tǒng)一理論計(jì)算方法很有必要。