張杰華, 王清娟

(1.陽光學(xué)院, 福建 福州 350015; 2.福建省湄洲灣職業(yè)技術(shù)學(xué)校, 福建 莆田 351254)

0 引言

1975年，Beddington[1]和DeAngelis[2]首次提出Beddington-DeAngelis功能反應(yīng)模型后,很多學(xué)者對該模型進(jìn)行了研究,并得到了許多很好的結(jié)果[3-7].文獻(xiàn)[3]的作者研究了如下具有Beddington-DeAngelis功能反應(yīng)的連續(xù)競爭系統(tǒng):

(1)

并得到了該系統(tǒng)具有持久性、絕滅性和概周期解的存在性等結(jié)果.

文獻(xiàn)[4]的作者研究了與系統(tǒng)(1)相對應(yīng)的具有Beddington-DeAngelis功能反應(yīng)的離散競爭模型:

(2)

其中：x1(n)和x2(n)分別表示兩個競爭種群在第n代的種群密度；ri(n)(i=1,2)表示兩個種群的內(nèi)稟增長率；ai(n)(i=1,2)為種內(nèi)競爭系數(shù)；bi(n)(i=1,2)為種間競爭系數(shù)；ri(n)、ai(n)、bi(n)、αi(n)、βi(n)、γi(n)(i=1,2)均為非負(fù)有界序列.文獻(xiàn)[4]的作者通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov絕滅函數(shù)，得到了保證該系統(tǒng)中某個種群絕滅和另外一個種群全局吸引的充分性條件，但文獻(xiàn)[4]的作者并未探討系統(tǒng)(2)的概周期性.由于生物種群的生存環(huán)境是隨時間而改變的，而且環(huán)境會隨著季節(jié)呈現(xiàn)出非嚴(yán)格意義上的周期性變化，因此研究生態(tài)系統(tǒng)中的概周期性具有十分重要的現(xiàn)實意義.本文利用文獻(xiàn)[8-10]的分析方法，通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)和運用差分概周期方程的殼理論，對系統(tǒng)(2)持續(xù)生存、概周期解的存在唯一性和全局吸引性進(jìn)行了研究.

1 相關(guān)引理

定義3[11]如果x的ε-移位數(shù)集E{ε,x}(E{ε,x}={τ∈Z:|x(n+τ)-x(n)|<ε}，?n∈Z，ε>0)關(guān)于Z相對稠密(即對任意ε>0存在一個整數(shù)l(l>0)，且每個長為l的離散區(qū)間總包含一個整數(shù)τ∈E{ε,x})，且使得對?n∈Z都有|x(n+τ)-x(n)|<ε，則稱序列x∶Z→Rk為概周期序列，τ為x(n)的ε-移位數(shù).

引理1[12]序列{x(n)}是概周期的當(dāng)且僅當(dāng)對任一序列{hi}?Z，存在一個子序列{hi j}?{hi}，使得當(dāng)j→∞時，{x(n+hi j)}對n∈Z是一致收斂的，且其極限也是概周期的.

2 持久性和全局吸引性

定理1設(shè)(x1(n),x2(n))是系統(tǒng)(2)的任一正解，若系統(tǒng)(2)滿足

(H1)

則該系統(tǒng)是持久的，即存在正數(shù)mi和Mi(i=1,2), 使得

(3)

(4)

設(shè)(x1(n),x2(n))是系統(tǒng)(2)的任一解，則由系統(tǒng)(2)的兩個方程可得xi(n+1)≤xi(n)exp{ri(n)-ai(n)xi(n)}.對上式應(yīng)用引理2可得:

(5)

因此，對上述的ε>0，存在N0>0，且當(dāng)n≥N0時有xi(n)≤Mi+ε,i=1,2.由該式和系統(tǒng)(2)的第1個方程可得：

(6)

在上式中令ε→0，于是可得:

(7)

(8)

定理2設(shè)

(H2)

(1)校友資源是產(chǎn)學(xué)研合作的重要中介。產(chǎn)、學(xué)、研相結(jié)合是新時期高校發(fā)展的必由之路，而校友就業(yè)中很大比例是專業(yè)或行業(yè)相關(guān)性很大，他們對母校的老師和科研成果比較了解，校友可以在工作單位宣傳母?？蒲谐晒瑫r向母校提供社會需求信息，推動母校科研成果向現(xiàn)實生產(chǎn)力轉(zhuǎn)化。校友在各自行業(yè)的信息構(gòu)成了學(xué)校龐大的信息系統(tǒng)，一方面，他們關(guān)心母校發(fā)展，為母校提供著社會對畢業(yè)生要求的最新動態(tài)，同時，那些有成就的校友還通過自己在單位的影響力，到母校招聘；另一方面在母校的各項重大活動中還會為母校提供資金幫助，為母校的發(fā)展做出自己的貢獻(xiàn)。

(9)

(10)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)V(n)=λ1V1(n)+λ2V2(n).由式(9)和式(10)可知，對于任意的n≥N1有：

(11)

對不等式(11)兩邊同時求和可得：

3 系統(tǒng)(2)的概周期解

(12)

根據(jù)差分概周期理論可知，如果系統(tǒng)(2)滿足條件(H1)和(H2)，則方程(12)也滿足條件(H1)和(H2).

引理4[10]若系統(tǒng)(2)的每個殼方程都有唯一的嚴(yán)格正解，則系統(tǒng)(2)有唯一的嚴(yán)格正概周期解.

定理3若系統(tǒng)(2)滿足條件(H1)和(H2)，則系統(tǒng)(2)存在唯一的概周期解，且系統(tǒng)是全局吸引的.

證明由引理4可知，只需證明系統(tǒng)(2)的每個殼方程都有唯一的嚴(yán)格正解即可.

x1k(n+1)=x1k(n)×

x2k(n+1)=x2k(n)×

所以可推出

(13)

由式(13)可知,V*(n)是Z上的非增函數(shù).把上式兩邊同時從k加到0, 可得：

(14)

綜上所述,系統(tǒng)(2)的每個殼方程都有唯一的嚴(yán)格正解.根據(jù)引理4知, 系統(tǒng)(2)有唯一的嚴(yán)格正概周期解.再由定理2知,系統(tǒng)(2)是全局吸引的.因此,系統(tǒng)(2)存在唯一的概周期解，且系統(tǒng)是全局吸引的.證畢.