陳一維， 白建慧

(華北水利水電大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 鄭州 450046)

0 引言

丟番圖方程是數(shù)論中最古老的一個(gè)分支，也是一個(gè)重要的分支，它有著悠久的歷史與豐富的內(nèi)容,與數(shù)學(xué)學(xué)科的其他分支也有著密切的聯(lián)系。高次的多元不定方程還有廣闊的未知領(lǐng)域，吸引著眾多學(xué)者。所謂不定方程是指解的范圍為整數(shù)、正整數(shù)、有理數(shù)或代數(shù)整數(shù)的方程或方程組，其未知數(shù)的個(gè)數(shù)通常多于方程的個(gè)數(shù)。其最早可追溯到3世紀(jì)初，當(dāng)時(shí)古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖研究過(guò)許多這樣的方程，因此不定方程又稱(chēng)為丟番圖方程。

設(shè)A,B∈N，A無(wú)平方因子，關(guān)于不定方程

Ax2+B=myn(x,y,n∈N,n≥2)

(1)

解的問(wèn)題是數(shù)論中的一個(gè)重要問(wèn)題，用初等方法解決此類(lèi)問(wèn)題比較復(fù)雜和困難，近些年許多研究者用代數(shù)數(shù)論的方法研究這類(lèi)不定方程，取得了很好的成果。

2009年，文獻(xiàn)[1]證明了當(dāng)A=1,B=16,m=1,n=13時(shí)，(1)式無(wú)整數(shù)解；2011年，文獻(xiàn)[2]證明了當(dāng)A=1,B=144,m=3,n=19時(shí)，(1)式無(wú)整數(shù)解；2018年，文獻(xiàn)[3]證明了當(dāng)A=1,B=1 024,m=4,n=9時(shí)，(1)式僅有整數(shù)解(x,y)=(±32，2)；2018年，文獻(xiàn)[4]證明了當(dāng)A=1,B=1 024,m=1,n=11時(shí)，(1)式僅有整數(shù)解(x,y)=(±32，2)；2019年，文獻(xiàn)[5]證明了當(dāng)A=1,B=36,m=1,n=17時(shí)，(1) 式無(wú)整數(shù)解;2019年，文獻(xiàn)[6]證明了當(dāng)A=1,B=4 096,m=4,n=11時(shí)，(1)式僅有整數(shù)解(x,y)=(±64，2)。

本文主要討論當(dāng)A=1,B=144,m=1,2,3,4,6,n=11時(shí)，(1)式的整數(shù)解問(wèn)題。

1 定理及其證明

引理1[1]設(shè)M是唯一分解整環(huán)，正整數(shù)k≥2,α,β∈Z,(α,β)=1,若αβ=τk,τ∈M，則有α=ε1μk,β=ε2νk,μ,ν∈M, 其中ε1,ε2是M中的單位元素，并且ε1ε2=εk,ε為單位元素。

定理1不定方程

x2+144=my11(y=1,2,3,4,6),x,y∈Z

(2)

無(wú)整數(shù)解。

證明分x≡1(mod 2)和x≡0(mod 2)兩種情況進(jìn)行討論。

情況1x≡1(mod 2)。

當(dāng)x≡1(mod 2)時(shí)，在Z[i]中，式(2)可以寫(xiě)為(x+12i)(x-12i)=my11,x,y∈Z。設(shè)(x+12i,x-12i)=η,則有η|(2x,24i),得η只能取1,1+i,2,因?yàn)閤≡1(mod 2)，因此x+12i≡1(mod 2)，則η≠2；假設(shè)η=1+i，則N(1+i)|N(x+12i),即2|x2+144。這就與x≡1(mod 2)產(chǎn)生矛盾，所以η=1。由此和引理1得，x+12i=m(a+bi)11,x,a,b∈Z，則有

x=a11-55a9b2+330a7b4-462a5b6+165a3b8-11ab10,

(3)

12=mb(11a10-165a8b2+462a6b4-330a4b6+55a2b8-b10),

(4)

所以方程有如下取值

1)當(dāng)m=1時(shí)；(4)式變?yōu)?/p>

12=b(11a10-165a8b2+462a6b4-330a4b6+55a2b8-b10)。

(5)

a)當(dāng)b=1時(shí)，由(5)式得

12=11a10-165a8+462a6-330a4+55a2-1,

(6)

13=a2(11a8-165a6+462a4-330a2+55),

(7)

由(7)式得，a2=1 ，但當(dāng)a2=1時(shí)，11-165+462-330+55=33≠13所以b=1不成立。

b)當(dāng)b=-1時(shí)，由(5)式得

-12=11a10-165a8+462a6-330a4+55a2-1，

(8)

-11=a2(11a8-165a6+462a4-330a2+55),

(9)

由(9)式得，a2=1，當(dāng)a2=1時(shí)，11-165+462-330+55=33≠-11，所以b=-1不成立。

c)當(dāng)b=2 時(shí)，由(5)式得，

6=11a10-165×4a8+462×42a6-330×43a4+55×44a2-45,

(10)

1 030=103×5×2=a2(11a8-165×4a6+462×42a4-330×43a2+55×44),

(11)

由(11)式得，a2=1，當(dāng)a2=1時(shí)，11-660+7 392-21 120+14 080=-297≠1 030，故b=2不成立。

d)當(dāng)b=-2時(shí)，由(5)式得

-6=11a10-165×4a8+462×42a6-330×43a4+55×44a2-45,

(12)

1 018=2×509=a2(11a8-165×4a6+462×42a4-330×43a2+55×44),

(13)

由(13)式得，a2=1，當(dāng)a2=1時(shí)，11-660+7 392-21 120+14 080=-297≠1 030，故b=-2不成立。

e)當(dāng)b=3時(shí)，由(5)式得

4=11a10-165×9a8+462×92a6-330×93a4+55×94a2-95,

(14)

59 053=1×59 053=a2(11a8-165×9a6+462×92a4-330×93a2+55×94),

(15)

由(15)式得，a2=1，但當(dāng)a2=1時(shí)，11-1 485+37 422-240 570+360 855=156 233≠59 053，故b=3不成立。

f)當(dāng)b=-3時(shí)，由(5)式得

-4=11a10-165×9a8+462×92a6-330×93a4+55×94a2-95,

(16)

59 045=5×49×241=a2(11a8-165×9a6+462×92a4-330×93a2+55×94),

(17)

由(17)式得，a2=1或49，但當(dāng)a2=1時(shí)，

11-1 485+37 422-240 570+360 855=156 233≠59 045,

但當(dāng)a2=49時(shí)

49×(11×494-165×9×493+462×92×492-330×93×49+55×94)≠59 045,

故b=-3不成立。

g)當(dāng)b=4時(shí)，由(5)式得

3=11a10-165×16a8+462×162a6-330×163a4+55×164a2-165,

(18)

1 048 579=7×149 797=a2(11a8-165×16a6+462×162a4-330×163a2+55×164),

(19)

由(19)式得，a2=1，但當(dāng)a2=1時(shí)

11-2 640+118 272-1 351 680+3 604 480=2 368 443≠1 048 579，

故b=4不成立。

h)當(dāng)b=-4時(shí)，由(5)式得

-3=11a10-165×16a8+462×162a6-330×163a4+55×164a2-165,

(20)

1 048 573=1×1 048 573=a2(11a8-165×16a6+462×162a4-330×163a2+55×164),

(21)

由(21)式得，a2=1，但當(dāng)a2=1時(shí)

11-2 640+118 272-1 351 680+3 604 480=2 368 443≠1 048 573，

故b=-4不成立。

i)當(dāng)b=6時(shí)，由(5)式得

2=11a10-165×36a8+462×362a6-330×363a4+55×364a2-365,

(22)

60 466 178=2×17×1 778 417=a2(11a8-165×36a6+462×362a4-330×363a2+55×364),

(23)

由(23)式得，a2=1，但當(dāng)a2=1時(shí)

11-5 904+598 752-15 396 480+92 378 880=77 575 223≠60 466 178，

故b=6不成立。

j)當(dāng)b=-6時(shí)，由(5)式得

-2=11a10-165×36a8+462×362a6-330×363a4+55×364a2-365,

(24)

60 466 174=2×30 233 087=a2(11a8-165×36a6+462×362a4-330×363a2+55×364),

(25)

由(25)式得，a2=1，但當(dāng)a2=1時(shí)

11-5 904+598 752-15 396 480+92 378 880=77 575 223≠60 466 174，

故b=-6不成立。

k)當(dāng)b=12時(shí)，由(5)式得

1=11a10-165×144a8+462×1442a6-330×1443a4+55×1444a2-1445,

(26)

61 917 364 225=25×29×85 403 261=
a2(11a8-165×144a6+462×1442a4-330×1443a2+55×1444),

(27)

由(27)式得，a2=1或25，但當(dāng)a2=1時(shí)

11-23 760+9 580 032-985 374 720+23 648 993 280=22 673 174 843≠61 917 364 225，

且當(dāng)a2=25時(shí)

故b=12不成立。

l)當(dāng)b=-12時(shí)，由(5)式得

-1=11a10-165×144a8+462×1442a6-330×1443a4+55×1444a2-1445,

(28)

61 917 364 223=11×13×432 988 561=
a2(11a8-165×144a6+462×1442a4-330×1443a2+55×1444),

(29)

由(29)式得a2=1，但當(dāng)a2=1時(shí)

11-23 760+9 580 032-985 374 720+23 648 993 280=22 673 174 843≠61 917 364 223，

故b=-12不成立。

2)當(dāng)m=2時(shí)，

12=2×b(11a10-165a8b2+462a6b4-330a4b6+55a2b8-b10),

即

6=b(11a10-165a8b2+462a6b4-330a4b6+55a2b8-b10)。

(30)

a)當(dāng)b=1時(shí)，由(30)式得

6=11a10-165a8+462a6-330a4+55a2-1,

(31)

7=a2(11a8-165a6+462a4-330a2+55),

(32)

由(32)式得a2=1，但當(dāng)a2=1時(shí)11-165+462-330+55=33≠7，故b=1不成立。

b)當(dāng)b=-1時(shí)，由(30)式得

-6=11a10-165a8+462a6-330a4+55a2-1,

(33)

-5=a2(11a8-165a6+462a4-330a2+55),

(34)

由(34)式得a2=1，但當(dāng)a2=1時(shí)11-165+462-330+55=33≠-5，故b=-1不成立。

c)當(dāng)b=2時(shí)，由(30)式得

3=11a10-165×4a8+462×42a6-330×43a4+55×44a2-45,

(35)

1 027=13×79=a2(11a8-165×4a6+462×42a4-330×43a2+55×44),

(36)

由(36)式得a2=1，但當(dāng)a2=1時(shí)11-660+7 392-21 120+14 080=-297≠1 027，故b=2不成立。

d)當(dāng)b=-2時(shí)，由(30)式得

-3=11a10-165×4a8+462×42a6-330×43a4+55×44a2-45,

(37)

1 021=1×1 021=a2(11a8-165×4a6+462×42a4-330×43a2+55×44),

(38)

由(38)式得a2=1，但當(dāng)a2=1時(shí)11-660+7 392-21 120+14 080=-297≠1 021，故b=-2不成立。

e)當(dāng)b=3時(shí)，由(30)式得

2=11a10-165×9a8+462×92a6-330×93a4+55×94a2-95,

(39)

59 051=1×59 051=a2(11a8-165×9a6+462×92a4-330×93a2+55×94),

(40)

由(40)式得a2=1，但當(dāng)a2=1時(shí)

11-1 485+37 422-240 570+360 855=156 233≠59 051，

故b=3不成立

f)當(dāng)b=-3時(shí)，由(30)式得

-2=11a10-165×9a8+462×92a6-330×93a4+55×94a2-95,

(41)

59 047=137×431=a2(11a8-165×9a6+462×92a4-330×93a2+55×94),

(42)

由(42)式得a2=1，但當(dāng)a2=1時(shí)

11-1 485+37 422-240 570+360 855=156 233≠59 047，

故b=-3不成立。

g)當(dāng)b=6時(shí)，由(30)式得

1=11a10-165×36a8+462×362a6-330×363a4+55×364a2-365,

(43)

60 466 177=37×1 634 221=a2(11a8-165×36a6+462×362a4-330×363a2+55×364),

(44)

由(44)式得a2=1，但當(dāng)a2=1時(shí)

11-5 904+598 752-15 396 480+92 378 880=77 575 223≠60 466 177，

故b=6不成立。

h)當(dāng)b=-6時(shí)，由(30)式得

-1=11a10-165×36a8+462×362a6-330×363a4+55×364a2-365,

(45)

60 466 175=7×11×25×101×311=a2(11a8-165×36a6+462×362a4-330×363a2+55×364),

(46)

由(46)式得a2=1或25，但當(dāng)a2=1時(shí)

11-5 904+598 752-15 396 480+92 378 880=77 575 223≠60 466 175，

且當(dāng)a2=25時(shí)

故b=-6不成立。

3)當(dāng)m=3時(shí)

12=3×b(11a10-165a8b2+462a6b4-330a4b6+55a2b8-b10)，

即

4=b(11a10-165a8b2+462a6b4-330a4b6+55a2b8-b10)。

(47)

a)當(dāng)b=1時(shí)，由(47)式得

4=11a10-165a8+462a6-330a4+55a2-1,

(48)

5=a2(11a8-165a6+462a4-330a2+55),

(49)

由(49)式得a2=1，但當(dāng)a2=1時(shí)11-165+462-330+55=33≠5，故b=1不成立。

b)當(dāng)b=-1時(shí)，由(47)式得

-4=11a10-165a8+462a6-330a4+55a2-1,

(50)

-3=a2(11a8-165a6+462a4-330a2+55),

(51)

由(51)式得a2=1，但當(dāng)a2=1時(shí)11-165+462-330+55=33≠-3，故b=-1不成立。

c)當(dāng)b=2時(shí)，由(47)式得

2=11a10-165×4a8+462×42a6-330×43a4+55×44a2-45,

(52)

1 026=2×3×9×19=a2(11a8-165×4a6+462×42a4-330×43a2+55×44),

(53)

由(53)式得a2=1或9，但當(dāng)a2=1時(shí)11-660+7 392-21 120+14 080=-297≠1 026，且當(dāng)a2=9時(shí)9×(11×94-165×4×93+462×42×92-330×43×9+55×44)=124 047≠1 026,故b=2不成立。

d)當(dāng)b=-2時(shí)，由(47)式得

-2=11a10-165×4a8+462×42a6-330×43a4+55×44a2-45,

(54)

1 022=2×7×73=a2(11a8-165×4a6+462×42a4-330×43a2+55×44),

(55)

由(55)式得a2=1，但當(dāng)a2=1時(shí)11-660+7 392-21 120+14 080=-297≠1 022，故b=-2不成立。

e)當(dāng)b=4時(shí)，由(47)式得

1=11a10-165×16a8+462×162a6-330×163a4+55×164a2-165,

(56)

1 048 577=17×61 681=a2(11a8-165×16a6+462×162a4-330×163a2+55×164),

(57)

由(57)式得a2=1，但當(dāng)a2=1時(shí)11-2 640+118 272-1 351 680+3 604 480=2 368 443≠1 048 577，故b=4不成立。

f)當(dāng)b=-4時(shí)，由(47)式得

-1=11a10-165×16a8+462×162a6-330×163a4+55×164a2-165,

(58)

1 048 575=3×11×25×31×41=a2(11a8-165×16a6+462×162a4-330×163a2+55×164),

(59)

由(59)式得a2=1或25，但當(dāng)a2=1時(shí)11-2 640+118 272-1 351 680+3 604 480=2 368 443≠1 048 575，且當(dāng)a2=25時(shí)

25×(11×254-165×16×253+462×162×252-330×163×25+55×164)=169 483 875≠1 048 575,

故b=-4不成立。

4)當(dāng)m=4時(shí)

12=4×b(11a10-165a8b2+462a6b4-330a4b6+55a2b8-b10),

即

3=b(11a10-165a8b2+462a6b4-330a4b6+55a2b8-b10),

(60)

a)當(dāng)b=1時(shí)，由(60)得

3=11a10-165a8+462a6-330a4+55a2-1,

(61)

4=a2(11a8-165a6+462a4-330a2+55),

(62)

由(62)式得a2=1或4，但當(dāng)a2=1時(shí)11-165+462-330+55=33≠4，且當(dāng)a2=4時(shí)4×(11×44-165×43+462×42-330×4+55)=-6 468≠4，故b=1不成立。

b)當(dāng)b=-1時(shí)由(60)式得

-3=11a10-165a8+462a6-330a4+55a2-1,

(63)

-2=a2(11a8-165a6+462a4-330a2+55),

(64)

由(64)式得a2=1，但當(dāng)a2=1時(shí)11-165+462-330+55=33≠-2，故b=-1不成立。

c)當(dāng)b=3時(shí)，由(60)式得

1=11a10-165×9a8+462×92a6-330×93a4+55×94a2-95,

(65)

59 050=2×25×1 181=a2(11a8-165×9a6+462×92a4-330×93a2+55×94),

(66)

由(66)式得a2=1或25，但當(dāng)a2=1時(shí) 11-1 485+37 422-240 570+360 855=156 233≠59 050，且當(dāng)a2=25時(shí)

25×(11×254-165×9×253+462×92×252-330×93×25+55×94)=-29 272 375≠59 050,

故b=3不成立。

d)當(dāng)b=-3時(shí)，由(60)式得

-1=11a10-165×9a8+462×92a6-330×93a4+55×94a2-95,

(67)

59 048=2×4×121×61=a2(11a8-165×9a6+462×92a4-330×93a2+55×94),

(68)

由(68)式得a2=1或4或121或484，但當(dāng)a2=1時(shí)11-1 485+37 422-240 570+360 855=156 233≠59 048，且當(dāng)a2=4時(shí) 4×(11×44-165×9×43+462×92×42-330×93×4+55×94)=-379 588≠59 048，且當(dāng)a2=121時(shí)

121×(11×1214-165×9×1213+462×92×1212-330×93×121+55×94)=29 805 566 153≠59 048,

且當(dāng)a2=484時(shí)

484×(11×4844-165×9×4843+462×92×4842-330×93×484+55×94)=

214 855 200 960 092≠59 048,

故b=-3不成立。

5)當(dāng)m=6時(shí)

12=6×b(11a10-165a8b2+462a6b4-330a4b6+55a2b8-b10),

(69)

即

2=b(11a10-165a8b2+462a6b4-330a4b6+55a2b8-b10)。

(70)

a)當(dāng)b=1時(shí)，由(70)式得

2=11a10-165a8+462a6-330a4+55a2-1,

(71)

3=a2(11a8-165a6+462a4-330a2+55),

(72)

由(72)式得a2=1，但當(dāng)a2=1時(shí)11-165+462-330+55=33≠3，故b=1不成立。

b)當(dāng)b=-1時(shí)，由(70)式得

-2=11a10-165a8+462a6-330a4+55a2-1,

(73)

-1=a2(11a8-165a6+462a4-330a2+55),

(74)

由(74)式得a2=1，但當(dāng)a2=1時(shí)11-165+462-330+55=33≠-1，故b=-1不成立。

c)當(dāng)b=2時(shí)，由(70)式得

1=11a10-165×4a8+462×42a6-330×43a4+55×44a2-45,

(75)

1 025=25×41=a2(11a8-165×4a6+462×42a4-330×43a2+55×44),

(76)

由(76)式得a2=1或25，但當(dāng)a2=1時(shí)11-660+7 392-21 120+14 080=-297≠1 025，且當(dāng)a2=25時(shí)

25×(11×254-165×4×253+462×42×252-330×43×25+55×44)=-47 738 625≠1 025，

故b=2不成立。

d)當(dāng)b=-2時(shí)，由(70)式得

-1=11a10-165×4a8+462×42a6-330×43a4+55×44a2-45,

(77)

1 023=3×11×31=a2(11a8-165×4a6+462×42a4-330×43a2+55×44),

(78)

由(78)式得a2=1，但當(dāng)a2=1時(shí)11-660+7 392-21 120+14 080=-297≠1 023，故b=-2不成立。

所以當(dāng)x≡1(mod 2)時(shí)，不定方程x2+144=my11(m=1,2,3,4,6)無(wú)整數(shù)解。

情況2x≡0(mod 2) 。

1)m=1,3。

已知x≡0(mod 2)，x是偶數(shù)，則y也是偶數(shù)，令x=2x1,y=2y1,x1,y1∈Z。則(2)式等價(jià)為

(2x1)2+144=m(2y1)11,

即

(79)

(80)

(81)

2)m=2，則原方程變?yōu)?/p>

x2+144=2y11。

(82)

(83)

(84)

(85)

3)m=4，則原方程變?yōu)?/p>

x2+144=4y11。

(86)

4)m=6，則原方程變?yōu)?/p>

x2+144=6y11。

(87)

所以當(dāng)x≡0(mod 2) 時(shí)，不定方程x2+144=my11(m=1,2,3,4,6)無(wú)整數(shù)解。

綜上所述，不定方程x2+144=my11(m=1,2,3,4,6)無(wú)整數(shù)解。

2 結(jié)語(yǔ)

不定方程的整數(shù)解問(wèn)題是一個(gè)悠久的研究課題，許多數(shù)學(xué)家都有所研究，推進(jìn)了不定方程整數(shù)解問(wèn)題的發(fā)展。本文主要討論了當(dāng)A=1,B=144，m=1,2,3,4,6,n=11的整數(shù)解問(wèn)題，得出了不定方程x2+144=my11(m=1,2,3,4,6)無(wú)整數(shù)解的結(jié)論和證明。接下來(lái)希望可以進(jìn)一步研究不定方程x2+144=my11(m∈N)的整數(shù)解問(wèn)題。